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Aula 10
Curso Regular de Matemática - Com videoaulas
Professores: Arthur Lima, Luiz Gonçalves
01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos
CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima – Aula 10 
 
 
 
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AULA 10: RESUMO TEÓRICO 
 
Olá! 
 Nesta aula final vou disponibilizar um resumo teórico do conteúdo visto ao 
longo das 10 aulas anteriores deste curso. 
 Quero aproveitar para agradecê-lo pela confiança em mim depositada. 
Entendo que você tem em mãos agora um material bem completo, que certamente 
te ajudará a ser aprovado naqueles concursos que exigem conhecimentos de 
Matemática! 
 Permaneço à disposição no fórum de dúvidas e também no Facebook: 
www.facebook.com/ProfessorArthurLima 
 
1. RESUMO TEÓRICO 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Consolidei abaixo as principais tabelas e conceitos que vimos sobre este assunto. 
 
 
TABELA 01. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Nome do 
conjunto 
(e símbolo) 
Definição Exemplos Observações 
Números 
Naturais (N) 
Números 
positivos 
construídos com 
os algarismos 
de 0 a 9, sem 
casas decimais 
N = {0, 1, 2, 3 …} 
Subconjunto dos números 
positivos: 
N* = {1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 
9, 10, 11...} 
 
Lembrar que o zero não é 
positivo nem negativo, 
mas está incluído aqui. 
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Números 
Inteiros (Z) 
Números 
naturais 
positivos e 
negativos 
Z = {... -3, -2, -1, 0, 
1, 2, 3...} 
Subconjuntos: 
Não negativos: {0, 1, 2...} 
Não positivos: {..., -2, -1, 0} 
Positivos: {1, 2, 3...} 
Negativos: { …-3, -2, -1} 
Números 
Racionais (Q) 
Podem ser 
representados 
pela divisão de 
2 números 
inteiros 
Frações: , ; 
 
Números decimais 
de representação 
finita. Ex.: 
1,25 (igual a ) 
 
As dízimas periódicas são 
números racionais. Ex.: 
0,333333... ou ou 
Números 
Irracionais (I) 
Não podem ser 
representados 
pela divisão de 
2 números 
inteiros 
Número “pi”: 
 
 
 
 
Fazem parte dos Números 
Reais 
Números 
Reais (R) 
Números 
Racionais e 
Irracionais 
juntos 
Todos acima 
R Q Z N 
e 
R I 
Números 
complexos 
Reais e 
imaginários 
Todos acima, além 
dos números que 
possuem parte 
imaginária. Ex.: 
5 + 2i; 
-2,5 – i; 
etc. 
C R 
 
 
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TABELA 02. PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS 
 
Elem. 
Neutro 
Comut. Assoc. Fecham. Distributiva 
Adição zero Sim Sim Sim 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C+ + ≠ + + + 
Multiplicação 1 Sim Sim Sim 
Sim: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C× + ≠ × + × 
Subtração Zero Não Não 
Não. Ex.: 
5 – 7 = -2 
 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C− + ≠ − + − 
Divisão 1 Não Não 
Não. Ex.: 
1 0,5
2
= 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C÷ + ≠ ÷ + ÷ 
 
TABELA 03. PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS 
 
Elem. 
Neutro 
Comut. Assoc. Fecham. Distributiva 
Adição zero Sim Sim Sim 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C+ + ≠ + + + 
Multiplicação 1 Sim Sim Sim 
Sim: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C× + ≠ × + × 
Subtração Zero Não Não 
Sim 
 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C− + ≠ − + − 
Divisão 1 Não Não 
Não. Ex.: 
1 0,5
2
= 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C÷ + ≠ ÷ + ÷ 
 
 
 
 
 
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TABELA 04. PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS, 
REAIS E COMPLEXOS 
 
Elem. 
Neutro 
Comut. Assoc. Fecham. Distributiva 
Adição zero Sim Sim Sim 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C+ + ≠ + + + 
Multiplicação 1 Sim Sim Sim 
Sim: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C× + ≠ × + × 
Subtração Zero Não Não 
Sim 
 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C− + ≠ − + − 
Divisão 1 Não Não Sim
 Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C÷ + ≠ ÷ + ÷ 
 
