Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Aula Extra Curso Regular de Matemática - Com videoaulas Professores: Arthur Lima, Luiz Gonçalves 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1 AULA EXTRA: CONTAGEM E PROBABILIDADE SUMÁRIO PÁGINA 1. Questões adicionais sobre Contagem 01 2. Questões adicionais sobre Probabilidade 19 3. Lista de exercícios vistos na aula 57 4. Gabarito 85 Olá! Nesta aula trabalharemos questões adicionais sobre os temas Contagem e Probabilidade que tratamos anteriormente. Tenha uma boa aula, e lembre-se de me procurar sempre que tiver alguma dúvida. Saudações, Prof. Arthur Lima (www.facebook.com/ProfessorArthurLima) 1. QUESTÕES ADICIONAIS SOBRE CONTAGEM 1. FGV ± TJRJ ± 2014) Gabriel deve pintar a bandeira abaixo de forma que cada região tenha uma única cor. Regiões vizinhas não podem ter a mesma cor, mas regiões não vizinhas podem. Ele tem 5 cores disponíveis. O número de maneiras diferentes pelas quais essa bandeira pode ser pintada é: (A) 120; (B) 240; (C) 480; (D) 720; (E) 900. RESOLUÇÃO: 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 2 Vamos começar pintando a região na parte superior esquerda da figura. Temos 5 possibilidades de cores para esta região. Em seguida, podemos partir para a região na parte inferior esquerda. Temos 4 possibilidades de cores para esta região, pois não podemos repetir a cor da primeira região pintada (afinal elas são vizinhas). Podemos agora partir para a região situada logo à direita desta anterior. Temos 3 possibilidades de cores para esta região, pois não podemos repetir as cores usadas nas duas regiões anteriores, que são vizinhas dela. Prosseguindo, vamos pintar a região logo à direita. Temos 3 possibilidades de cores novamente, pois não podemos repetir as cores das duas regiões vizinhas dela (veja que podemos utilizar a cor da região inferior esquerda, afinal ela não é vizinha da que estamos pintando neste momento). Por fim, vamos pintar a última região, localizada na parte direita da figura. Temos 4 possibilidades de cores para ela, pois não podemos repetir a cor usada na região anterior, que é sua única vizinha. Usando o princípio multiplicativo, podemos calcular o produto dessas possibilidades, que é 5 x 4 x 3 x 3 x 4 = 720. Este é nosso gabarito. RESPOSTA: D 2. FCC ± SEFAZ/PI ± 2015) A senha requerida para ligar um computador é formada pelas mesmas 8 letras da palavra TERESINA, com as vogais ocupando as 4 primeiras posições e, as consoantes, as 4 últimas. Conhecendo apenas essas informações, uma pessoa que deseja usar o computador vai digitando todas as possíveis senhas, até acertar a correta. Se essa pessoa nunca digitar a mesma senha mais de uma vez, conseguirá descobrir a senha correta em, no máximo, (A) 240 tentativas. (B) 144 tentativas. (C) 576 tentativas. (D) 196 tentativas. (E) 288 tentativas. RESOLUÇÃO: Observe que na palavra TERESINA temos quatro vogais, sendo duas repetidas, de modo que o total de permutações entre essas vogais é igual a P(4;2) = 4! / 2! = 12. Essa palavra também possui 4 consoantes sem nenhuma repetição de modo que o total de permutações entre essas consoantes é igual a P(4) = 4! = 24. Desse modo, como as permutações entre as vogais ocorrem de maneira 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 3 independente das permutações entre as consoantes, o total de possibilidades que temos é dado pela multiplicação 12 x 24 = 288. RESPOSTA: E 3. FUNDATEC ± SEFAZ/RS ± 2014) Assinale a alternativa correta em relação ao número de maneiras diferentes que podemos organizar as letras da sigla FUNDATEC, de modo que: x a letra F apareça sempre na primeira posição. x as consoantes N e D apareçam sempre juntas em qualquer ordem. x as consoantes T e C apareçam sempre juntas em qualquer ordem. A) 56. B) 120. C) 240. D) 480. E) 5.040 RESOLUÇÃO: Temos que preencher 8 lacunas: __ __ __ __ __ __ __ __ 9DPRV�³MXQWDU´���ODFXQDV�HP�DSHQDV����SDUD�VLPEROL]DU�DV�OHWUDV�1�H�'�TXH� devem aparecer juntas, e fazer o mesmo com T e C. Com isso, ao invés de 8 lacunas passamos a ter 6: __ __ __ __ __ __ Temos apenas 1 possibilidade para a primeira lacuna (F), 5 para a segunda, 4 para a terceira, 3 para a quarta, 2 para a quinta e 1 para a sexta, totalizando: 1 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 possibilidades Devemos ainda permutar as letras N e D entre si, num total de 2 possibilidades, e T e C entre si, num total de 2 possibilidades, ficando com: 120 x 2 x 2 = 480 possibilidades RESPOSTA: D 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 4 4. FUNDATEC ± SEFAZ/RS ± 2014) Supondo que os jogadores da seleção brasileira de futebol, em cada jogo da Copa do Mundo 2014, ao se perfilarem para cantar o Hino Nacional, se organizassem do seguinte modo: o goleiro, o capitão do time, que é atacante, e três dos jogadores escalados para a defesa ficariam sempre à direita de todos os outros jogadores, e sempre nessa ordem. O restante dos jogadores se posicionariam à esquerda dos outros, independente de qualquer ordem. O número de maneiras diferentes que a seleção, composta pelos seus 11 jogadores, poderia se perfilar para cantar o Hino Nacional, em cada jogo, é: A) 360. B) 462. C) 720. D) 3.600. E) 5.040. RESOLUÇÃO: Temos a organização: - goleiro, o capitão do time, que é atacante, e três dos jogadores escalados para a defesa ficariam sempre à direita de todos os outros jogadores, e sempre nessa ordem. Isto significa que temos 11 posições a preencher. Seguindo a regra do enunciado, a tabela abaixo nos dá o número de possibilidades de preenchimento de cada posição: Posição1 Posição2 Posição3 Posição4 Posição5 Posição6 Posição7 Posição8 Posição9 Posição10 Posição11 1 possib. (goleiro) 1 possib. (capitão) 1 possib. (defesa) 1 possib. (defesa) 1 possib. (defesa) 6 possib. (restantes) 5 possib. (restantes) 4 possib. (restantes) 3 possib. (restantes) 2 possib. (restantes) 1 possib. (restante) Pela regra do produto, o total de possibilidades é: 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 RESPOSTA: C 5. ESAF ± Mtur ± 2014) Com as letras M, N, O, P, Q, S, T e X, formam-se códigos de quatro letras, sendo que repetições das letras não são permitidas. O número de códigos possíveis é igual a: a) 1.680 b) 1.560 c) 1.590 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 5 d) 1.670 e) 1.650 RESOLUÇÃO: Temos um total de 8 letras, de modo que o totalde permutações é dado pelo princípio fundamental da contagem: 8x7x6x5 = 1.680 RESPOSTA: A 6. ESAF ± MTur ± 2014) A retirada de amostras aleatórias simples pode ser realizada segundo dois critérios, a saber: com ou sem reposição. Considerando-se uma população de tamanho N = 10 e amostras de tamanho n = 3, o número de possíveis amostras aleatórias simples que podem ser retiradas dessa população, utilizando-se os critérios com e sem reposição são, respectivamente, iguais a: a) 1000 ; 120 b) 1000 ; 20 c) 500 ; 120 d) 100 ; 20 e) 1200 ; 150 RESOLUÇÃO: Se não temos reposição, basta calcular o número de combinações de 10 elementos em grupos de 3, que totalizam: C(10,3) = 10x9x8 / (3x2x1) = 120 Com reposição, temos sempre 10 possibilidades para retirar cada elemento, totalizando 10x10x10 = 1000 formas de selecionar 3 elementos. RESPOSTA: A 7. UFG ± CELG-GT ± 2014) Um comerciante organizou um cadastro de seus clientes utilizando um código de identificação com quatro dígitos: o primeiro como uma letra vogal e os outros três como caracteres numéricos, de 0 a 9. O comerciante almeja expandir o seu negócio, levando-o inclusive para cidades do interior, e, para isso, pretende ter um cadastro único de seus clientes. Mediante um estudo, ele constatou que a quantidade de clientes esperada será sete vezes maior que a quantidade que o seu cadastro inicial seria capaz de suportar. Nessas 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 6 condições, para que o novo código comporte a quantidade de clientes esperada, o