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Aula 02
Curso Regular de Matemática - Com videoaulas
Professores: Arthur Lima, Luiz Gonçalves
01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos
CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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AULA 02: PROPORCIONALIDADE 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 01 
2. Resolução de exercícios 12 
3. Lista de exercícios resolvidos 185 
4. Gabarito 243 
 
Prezado aluno, 
 
Em nossa segunda aula falaremos sobre razões, proporções, regra de três 
simples e composta, direta e inversa. São assuntos muito cobrados em editais de 
matemática e também de raciocínio lógico. 
Tenha uma boa aula, e me procure em caso de dúvida! 
 
1. TEORIA: 
 Proporção é uma igualdade entre duas razões (divisões, frações). Dizemos 
que duas grandezas são proporcionais quando é possível criar, entre elas, razões 
que permanecem constantes. Ex.: quando estamos dizendo que as idades de duas 
pessoas, A e B, são proporcionais aos números 5 e 7, podemos criar a seguinte 
igualdade: 
5 7
A B 
ou 
5
7
A
B
 
 
Precisamos conhecer dois tipos de razões: aquelas com grandezas 
diretamente proporcionais, e aquelas com grandezas inversamente proporcionais. 
 
1.1 Grandezas diretamente proporcionais: dizemos que duas grandezas são 
diretamente proporcionais quando uma cresce à medida que a outra também 
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cresce. Ex.: imagine uma empresa onde o salário dos profissionais é diretamente 
proporcional ao tempo de serviço. Isso quer dizer que, à medida que o tempo de 
serviço aumenta, o salário do profissional também aumenta, e vice-versa. Esse 
crescimento ocorre de maneira proporcional, isto é, de maneira a manter a mesma 
razão entre o salário e o tempo trabalhado. Assim, se S1 é o salário de um 
empregado e T1 é o tempo trabalhado por ele atualmente, e S2 é o salário de outro 
empregado que já trabalhou pelo período T2, podemos dizer que: 
1 2
1 2
S S
T T
 
 Podemos ainda usar a regra de três simples para relacionar essas 
grandezas: 
Tempo...........................................Salário 
T1 S1 
T2 S2 
 
 As setas apontadas no mesmo sentido indicam que as duas grandezas 
aumentam (ou diminuem) juntas, ou seja, são diretamente proporcionais. Uma vez 
PRQWDGD�HVVD�UHJUD�GH�WUrV��EDVWD�XVDU�D�³PXOWLSOLFDomR�FUX]DGD´��LVWR�p��PXOWLSOLFDU�
os termos das diagonais para obter a seguinte igualdade: 
1 2 2 1T S T Su u 
 
Vamos usar números para entender melhor esse exemplo: nessa empresa 
onde salários e tempos de serviço são diretamente proporcionais, João tem 5 anos 
de serviço e ganha R$1000 por mês. Se o salário de Kléber é de R$1500 por mês, 
há quanto tempo ele trabalha nesta empresa? 
Temos duas grandezas envolvidas (tempo trabalhado e salário). Para encontrar 
o tempo trabalhado por Kléber (que chamaremos de T), montamos a seguinte regra 
de três: 
Tempo (anos)...........................................Salário (reais) 
5 1000 
T 1500 
Assim, basta multiplicar os termos de uma diagonal (5 x 1500) e igualar à 
multiplicação dos termos da outra diagonal (T x 1000): 
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5 1500 1000
7500 1000
7500
7,5
1000
T
T
T
u u
 u
 
 
 Portanto, Kléber trabalha na empresa há 7,5 anos. 
 
1.2 Grandezas inversamente proporcionais: dizemos que duas grandezas são 
inversamente proporcionais quando uma cresce à medida que a outra diminui. Por 
exemplo, imagine que 2 pedreiros trabalhando juntos levam 6 horas para erguer 
uma parede. Quanto tempo levariam 3 pedreiros? Temos duas grandezas 
inversamente proporcionais: número de pedreiros e tempo para erguer a parede. 
Isso porque, quanto mais pedreiros, menos tempo é necessário. Vamos montar a 
regra de três: 
Número de pedreiros Tempo (hr) 
 2 6 
 3 T 
 Veja que neste caso as setas estão invertidas. Isto porque o número de 
pedreiros aumenta em ordem inversa ao tempo. Por isso, devemos inverter a ordem 
de uma das grandezas antes de multiplicar as diagonais. Vamos inverter a ordem do 
número de pedreiros: 
Número de pedreiros Tempo (hr) 
 3 6 
 2 T 
 Veja que agora as setas apontam na mesma direção. Podemos, então, 
efetuar a multiplicação cruzada: 
3 2 6
12
4
3
T
T
u u
 
 Portanto, o aumento de número de pedreiros (de 2 para 3) reduz o tempo 
necessário para erguer a parede de 6 para 4 horas. 
 
1.3 Regra de três composta: até aqui trabalhamos apenas com duas grandezas. 
Ao trabalhar com 3 ou mais grandezas proporcionais entre si (direta ou 
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inversamente), temos uma regra de três composta. Vamos entender como funciona 
através de um exemplo: 
2 pedreiros constroem 4 paredes em 1 mês. Quantas paredes serão construídas por 
5 pedreiros em 7 meses? 
 Temos, portanto, 3 grandezas: número de pedreiros, número de paredes e 
tempo de construção. Veja o esquema abaixo: 
 
Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção 
 2 4 1 
 5 X 7 
 A seguir, colocamos a seta na coluna onde está a grandeza que precisamos 
descobrir (X), apontando para baixo ou para cima (como você quiser): 
 
Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção 
 2 4 1 
 5 X 7 
 
Agora, vamos comparar as demais grandezas com aquela onde está o X 
(número de paredes), para descobrir se há uma relação direta ou inversamente 
proporcional entre elas. Observe que, quanto maior o número de paredes, mais 
pedreiros serão necessários para construí-las. Portanto, trata-se de uma relação 
diretamente proporcional. Assim, colocamos a seta no mesmo sentido (isto é, para 
baixo) na coluna do Número de pedreiros: 
 
Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção 
 2 4 1 
 5 X 7 
 Da mesma forma, vemos que quanto maior o número de paredes, maior será 
o tempo de construção. Portanto, essas grandezas também são diretamente 
proporcionais, e podemos colocar a seta no mesmo sentido: 
 
 
Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção 
 2 4 1 
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 5 X 7 
Obs.: se alguma grandeza fosse inversamente proporcional, colocaríamos a seta no 
sentido oposto. Depois, para colocar a seta no mesmo sentido das demais, 
precisaríamos inverter os termos daquela grandeza (trocá-los de linha). Veremos 
exercícios tratando sobre isso. 
 