- No conjunto dos números complexos foi criada a unidade imaginária 1i = − 
- A sequência i, i2, i3 e i4 é igual a i, -1, -i e 1, respectivamente. A partir de i5 voltamos 
a repetir o ciclo. 
- Um número complexo do tipo z a b i= + × é formado por duas partes: uma parte 
real (a) e uma parte imaginária (b). 
- Representamos os números complexos no Plano de Argand-Gauss, que possui 
um eixo real e um eixo imaginário 
- Dependendo do sinal da parte real e da parte imaginária, o número será 
posicionado em um dos 4 quadrantes do plano, ou sobre os eixos: 
Parte real (a) Parte imaginária (b) Quadrante Exemplo 
Positiva Positiva 1º 3 + 5i 
Negativa Positiva 2º -3 + 5i 
Negativa Negativa 3º -3 -5i 
Positiva Negativa 4º 3 -5i 
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Nula (a = 0) Positiva ou 
negativa 
Número sobre o 
eixo imaginário 
-5i ou 5i 
Positiva ou 
negativa 
Nula (b = 0) Número sobre o 
eixo real 
-3 ou 3 
 
- Para somar/subtrair dois números complexos, basta somar/subtrair a parte real de 
um com a parte real do outro, e a parte imaginária de um com a parte imaginária do 
outro 
- Para multiplicar dois números complexos, basta lembrar da propriedade distributiva 
da multiplicação. 
- É importante lembrar o produto notável: (A + B) x (A – B) = A2 – B2 
- Sempre que precisarmos dividir um número por um número complexo do tipo z = a 
+ bi, basta multiplicar o numerador e o denominador por a – bi. 
- Os números reais fazem parte do conjunto dos complexos, porém possuem a parte 
imaginária (b) igual a zero. 
 
PORCENTAGEM: 
- A porcentagem é uma divisão onde o denominador é o número 100. 
- Para calcular qual a porcentagem que uma certa quantia representa de um todo, 
basta efetuar a seguinte divisão: 
quantia de interessePorcentagem = 100%
total
×
 
- Podemos transformar um número percentual em um número decimal dividindo-o 
por 100. Podemos também fazer o caminho inverso, multiplicando um número 
decimal por 100 para chegar em um número percentual. 
- Podemos dizer que: 
quantia de interesse = porcentagem total×
 
 
- Em porcentagem, o “de” equivale à multiplicação. Portanto, 20% de 300 é igual a 
20% x 300, e assim por diante. 
 
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- para aumentar um valor em x%, basta multiplicá-lo por (1 + x%). Exemplo: para 
aumentar em 30%, basta multiplicar por 1,30; 
- para reduzir um valor em x%, basta multiplicá-lo por (1 – x%). Exemplo: para 
reduzir em 15%, basta multiplicar por 0,85; 
- para duas operações sucessivas de aumento ou redução, basta multiplicar os 
índices. Exemplo: para aumentar o preço de um produto em 20% em um ano e 
depois em mais 30% no ano seguinte,basta multiplicar o preço inicial por 1,20 x 
1,30; 
 
PROPORCIONALIDADE: 
- Proporção é uma igualdade entre duas razões (divisões, frações). Dizemos que 
duas grandezas são proporcionais quando é possível criar, entre elas, razões que 
permanecem constantes. 
- Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando uma cresce à 
medida que a outra também cresce. 
- Podemos usar uma regra de três simples para relacionar grandezas diretamente 
proporcionais. Após montar a regra de três, devemos efetuar a multiplicação 
cruzada (das diagonais) e igualar os resultados. 
- Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma cresce 
à medida que a outra diminui. 
- Ao trabalhar com grandezas inversamente proporcionais, devemos inverter a 
ordem de uma das grandezas antes de multiplicar as diagonais (multiplicação 
cruzada). 
- No caso de termos 3 ou mais grandezas proporcionais entre si (direta ou 
inversamente), temos uma regra de três composta. Neste caso, devemos: 
- identificar, usando setas, as grandezas que são diretamente proporcionais 
e as que são inversamente proporcionais em relação a grandeza que 
queremos descobrir (aquela que possui o X). 
- inverter as colunas que forem inversamente proporcionais à grandeza que 
queremos. 
- igualar a razão onde está a grandeza X com o produto das outras razões. 
 