comerciante deverá: (Use o alfabeto com 26 letras) (A) manter quatro dígitos, substituindo a vogal por uma consoante. (B) criar um código com cinco dígitos, sendo duas vogais e três números de 0 a 9. (C) manter o código atual trocando a vogal por uma letra qualquer do alfabeto. (D) criar um código com cinco dígitos, acrescentando no atual um número par de 0 a 9. (E) manter quatro dígitos, substituindo a vogal e um dos três números por uma consoante. RESOLUÇÃO: Precisamos que o número de códigos aumente 7 vezes em relação ao atual, que é do tipo vogal-algarismo-algarismo-algarismo. Vejamos cada alternativa de resposta: (A) manter quatro dígitos, substituindo a vogal por uma consoante. Temos 5 vogais e 21 consoantes. Veja que se substituirmos a vogal por uma consoante, passaremos a ter 21 / 5 = 4,2 vezes mais possibilidades, o que não é suficiente. (B) criar um código com cinco dígitos, sendo duas vogais e três números de 0 a 9. Se tivermos mais dígito para ser preenchido com uma das 5 vogais, aumentaremos apenas em 5 vezes o total de códigos possíveis, o que não é suficiente. (C) manter o código atual trocando a vogal por uma letra qualquer do alfabeto. Se ao invés de usarmos as 5 vogais pudermos usar todas as 26 letras, aumentamos em 26/5 = 5,2 vezes o total de possibilidades, o que não é suficiente. (D) criar um código com cinco dígitos, acrescentando no atual um número par de 0 a 9. Temos apenas 5 números pares, o que permitiria multiplicar por 5 o total de códigos existentes, o que não é suficiente. 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 7 (E) manter quatro dígitos, substituindo a vogal e um dos três números por uma consoante. Substituindo uma vogal por uma consoante, aumentamos em 4,2 vezes (veja a alternativa A). E trocando um número (que tinha 10 possibilidades de preenchimento) por uma consoante (que tem 21 possibilidades), aumentamos em 21/10 = 2,1 vezes. Ao todo, nós aumentamos 4,2x2,1 = 8,82 o total de possibilidades, superando 7 vezes, o que passa a ser suficiente. RESPOSTA: E 8. UFG ± UEAP ± 2014) Uma escola possui noventa alunos matriculados no oitavo ano, que serão divididos aleatoriamente em três turmas de trinta alunos. Nessas condições, a quantidade possível de turmas diferentes é: A) 3 90! (60!) B) 2 90! (30!) 60! C) 2 90! 30!(60!) D) 3 90! (30!) RESOLUÇÃO: Para a primeira turma, temos que combinar os 90 alunos em grupos de 30, ficando com C(90,30). Para a segunda turma, temos que combinar os 60 alunos restantes em grupos de 30, ficando com C(60,30). Para a terceira turma, ficaremos com os 30 alunos restantes, ou seja, há apenas 1 possibilidade. Ao todo temos: Possibilidades = C(90,30)xC(60,30)x1 Possibilidades = C(90,30)xC(60,30) Lembrando que !( , ) !( )! nC n p p n p � , temos: 90! 60! 30!(90 30)! 30!(60 30)!Possibilidades u� � 90! 60! 30!(60)! 30!(30)!Possibilidades u 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 8 90! 1 30! 30!(30)!Possibilidades u 3 90! (30!)Possibilidades RESPOSTA: D 9. UFG ± IF/GO ± 2014) A tabela a seguir mostra as opções de uma lanchonete. Por um erro de impressão, não foram listadas as opções de suco, mas sabe-se que o cliente tem 630 opções diferentes de fazer um lanche com um pastel, um salgado e um suco. Nessas condições, a quantidade de sucos diferentes oferecidos por esta lanchonete é: (A) 13 (B) 15 (C) 45 (D) 48 RESOLUÇÃO: 6HQGR�³Q´�DV�RSo}HV�GH�VXFR��H�VDEHQGR�TXH�WHPRV���RSo}HV�GH�SDVWHO�H��� opções de salgado, podemos escrever que: Total de possibilidades de lanche = pastéis x salgados x sucos 630 = 6 x 7 x n 630 / 7 = 6n 90 = 6n 90 / 6 = n 15 = n RESPOSTA: B 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 9 10. FUNIVERSA ± SEAD/AP ± 2012) Um grupo de soldados formado por 420 homens deve ser colocado em formação para um desfile. O espaço no qual o desfile será realizado permite que os homens sejam dispostos em até sete fileiras paralelas. Deseja-se que os homens sejam distribuídos em pelotões de configurações idênticas, ou seja, de mesma forma e quantidade de homens. Os pelotões deverão ter forma exatamente retangular e comportar o maior número possível de fileiras. Nessas condições, o número total de formas de se distribuírem todos os 420 homens é igual a: a) 4 b) 5 c) 10 d) 12 e) 24 RESOLUÇÃO: Devemos ter 7 fileiras, afinal o enunciado informou que deveríamos usar o maior número possível de fileiras. O número de homens em cada fileira será: Homens por fileira = 420 / 7 = 60 Portanto, uma configuração possível é ter 7 fileiras com 60 homens cada, formando um único pelotão. Outra possibilidade seria ter 2 pelotões, cada um com 7 fileiras e 30 homens em cada fileira. Basta vermos os outros divisores de 60 que teremos todas as possibilidades de pelotões com 7 fileiras: - 1 pelotão com 60 homens por fileira - 2 pelotões com 30 homens por fileira - 3 pelotões com 20 homens por fileira - 4 pelotões com 15 homens por fileira - 5 pelotões com 12 homens por fileira - 6 pelotões com 10 homenspor fileira 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 10 - 10 pelotões com 6 homens por fileira - 12 pelotões com 5 homens por fileira - 15 pelotões com 4 homens por fileira - 20 pelotões com 3 homens por fileira - 30 pelotões com 2 homens por fileira - 60 pelotões com 1 homem por fileira Listamos acima as 12 possibilidades existentes, o que nos permite marcar a alternativa D. Resposta: D 11. FUNIVERSA ± CFM ± 2012) Um paciente faleceu, vítima de enfarto. Depois de sua morte, foram encontrados, entre seus documentos pessoais, oito registros de eletrocardiogramas, todos sem indicação da data de realização, da clínica onde foram realizados e, até mesmo, do nome do paciente. Nesse caso, o número total de conjuntos desses eletrocardiogramas que podem ser do paciente falecido é igual a: a) 1 b) 8 c) um número entre 1 e 8 d) 255 e) 256 RESOLUÇÃO: Dentre os 8 eletrocardiogramas, podem ser do paciente as seguintes quantidades: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8. Caso sejam 0, só há um conjunto vazio que podemos formar. Da mesma forma, se forem 8, só há um conjunto contendo todos os exames que podemos 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 11 formar. Caso apenas 1 dos exames seja do paciente, há 8 possibilidades (qualquer um dos 8 exames encontrados). Já se exatamente 2 exames forem do paciente, devemos calcular quantas combinações de 8 elementos, 2 a 2, é possível formar. Para isso, usamos a fórmula da combinação: C(8, 2) = 28. Se forem exatamente 3 exames, devemos fazer a combinação de 8 elementos, 3 a 3. Ou seja, devemos calcular C(8, 3) = 56. E assim por diante, obtendo: TOTAL = C(8, 0) + C(8, 1) + C(8, 2) + C(8, 3) + C(8, 4) + C(8, 5) + C(8, 6) + C(8, 7) + C(8, 8) TOTAL = 1 + 8 + 28 + 56 +70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 256 Resposta: E 12. FUNIVERSA ± CFM ± 2012) A figura ilustra um ventilador de teto. É possível pintar as pás desse ventilador nas cores verde, azul, amarela, vermelha, laranja ou pink. Cada uma das pás pode ser pintada em qualquer das cores disponíveis, sendo cada pá pintada em uma única cor. Nessas condições, o número total de ventiladores distintos que é possível produzir é: a) 20 b) 56 c) 120 d) 216 e) 720 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 12 RESOLUÇÃO: - número de ventiladores com as 3 pás da mesma cor: 6 possibilidades (pois temos 6 cores disponíveis). - número de ventiladores com 2 pás da mesma cor e outra diferente: temos 6 possibilidades para a cor que cobrirá 2 pás, e outras 5 possibilidades para a cor que cobrirá a pá restante, totalizando 6 x 5 = 30 possibilidades. - número de ventiladores com 3 pás de cores distintas entre si: temos que escolher 3 das 6 cores disponíveis, o que nos dá C(6, 3) = 20 possibilidades. Ao todo temos 6 + 30 + 20 = 56 possibilidades. Resposta: B 13. FUNIVERSA ± CEB ± 2010) A cela da delegacia D1 tem capacidade para abrigar, em caráter