 Uma vez alinhadas as setas, podemos igualar a razão onde está a grandeza 
X com o produto das duas outras razões, montando a seguinte proporção: 
4 2 1
5 7X
 u 
 Feitoisso, fica fácil obter o valor de X: 
 
4 2 1
5 7
4 2 1
5 7
4 2
35
2 4 35
70
X
X
X
X
X
 u
u u
 
 u
 
 
 Portanto, seria possível erguer 70 paredes com 5 pedreiros trabalhando por 7 
meses. 
 Resumindo os passos utilizados na resolução de exercícios de regra de três 
composta: 
1. Encontrar quais são as grandezas envolvidas e montar uma tabela com as 
mesmas; 
2. Colocar uma seta na coluna onde estiver o valor a ser descoberto (X) 
3. Comparar as demais grandezas à da coluna do X, verificando se são direta ou 
inversamente proporcionais à ela, e colocando setas no mesmo sentido ou no 
sentido oposto; 
4. Alinhar todas as setas, invertendo os termos das colunas onde for necessário; 
5. Montar a proporção, igualando a razão da coluna com o termo X com o produto 
das demais razões. 
6. Obter X. 
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 Quanto ao passo 5, cabe uma observação: em alguns exercícios, o próprio 
HQXQFLDGR�Mi�³PRQWD�D�SURSRUomR´��GL]HQGR�TXDO�UD]mR�p�SURSRUFLRQDO�jV�Gemais, isto 
é, qual coluna deve ser igualada ao produto das demais. Veremos isso nos 
exercícios. 
 
1.4 Diferenças de rendimento 
 Imagine que Paulo e Marcos levam 1 hora para arrumar 600 livros na 
estante. Sabemos ainda que Paulo, trabalhando sozinho, levaria 3 horas para 
completar este serviço. Quanto tempo levaria Marcos, trabalhando sozinho, para 
completar o serviço? 
 Esse é um tipo de questão que pode aparecer em provas como a sua. Aqui, o 
exercício deixa implícito que podem haver diferenças de rendimento entre os 
trabalhadores. Isto é, pode ser que Paulo seja mais eficiente que Marcos, sendo 
capaz de guardar os livros mais rapidamente. Assim, Paulo gastaria menos tempo 
que Marcos, se cada um tivesse que executar o trabalho inteiro sozinho. 
 Neste tipo de exercício, o enunciado sempre informará dados sobre: 
a) o desempenho dos 2 funcionários trabalhando juntos (neste caso, eles levam 1 
hora para arrumar 600 livros); 
b) o desempenho de um dos funcionários trabalhando sozinho (neste caso, Paulo 
levaria 3 horas). 
 Com base nisso, você precisará deduzir qual é o desempenho do outro 
funcionário, para então calcular o tempo que ele levaria para executar o trabalho 
sozinho. 
 Se Paulo leva 3 horas para guardar 600 livros, em 1 hora ele guarda 200 
livros (600 / 3). Esta foi a parcela de trabalho executada por Paulo quando eles 
trabalharam juntos por 1 hora: 200 livros. Os outros 400 foram guardados por 
Marcos! Ou seja, Marcos é capaz de guardar 400 livros em 1 hora. Descobrimos o 
desempenho de Marcos. Com isso, podemos calcular o que foi pedido pelo 
enunciado: se Marcos guarda 400 livros em 1 hora, ele levará 1,5 hora para guardar 
os 600 livros, trabalhando sozinho. Vamos escrever as regras de três que seriam 
necessárias para resolver este exercício: 
 
1. Descobrir a parcela do trabalho de Paulo no tempo que trabalharam juntos: 
 
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Horas de trabalho Livros guardados 
3 600 
1 P 
 
3 1 600
200
P
P livros
 u
 
 
2. Descobrir a parcela de trabalho de Marcos no tempo que trabalharam juntos: 
P + M = 600 
M = 600 ± P = 600 ± 200 = 400livros 
 
3. Descobrir o tempo gasto por Marcos para efetuar a tarefa sozinho: 
Horas de trabalho Livros guardados 
1 400 
T 600 
 
1 600 400
600
1,5
400
T
T hora
u 
 
 
 Você deve ter reparado que a segunda informação dada pelo enunciado 
(tempo gasto por um dos funcionários para executar o trabalho sozinho) serviu para 
obtermos a capacidade de trabalho daquele funcionário. Em alguns exercícios, o 
enunciado pode fornecer a capacidade operacional daquele funcionário. Por 
exemplo: ao invés de ter dito que Paulo leva 3 horas para executar o trabalho 
sozinho, o exercício poderia ter dito que a capacidade operacional de Paulo é 50% 
da capacidade operacional de Marcos (afinal, Paulo guarda 200 livros por hora, 
enquanto Marcos guarda 400). 
 Com essa informação da capacidade operacional em mãos, também seria 
possível resolver o exercício. Bastaria observar que, se Marcos é capaz de guardar 
M livros em 1 hora, então Paulo é capaz de guardar 50% de M, ou seja, 0,5M livros 
no mesmo tempo. Portanto, juntos eles guardam M + 0,5M, ou seja, 1,5M livros em 
1 hora. Com a regra de três abaixo obteríamos a capacidade de trabalho de Marcos 
(M): 
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1,5M ----------------------- 600 livros 
M ------------------------- X livros 
1,5 600
600
400
1,5
M X M
X
u u
 
 Ou seja, Marcos é capaz de guardar 400 livros por hora, como já havíamos 
constatado no caso anterior. 
 Ao longo dos exercícios você se acostumará a tratar casos onde existem 
diferenças de rendimento. 
 