- para efetuar divisões em partes proporcionais, lembre-se que: 
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Se a c
b d
= , então a a c
b b d
+
=
+
, e também c a c
d b d
+
=
+
 
 
- você também pode utilizar constantes de proporcionalidade. Ex.: se dois números 
são diretamente proporcionais a 3 e 4, podemos dizer que um deles é k/3 e o outro 
é k/4, onde k é a constante de proporcionalidade; 
 
ÁLGEBRA 
 O plano cartesiano é formado por 2 eixos que se cruzam conforme a figura 
abaixo: 
 
Y
X
0
 
O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas ou, simplesmente, eixo X. 
Já o eixo da vertical é chamado de eixo das ordenadas ou, simplesmente, eixo Y. O 
cruzamento dos dois eixos representa o ponto de origem. 
 Veja que os dois eixos dividem o plano em quatro quadrantes: 
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 Podemos definir um ponto P em qualquer posição do plano cartesiano 
simplesmente dizendo qual o valor de sua abscissa X e qual o valor de sua 
ordenada Y. Algo como P = (x, y). 
 
 Dados dois pontos em um plano cartesiano, podemos criar a seguinte 
fórmula para calcular a distância (d) entre os pontos A (xa, ya) e B (xb, yb): 
2 2 2( ) ( )xa xb ya yb d− + − = 
 
EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU 
 - a variável x está elevada ao expoente 1 ( 1x x= ) 
- o valor de x que torna a igualdade correta é chamado de “raiz da equação”. Uma 
equação de primeiro grau sempre tem apenas 1 raiz. 
- uma equação do primeiro grau pode sempre ser escrita na forma 0ax b+ = , onde 
a e b são números que chamaremos de coeficientes, sendo que, necessariamente, 
0a ≠ 
- a raíz da equação é sempre dada por b
a
−
 
 
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- quando temos um sistema formado por “n” equações e “n” variáveis, devemos 
resolver usando o método da substituição. Este método é muito simples, e consiste 
basicamente em duas etapas: 
1. Isolar uma das variáveis em uma das equações 
2. Substituir esta variável na outra equação pela expressão achada no item 
anterior. 
 
EQUAÇÕES DE SEGUNDO GRAU 
- possuem a variável elevada ao quadrado ( 2x ), sendo escritas na forma 
2 0ax bx c+ + = , onde a, b e c são os coeficientes da equação. 
- as equações de segundo grau tem 2 raízes, isto é, existem 2 valores de x que 
tornam a igualdade verdadeira. 
- toda equação de segundo grau pode ser escrita também da seguinte forma: 
1 2( ) ( ) 0a x r x r× − × − = 
- nesta forma de escrever, 1r e 2r são as raízes da equação. 
- a fórmula de Báskara nos dá as raízes para uma equação de segundo grau. Basta 
identificar os coeficientes a, b e c e colocá-los na seguinte fórmula: 
2 4
2
b b ac
x
a
− ± −
= 
 
- Na fórmula de Báskara, chamamos de “delta” (∆ ) a expressão 2 4b ac− , que vai 
dentro da raiz quadrada. 
- Quando 0∆ > , teremos sempre duas raízes reais distintas para a equação. Se 
0∆ < , dizemos que não existem raízes reais para a equação de segundo grau. Já 
se 0∆ = , teremos duas raízes idênticas. 
 
Funções 
- função é uma relação entre elementos de dois conjuntos, que liga cada elemento 
de um conjunto a um único elemento do outro conjunto. 
 
Função inversa 
- Se você tiver a função f(x) qualquer, e quiser obter a função inversa, basta: 
1. Substituir f(x) por x 
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2. Substituir x por 1( )f x− 
3. Rearranjar os termos, isolando 1( )f x− . 
 
Função composta 
- a função f(g(x)) é uma função composta. Trata-se de uma função formada por 
outras duas. Assim, dado um valor de x, é preciso primeiro calcular o valor de g(x) 
para, a seguir, substituir esse valor na função f, obtendo o resultado final. Ao invés 
de sempre efetuar esses dois passos, é possível descobrir uma expressão que já dê 
direto o valor de f(g(x)). Veja que basta substituir x por g(x) na expressão da função 
f. 
 
Função de primeiro grau 
- é uma função do tipo f(x) = ax + b 
- as funções de primeiro grau tem como gráfico uma reta. Nestas funções, o 
coeficiente “a” é chamado de coeficiente angular, pois ele dá a inclinação da reta. 
Se a > 0, a reta será crescente (como a que vimos acima), e se a < 0 a reta será 
decrescente. Já o coeficiente “b” é chamado coeficiente linear, e ele indica em que 
ponto a reta cruza o eixo das ordenadas (eixo y, ou eixo f(x)). 
- a raiz da função é o valor de x que torna f(x) = 0. Para encontrar essa raiz, basta 
igualar a função a 0. 
- a raiz será igual a bx
a
−
= . 
 