provisório, 6 detentos. Na noite em que foram capturados 4 homens e 5 mulheres, 3 dessas pessoas tiveram que ser transportadas para a cela de outra delegacia. De quantas maneiras distintas puderam ser selecionados os 6 que ficariam na D1 se, de acordo com as normas dessa delegacia, o número de homens não pode exceder o número de mulheres naquela cela? (A) 44 (B) 54 (C) 64 (D) 74 (E) 84 RESOLUÇÃO: Como o número de homens não pode exceder o número de mulheres naquela cela, é preciso que tenham ficado 3, 4 ou 5 mulheres na D1, ficando 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 13 respectivamente 3, 2 ou 1 homem. Vejamos as combinações para cada caso, lembrando que temos 5 mulheres e 4 homens disponíveis: - 3 mulheres e 3 homens: C(5, 3) x C(4, 3) = 10 x 4 = 40 possibilidades - 4 mulheres e 2 homens: C(5, 4) x C(4, 2) = 5 x 6 = 30 possibilidades - 5 mulheres e 1 homem: C(5, 5) x C(4, 1) = 1 x 4 = 4 possibilidades. Ao todo temos 40 + 30 + 4 = 74 possibilidades. Resposta: D 14. FUNIVERSA ± Polícia Civil/DF ± 2008 ± Adaptada) Para a investigação de um crime, deseja-se utilizar uma testemunha para identificar 3 suspeitos. Para auxiliar o processo, foram chamadas outras 7 pessoas. O processo de identificação consiste em mostrar um grupo com 2 dos possíveis suspeitos acompanhados de outras 3 pessoas. Quantos grupos com essa descrição podem ser formados? Considere que a ordem das pessoas em cada grupo é irrelevante. a) 90 b) 120 c) 105 d) 110 e) 80 RESOLUÇÃO: Devemos combinar os 3 suspeitos em grupos de 2 e combinar as outras 7 pessoas em grupos de 3, obtendo: C(3,2) x C(7,3) = 3 x 7 x 6 x 5 / 3! = 3 x 5 x 7 = 105 Resposta: C 15. FUNIVERSA ± EMBRATUR ± 2011) Em frente a um hotel internacional localizado em Brasília (DF), encontram-se alinhados 12 mastros destinados à 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 14 colocação de bandeiras. O mastro central e mais alto é reservado ao pavilhão nacional. Os mastros imediatamente à esquerda e à direita daquele são disponibilizados para a bandeira do Distrito Federal e da rede hoteleira proprietária do hotel. Os outros mastros são usados para se colocarem as bandeiras dos países de origem dos hóspedes do hotel. Para isso, usam-se as bandeiras dos países de origem dos hóspedes presentes ou que estiveram anteriormente no hotel, de modo a se ter sempre uma bandeira diferente em cada mastro. As bandeiras são trocadas ao final de cada semana, se houver necessidade. Em uma quarta-feira, o número total de disposições possíveis para as bandeiras hasteadas na frente do hotel é igual a: A) 126.218 B) 181.440 C) 362.880 D) 657.320 E) 725.760 RESOLUÇÃO: Eliminando o mastro central e os dois mastros utilizados apenas para as bandeiras do DF e do Hotel, sobram 9 mastros onde podemos permutar bandeiras, totalizando P(9) = 9! = 362880 permutações. Além disso, devemos permutar entre si as bandeiras do DF e do Hotel, nas duas posições possíveis para elas (à direita ou à esquerda da bandeira nacional), em um total de P(2) = 2! = 2 permutações. Como a permutação das bandeiras do DF e do Hotel é independente da permutação das outras 9 bandeiras, devemos usar a regra do produto, obtendo: 2 x 362880 = 725760 permutações Resposta: E 16. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2012) Uma matriz de permutação de n elementos é uma matriz quadrada, na qual, em cada fila (linha ou coluna), figura 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOSCOMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 15 exatamente uma vez o número 1, e todos os demais elementos da fila são iguais a zero. A matriz P = 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 ª º« »« »« »« »¬ ¼ é uma matriz de permutação de 4 elementos, pois o produto [ a b c d ] x 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 ª º« »« »« »« »¬ ¼ = [ b d a c ]. As possíveis matrizes de permutação de 4 elementos são em número de (A) 4 (B) 12 (C) 16 (D) 24 (E) 32 RESOLUÇÃO: Veja que a matriz de permutação só tem um algarismo 1 em cada coluna e em cada linha, sendo os demais termos iguais a zero. Assim, começando da primeira coluna, temos 4 possíveis posições para o algarismo 1 (qualquer uma das quatro linhas). Na segunda coluna, teremos 3 possíveis posições para o algarismo 1 (pois não podemos repetir a linha que foi usada na primeira coluna). Na terceira coluna, teremos 2 possíveis posições para o 1, e na quarta coluna restará apenas 1 possível posição. Ao todo, temos: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 possibilidades de matrizes Resposta: D 17. CESGRANRIO ± PETROBRAS ± 2012) Durante uma liquidação, uma loja de roupas disponibilizou nove camisetas de mesmo tamanho mas de modelos diferentes, cada uma a R$ 15,00. Quatro delas eram azuis, três eram brancas e duas, pretas. Uma cliente pretende comprar cinco dessas camisetas, sendo que três, e somente três, devem ser da mesma cor. De quantos modos distintos ela poderá escolher as cinco camisetas que pretende comprar? 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 16 a) 6 b) 23 c) 55 d) 63 e) 126 RESOLUÇÃO: Uma possibilidade é levar 3 das 4 camisas azuis, totalizando C(4,3) = 4 possibilidades. Neste caso, seria preciso escolher 2 das outras 5 camisas disponíveis, totalizando C(5,2) = 10 possibilidades. Como a escolha das camisas azuis é independente da escolha das demais, temos 4 x 10 = 40 possibilidades neste caso. Outra possibilidade é levar as 3 camisas brancas, totalizando C(3,3) = 1 possibilidade. Neste caso, seria preciso escolher 2 das outras 6 camisas disponíveis de outras cores, totalizando C(6,2) = 15 possibilidades. Ao todo temos 1 x 15 = 15 possibilidades neste caso. Veja que os dois casos dos parágrafos acima são mutuamente excludentes, de modo que suas possibilidades devem ser somadas. Ao todo, temos 40 + 15 = 55 possibilidades. RESPOSTA: C 18. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2012) Toma-se um conjunto P com 2 elementos e um conjunto Q com 3 elementos. Quantas são as possíveis relações não vazias de P em Q? (A) 6 (B) 8 (C) 16 (D) 48 (E) 63 RESOLUÇÃO: Temos 2 elementos em P (ex.: A e B) e 3 elementos em Q (C, D e E). Portanto, podemos formar 6 pares distintos: {(A,C), (A,D), (A,E), (B,C), (B,D), (B,E)} 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 17 A questão solicitou o número de relações que podemos formar. Uma relação é um subconjunto formado por alguns dos pares acima, ou mesmo por todos eles. Exemplificando, uma relação pode ser simplesmente: {(A,C), (B,D)} Outra pode ser: {(A,C), (B,D), (B,E)} E assim por diante. Para saber quantos subconjuntos distintos podemos ter, basta pensar o seguinte. Para cada um dos 6 pares acima, temos 2 possibilidades distintas: estar ou não estar presente no subconjunto formado. Assim, ao todo temos 2x2x2x2x2x2 = 26 = 64 possíveis subconjuntos. Destes, devemos excluir o subconjunto onde nenhum dos pares está presente (conjunto vazio), ficando com 64 ± 1 = 63 relações possíveis. Resposta: E 19. CESGRANRIO ± PETROBRAS ± 2012) Certa empresa identifica as diferentes peças que produz, utilizando códigos numéricos compostos de 5 dígitos, mantendo, sempre, o seguinte padrão: os dois últimos dígitos de cada código são iguais entre VL��PDV�GLIHUHQWHV�GRV�GHPDLV��3RU�H[HPSOR��R�FyGLJR�³�����´�p�YiOLGR�� Mi�R�FyGLJR� ³�����´��QmR�� Quantos códigos diferentes podem ser criados? (A) 3.312 (B) 4.608 (C) 5.040 (D) 7.000 (E) 7.290 RESOLUÇÃO: Temos 10 possibilidades para o quinto dígito (qualquer um dos dez algarismos). Como o quarto dígito deve ser o mesmo do quinto, temos uma única possibilidade para o quarto dígito (repetir o quinto). Já para cada um dos demais dígitos temos apenas 9 possibilidades, pois eles não podem ser iguais ao algarismo usado no quarto e quinto dígitos. Assim, ficamos com: 9 x 9 x 9 x 1 x 10 = 7290 possibilidades 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 18 RESPOSTA: E 20. QUADRIX ± CREMEC ± 2010) Considere a palavra ARARAQUARA. Quantos são os seus anagramas que começam e terminam pela letra A? a) 1120 b) 1230 c) 1280 d) 1346 e) 1468 RESOLUÇÃO: Se devemos fixar um A no início e outro A no fim, sobram as letras RARAQUAR para serem permutadas. Isto é, devemos permutar 8 letras, com a repetição de 3 letras R e 3 letras A. Assim, temos: 8!