1.5 Divisão em partes proporcionais 
 Uma propriedade importante das proporções pode ser enunciada assim: 
Î Se a c
b d
 , então a a c
b b d
� � , e também 
c a c
d b d
� � 
 
Esta propriedade é muito utilizada na resolução de questões de concursos 
que versam sobre divisão proporcional. Para você entender melhor, vamos trabalhar 
com um exemplo. Suponha que André, Bruno e Carlos são pedreiros, e trabalharam 
juntos na construção de uma casa. O patrão combinou de pagar um total de 
R$40000, sendo que cada pedreiro receberia um valor proporcional ao tempo que 
trabalhasse. Ao final, André trabalhou 200 horas, Bruno trabalhou 300 horas e 
Carlos trabalhou 500 horas. Quanto foi recebido por cada rapaz? 
Chamando de a, b e c os valores recebidos por cada um, sabemos que os 
eles são proporcionais 200, 300 e 500 respectivamente, ou seja: 
200 300 500
a b c 
 
 Usando a propriedade acima, podemos dizer que: 
200 300 500 200 300 500
200 300 500 1000
a b c a b c
a b c a b c
� � � �
� � 
 
 
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 Sabemos que o total recebido (ou seja, a + b + c) é de 40000 reais. Assim, 
40000
200 300 500 1000
a b c 
 
 Assim, podemos encontrar os valores de a, b e c: 
40000
200 1000
a 
40000 200 8000
1000
a reais u 
 
 
40000
300 1000
b 
40000 300 12000
1000
b reais u 
 
40000
500 1000
c 
40000 500 20000
1000
c reais u 
 Note que, de fato, a soma dos valores recebidos por cada um é igual a 40000 
reais. Ao longo dos exercícios de hoje veremos mais alguns exemplos como este. 
 Uma outra forma de efetuar divisões proporcionais consiste no uso de 
µFRQVWDQWHV�GH�SURSRUFLRQDOLGDGH¶��$FRPSDQKH�D�UHVROXomR�GR�H[HUFtFLR�DEDL[R�SDUD�
entender como efetuar este tipo de divisão proporcional: 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) O número 772 foi dividido em partes diretamente 
proporcionais a 7, 4 e 8 e inversamente proporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente.Assinale a alternativa que apresenta o menor desses números. 
(A) 120. 
(B) 160. 
(C) 180. 
(D) 200. 
(E) 240. 
RESOLUÇÃO: 
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 Devemos dividir 772 em três partes, que ao mesmo tempo são diretamente 
proporcionais a 7, 4 e 8, e inversamente proporcionais a 2, 3 e 5. Isto significa que 
podemos escrever cada uma das três partes da seguinte forma: 
- 
7
2
Ku (diretamente proporcional a 7 e inversamente proporcional a 2); 
- 
4
3
Ku (diretamente proporcional a 4 e inversamente proporcional a 3); 
- 
8
5
K u (diretamente proporcional a 8 e inversamente proporcional a 5); 
 
 1HVWH�FDVR��FKDPDPRV�.�GH�³FRQVWDQWH�GH�SURSRUFLRQDOLGDGH´��A soma dos 3 
números é igual a 772, ou seja: 
7 4 8772
2 3 5
K K K u � u � u 
105 40 48772
30
K K K� � 
23160 193K 
120K 
 
 Portanto, a constante K é igual a 120. Deste modo, os 3 números são: 
7
2
Ku = 120 x (7/2) = 420 
4
3
Ku = 120 x (4/3) = 160 
8
5
K u = 120 x (8/5) = 192 
 Repare que, de fato, 160 + 192 + 420 = 772. O menor dos 3 números é 160. 
Resposta: B 
 
1.6 Escalas 
 Para finalizarmos a teoria da aula de hoje, é interessante falarmos sobre um 
tópico muito relacionado com proporcionalidade: as escalas utilizadas em mapas, 
maquetes etc. Quando dizemos que o mapa de uma cidade foi feito na escala de 
1:1000, estamos dizendo que 1 unidade de medida no mapa corresponde a 1000 
XQLGDGHV�QR�³PXQGR�UHDO´��2X�VHMD����FHQWtPHWUR�QR�PDSD�FRUUHVSRQGH�D�����FP�QR�
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mundo real, e 1 metro no mapa corresponde a 1000m (ou 1km) no mundo real. 
Portanto, se a distância entre duas ruas neste mapa estão a 30 cm de distância, a 
distância real pode ser obtida com uma regra de três simples: 
1cm no mapa ---------------------- 1000cm no mundo real 
30cm no mapa --------------------- D cm no mundo real 
 
1 x D = 30 x 1000 
D = 30000cm = 300m 
 
 Entendido? Trabalhar com escalas é muito simples, desde que você saiba 
montar a regra de três! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
1. FCC ± TRT/24ª ± 2011) Dois funcionários de uma Unidade do Tribunal Regional 
do Trabalho ± Matilde e Julião ± foram incumbidos de arquivar X processos. Sabe-
se que: trabalhando juntos, eles arquivariam 
3
5
de X em 2 horas; trabalhando 
sozinha, Matilde seria capaz de arquivar 
1
4
 de X em 5 horas. Assim sendo, quantas 
horas Julião levaria para, sozinho, arquivar todos os X processos? 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
RESOLUÇÃO: 
 O exercício apresentou dois casos: os 2 funcionários trabalhando juntos e 
Matilde trabalhando sozinha. E pediu um terceiro caso: Julião trabalhando sozinho. 
Nessas questões, não podemos assumir que os 2 funcionários tem a mesma 
eficiência, isto é, são capazes de arquivar o mesmo número de processos por hora. 
Estamos diante de um exercício onde há diferença de rendimento! Devemos, 
portanto, começar analisando o caso onde Matilde trabalha sozinha, pois assim 
saberemos de sua capacidade de trabalho. Feito isso, analisaremos o caso dos dois 
funcionários trabalhando juntos, para descobrir a capacidade de trabalho de Julião 
(uma vez que já saberemos a de Matilde). Por fim, podemos trabalhar com o caso 
de Julião trabalhando sozinho. Acompanhe tudo isso abaixo. 
 Matilde arquiva 
1
4
de X em 5 horas. As duas grandezas são diretamente 
proporcionais: quanto mais processos arquivados, mais tempo será gasto. Assim, 
podemos descobrir quanto Matilde arquiva em 2 horas (que é o tempo em que ela e 
Julião trabalharam juntos) utilizando uma regra de três simples: 
 
Número de processos arquivados por Matilde Tempo gasto 
1
4
X 5 
P 2 
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 Efetuando a multiplicação cruzada: 
1
2 5
4
2
5
4
5
2
2 5 10
X P
X
P
X
P
X X
P
u u
 
 
 u
 
 Portanto, em 2 horas Matilde arquiva 
10
X
processos. O enunciado disse que, 
trabalhando juntos, Matilde e Julião arquivam 
3
5
X em 2 horas. Como a parte de 
Matilde é de 
10
X
, restam para Julião: 
3
5 10
6
10 10
5
10
2
X
X
X
X
X
X
� 
� 
 
 
 Portanto, em 2 horas Julião arquiva 
2
X
 processos. Como Julião arquiva 
metade dos processos em 2 horas, ele arquivará todos os processos no dobro deste 
tempo (4 horas) trabalhando sozinho. Você também poderia descobrir isso através 
da seguinte regra de três: 
 
Número de processos arquivados Tempo gasto 
2
X
 2 
X T 
 
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2
2
1
2
2
4
X
T X
T
T
u u
u 
 
 
Resposta: A. 
 