Função de segundo grau 
- as funções de segundo grau são aquelas do tipo 2( )f x ax bx c= + + . 
- as funções de segundo grau têm um gráfico na forma de parábola. 
- para calcular as raízes, basta igualar a função a zero e usar a fórmula de Báskara 
para resolver: 
2 0ax bx c+ + = 
 
- para obter o ponto de máximo ou mínimo de uma função de segundo grau, 
chamado Vértice, devemos começar calculando a coordenada horizontal: 
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2vértice
b
x
a
−
= 
- Uma vez calculado o valor de da coordenada X, basta substituí-la na função e 
calcular ( )vérticef x , que será o valor máximo ou mínimo da função, dependendo do 
caso. 
 
GEOMETRIA BÁSICA 
- Ângulo é uma abertura delimitada por duas semi-retas. 
- O ângulo de 90o é conhecido como ângulo reto. Os demais ângulos podem ser 
classificadosem: 
 - Ângulos agudos: são aqueles ângulos inferiores à 90o. 
 - Ângulos obtusos: são aqueles ângulos superiores à 90o. 
- Dois ângulos podem ser: 
 - Ângulos congruentes: se possuem a mesma medida 
 - Ângulos complementares: se a sua soma é 90o 
 - Ângulos suplementares: se a sua soma é 180o 
- Um ângulo pode ser dividido em duas partes iguais pela semi-reta denominada 
Bissetriz. 
- Ângulos opostos pelo vértice tem o mesmo valor 
- Além da medida em graus, uma outra unidade de medida de ângulos é chamada 
de “radianos”. 180o correspondem a pi (“pi”) radianos. 
 
Principais figuras geométricas planas: 
- Perímetro é a soma do comprimento dos lados da figura 
- Área é a mensuração do espaço (plano) ocupado por aquela figura. As principais 
figuras geométricas planas são: 
Figura Definição Área 
Retângulo 
 
Quadrilátero onde os 
lados opostos são 
paralelos entre si, e 
todos os ângulos 
internos são iguais a 90º 
A = b x h 
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Quadrado 
 
retângulo onde a base e 
a altura tem o mesmo 
comprimento 
2A L= 
Trapézio 
 
 
4 lados, sendo 2 deles 
paralelos entre si, e 
chamados de base 
maior (B) e base menor 
(b) 
 
( )
2
b B h
A
+ ×
= 
Losango 
 
4 lados de mesmo 
comprimento 2
D dA ×= 
Paralelogramo 
 
 
 
b 
b 
h 
 
quadrilátero com os 
lados opostos paralelos 
entre si 
A = b x h 
Triângulo 
 
 
 
figura geométrica com 3 
lados 
2
b hA ×= 
Círculo 
todos os pontos se 
encontram à mesma 
2A rpi= × 
ou 
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distância (raio) do 
centro. Perímetro 
(comprimento) é 
2P rpi= × × 
2
4
DA pi= × 
(pois D = 2r) 
 
- Observações adicionais sobre os Triângulos: 
 - A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o 
 - Tipos de triângulos: eqüilátero ( todos os lados iguais e todos os ângulos 
internos iguais a 60º), isósceles (dois lados iguais, e ângulos da base iguais), 
escaleno (três lados com medidas diferentes, e ângulos internos diferentes entre si). 
 - A altura do triângulo eqüilátero de lado “a” é 3
2
ah = , e sua área é 
=
2 3
4
aA 
 - Dois triângulos são semelhantes se possuem os mesmos ângulos internos. 
Se temos 2 triângulos semelhantes, podemos afirmar que os seus lados são 
proporcionais. 
 - Triângulo retângulo: 
- possui um ângulo de 90º. Os dois lados menores são chamados 
catetos, e o maior (oposto ao ângulo de 90º) é a hipotenusa: 
 
- para cada ângulo agudo deste triângulo, podemos definir Seno, 
Cosseno e Tangente como sendo: 
 ( ) Cateto OpostoSen Ângulo
Hipotenusa
= 
 ( ) Cateto AdjacenteCos Ângulo
Hipotenusa
= 
 ( )( )
 ( )
Cateto Oposto Sen ÂnguloTan Ângulo
Cateto Adjacente Cos Ângulo= =
 
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- os principais valores de Seno, Cosseno e Tangente são: 
Ângulo Seno Cosseno Tangente 
30º 1
2 3 2 
3
3 
45º 2
2 
2
2 
1 
60º 3
2 
1
2 3 
 
- O Teorema de Pitágoras nos diz que (hipotenusa)2 = (cateto 1)2 + 
(cateto 2)2 
 
 - Veja algumas relações métricas presentes no triângulo abaixo: 
 
2
2
2
h m n
b m a
c n a
b c a h
= ×
= ×
= ×
× = ×
 
 - Condição de existência de um triângulo: o comprimento do lado maior deve 
ser inferior à soma dos lados menores. 
 