(8; 3 3) 1120 3!3! PR e Resposta: A 21. QUADRIX ± CRP 14/MS ± 2012) Considere os símbolos: Com quatro símbolos, serão construídas bandeiras sinalizadoras para orientar um grupo participante de uma gincana. Quantos sinais diferentes poderão ser dados ao grupo, se cada símbolo poderá ser utilizado uma única vez em uma bandeira? a) 1160 b) 1324 c) 1540 d) 1680 e) 1720 RESOLUÇÃO: Temos ao todo 8 símbolos diferentes, dos quais 4 farão parte da bandeira. Veja que a ordem dos símbolos torna uma bandeira diferente da outra. Como não é possível repetir símbolos, o número de possibilidades que temos é: Possibilidades = 8 x 7 x 6 x 5 = 1680 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 19 Resposta: D 22. QUADRIX ± CRN3ª/SP-MS ± 2014) Quantos são os anagramas da palavra SAÚDE que sempre intercalam vogais e consoantes? a) 36 b) 30 c) 24 d) 18 e) 12 RESOLUÇÃO: Temos 3 vogais e 2 consoantes em SAÚDE. Para intercalar vogais e consoantes, temos que escrever: vogal ± consoante ± vogal ± consoante - vogal Temos 3 possibilidades para a primeira vogal, 2 para a segunda vogal e 1 para a última vogal. E temos 2 possibilidades para a primeira consoante e 1 para a segunda consoante. Ao todo, temos: 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 12 anagramas RESPOSTA: E 2. QUESTÕES ADICIONAIS SOBRE PROBABILIDADE 23. QUADRIX ± CRQ 20ª ± 2014) Em um armazém foram colocadas 10 caixas de laranja Bahia e 13 caixas de laranja lima (Bahia e lima são espécies de laranjas). Porém, esqueceram-se de colocar a devida identificação das caixas, que foram empilhadas. Ao retirar, aleatoriamente, uma caixa de laranjas desse armazém, um repositor verificou que essa caixa de laranja lima. Em seguida, ele retirouuma nova caixa de laranjas. Qual é a probabilidade de essa nova caixa ser de laranja Bahia? a) 10/23 b) 9/22 c) 9/23 d) 5/11 e) 12/22 RESOLUÇÃO: 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 20 Temos 23 caixas no início. Tirando uma de laranja lima, sobram 22 caixas, sendo 10 de laranja bahia e 12 de laranja lima. A chance de tirar uma das 10 caixas de laranja bahia, em um total de 22 caixas restantes, é: P = 10 / 22 = 5 / 11 RESPOSTA: D 24. QUADRIX ± CRQ 20ª ± 2014) Em uma festa de aniversario, uma criança recebe um saquinho com 12 balas de morango e 8 balas de abacaxi. Ao retirar, aleatoriamente, uma bala do saquinho, a criança verificou que era de morango. Caso a criança retire aleatoriamente, outra bala do saquinho, qual é a probabilidade de essa bala também ser de morango? a) 3/5 b) 11/19 c) 12/20 d) 11/20 e) 8/12 RESOLUÇÃO: Após tirar uma bala de morango, sobram 11 de morango e 8 de abacaxi, totalizando 19 balas. A chance de tirar uma das 11 de morango restantes é: P = 11 / 19 RESPOSTA: B 25. QUADRIX ± CRN3ª/SP-MS ± 2014) Na sala de espera de sua nutricionista, Mara estava brincando com cartões educativos para crianças, os quais se devem colocar em ordem, para formar palavras. Sua mãe pegou três cartões com a letra A, um com a letra L, um com a letra D e um com a letra S, os embaralhou, os empilhou com as letras para baixo e os entregou a Mara. A probabilidade de que os cartões embaralhados, tomados um a um, na ordem dada na pilha, formem a palavra SALADA é de uma em: a) 720 b) 120 c) 60 d) 24 e) 1 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 21 RESOLUÇÃO: Temos 6 letras, das quais 3 são repetições do A. O total de formas de permutá-las é dada pela permutação com repetição: P(6, 3) = 6! / 3! = 6 x 5 x 4 x 3! / 3! = 6 x 5 x 4 = 120 Dessas 120 possibilidades, apenas 1 nos atende, que é aquela onde as letras estão na disposição SALADA. Portanto, a chance de conseguir esta disposição é de 1 em 120. RESPOSTA: B 26. QUADRIX ± CRN3ª/SP-MS ± 2014) Num jogo de RPG são lançados simultaneamente dois dados numerados de 1 a 20, como o da imagem a seguir. A probabilidade de o produto dos dois números obtidos ser par é de: a) 100% b) 75% c) 50% d) 25% e) 0% RESOLUÇÃO: Para o produto de dois números ser PAR, basta que um deles seja par. Já para o produto ser ímpar, é preciso que AMBOS sejam ímpares. O total de produtos existentes é igual a 20 x 20 = 400, afinal temos 20 possibilidades de resultado em cada dado. Destes, os produtos ímpares são aqueles formados pelos 10 números ímpares de cada dado, totalizando 10 x 10 = 100. Logo, os 400 ± 100 = 300 produtos restantes são pares. A probabilidade de obter um produto par é: P = 300 / 400 = 3 / 4 = 0,75 = 75% RESPOSTA: B 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 22 27. QUADRIX ± COREN/BA ± 2014) No lago artificial de um pesqueiro encontram- se 20 tilápias e 10 trutas (tilápias e trutas são espécies de peixes). Um pescador sentado à margem desse lago consegue pescar o seu primeiro peixe, que é uma truta. Ele então joga novamente o anzol no lago e consegue fisgar outro peixe. Qual é a probabilidade de esse segundo peixe ser também uma truta? a) 1/29 b) 11/29 c) 9/29 d) 9/30 e) 1/30 RESOLUÇÃO: Depois de pescar uma truta, sobram 29 peixes no lago, dos quais apenas 9 são trutas e 20 são tilápias. A chance de pegar uma das 9 trutas é: P = favoráveis / total P = 9 / 29 RESPOSTA: C 28. QUADRIX ± COREN/BA ± 2014) Uma caixa de bombons possui 12 bombons de chocolate ao leite e 10 de chocolate branco. Ao retirar-se aleatoriamente um bombom dessa caixa, qual é a probabilidade de esse bombom ser de chocolate branco? a) 1/22 b) 2/11 c) 5/11 d) 1/10 e) 1/12 RESOLUÇÃO: Temos 22 bombons ao todo, dos quais 10 são favoráveis ao que queremos (são de chocolate branco). Assim, P = favoráveis / total P = 10 / 22 P = 5 / 11 RESPOSTA: C 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 23 29. QUADRIX ± CRM/PR ± 2014) Uma moeda viciada tem a probabilidade de dar cara três vezes maior que a de dar coroa. Qual a probabilidade de dar cara em um lançamento dessa moeda? a) 25% b) 35% c) 55% d) 75% e) 85% RESOLUÇÃO: Sabemos que P(cara) = 3 x P(coroa). Sabemos ainda que a soma das probabilidades deve ser 100% (afinal uma moeda só pode dar cara ou coroa): P(cara) + P(coroa) = 100% Substituindo P(cara) por 3xP(coroa), temos: 3xP(coroa) + P(coroa) = 100% 4xP(coroa) = 100% P(coroa) = 100% / 4 P(coroa) = 25% Assim, P(cara) = 3 x P(coroa) = 3 x 25% = 75%. RESPOSTA: D 30. CESGRANRIO ± PETROBRAS ± 2010) Dois casais saem conjuntamente para um jantar em um restaurante. As mesas do restaurante são circulares e de quatro posições. Qual a probabilidade de que cada um dos casais esteja, com o respectivo cônjuge, em posição diametralmente oposta, caso a ocupação das mesas seja completamente aleatória? (A) 1/5 (B) 1/4 (C) 1/3 (D) 1/2 (E) 2/3 RESOLUÇÃO: 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 24 Para calcularmos o total de formas de 4 pessoas se sentarem em torno de uma mesa redonda, basta calcular a permutação circular: Pc(4) = (4 ± 1)! = 3! = 6 Para os casais sentarem-se diametralmente opostos ao seus cônjuges, podemos começar colocando na mesa o primeiro casal, frente a frente. Feito isso, veja que temos 2 possibilidades de colocar o outro casal nas duas cadeiras restantes. Assim, das 6 possibilidades de distribuir as 4 pessoas na mesa, em apenas 2 possibilidades os casais sentam-se como pedido pelo enunciado, de modo que a probabilidade de se sentarem assim é: P = 2/6 = 1/3 RESPOSTA: C 31. CESGRANRIO ± PETROBRAS ± 2010) Em uma fila com dez pessoas, entre elas, André, Andresa e José, qual a probabilidade de que eles estejam juntos nessa fila, independente de suas posições relativas, caso a ocupação da fila seja completamente aleatória? (A) 1/4 (B) 1/5 (C) 1/10 (D) 1/15 (E) 1/30 RESOLUÇÃO: O total de formas de preenchermos esta fila é dada pela permutação simples de 10 pessoas: Total = P(10) = 10! Destas formas, para garantirmos que André, Andresa e José estão juntos, podemos considerá-los como sendo 1 pessoa só. Além disso, temos mais as outras 7 pessoas. Portanto, é como se tivéssemos 8 pessoas para permutar, totalizando: P(8) = 8! 