2. FCC ± TRT/24ª ± 2011) Dois Analistas Judiciários de uma Unidade do Tribunal 
Regional do Trabalho ± Felício e Marieta ± foram incumbidos de analisar 56 
processos. Decidiram, então, dividir o total de processos entre si, em partes que 
eram, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais aos seus respectivos tempos de 
serviço no Tribunal e inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Se na 
ocasião, Felício era funcionário do Tribunal há 20 anos e tinha 48 anos de idade, 
enquanto que Marieta lá trabalhava há 8 anos, então, se coube a Marieta analisar 
21 processos, a sua idade: 
a) Era inferior a 30 anos 
b) Estava compreendida entre 30 e 35 anos 
c) Estava compreendida entre 35 e 40 anos 
d) Estava compreendida entre 40 e 45 anos 
e) Era superior a 45 anos 
RESOLUÇÃO: 
 Se Marieta analisou 21 processos, couberam a Felício 35 (56 ± 21). Assim, 
podemos listar as 3 grandezas mencionadas nessa questão (número de processos, 
idade e tempo de serviço) conforme abaixo: 
 
 
 
Número de processos Idade Tempo de serviço 
21 X 8 
35 48 20 
 
 No esquema acima, já colocamos uma seta ao lado da coluna Idade, pois é 
onde está a variável (X) que queremos descobrir, isto é, a idade de Marieta. 
Sabemos que o número de processos é inversamente proporcional às idades. 
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Portanto, devemos colocar uma seta na coluna Número de processos em sentido 
oposto àquela da coluna Idade: 
 
Número de processosIdade Tempo de serviço 
21 X 8 
35 48 20 
 
 Além disso, sabemos que o número de processos é diretamente proporcional 
ao tempo de serviço. Logo, devemos colocar uma seta na coluna Tempo de serviço 
no mesmo sentido daquela colocada na coluna Número de processos: 
 
Número de processos Idade Tempo de serviço 
21 X 8 
35 48 20 
 Assim, para ter todas as setas apontando no mesmo sentido, devemos 
inverter a ordem dos elementos da coluna Idade: 
 
Número de processos Idade Tempo de serviço 
21 48 8 
35 X 20 
 Nesse exercício, o enunciado já nos disse que a razão da coluna 
³Q~PHUR�GH�SURFHVVRV´�p�TXH�VHUi�SURSRUFLRQDO�jV�LGDGHV�H�WHPSRV�GH�VHUYLoR��2X�
seja, a proporção já está montada da seguinte forma: 
21 48 8
35 20X
 u 
 Veja abaixo os passos para obter X: 
21 48 8 48 2
35 20 5
21 96
35 5
35 96 7 96 1 96
32
21 5 21 1 3 1
X X
X
X
 u u
 
u u u u u u
 
 Assim, a idade de Marieta é 32 anos. 
Resposta: B. 
 
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3. FCC ± TRT/24ª ± 2011) De um curso sobre Legislação Trabalhista, sabe-se que 
participaram menos de 250 pessoas e que, destas, o número de mulheres estava 
para o de homens na razão de 3 para 5, respectivamente. Considerando que a 
quantidade de participantes foi a maior possível, de quantas unidades o número de 
homens excedia o de mulheres? 
a) 50 
b) 55 
c) 57 
d) 60 
e) 62 
RESOLUÇÃO: 
 Chamando de M o número de mulheres e H o de homens que 
participaram do curso, podemos montar a regra de três abaixo: 
 
Número de mulheres Número de homens 
3 5 
M H 
 Efetuando a multiplicação cruzada, temos: 
3 5
5
3
H M
M
H
 
 
 Assim, a soma do número de homens e mulheres que participaram do curso 
é de 
5 8
3 3
M M
H M M� � 
 Sabemos que o número total de participantes é o maior possível, porém 
abaixo de 250. Assim, 
8
250
3
M � e, portanto, 
3 250
8
93,75
M
M
u�
�
 
 O primeiro número natural abaixo de 93,75 é o próprio 93. Assim, M = 93 e: 
5 5 93
155
3 3
M
H
u 
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 Sendo 155 homens e 93 mulheres, a diferença entre esses dois números é 
de 62, ou seja, o número de homens excede o de mulheres em 62. 
Resposta: E. 
 
4. FCC ± TRT/19ª ± 2011) Em uma campanha publicitária, foram encomendados, 
em uma gráfica, quarenta e oito mil folhetos. O serviço foi realizado em seis dias, 
utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. Dado o sucesso 
da campanha, uma nova encomenda foi feita, sendo desta vez de setenta e dois mil 
folhetos. Com uma das máquinas quebradas, a gráfica prontificou-se a trabalhar 
doze horas por dia, entregando a encomenda em: 
a) 7 dias. 
b) 8 dias. 
c) 10 dias. 
d) 12 dias. 
e) 15 dias. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos quatro grandezas em jogo nesta questão: número de folhetos 
produzidos, número de dias de trabalho, número de máquinas trabalhando e jornada 
diária de cada máquina. Veja abaixo: 
Folhetos Dias Máquinas Jornada 
48000 6 2 8 
72000 X 1 12 
 Veja que já colocamos uma seta para cima (podia ter sido para baixo) na 
coluna onde está a variável que precisamos descobrir. O próximo passo é verificar 
se as outras grandezas são direta ou inversamente proporcionais ao número de 
Dias. 
 Quanto mais folhetos, mais dias serão necessários. Logo, Folhetos e Dias 
são diretamente proporcionais. Devemos colocar a seta na coluna Folhetos na 
mesma direção que colocamos na coluna Dias. 
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 Quanto mais máquinas, menos dias são necessários. São grandezas 
inversamente proporcionais. A seta será colocada em sentido contrário na coluna 
Máquinas. 
 Quanto maior a Jornada diária das máquinas, menos dias serão necessários. 
São também inversamente proporcionais, e a coluna Jornada terá seta em sentido 
contrário. Veja tudo isso abaixo: 
 