Principais figuras geométricas espaciais: 
- Chamamos de volume a medida da quantidade de espaço tridimensional ocupada 
pela figura espacial. 
- A área superficial de uma figura plana é dada pela soma das áreas de suas faces, 
que são polígonos (figuras planas) como aqueles estudados acima. 
- Os principais encontram-se na tabela abaixo: 
 
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Figura Volume Comentários 
 
Paralelepípedo 
 
 
H 
L 
C 
 
 
V = Ab x H 
ou 
V = C x L x H 
Todos os ângulos são retos. 
A área superficial é a soma da 
área dos 6 retângulos das faces 
Cubo 
 
A 
A 
A 
 
 
V = A3 
 
Paralelepípedo onde todas as 
arestas tem a mesma medida 
Cilindro 
 
 
R 
H 
 
V Ab H= × 
 
pi= ×
2V R H 
área total é a soma da área da 
base (que deve ser contada 
duas vezes) e a área lateral 
(que é um retângulo). 
2lateralA HxC Hx Rpi= = 
Cone 
 
 
 
R 
 H 
G 
 
3
Ab HV ×=
 
Lembrar que: 
G2 = R2 + H2 
 
A área lateral é um setor circular 
de raio G e comprimento 
2C Rpi= . Assim, 
 
Alateral = pi xGxR 
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Pirâmide 
 
3
Ab HV ×=
 
- chamamos de apótema a 
altura de cada uma das faces 
laterais, que são triângulos. 
Prisma 
 
H 
L 
 
 
V = Ab x H - as faces laterais de ambos são 
retângulos 
Esfera 
 
V = 4pi R3/3 
Área superficial é: 
A = 4pi R2 
 
SISTEMA DE MEDIDAS: 
Medidas de comprimento 
- a unidade padrão de medida de comprimento é o metro, representado pela letra m, 
cujos múltiplos e submúltiplos estão na tabela abaixo: 
 
 
 
C 
R 
 
 
L 
H 
L L 
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Milímetro 
(mm) 
Centímetro 
(cm) 
Decímetro 
(dm) 
Metro 
(m) 
Decâmetro 
(dam) 
Hectômetro 
(hm) 
Quilômetro 
(km) 
1000mm 100cm 10dm 1m 0,1dam 0,01hm 0,001km 
 
- para “caminhar para a direita” (ir de metros para decâmetros, por exemplo) basta ir 
dividindo o valor original por 10; 
- para “caminhar para a esquerda” (ir de metros para decímetros, por exemplo) 
basta ir multiplicando o valor original por 10. 
 
Medidas de área 
- a unidade padrão de medida de área é o metro quadrado, representado pelo 
símbolo 2m : 
Milímetro 
quadrado 
(mm2) 
Centímetro 
quadrado 
(cm2) 
Decímetro 
quadrado 
(dm2) 
Metro 
quadrado 
(m2) 
Decâmetro 
quadrado 
(dam2) 
Hectômetro 
quadrado 
(hm2) 
Quilômetro 
quadrado 
(km2) 
1.000.000mm2 10.000cm2 100dm2 1m2 0,01dam2 0,0001hm2 0,000001km2 
 
- ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 100, e ao andar uma casa 
para a esquerda, devemos multiplicar por 100; 
 
Medidas de volume 
- a unidade padrão de medida de volume é o metro cúbico, representado pelo 
símbolo 3m : 
Milímetro 
cúbico (mm3) 
Centímetro 
cúbico 
(cm3) 
Decímetro 
cúbico 
(dm3) 
Metro 
cúbico 
(m3) 
Decâmetro 
cúbico(dam3) 
Hectômetro 
cúbico 
(hm3) 
Quilômetro 
cúbico (km3) 
1000000000mm3 1000000cm3 1000dm3 1m3 0,001dam3 0,000001hm3 0,000000001km3 
 
- ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 1000, e ao andar uma casa 
para a esquerda, devemos multiplicar por 1000; 
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- 1 litro é igual a 1dm3 (decímetro cúbico), e 1000 litros = 1m3. 
 