01780543565 01780543565- Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 25 Veja que em cada uma dessas possibilidades de permutação de 8 pessoas, precisamos considerar que as 3 pessoas em evidência (André, Andresa e José) devem permutar entre si, totalizando P(3) = 3! = 6 possibilidades. Portanto, o total de formas de deixar essas três pessoas juntas é: Casos favoráveis = P(3) x P(8) = 6 x 8! A probabilidade de escolher um desses casos favoráveis é: P = 6 x 8! / 10! P = 6 x 8! / (10x9x8!) P = 6 / (10x9) P = 2 / (10x3) P = 1 / (5x3) P = 1 / 15 RESPOSTA: D 32. CESGRANRIO ± PETROBRAS ± 2010) A tabela a seguir apresenta a classificação de 200 pessoas de uma determinada população, segundo o sexo e o clube de futebol de preferência. As probabilidades de que uma pessoa escolhida aleatoriamente na população seja botafoguense e de que um torcedor do Fluminense seja uma mulher, são, respectivamente, a) 1/20 e 1/3 b) 1/20 e 2/3 c) 1/10 e 1/3 d) 1/10 e 2/3 e) 1/5 e 2/3 RESOLUÇÃO: Os botafoguenses são 20 das 200 pessoas, portanto a probabilidade de escolher uma delas é 20/200 = 1/10. 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 26 Temos 30 torcedores do fluminense, dos quais 20 são mulheres, de modo que a probabilidade de que um torcedor do fluminense seja mulher é 20/30 = 2/3. RESPOSTA: D 33. CESGRANRIO ± PETROBRAS ± 2010) Um sorteio é realizado com duas urnas, I e II. As urnas são escolhidas ao acaso. A urna I contém 2 bolas brancas e 6 pretas. A urna II contém 4 bolas brancas e 4 pretas. Se a bola sorteada for branca, qual a probabilidade de ter sido da urna I? (A) 1/3 (B) 1/4 (C) 1/6 (D) 2/3 (E) 2/5 RESOLUÇÃO: Temos um total de 2 + 4 = 6 bolas brancas nas duas urnas, das quais 2 são da urna I. Deste modo, a probabilidade da bola branca sorteada ter vindo da urna I é P = 2/6 = 1/3. RESPOSTA: A 34. CESGRANRIO ± PETROBRAS ± 2010) Andresa tem três pretendentes: André, José e Ricardo. A probabilidade de que André convide Andresa para um jantar é de 1/4, enquanto que as mesmas probabilidades para José e Ricardo são 1/3 e 1/2, respectivamente. Caso as pretensões entre os pretendentes sejam independentes entre si, qual a probabilidade de que Andresa não seja convidada para um jantar por nenhum de seus pretendentes? a) 1/3 b) 1/4 c) 1/5 d) 1/6 e) 1/7 RESOLUÇÃO: As probabilidades de Andresa NÃO ser convidada por André, José e Ricardo são, respectivamente, 3/4, 2/3 e 1/2. A probabilidade de ela não ser convidada por 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 27 nenhum deles é dada pela multiplicação, pois estamos diante de convites que podem ser realizados independentemente entre si: P = (3/4) x (2/3) x (1/2) P = (3/4) x (2/3) x (1/2) P = (3x2x1) / (4x3x2) P = 1 / 4 RESPOSTA: B 35. CESGRANRIO ± PETROBRAS ± 2010) Um baralho comum consiste de 52 cartas, separadas em 4 naipes com 13 cartas de cada naipe. Considere um baralho perfeitamente embaralhado (disposição aleatória de cartas). A probabilidade de que as primeiras quatro cartas do topo do baralho sejam de naipes diferentes está indicada na expressão a) 52.26.13 51.50.49 b) 39.26.13 52.50.48 c) 39.26.13 51.50.49 d) 39.38.37 51.50.49 e) 39.38.37 52.50.48 RESOLUÇÃO: O total de formas de tirar 4 cartas do baralho é calculado lembrando-se que temos 52 possibilidades para a primeira carta, 51 para a segunda (todas, exceto a carta que já havia sido tirada), 50 para a terceira, e 49 para a quarta, totalizando: Total = 52 x 51 x 50 x 49 Para saber o número de formas de as 4 primeiras cartas serem de naipes diferentes, veja que temos 52 possibilidades para a primeira carta (pode ser de qualquer naipe), 39 possibilidades para a segunda carta (pode ser de qualquer dos 3 naipes restantes), 26 possibilidades para a terceira carta (pode ser de qualquer 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 28 dos 2 naipes restantes) e 13 possibilidades para a quarta carta (deve ser uma das 13 cartas do naipe restante). Ou seja: Casos favoráveis = 52 x 39 x 26 x 13 Assim, a probabilidade de que as 4 primeiras cartas sejam de naipes distintos é: P = Casos favoráveis / Total P = (52 x 39 x 26 x 13) / (52 x 51 x 50 x 49) P = (39 x 26 x 13) / (51 x 50 x 49) RESPOSTA: C 36. CESGRANRIO ± PETROBRAS ± 2012) Sabe-se por estudos estatísticos que as probabilidades de haver num certo almoxarifado os materiais A, B e C disponíveis para uso são de, respectivamente, 80%, 80% e 90%. Qual é a probabilidade de, num dado momento, estar faltando pelo menos um desses materiais no almoxarifado? (A) 0,4% (B) 1,2% (C) 16,6% (D) 42,4% (E) 50% RESOLUÇÃO: A probabilidade de ter TODOS os produtos simultaneamente é: P = 80% x 80% x 90% = 57,6% Assim, a probabilidade de estar faltando PELO MENOS um é: P = 100% - 57,6% = 42,4% RESPOSTA: D 37. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2012) Para a produção de uma peça, utilizam- se três máquinas: M1, M2 e M3. As proporções de peças defeituosas geradas por essas máquinas, M1, M2 e M3 são, respectivamente, 1%, 2% e 0,1%, e as três máquinas produzem, respectivamente, 30%, 50% e 20% da produção total. Se uma 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 29 peça defeituosa é retirada aleatoriamente, qual é a probabilidade de ela ter sido oriunda da máquina 3? (A) 1/1000 (B) 1/66 (C) 1/5 (D) 1/3 (E) 1/77 RESOLUÇÃO: Do total de peças produzidas, o total que são defeituosas é dado por: Defeituosas = 1% x 30% + 2% x 50% + 0,1% x 20% Defeituosas = 0,01 x 0,3 + 0,02 x 0,5 + 0,001 x 0,2 Defeituosas = 0,003 + 0,01 + 0,0002 Defeituosas = 0,0132 Defeituosas = 1,32% As peças defeituosas produzidas pela máquina 3 são: Defeituosas da máquina 3 = 0,1% x 20% Defeituosas da máquina 3 = 0,001 x 0,2 Defeituosas da máquina 3 = 0,0002 Defeituosas da máquina 3 = 0,02% Assim, a probabilidade de que a peça defeituosa seja da máquina 3 é: P = 0,02% / 1,32% P = 0,02 / 1,32 P = 2 / 132 P = 1 / 66 Resposta: B 38. CESGRANRIO ± PETROBRAS ± 2012) Uma pessoa segura seis pedaços indistinguíveis de barbante de mesmo comprimento numa das mãos, deixando visíveis tanto as seis pontas superiores quanto as outras seis inferiores. Devem-se escolher duas pontas superiores para amarrá-las e, em seguida, escolher duas pontas inferiores e amarrá-las da mesma forma. Qual a probabilidade de que se venha a formar um anel? 01780543565 01780543565 - IvoneteAlmeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 30 a) 1 2 b) 1 6 c) 1 15 d) 2 15 e) 1 30 RESOLUÇÃO: Suponham que sejam escolhidas duas pontas quaisquer na parte superior. O total de formas de escolhermos 2 das 6 pontas da parte inferior é: Total = C(6,2) = 6x5/2! = 15 Dessas possibilidades, apenas 1 nos é favorável, que é o caso onde escolhemos exatamente os mesmos 2 barbantes que haviam sido selecionados na parte superior. A probabilidade de escolher esses mesmos 2 barbantes (formando um anel) é: P = 1 / 15 RESPOSTA: C 39. CESGRANRIO ± PETROBRAS ± 2012) Considere as seguintes afirmações sobre probabilidade de eventos: I - 'RLV�HYHQWRV�$�H�%�VHUmR�LQGHSHQGHQWHV�VH�$ŀ%�= Ø. II - Dados dois eventos A e B quaisquer, obtém-se P(A|B) + P(A|BC) = 1. III - Se P(A) = 0, então, para qualquer outro evento B, A e B serão independentes. É correto APENAS o que se afirma em (A) I (B) II (C) III (D) I e II (E) II e III RESOLUÇÃO: Avaliando cada alternativa: 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 31 I - 'RLV�HYHQWRV�$�H�%�VHUmR�LQGHSHQGHQWHV�VH�$ŀ%� �� ERRADO. Dois eventos são independentes quando: P(AŀB) = P(A)xP(B) II - Dados dois eventos A e B quaisquer, obtém-se P(A|B) + P(A|BC) = 