Folhetos Dias Máquinas Jornada 
48000 6 2 8 
72000 X 1 12 
 
 O próximo passo é inverter as colunas cuja seta está no sentido contrário, 
para deixar todas as setas alinhadas: 
Folhetos Dias Máquinas Jornada 
48000 6 1 12 
72000 X 2 8 
 
 Feito isso, podemos igualar a coluna onde está a variável X ao produto das 
outras colunas, montando a seguinte proporção: 
6 48000 1 12
72000 2 8X
 u u 
 Resolvendo, temos: 
6 48 1 3
72 2 2
6 2 1 3
3 2 2
1 1 1 1
3 2 2
12
X
X
X
X
 u u
 u u
 u u
 
 
 Portanto, serão necessários 12 dias para finalizar o trabalho. 
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Resposta: D. 
 
5. FCC ± TRT/4ª ± 2011) Certo dia, Jasão ± Analista Judiciário do Tribunal Regional 
do Trabalho ± recebeu um lote de processos, em cada um dos quais deveria emitir 
seu parecer. Sabe-se que ele executou a tarefa em duas etapas: pela manhã, em 
que emitiu pareceres para 60% do total de processos e, à tarde, em que os emitiu 
para os processos restantes. Se, na execução dessa tarefa, a capacidade 
operacional de Jasão no período da tarde foi 75% da do período da manhã, então, 
se pela manhã ele gastou 1 hora e 30 minutos na emissão dos pareceres, o tempo 
que gasto na emissão dos pareceres à tarde foi: 
a) 1 hora e 20 minutos 
b) 1 hora e 30 minutos 
c) 1 hora e 40 minutos 
d) 2 horas e 20 minutos 
e) 2 horas e 30 minutos 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo P o total de pareceres, sabemos que Jasão emitiu pareceres em 60% 
de P (ou 0,6P) em 90 minutos (1 hora e 30 minutos). Restaram 0,4P para o período 
vespertino. 
 À tarde a eficiência de Jasão caiu para 75% da eficiência da manhã, ou seja, 
nos mesmos 90 minutos Jasão não seria capaz de emitir pareceres em 0,6P, mas 
apenas em 75% desta quantidade, isto é, 0,75 (0,6 )Pu , ou simplesmente 0,45P. 
Portanto, à tarde, Jasão é capaz de emitir pareceres em 0,45P em 90 minutos. 
Como restam 0,4P, podemos montar a seguinte regra de três: 
Número de pareceres Tempo de trabalho 
0,45P 90 
0,40P T 
 Logo, 0,45 0,40 90P T Pu u . Simplificando para obter T, teremos: 
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0,45 0,40 90
0,40 90
0,45
40 90 40 2
80
45 1
T
T
T
u u
u 
u u 
 
 Portanto, Jasão precisará de 80 minutos (1 hora e 20 minutos) para emitir 
pareceres nos 0,4P que ficaram para o período da tarde. 
Resposta: A. 
 
6. FCC ± TRT/4ª ± 2011) Considere que Asdrúbal tem um automóvel que, em 
média, percorre 14 quilômetros de estrada com 1 litro de gasolina. Certo dia, após 
ter percorrido 245 quilômetrosde uma rodovia, Asdrúbal observou que o ponteiro do 
marcador da gasolina, que anteriormente indicava a ocupação de 
5
8
da capacidade 
do tanque, passara a indicar uma ocupação de 
1
3
. Nessas condições, é correto 
afirmar que a capacidade do tanque de gasolina desse automóvel, em litros, é: 
a) 50 
b) 52 
c) 55 
d) 60 
e) 65 
RESOLUÇÃO: 
 Chamemos de C a capacidade do tanque. O ponteiro estava na posição 
5
8
 
de C, ou seja, 
5
8
Cu . Em outras palavras, o tanque possuía a quantidade de 
combustível equivalente a 
5
8
Cu . Ao final do percurso, o ponteiro indicava a 
posição 
1
3
 de C (
1
3
Cu ), indicando uma quantidade de combustível de 1
3
Cu . 
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Portanto, o gasto de combustível é a subtração da quantidade inicial menos a 
quantidade final: 
5 1 (15 8) 7
8 3 24 24
Gasto C C C C
� u � u u u 
 Por outro lado, sabemos que o carro percorre 14km com 1 litro, e que 
percorreu 245km. Podemos descobrir o total de combustível gasto com uma regra 
de três simples: 
14km 1 litro 
245km Gasto 
14 245 1
17,5
Gasto
Gasto
u u
 
 Como 17,5Gasto e, também, 7
24
Gasto C u , então: 
7
17,5
24
24
17,5 60
7
C
C
 u
 u 
 
 Logo, a capacidade total do tanque é de 60 litros. 
Resposta: D. 
 
7. FCC ± TRT/4ª ± 2011) Ultimamente tem havido muito interesse no 
aproveitamento da energia solar para suprir outras fontes de energia. Isso fez com 
que, após uma reforma, parte do teto de um salão de uma empresa fosse 
substituída por uma superfície retangular totalmente revestida por células solares, 
todas feitas de um mesmo material. Considere que: 
- células solares podem converter a energia solar em energia elétrica e que para 
cada centímetro quadrado de celular solar que recebe diretamente a luz do sol é 
gerada 0,01 watt de potência elétrica; 
- a superfície revestida pelas células solares tem 3,5 m de largura e 8,4 m de 
comprimento. 
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Assim sendo, se a luz do sol incidir diretamente sobre tais células, a potência 
elétrica que elas serão capazes de gerar em conjunto, em watts, é: 
a) 294000 
b) 38200 
c) 29400 
d) 3820 
e) 2940 
RESOLUÇÃO: 
 1 metro é igual a 100 centímetros. Portanto, 3,5m = 350cm e 8,4m = 840cm. 
Lembrando ainda que a área de um retângulo é dada pela multiplicação de sua 
largura pelo seu comprimento, podemos dizer que a área da superfície de células 
solares é: 
2
largura×comprimento
350 840
294000
Área
Área cm cm
Área cm
 
 u
 
 
 Se 21cm gera 0,01 watt, então com uma regra de três podemos descobrir 
quantos watts serão gerados por 2294000cm : 
21cm ----------------------------- 0,01 watt 
2294000cm ------------------------------- P 
 Portanto, 
1 294000 0,01
2940
P
P
u u
 
Resposta: E. 
 