Medidas de tempo 
- a unidade padrão de medida de tempo é o segundo, representado pelo símbolo s. 
- é importante você conhecer o milissegundo (ms): 1 segundo corresponde a 
1000ms. 
Milissegundo 
(ms) 
Segundo 
(s) 
Minuto 
(min) Hora (h) Dia 
1.000ms = 1s 1s 1 min = 60s 1 h = 60 min 1 dia = 24 h 
 
- basta montar regras de três simples para efetuar as conversões necessárias. 
 
Medidas de massa 
- a unidade padrão de medida de massa é o grama (g): 
Miligrama 
(mg) 
Centigrama 
(cg) 
Decigrama 
(dg) 
Grama 
(g) 
Decagrama 
(dag) 
Hectograma 
(hg) 
Quilograma 
(kg) 
1.000mg 100cg 10dg 1g 0,1dag 0,01hg 0,001kg 
 
- ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 10, e ao andar uma casa 
para a esquerda, devemos multiplicar por 10; 
- uma tonelada equivale a 1.000 quilogramas; 
 
Sistema monetário brasileiro 
- 1 real corresponde a 100 centavos. Assim, tendo uma quantia em reais, basta 
você multiplicar por 100 e obterá o valor em centavos. Da mesma forma, tendo uma 
quantia em centavos, basta você dividir por 100 e obterá o valor em reais. 
 
 
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PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS 
- Progressão Aritmética (PA): seqüência numérica onde o termo seguinte é igual ao 
termo anterior somado a um valor constante (razão da PA) 
- Para obter o termo da posição “n”, simbolizado por an, basta usar a fórmula do 
termo geral da PA, que é: 
1 ( 1)na a r n= + × − 
- Para obter a soma dos “n” primeiros termos da PA (Sn), a fórmula é: 
1( )
2
n
n
n a aS × += 
- Progressão Geométrica (PG): o termo seguinte é sempre igual ao termo anterior 
multiplicado por um valor constante (razão da PG) 
- Para obter o termo da posição “n”, simbolizado por an, basta usar a fórmula do 
termo geral da PG, que é: 
1
1
n
na a q −= × 
- Para obter a soma dos “n” primeiros termos da PG (Sn), a fórmula é: 
1 ( 1)
1
n
n
a qS
q
× −
=
−
 
 
MATRIZES E DETERMINANTES 
- Uma matriz Mmxn é uma tabela com m linhas e n colunas. Os elementos desta 
tabela são representados na forma aij, onde i representa a linha e j representa a 
coluna deste termo. 
- A matriz transposta de A, simbolizada por AT, é construída trocando a linha de 
cada termo pela sua coluna, e a coluna pela linha. 
- Uma matriz é quadrada quando possui o mesmo número de linhas e colunas. 
- Para somar ou subtrair duas matrizes, basta somar ou subtrair os termos 
correspondentes. As matrizes precisam ser de mesma ordem. 
- Para multiplicar um número por uma matriz, basta multiplicar cada termo da matriz 
por aquele número. 
- Ao multiplicar 2 matrizes, cada termo da nova matriz é formado pela soma das 
multiplicações de cada termo de uma linha da primeira matriz por cada termo de 
uma coluna da segunda matriz. 
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- A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, AxB não é, necessariamente, 
igual a BxA. 
- Chamamos de matriz Identidade de ordem “n” a matriz quadrada que possui todos 
os termos da diagonal principal iguais a 1, e todos os demais termos iguais a zero. 
- Dada uma matriz A, chamamos de inversa de A, ou A-1, a matriz tal que: 
A x A-1 = I (matriz identidade) 
- Nem toda matriz quadrada é inversível. 
- O determinante de uma matriz é um número a ela associado. Aqui estamos 
tratando apenas de matrizes quadradas. 
- Em uma matriz quadrada de ordem 1, o determinante é o próprio termo que forma 
a matriz. 
- Em uma matriz quadrada de ordem 2, o determinante é dado pela subtração entre 
o produto da diagonal principal e o produto da diagonal secundária. 
- Em uma matriz quadrada de ordem 3, o determinante é calculado da seguinte 
forma: 
det
a b c
d e f aei bfg cdh ceg bdi afh
g h i
 
 
= + + − − − 
 
 
 