1. Veja que P(A|B) é a probabilidade de A acontecer, dado que B aconteceu. E P(A|BC) é a probabilidade de A acontecer, dado que B não aconteceu. Portanto, podemos dizer que P(A|B) + P(A|BC) é a probabilidade de A acontecer (B acontecendo ou não). Isto é, P(A|B) + P(A|BC) = P(A) Item ERRADO, pois P(A) não precisa ser igual a 1. III - Se P(A) = 0, então, para qualquer outro evento B, A e B serão independentes. Como P(A) é nula, a probabilidade de A e B aconteceram simultaneamente também será nula, ou seja, P(AŀB) = 0 Da mesma forma, podemos dizer que P(A)xP(B) = 0 x P(B) = 0. Isto nos permite dizer que: P(AŀB) = P(A) x P(B) Esta é a definição de eventos independentes. Item CORRETO. RESPOSTA: C 40. CESGRANRIO ± PETROBRAS ± 2012) Sejam A e B dois eventos, tais que P(A) = x, P(B) = 0,2 e P(AUB) = 0,5. Se os eventos A e B são independentes, então, o valor de x é dado por a) 2 5 b) 3 10 c) 7 10 d) 1 6 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 32 e) 3 8 RESOLUÇÃO: Se os eventos são independentes, então: P(A B) = P(A).P(B) = x.0,2 Além disso, P(AUB) = P(A) + P(B) ± P(A B) 0,5 = x + 0,2 ± x.0,2 0,5 ± 0,2 = x ± 0,2x 0,3 = 0,8x 0,3 / 0,8 = x 3/8 = x RESPOSTA: E 41. CESGRANRIO ± PETROBRAS ± 2012) Numa produção de um determinado componente industrial, lotes são formados contendo 10 componentes em cada. Sabe-se que a cada 5 componentes produzidos 1 é defeituoso. Tornando-se um lote ao acaso, qual a probabilidade de haver, no máximo, um componente defeituoso nesse lote? a) 91 4 5 5 x § ·¨ ¸© ¹ b) 914 4 5 5 x § ·¨ ¸© ¹ c) 94 5 § ·¨ ¸© ¹ d) 1011 5 § ·� ¨ ¸© ¹ e) 911 5 § ·� ¨ ¸© ¹ RESOLUÇÃO: 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 33 A probabilidade de um componente ser defeituoso é 1/5, de modo que a probabilidade de um componente não ser defeituoso é de 4/5. Assim, a probabilidade de NENHUM dos 10 componentes ter defeito é: P(sem defeito) = (4/5) x (4/5) x ... x (4/5) = (4/5)10 A probabilidade de somente o PRIMEIRO ter defeito e os demais não terem é: P(primeiro com defeito) = (1/5) x (4/5) x ... x (4/5) = (1/5) x (4/5)9 Devemos considerar ainda a probabilidade de somente o segundo, somente o terceiro, somente o quarto etc serem defeituosos, totalizando: P(somente 1 defeito) = 10 x (1/5) x (4/5)9 Portanto, a probabilidade de ter NO MÁXIMO 1 defeito é: P(sem defeito) + P(somente 1 defeito) = (4/5)10 + 10 x (1/5) x (4/5)9 P(sem defeito) + P(somente 1 defeito) = (4/5) x (4/5)9 + 2 x (4/5)9 P(sem defeito) + P(somente 1 defeito) = (4/5) x (4/5)9 + (10/5) x (4/5)9 P(sem defeito) + P(somente 1 defeito) = (14/5) x (4/5)9 RESPOSTA: B 42. FUNIVERSA ± IPHAN ± 2009) Em um instituto de pesquisa trabalham, entre outros funcionários, 3 físicos, 6 biólogos e 2 matemáticos. Deseja-se formar uma equipe com 4 desses 11 estudiosos, para realizar uma pesquisa. Se essa equipe for composta escolhendo-se os pesquisadores de forma aleatória, a probabilidade de todos os físicos serem escolhidos é um número cujo valor está compreendido entre (A) 0,00 e 0,01. (B) 0,01 e 0,02. (C) 0,02 e 0,03. (D) 0,03 e 0,04. (E) 0,04 e 0,05. RESOLUÇÃO: O total de equipes de 4 pessoas que podemos formar com as 11 disponíveis é C(11, 4) = 11 x 10 x 9 x 8 / 4! = 330. 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 34 O número de equipes de 4 pessoas contendo os 3 físicos é dado pela combinação dos outros 8 profissionais, 1 a 1, ou seja, C(8, 1) = 8. Logo, a probabilidade pedida no enunciado é P = 8 / 330 = 0,02424, que é um número entre 0,02 e 0,03. Resposta: C 43. FUNIVERSA ± SEPLAG/DF ± 2009) Dados do Detran/DF mostram que, em 2008, das 1063 vítimas de acidentes envolvendo ônibus, 1013 tiveram apenas ferimentos e 50 perderam a vida, sendo 45 homens e 5 mulheres. In: Correio Brasiliense, 20/7/2009 De acordo com os dados apresentados, escolhendo-se aleatoriamente uma vítima fatal, a probabilidade de ela ser do sexo feminino é de: a) 1/9 b) 1/10 c) 9/10 d) 5/1013 e) 5/1063 RESOLUÇÃO: Temos 50 vítimas fatais ao todo, das quais 5 são do sexo feminino. Logo, escolhendo uma vítima fatal, a chance de ela ser mulher é: P = 5 / 50 = 1 / 10 Resposta: B 44. FUNIVERSA ± CEB ± 2010) Uma cidade é abastecida por duas redes de transmissão de energia elétrica. A rede Alfa, por ser mais antiga, tem uma probabilidade de 5% de apresentar defeito, enquanto que a rede Beta, por ser mais nova, tem a probabilidade de apenas 2% de apresentar defeito. A probabilidade de as duas redes funcionarem sem apresentar defeito é de (A) 0,890. 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 35 (B) 0,895. (C) 0,931. (D) 0,980. (E) 0,999. RESOLUÇÃO: A probabilidade de A funcionar sem defeito é 100% - 5% = 95%, e a probabilidade de B não apresentar defeito é de 100% - 2% = 98%. A probabilidade de A e B funcionarem sem defeito é dada pela multiplicação:95% x 98% = 0,95 x 0,98 = 0,931 Resposta: C 45. FUNIVERSA ± CEB ± 2010) O mau funcionamento de uma das máquinas de uma indústria fez com que 10% das peças produzidas em um determinado lote apresentassem defeito. Escolhendo-se aleatoriamente cinco peças desse lote, a probabilidade aproximada de que menos de três delas apresentem esse defeito, se cada peça retirada é reposta antes de se retirar a próxima, é de (A) 90%. (B) 91%. (C) 93%. (D) 96%. (E) 99%. RESOLUÇÃO: A probabilidade de que uma peça não tenha defeito é de 90%, já que a probabilidade de ter defeito é de 10%. Assim, a probabilidade de nenhuma das 5 peças ter defeito é: 90% x 90% x 90% x 90% x 90% = 0,95 = 0,59 A probabilidade de que 1 peça tenha defeito é (veja que devemos permutar as 5 peças, considerando a repetição de 4 sem defeito): P(5; 4) x 0,1 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9 = 5 x 0,1 x 0,94 = 0,5 x 0,94 = 0,328 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 36 E a probabilidade de que 2 peças tenham defeito é (aqui temos que permutar as 5 peças, considerando a repetição de 2 com defeito e de 3 sem defeito): P(5; 2, 3) x 0,1 x 0,1 x 0,9 x 0,9 x 0,9 = 10 x 0,12 x 0,93 = 0,073 Ao todo temos a probabilidade de 0,991 = 99,1% de ter menos de 3 peças com defeito. Resposta: E 46. FUNIVERSA ± CEB ± 2010) O responsável pela contratação de funcionários de uma rede de supermercados está selecionando pessoal para atuar como repositor de produtos em uma nova unidade dessa rede. Gustavo e Ricardo foram os finalistas nesse processo. A análise da prova prática mostra que: x a probabilidade de os dois serem selecionados é de 12%; x a probabilidade de apenas um deles ser selecionado é de 70%; x Gustavo tem 10% a mais de probabilidade de ser selecionado que Ricardo. Considerando-se a situação descrita, a probabilidade de somente Gustavo ser selecionado está entre (A) zero e 25%. (B) 26% e 37%. (C) 38% e 45%. (D) 46% e 57%. (E) 58% e 100%. RESOLUÇÃO: &KDPHPRV� GH� *� R� HYHQWR� ³*XVWDYR� VHU� VHOHFLRQDGR´� H� GH� 5� R� HYHQWR� ³5LFDUGR�VHU�VHOHFLRQDGR´��$VVLP��IRL�GLWR�TXH� x a probabilidade de os dois serem selecionados é de 12%: P(G R) = 12% 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 37 x a probabilidade de apenas um deles ser selecionado é de 70%; P(G) + P(R) ± 2 x P(G R) = 70% P(G) + P(R) ± 2 x 12% = 70% P(G) + P(R) = 94% x Gustavo tem 10% a mais de probabilidade de ser selecionado que Ricardo. P(G) = P(R) + 10% Substituindo P(G) por P(R) + 10% na equação anterior, temos: P(G) + P(R) = 94% P(R) + 10% + P(R) = 94% 2 x P(R) = 84% P(R) = 44% Logo, P(G) = 44% + 10% = 54%. A probabilidade de somente Gustavo ser selecionado é dada por: P(somente G) = P(G) ± P(GR) = 54% - 12% = 42% Resposta: C 47. FUNIVERSA ± TERRACAP ± 2010) Com base no estudo de distribuições de probabilidade, assinale a alternativa que apresenta a probabilidade de dar 3 caras, ao se lançar 5 vezes uma moeda não viciada. (A) 29%. (B) 31%. (C) 33%. (D) 34%. (E) 35%. 