8. FCC ± TRT/4ª ± 2011) Ao saber que alguns processos deviam ser analisados, 
dois Analistas Judiciários do Tribunal Regional do Trabalho ± Sebastião e Johnny ± 
se incumbiram dessa tarefa. Sabe-se que: 
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- dividiram o total de processos entre si, em partes inversamente proporcionais a 
seus respectivos tempos de serviço no Tribunal: 15 e 5 anos 
- Sebastião levou 4 horas para, sozinho, analisar todos os processos que lhe 
couberam, enquanto que, sozinho, Johnny analisou todos os seus em 6 horas. 
Se não tivessem dividido o total de processos entre si e trabalhassem 
simultaneamente em processos distintos, quanto tempo seria necessário até que 
todos os processos fossem analisados? 
a) 5 horas e 20 minutos 
b) 5 horas 
c) 4 horas e 40 minutos 
d) 4 horas e 30 minutos 
e) 4 horas 
RESOLUÇÃO: 
 Seja S o número de processos que ficaram para Sebastião e J os que 
ficaram para Johnny ao efetuarem a divisão dos processos. Sabemos que S e J são 
inversamente proporcionais a 15 e 5 anos. Ou seja: 
5
15
S
J
 
 Observe que, para montar a proporção acima, foi preciso inverter a ordem da 
coluna dos tempos de serviço. Da igualdade acima, podemos dizer que: 
15 5
3
S J
S J
 
 
 O total de processos é igual a S + J. Como 3S = J, então o total de processos 
é igual a S + 3S = 4S. 
 O enunciado diz que Sebastião levou 4 horas para analisar S processos. 
Vejamos quantos processos ele é capaz de analisar em 1 hora: 
4 horas S processos 
1 hora X processos 
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4 1
4
X S
S
X
u u
 
 Logo, Sebastião é capaz de analisar 
4
S
 processos por hora. 
 Johnny levou 6 horas para analisar todos os seus 3S processos. É fácil obter 
quantos processos ele é capaz de analisar em 1 hora: 
6 horas 3S processos 
1 hora Y processos 
6 1 3
2
Y S
S
Y
u u
 
 Percebemos com isso que Johnny seria capaz de analisar 
2
S
 processos em 
1 hora. Note que Johnny analisa o dobro de processos que Sebastião em 1 hora. 
Ou seja, Johnny é duas vezes mais eficiente que Sebastião. Esse é o detalhe mais 
importante dessa questão: em momento algum foi dito que os servidores tinham a 
mesma eficiência! Vamos continuar. 
Juntos, Sebastião e Johnny são capazes de analisar 
3
4 2 4
S S S� processos 
por hora. Vejamos quanto tempo eles precisam para analisar todos os 4S 
processos: 
3
4
S
 processos 1 hora 
4S processos T 
3
4 1
4
3
4 1
4
16 15 1 1
5
3 3 3 3
S
T S
T
T
u u
u u
 � �
 
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 Portanto, o tempo total necessário é de 5 horas, mais 
1
3
 de hora (isto é, 20 
minutos). 
Resposta: A. 
 
9. FCC ± TRT/22ª ± 2010) Dois funcionários de uma Unidade do Tribunal Regional 
do Trabalho ± Moisés e Nuno ± foram incumbidos da manutenção de n 
equipamentos de informática. Sabe-se que, Moisés é capaz de executar essa tarefa 
sozinho em 4 horas de trabalho ininterrupto e que Nuno tem 80% da capacidade 
operacional de Moisés. Assim sendo, se, num mesmo instante, ambos iniciarem 
simultaneamente a manutenção dos n equipamentos, então, após um período de 
duas horas, 
a) O trabalho estará concluído 
b) Ainda deverá ser feita a manutenção de 20% dos n equipamentos 
c) Ainda deverá ser feita a manutenção de 10% dos n equipamentos 
d) Terá sido executada a manutenção de 
3
8
 dos n equipamentos 
e) Terá sido executada a manutenção de 
4
5
 dos n equipamentos 
RESOLUÇÃO: 
 Dado que Moisés executa a manutenção de n equipamentos em 4 horas, 
vejamos em quantos equipamentosele executa o trabalho a cada 1 hora: 
n equipamentos 4 horas 
X 1 hora 
1 4n Xu u 
4
n
X 
 Sabemos que a capacidade operacional de Nuno é 80% da de Moisés. Ou 
seja, em 1 hora, Nuno executa a manutenção em 80% dos equipamentos que 
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0RLVpV� H[HFXWD�� 9RFr� GHYH� JUDYDU� TXH� ³���� GH�
4
n ´� SRGH� VHU� HVFULWR�
matematicamente como 0,8
4
nu �EDVWD�PXOWLSOLFDU�R�³GH´�SHOD�PXOWLSOLFDomR�� 
 Trabalhando juntos, Moisés irá executar a manutenção em 
4
n
 equipamentos 
e Nuno em 0,8
4
nu equipamentos em 1 hora. Ou seja, juntos eles atuam sobre 
0,8 1,8
4 4 4
n n n� u u equipamentos em 1 hora. Vejamos quantos equipamentos serão 
tratados em 2 horas, conforme pede o exercício: 
1 hora 1,8
4
nu 
2 horas X 
1 2 1,8
4
2 1,8 3,6 0,9
4 4
n
X
n n
X n
u u u
 u u u u
 
 Se 0,9n equipamentos (ou seja, 90% dos n equipamentos) já tiverem sido 
tratados, faltará executar a manutenção em 10% deles (isto é, n ± 0,9n = 0,1n). 
Resposta: C. 
 