- As principais propriedades do determinante são: 
- o determinante de A é igual ao de sua transposta AT 
- se uma fila (linha ou coluna) de A for toda igual a zero, det(A) = 0 
- se multiplicarmos todos os termos de uma linha ou coluna de A por um valor 
“k”, o determinante da matriz será também multiplicado por k; 
- se multiplicarmos todos os termos de uma matriz por um valor “k”, o 
determinante será multiplicado por kn, onde n é a ordem da matriz; 
- se trocarmos de posição duas linhas ou colunas de A, o determinante da 
nova matriz será igual a –det(A); 
- se A tem duas linhas ou colunas iguais, então det(A) = 0 
- sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, det (AxB) = det(A) x 
det(B) 
- uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, det( ) 0A ≠ 
- se A é uma matriz inversível, det(A-1) = 1/det(A) 
 
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Princípio da Regressão ou Reversão 
- trata-se de uma ALTERNATIVA para a resolução de algumas questões cuja 
solução “normal” é algébrica. 
 
- na solução algébrica nós definimos algumas variáveis e depois seguimos o 
processo descrito no enunciado, do INÍCIO para o FIM. 
 
- a ideia do princípio da regressão é retornarmos DO FIM PARA O INÍCIO, ou seja, 
revertermos cada passo descrito no enunciado. Assim, lembre que se no 
procedimento houve uma: 
- multiplicação, será preciso dividir na reversão; 
- divisão, será preciso multiplicar na reversão; 
- soma, será preciso subtrair na reversão; 
- subtração, será preciso somar na reversão. 
 
Razões Especiais 
- são razões (divisões, proporções) conhecidas e bastante utilizadas na prática, 
como a Velocidade, o Consumo e a Densidade. 
 
- Velocidade: relação entre a distância que um objeto percorre e o tempo gasto para 
percorrer a distância: 
DistânciaVelocidade
Tempo
= 
 
- Consumo de combustível: no Brasil costumamos definir esta grandeza como 
sendo a razão entre a distância que um carro percorre e o combustível necessário 
para percorrer aquela distância: 
distância percorridaConsumo de combustível=
combustível gasto
 
 
- na prática esta é uma medida de EFICIÊNCIA. A medida de consumo mais 
adequada é o inverso: 
combustível gastoConsumo de combustível=
distância percorrida
 
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- densidade de um corpo físico é a relação entre a massa e o volume daquele corpo: 
MassaDensidade
Volume
= 
 
- ao juntar/misturardois produtos com massas Ma e Mb, e volumes Va e Vb, a 
densidade resultante da mistura será: 
 
Ma MbDensidade da mistura
Va Vb
+
=
+
 
 
- a densidade demográfica é a relação entre o número de habitantes de uma 
determinada região e a área daquela região: 
habitantesDensidade demográfica=
área
 
 
PRINCÍPIOS DE CONTAGEM 
- Princípio da contagem (regra do produto): quando temos eventos sucessivos e 
independentes, o número total de maneiras desses eventos acontecerem é igual a 
multiplicação do número de maneiras de cada evento acontecer separadamente. 
- Permutação simples: P(n) = n! 
- usada quando queremos calcular o número de formas de colocar n 
elementos em n posições. 
- a ordem dos elementos deve tornar uma disposição diferente da outra 
- exemplo: cálculo do número de anagramas de uma palavra (sem 
repetição de letras). Um anagrama é um rearranjo das letras. 
 
- Permutação com repetição: !( ; )
! !
nPR n m e p
m p
=
×
 (leia: permutação de n 
elementos, com repetição de m elementos e de p elementos) 
- usada para calcular permutações onde existem elementos repetidos 
- por ser uma permutação, a ordem dos elementos deve tornar uma 
distribuição diferente da outra. 
- exemplo: cálculo do número de anagramas de uma palavra que possua 
letras repetidas. 
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- Arranjo simples: !( , ) ( )!
nA n m
n m
=
−
 (leia: arranjo de n elementos em m posições) 
- trata-se de uma permutação de n elementos em m posições, onde temos 
mais elementos do que posições disponíveis. 
- Novamente, a ordem dos elementos deve diferenciar um arranjo do outro. 
- Exemplo: número de maneiras de preencher 3 posições disponíveis de 
uma fila usando 7 pessoas. Esses exercícios podem ser resolvidos com a 
simples multiplicação 7 x 6 x 5. 
 