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 38 RESOLUÇÃO: A probabilidade de obter CARA nos 3 primeiros lançamentos e COROA nos 2 seguintes é: (1/2) x (1/2) x (1/2) x (1/2) x (1/2) = (1/2)5. Devemos ainda permutar esses 5 resultados, com a repetição de 3 CARAS e 2 COROAS, pois não precisamos que as CARAS sejam obtidas exatamente nos primeiros lançamentos. Assim, o total de permutações é: P(5; 3, 2) = 5! / (3! X 2!) = 10 Portanto, temos 10 x (1 / 2)5 = 5 / 16 = 31,25% de chance de obter 3 CARAS. Resposta: B 48. UFG ± UEAP ± 2014) Uma empresa realizou uma pesquisa para montar o cardápio para os seus trabalhadores. Nessa pesquisa, 29% dos trabalhadores disseram preferir exclusivamente suco de laranja, 13% preferem exclusivamente suco de abacaxi, 10% preferem exclusivamente suco de manga, 8% preferem exclusivamente suco de maçã, 6% preferem exclusivamente suco de uva, 22% bebem qualquer tipo de suco e o restante declara não beber qualquer tipo de suco durante as refeições. De acordo com os dados dessa pesquisa, escolhendo ao acaso um trabalhador dessa empresa, a probabilidade de que ele beba suco de laranja ou de uva é: (A) 0,57 (B) 0,35 (C) 0,28 (D) 0,13 RESOLUÇÃO: Os trabalhadores que bebem suco de laranja OU uva são aqueles que bebem: Exclusivamente laranja + exclusivamente uva + qualquer suco = 29% + 6% + 22% = 57% = 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 39 0,57 RESPOSTA: A 49. UFG ± UEAP ± 2014) A tabela a seguir apresenta a quantidade de cálcio contida em alguns alimentos. Escolhendo ao acaso uma refeição com uma opção de carne, uma de verdura e uma de fruta, a probabilidade dessa refeição conter a menor quantidade de cálcio possível é: A) 1 12 B) 1 7 C) 11 12 D) 6 7 RESOLUÇÃO: O caso com menor quantidade de cálcio ocorre quando escolhemos a Carne cozida, Brócolis (cru) e Figo. Isto porque cada um desses alimentos é o que possui menos cálcio dentro de seu respectivo grupo. Ou seja, temos 1 opção que resulta na menor quantidade de cálcio. O total de possibilidades de montar um prato é dado por 2x3x2 = 12, afinal temos 2 possibilidades de carne, 3 de verdura e 2 de fruta. A probabilidade de selecionar o caso com menor cálcio é de 1 em 12, ou seja, 1/12. RESPOSTA: A 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 40 50. UFG ± CELG-GT ± 2014) Dois dados são lançados simultaneamente e são considerados os números que aparecem nas faces voltadas para cima. A probabilidade de que um dos dois números que aparecem na face superior seja um divisor do outro número é de: (A) 4/18 (B) 5/18 (C) 7/18 (D) 8/18 (E) 11/18 RESOLUÇÃO: O total de possibilidades nos lançamentos é igual a 6x6 = 36. Veja na tabela abaixo, para cada resultado possível no primeiro dado, quais os resultados do segundo dado que são divisores daquele primeiro: Resultado do 1º dado Resultados do 2º dado que seriam divisores do 1º 1 1 2 1, 2 3 1, 3 4 1, 2, 4 5 1, 5 6 1, 2, 3, 6 Veja que temos um total de 1+2+2+3+2+4 = 14 possibilidades. Temos ainda as seguintes possibilidades de combinações onde o resultado do 1º dado é divisor do resultado do 2º dado: Resultados do 1º dado que seriam divisores do 2º Resultado do 2º dado 1 1 1, 2 2 1, 3 3 1, 2, 4 4 1, 5 5 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSOREGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 41 1, 2, 3, 6 6 Contando somente as combinações que ainda não foram contabilizadas anteriormente, temos (1,2), (1,3), (1,4), (2,4), (1,5), (1,6), (2,6), (3,6). Ao todo temos 14 + 8 = 22 possibilidades. A chance de tirar uma delas é 22/36 = 11/18. RESPOSTA: E 51. UFG ± IF/GO ± 2014) De acordo com uma reportagem divulgado pelo jornal O Estado de S. Paulo, em 2013 foram comercializados 3,061 milhões de veículos nacionais e 737 mil veículos importados. De acordo com esses dados, escolhendo ao acaso um veículo que foi comercializado em 2013, a probabilidade de que ele seja importado é, aproximadamente: (A) 0,19 (B) 0,24 (C) 0,41 (D) 0,74 RESOLUÇÃO: O total de carros é igual a 3.061.000 + 737.000 = 3.798.000, dos quais 737.000 são veículos importados. Assim, a probabilidade de selecionar um veículo importado é igual: P = 737.000 / 3.798.000 P = 737 / 3.798 P = 0,1940 RESPOSTA: A 52. ESAF ± MPOG ± 2014) Um jogo consiste em jogar uma moeda viciada cuja probabilidade de ocorrer coroa é igual a 1/6. Se ocorrer cara, seleciona-se, ao acaso, um número z do conjunto Z dado pelo intervalo {z 1� _� �� � ]� � ��`�� 6H� ocorrer coroa, seleciona-se, ao acaso, um número p do intervalo P = {p 1�_����S��� 5}, em que N representa o conjunto dos números naturais. Maria lança uma moeda e observa o resultado. Após verificar o resultado, Maria retira, aleatoriamente, um número do conjunto que atende ao resultado obtido com o lançamento da moeda, ou seja: do conjunto Z se ocorreu cara ou do conjunto P se ocorreu coroa. Sabendo- 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 42 se que o número selecionado por Maria é ímpar, então a probabilidade de ter ocorrido coroa no lançamento da moeda é igual a: a) 6/31 b) 1/2 c) 1/12 d) 1/7 e) 5/6 RESOLUÇÃO: Temos: Z = 7, 8, 9, 10, 11 P = 1, 2, 3, 4 Veja que 3 dos 5 resultados do conjunto Z são ímpares, e a probabilidade de retirarmos um número deste conjunto é de 5/6 (pois temos 5/6 de chance de obter cara). A probabilidade de tirar um número deste conjunto E ele ser ímpar é de 5/6 x 3/5 = 1/6 x 3/1 = 3/6 = 1/2. Veja ainda que 2 dos 4 resultados do conjunto P são ímpares, e a probabilidade de retirarmos um número deste conjunto é de 1/6 (pois esta é a probabilidade de obter coroa). A probabilidade de tirar um número deste conjunto E ele ser ímpar é de 1/6 x 2/4 = 1/6 x 1/2 = 1/12. Logo, a probabilidade total de tirar um número ímpar é: Probabilidade(ímpar) = 1/2 + 1/12 = 6/12 + 1/12 = 7/12 Já vimos que a probabilidade de tirar um número ímpar do conjunto P é: Probabilidade(ímpar e P) = 1/12 O exercício pede uma probabilidade condicional. Trata-se da probabilidade de um número ser oriundo do conjunto P (ou seja, resultado coroa), dado que este número é ímpar. Ou seja, Probabilidade (ser de P | é ímpar) = Probabilidade (ímpar e P) / Probabilidade (ímpar) = (1/12) / (7/12) = (1/12) x (12/7) = 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 43 1/7 RESPOSTA: D 53. ESAF ± MTur ± 2014) Dois eventos, A e B, são ditos independentes quando: a) P(A/B) = P(B) b) P(B/A) = 1- P(B) c) P(A/B) = P(A) d) P(A B) = 0 e) P(A B) = P(A) P(B) RESOLUÇÃO: Quando dois eventos A e B são independentes, sabemos que P(AB) = P(A)xP(B). Não temos essa opção de resposta. Entretanto, sabemos que a probabilidade condicional é dada por: ( )( | ) ( ) P A BP A B P B Para eventos independentes, podemos substituir P(AB) por P(A)xP(B), ficando com: ( ) ( )( | ) ( ) P A P BP A B P B u ( | ) ( )P A B P A De maneira intuitiva, basta entender que não há que se falar em probabilidade condicional no caso de eventos independentes. Como A e B são independentes, o fato de B ter ocorrido em NADA influencia o evento A ocorrer ou não. Portanto, P(A ocorrer dado que B ocorreu) é o mesmo que, simplesmente, P(A ocorrer). RESPOSTA: C 54. ESAF ± MTur ± 2014) Dois eventos A e B são tais que: P(A) = 0,25; P(B/A) = 0,5; P(A/B) = 0,25. Assim, pode-se afirmar que: a) A e B são eventos dependentes. b) P(B) = 0,5 e os eventos são mutuamente exclusivos. 