10. FCC ± TRT/9ª ± 2010) Certo dia, Zelda e Gandi, funcionários de certa unidade 
do Tribunal Regional do Trabalho, receberam alguns processos para emitir 
pareceres e os dividiram entre si na razão inversa de suas respectivas idades: 28 e 
42 anos. Considerando que, na execução dessa tarefa, a capacidade operacional 
de Gandi foi 80% da de Zelda e que ambos a iniciaram em um mesmo horário, 
trabalhando ininterruptamente até completá-la, então, se Gandi levou 2 horas e 10 
minutos para terminar a sua parte, o tempo que Zelda levou para completar a dela 
foi de: 
a) 1 hora e 24 minutos 
b) 1 hora e 38 minutos 
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c) 1 hora e 52 minutos 
d) 2 horas e 36 minutos 
e) 2 horas e 42 minutos 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos resolver mais rápido, dado que você já deve ter pegado a prática até 
aqui. Sendo Z os processos de Zelda e G os de Gandi, temos: 
42 3
28 2
3
2
Z
G
Z G
 
 
 
 Obtendo a quantidade de processos trabalhados por Gandi em 1 hora (60 
minutos): 
G processos 130 minutos (2 horas e 10 minutos) 
X processos 60 minutos 
60 130
6
13
G X
X G
u u
 u 
Seja N o número de processos que Zelda trabalha em 1 hora. Sabemos que 
X (processos de Gandi em 1 hora) é igual a 80% de N, ou seja: 
0,8
6 80
13 100
6 100 6 5 15
13 80 13 4 26
X N
G N
N G G G
 u
u u
 u u u u u
 
 Portanto, Zelda trabalha 
15
26
Gu processos em 1 hora. Calculemos então 
quanto tempo será preciso para trabalhar todos os seus processos (
3
2
G , calculado 
acima): 
15
26
Gu processos 60 minutos 
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3
2
G processos T minutos 
15 3
60
26 2
15 3
60
26 2
3 26 3 13 3 13
60 60 4 156
2 15 1 15 1 1
G T G
T
T
u u u
u u
 u u u u u u 
 
 Zelda precisará de 156 minutos, ou seja, 2 horas e 36 minutos. 
Resposta: D. 
 
11. FCC ± TRT/14ª ± 2011) Ao serem contabilizados os dias de certo mês, em que 
três Técnicos Judiciários de uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho 
prestaram atendimento ao público, constatou-se o seguinte: 
± a razão entre os números de pessoas atendidas por Jasão e Moisés, nesta ordem, 
era 3/5; 
± o número de pessoas atendidas por Tadeu era 120% do número das atendidas 
por Jasão; 
± o total de pessoas atendidas pelos três era 348. 
Nessas condições, é correto afirmar que, nesse mês 
(A) Tadeu atendeu a menor quantidade de pessoas. 
(B) Moisés atendeu 50 pessoas a mais que Jasão. 
(C) Jasão atendeu 8 pessoas a mais que Tadeu. 
(D) Moisés atendeu 40 pessoas a menos que Tadeu. 
(E) Tadeu atendeu menos que 110 pessoas. 
RESOLUÇÃO: 
 Assumindo que J pessoas foram atendidas por Jasão, M por Moisés e T por 
Tadeu, sabemos que: 
± a razão entre os números de pessoas atendidas por Jasão e Moisés, nesta ordem, 
era 3/5; 
 Com essa informação, podemos montar a seguinte proporção: 
3
5
J
M
 
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± o número de pessoas atendidas por Tadeu era 120% do número das atendidas 
por Jasão; 
 Com isso, sabemos que: 
T = 120% x J = 1,2 J 
± o total de pessoas atendidas pelos três era 348. 
 Essa última informação nos diz que J + M + T = 348. 
 
 Com isso, temos as 3 equações abaixo: 
3
5
1,2
348
J
M
T J
J M T
­ °° ®° � � °¯
 
 Para resolver um sistema como este, basta escrever todas as variáveis em 
função de apenas uma delas. Podemos, na primeira equação, isolar M: 
3
5
5 3
5
3
J
M
J M
J
M
 
 
 
 
 A segunda equação já nos diz que T = 1,2J. Portanto, vamos substituir M e T 
na terceira equação pelas expressões acima. Acompanhe: 
348
5
1,2 348
3
3 5 3,6 348 3
11,6 1044
1044 / 11,6 90
J M T
J
J J
J J J
J
J
� � 
� � 
� � u
 
 
 
 Portanto, Jasão atendeu 90 pessoas. Com as expressões anteriores, 
podemos obter o valor de M e T: 
5 5 90
150
3 3
J
M
u 
1,2 1,2 90 108T J u 
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 Veja que, de fato, 90 + 150 + 108 = 348, como disse o enunciado. Portanto, a 
alternativa E está correta, pois Tadeu atendeu menos de 110 pessoas (atendeu 
108). 
Resposta: E. 
 
12. FCC ± TRT/14ª ± 2011) 7UDEDOKDQGR�HP�FRQMXQWR��GRLV�7pFQLFRV�-XGLFLiULRV�í�
*DVSDU�H�+HUDOGR�í�JDVWDUDP���KRUDV�H����PLQXWRV�SDUD�DUTXLYDU�FHUWD�TXDQWLGDGH�
de processos. Sabendo que, sozinho, Gaspar teria arquivado todos os processos 
em 5 horas de trabalho ininterrupto, o esperado é que, sozinho, Heraldo seria capaz 
de realizar tal tarefa se trabalhasse por um período de 
(A) 9 horas. 
(B) 9 horas e 20 minutos. 
(C) 9 horas e 40 minutos. 
(D) 10 horas. 
(E) 10 horas e 20 minutos. 
RESOLUÇÃO: 
 Primeiramente, vamos escrever 3 horas e 20 minutos em horas apenas. 
Sabemos que 1 hora é igual a 60 minutos. Podemos usar a seguinte regra de três 
para obter o valor de 20 minutos em horas: 
 
 
Minutos Horas 
60 1 
20 X 
 Portanto: 
60 1 20
20 1
60 3
X
X
 u
 
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 Isto é, 20 minutos correspondem a 1/3 de hora. Portanto, 3 horas e 20 
minutos são 
1
3
3
§ ·�¨ ¸© ¹ horas, isto é, 
10
3
 horas. 
 Chamemos de P o total de processos a serem arquivados.Se Gaspar é 
capaz de arquivar todos em 5 horas, vejamos quantos ele é capaz de arquivar em 3 
horas e 20 minutos, através da regra de três abaixo: 
 