- Arranjo com repetição: AR (n, m) = nm (leia: arranjo de n elementos em m 
posições, com repetição) 
- trata-se do princípio fundamental da contagem, onde temos n elementos 
que podemos colocar em m posições, com repetição (isto é, não 
precisamos colocar apenas elementos distintos) 
- exemplo: número de placas formadas por 3 letras, distintas ou não, 
usando as 26 letras do alfabeto � A (26,3) = 263 = 26x26x26 
 
- Combinação: 
( )
!( , )
! !
n nC n m
m m n m
 
= =  − 
 (leia: combinação de n elementos em 
grupos de m elementos; ou combinação de n elementos, m a m) 
- trata-se do cálculo do número de grupos de m elementos que podemos 
formar utilizando n elementos 
- deve ser utilizado quando a ordem dos elementos no grupo não 
diferenciar um grupo do outro. 
- lembrar que C(n, m) = C (n, n-m). Ex.: C(5,4) = C(5,1) = 5 
- para facilitar o cálculo de C(n,m), basta multiplicar os primeiros “m” termos 
de n! e dividir por m!. Ex.: C(7,3) é calculado pela multiplicação dos três 
primeiros termos de 7!, dividido por 3!. Isto é, C(7,3) = 7x6x5/3! = 35 
- exemplo: número de equipes de 3 profissionais que podemos montar 
utilizando 7 profissionais disponíveis � C(7,3) = 35. 
 
- Permutação circular: Pc (n) = (n-1)! (leia: permutação circular de n elementos) 
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- usado para calcular o número de permutações de n elementos em 
disposições fechadas (circulares), onde não podemos fixar um início e um 
final. 
- exemplo: número de formas de dispor 4 pessoas ao redor de uma mesa 
quadrada com as 4 bordas iguais � Pc(4) = (4-1)! = 6 
 
PROBABILIDADE 
- Espaço amostral: conjunto dos resultados possíveis de um experimento aleatório 
- Evento: subconjunto do espaço amostral formado pelos resultados que 
consideramos favoráveis 
- Probabilidade: é dada pela razão: 
n(Evento)Probabilidade do Evento=
n(Espaço Amostral)
 
 
ou simplesmente 
número de resultados favoráveisProbabilidade do Evento=
número total de resultados
 
 
- Calcular o número total e o número de resultados favoráveis através das fórmulas 
de princípios de contagem 
- A probabilidade de ocorrência do próprio espaço amostral é 100% 
- Eventos independentes: a ocorrência ou não de um deles não altera a 
probabilidade do outro ocorrer. Se A e B são independentes, então 
P(A B)=P(A) P(B)∩ × (leia: probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente é a 
multiplicação das probabilidades de cada um ocorrer) 
- Eventos mutuamente exclusivos: a ocorrência de um impede a ocorrência do 
outro, e vice-versa. Assim, ( ) 0P A B∩ = 
- Probabilidade da união: trata-se da probabilidade de ocorrência do evento A ou do 
evento B (ou dos dois ao mesmo tempo). É dada por: 
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩
 
 
 Se A e B são mutuamente exclusivos ( ( ) 0P A B∩ = ), então basta somar a 
probabilidade de ocorrência de cada um deles. Isto é, P(A ou B) = P(A) + P(B). 
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- Eventos complementares: dois eventos são considerados complementares quando 
não possuem intersecção e a sua soma equivale ao espaço amostral. Sendo E um 
evento e Ec o seu complementar, então: 
Probabilidade(E) = 1 - Probabilidade(Ec)
 
 
- exemplo: E = probabilidade de sair resultado par em um dado; Ec = 
probabilidade de sair um resultado ímpar. 
 
- Probabilidade de ocorrer A, sabendo que B ocorre: ( )( / ) ( )
P A BP A B
P B
∩
= 
- basta calcular o número de casos onde tanto A quanto B ocorrem, e 
dividir pelo número de casos em que B ocorre 
- exemplo: ao sortear um dos 7 dias da semana, calcular a probabilidade de 
a data obtida ser um “sábado”, dado que a data obtida caiu em um fim de 
semana � P = 1 / 2 = 50% 
- Se A e B são eventos independentes, então P(A/B) = P(A) � isto é, o fato de B ter 
ocorrido em nada altera a probabilidade de A ocorrer 
- Se repetirmos um determinado experimento N vezes, com probabilidade “p” de 
obter sucesso em cada repetição, o número esperado de vezes que obteremos 
sucesso é dado por N x p. 
 
 
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