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 44 c) P(B) = 0,25 e os eventos são independentes. d) P(B) = 0,5 e os eventos são independentes. e) P(A B) = 0 e os eventos são independentes. RESOLUÇÃO: Veja que: ( )( | ) ( ) P A BP B A P A ( )0,5 0,25 P A B 0,5 0,25 ( )P A Bu 0,125 ( )P A B Temos ainda que: ( )( | ) ( ) P A BP A B P B 0,1250, 25 ( )P B 0,125( ) 0,50 0, 25 P B Assim, veja que: P(A)xP(B) = 0,25x0,50 = 0,125 = ( )P A B Como P(A)xP(B) = ( )P A B , podemos dizer que os eventos são independentes. RESPOSTA: D 55. ESAF ± MTur ± 2014) Quando Maria vai visitar sua família, a probabilidade de Maria encontrar sua filha Kátia é 0,25; a probabilidade de Maria encontrar seu primo -RVLQR�p�LJXDO�D�������D�SUREDELOLGDGH�GH�0DULD�HQFRQWUDU�DPERV�ņ�.iWLD�H�-RVLQR�ņ� é igual a 0,05. Sabendo-se que, ao visitar sua família, Maria encontrou Kátia, então a probabilidade de ela ter encontrado Josino é igual a: a) 0,30 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 45 b) 0,20 c) 0,075 d) 0,1667 e) 0,05 RESOLUÇÃO: Temos: P(encontrar K) = 0,25 P(encontrar J) = 0,30 P(encontrar K E encontrar J) = 0,05 Queremos a probabilidade condicional: P(encontrar J | encontrou K) = P(encontrar K E encontrar J) / P(encontrar K) P(encontrar J | encontrou K) = 0,05 / 0,25 = 5/25 = 20/100 = 0,20 RESPOSTA: B 56. ESAF ± MTur ± 2014) Beto e Bóris são grandes amigos e moram em cidades diferentes. Durante uma viagem que realizaram ao Rio de Janeiro para participar de um congresso, Beto ficou devendo a Bóris 500 dólares. Bóris, um rico empresário, disse a Beto que não se preocupasse com a dívida, pois assim teria um motivo para viajar até a cidade de Beto, tantas vezes quantas forem necessárias, para cobrar a dívida. Como Beto reside sozinho e costuma sair muito, Bóris só poderá cobrar a dívida se encontrar Beto em sua casa. Sabe-se que a probabilidade de Beto ser encontrado em casa é 1/5. Então, a probabilidade de Bóris ter de ir mais de 2 vezes à casa de Beto para cobrar a dívida é dada por: a) 1/8 b) 4/25 c) 9/25 d) 3/16 e) 16/25 RESOLUÇÃO: A probabilidade de encontrar Beto já na primeira visita é de 1/5. A probabilidade de não encontrá-lo na primeira visita, mas encontrar na segunda, é de01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 46 4/5 x 1/5 = 4/25. Assim, a probabilidade de encontrar Beto na primeira OU na segunda visitas é: Probabilidade (encontrar na 1ª ou 2ª) = 1/5 + 4/25 = 5/25 + 4/25 = 9/25 Logo, a probabilidade de precisar ir mais de 2 vezes na casa de Beto para encontrá-lo é: P = 100% - probabilidade (encontrar na 1ª ou 2ª) P = 1 ± 9/25 P = 25/25 ± 9/25 P = 16/25 RESPOSTA: E 57. ESAF ± MTur ± 2014) O processo de produção de uma fábrica de copos está apresentando um grande número de copos defeituosos, ou seja: copos trincados. Antonio e Ricardo estão realizando um estudo para analisar a quantidade de copos trincados. Antonio embala em uma caixa 8 copos, dos quais 3 estão trincados. Ricardo retira, aleatoriamente, e sem reposição, 4 copos da caixa. Então, a probabilidade de Ricardo retirar, exatamente, dois copos trincados é igual a: a) 3/5 b) 12 c) 3/7 d) 2/5 e) 2/7 RESOLUÇÃO: O total de combinações possíveis formadas por 4 dos 8 copos é: Total = C(8,4) = 8x7x6x5 / (4x3x2x1) = 7x6x5 / (3) = 7x2x5 = 70 Queremos combinações formadas por 2 copos trincados e 2 copos normais. O número de formas de escolher 2 dos 3 copos trincados é C(3,2) = 3. E o número de formas de escolher 2 dos 5 copos normais é C(5,2) = 10. Logo, as combinações com 2 copos trincados e 2 normais totalizam 3x10 = 30. A probabilidade de escolher uma delas é: P = 30 / 70 = 3/7 RESPOSTA: C 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 47 58. ESAF ± MTur ± 2014) Coruja e Pardal são dois jogadores do Futebol Clube Natureza, FCN. Talvez Coruja e Pardal não possam defender o FCN em sua próxima partida, contra seu temido adversário, o Futebol Clube Verde, FCV. A probabilidade de Coruja jogar é 40% e a de Pardal jogar é 70%. Com ambos os jogadores em campo, o FCN terá 60% de probabilidade de vencer o FCV. Mas se nem Coruja e nem Pardal jogarem, a probabilidade de vitória do FCN passa para 30%. No entanto, se Coruja jogar e Pardal não jogar, a probabilidade de o FCN vencer o FCV é de 50%. Se Pardal jogar e Coruja não jogar, essa probabilidade passa para 40%. Sabendo-se que o fato de Coruja jogar ou não é independente de Pardal jogar ou não, então a probabilidade de o FCN vencer seu temido adversário é igual a: a) 90% b) 45% c) 60% d) 30% e) 75% RESOLUÇÃO: Como a probabilidade de Coruja jogar é de 40% e de Pardal jogar é de 70%, podemos dizer que as probabilidades de eles não jogarem são, respectivamente, 60% e 30%. Veja que precisamos analisar 4 casos: 1- Coruja E Pardal jogarem E o FCN vencer: 40%x70%x60% = 16,8% 2- Coruja E Pardal não jogarem E o FCN vencer: 60%x30%x30% = 5,4% 3- Coruja jogar E Pardal não jogar E FCN vencer: 40%x30%x50% = 6% 4- Coruja não jogar E Pardal jogar E FCN vencer: 60%x70%x40% = 16,8% Como os eventos acima são mutuamente excludentes, podemos somar as probabilidades de cada um, obtendo o total de 45% de probabilidade do FCN vencer. RESPOSTA: B 59. ESAF ± MTur ± 2014) Em um clube, 5% dos homens e 2% das mulheres praticam basquete. Sabe-se que 40% dos frequentadores são mulheres. 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 48 Selecionando-se, ao acaso, um frequentador desse clube, verificou-se que ele pratica basquete. Assim, a probabilidade desse frequentador ser mulher é igual a: a) 4/15 b) 4/19 c) 23/45 d) 6/19 e) 4/21 RESOLUÇÃO: Imagine que o clube tem 1000 pessoas. Assim, temos 400 mulheres (elas são 40% dos frequentadores) e 600 homens. Sabemos que 5% dos 600 homens jogam basquete, ou seja, 5%x600 = 30 homens. E 2% das 400 mulheres jogam basquete, totalizando 2%x400 = 8 mulheres. Ao todo temos 30 + 8 = 38 praticantes de basquete, dos quais 8 são mulheres. Sabendo que foi selecionado um dos 38 jogadores de basquete, a probabilidade de ser uma das 8 mulheres é: P = 8 / 38 = 4 / 19 RESPOSTA: B 60. ESAF ± MINISTÉRIO DA FAZENDA ± 2014) Considere que há três formas de Ana ir para o trabalho: de carro, de ônibus e de bicicleta. Em 20% das vezes ela vai de carro, em 30% das vezes de ônibus e em 50% das vezes de bicicleta. Do total das idas de carro, Ana chega atrasada em 15% delas, das idas de ônibus, chega atrasada em 10% delas e, quando vai de bicicleta, chega atrasada em 8% delas. Sabendo-se que um determinado dia Ana chegou atrasada ao trabalho, a probabilidade de ter ido de carro é igual a a) 20%. b) 40%. c) 60%. d) 50%. e) 30%. RESOLUÇÃO: Suponha que Ana foi 100 vezes ao trabalho. Dessas, 20 foram de carro, 30 de ônibus e 50 de bicicleta. Os atrasos nas idas de carro foram 15%x20 = 3 vezes. 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 49 Nas idas de ônibus, os atrasos foram 10%x30 = 3 vezes. E os atrasos nas idas de bicicleta foram 8%x50 = 4 vezes. Ao todo tivemos 3 + 3 + 4 = 10 atrasos, dos quais 3 foram em idas de carro. Sabendo que ela chegou atrasada um dia, a chance desse atraso ter sido de carro é igual a 3 em 10, ou 3/10 = 0,30 = 30%. RESPOSTA: E 61. FUNCAB ± ISS/SALVADOR ± 2014) Marcos, João e mais quatro amigos irão disputar uma corrida. Determine a probabilidade de Marcos e João terminarem a corrida um em primeiro e o outro em último em qualquer ordem. a) 1/30 b) 2/5 c) 3/5 d) 1/5 e) 1/15 RESOLUÇÃO: Total de casos = 6! = 720 Casos favoráveis = 2 x (4 x 3 x 2 x 1) x 1 = 48 Probabilidade = 48 / 720 = 1 / 15 RESPOSTA: E 62. ESAF ± Mtur ± 2014) Uma caixa contém 3 moedas de um real e 2 moedas de cinquenta centavos. 2 moedas serão retiradas dessa caixa ao acaso e obedecendo às condições: se a moeda retirada for de um real, então ela será devolvida à caixa e, se for de cinquenta centavos, não será devolvida à caixa. Logo, a probabilidade de pelo menos uma moeda ser de um real é igual a a) 80% b) 75% c) 90% d) 70% e) 85% RESOLUÇÃO: 01780543565 01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula EXTRA Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 50 A chance da primeira moeda ser de 1 real é de 3 em 5, ou seja, 3/5. Neste caso ela é devolvida à caixa, e independente da 2ª moeda que for retirada, já cumprimos o requisito de tirar pelo menos uma moeda de 1 real. A chance da primeira moeda ser de 50 centavos é de 2/5. Neste caso, ela não é devolvida, e achance da 2ª moeda retirada ser de 1 real é de 3 em 4, ou seja, ¾. Portanto, nesta situação a chance de tirar pelo menos 1 moeda de 1 real é de (2/5)x(3/4) = 3/10. As situações de cada parágrafo acima são mutuamente excludentes, e assim devemos somar as probabilidades:
Compartilhar