Tempo de trabalho Quantidade de processos 
5 horas P 
10
3
 horas Gaspar 
 Assim: 
10
5
3
1 10 2
5 3 3
Gaspar P
Gaspar P P
 
 u 
 
 Sabemos que, trabalhando juntos, os funcionários levaram 3 horas e 20 
minutos para arquivar P processos. Deste total, Gaspar arquivou 
2
3
P . Portanto, a 
quantidade de processos arquivada por Heraldo neste mesmo período foi de: 
Heraldo + Gaspar = P 
Heraldo = P ± Gaspar 
Heraldo = P ± 2
3
P = 
1
3
P 
 Com isso, sabemos que Heraldo é capaz de arquivar 
1
3
P processos em 3 
horas e 20 minutos (isto é, 
10
3
horas). A regra de três a seguir nos permite descobrir 
quanto tempo Heraldo levaria para arquivar P processos: 
 
 
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Tempo de trabalho Processos arquivados 
10
3
horas 
1
3
P 
T P 
 
10 1
3 3
10 1
3 3
10
P T P
T
T
u u
 u
 
 
 Portanto, Heraldo levaria 10 horas para arquivar todos os processos sozinho 
(letra D). Observe que este é o resultado esperado, pois uma vez que a eficiência 
de Heraldo é a metade da eficiência de Gaspar (afinal ele só arquiva 1/3 dos 
processos no mesmo tempo que Gaspar arquiva 2/3, isto é, o dobro), ele deve 
gastar o dobro do tempo que Gaspar gastaria para arquivar todos os processos 
sozinho (como Gaspar gasta 5 horas, Heraldo gasta 10). 
Resposta: D 
 
Atenção: para responder às duas próximas questões, use os dados do texto 
seguinte. 
Sabe-se que Julião tem 30 anos de idade e Cosme tem 45 e que ambos são 
Técnicos Judiciários de uma mesma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho da 
4ª Região há 6 e 15 anos, respectivamente. 
 
13. FCC ± TRT/4ª ± 2011) Certo dia, Julião e Cosme foram incumbidos de arquivar 
alguns documentos e dividiram o total entre si na razão inversa de suas respectivas 
idades. Considerando que os dois executaram a sua parte da tarefa com a mesma 
capacidade operacional, então, se Julião levou 2 horas e 30 minutos para arquivar a 
sua parte, Cosme arquivou a sua em: 
a) 2 horas e 40 minutos 
b) 2 horas e 10 minutos 
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c) 1 hora e 50 minutos 
d) 1 hora e 40 minutos 
e) 1 hora e 30 minutos 
RESOLUÇÃO: 
 Imagine novamente que temos um total de P processos a serem arquivados, 
ficando J processos a cargo de Julião e C processos a cargo de Cosme. Assim, 
temos: 
 
Quantidade de processos Idade 
J 30 
C 45 
 No esquema acima já coloquei uma seta nas quantidades de 
processos. A divisão dos processos foi na razão inversa das idades. Portanto, 
devemos colocar uma seta no sentido inverso na coluna das idades: 
 
Quantidade de processos Idade 
J 30 
C 45 
 
 Antes de efetuar a multiplicação cruzada, devemos inverter a coluna das 
idades: 
 
Quantidade de processos Idade 
J 45 
C 30 
 
 Assim, temos: 
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30 45
30 2
45 3
J C
C J J
u u
 u u 
 Ou seja, a quantidade de processos de Cosme é igual à quantidade de 
Julião, multiplicada por 2/3. Sabendo que Julião levou 2,5 horas para finalizar os 
seus processos, a regra de três abaixo nos permite obter o tempo gasto por Cosme: 
Quantidade de processos Tempo de trabalho 
J 2,5 
2
3
J u T 
 Efetuando a multiplicação cruzada, temos: 
2
2,5
3
2 2 5 5
2,5
3 3 2 3
J T J
T
u u u
 u u 
 
 Ou seja, Cosme precisa de 5/3 horas para finalizar seu trabalho, ou seja, 1 
hora e 40 minutos. 
Resposta: D 
 
14. FCC ± TRT/4ª ± 2011) Suponha que as quantidades de horas extras cumpridas 
por Julião e Cosme ao longo de certo mês eram diretamente proporcionais aos seus 
respectivos tempos de serviço no Tribunal. Assim sendo, se, juntos, eles cumpriram 
o total de 28 horas extras, é correto afirmar que: 
a) Julião cumpriu 12 horas extras a menos que Cosme 
b) Julião cumpriu 8 horas extras a mais do que Cosme 
c) o número de horas extras cumpridas por Julião era 30% do de Cosme 
d) o número de horas extras cumpridas por Cosme era 62% do de Julião 
e) Cosme cumpriu 4/7 do total de horas extras 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo J o número de horas extras cumpridas por Julião e C as cumpridas 
por Cosme, sabemos que J + C = 28. 
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 Podemos montar ainda a regra de três abaixo, lembrando que as horas 
extras são diretamente proporcionais aos tempos de serviço: 
 
Horas extras Tempo de serviço 
J 6 
C 15 
 A multiplicação cruzada nos dá: 
15 6J Cu u 
ou seja, 
15 6
15 5
6 2
J C
C J J
u u
 u u 
 Como 
5
2
C J u , podemos efetuar a substituição de C na primeira equação: 
28
5
28
2
7
28
2
28 2
8
7
J C
J J
J
J
� 
� u 
u 
u 
 
 Como Julião cumpriu 8 horas extras, e o total era de 28 horas extras, então 
Cosme cumpriu 20 horas extras. Podemos afirmar que Julião cumpriu 12 horas 
extras a menos que Cosme, como diz a letra A. 
Resposta: A 
 
15. FCC ± TRF/1ª ± 2011) Dois Técnicos Judiciários de um setor do Tribunal 
5HJLRQDO�)HGHUDO�í�3DXOR�H�-RmR�í�WrP��UHVSHFWLYDPHQWH�����H����DQRV�GH�LGDGH�H�
seus respectivos tempos de trabalho nesse setor são 6 e 9 anos. Incumbidos de 
arquivar os documentos de um lote, eles os dividiram entre si em partes diretamente 
proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço nesse setor, cabendo a Paulo 
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78 documentos. Se a divisão tivesse sido feita em partes inversamente 
proporcionais às suas respectivas idades, quantos documentos caberiam a João? 
(A) 82. 
(B) 85. 
(C) 87. 
(D) 90. 
(E) 105. 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo P a quantidade de documentos que cabem a Paulo e J os que cabem 
a João, podemos montar a seguinte regra de três, uma vez que a divisão dos 
documentos foi feita, inicialmente, em partes diretamente proporcionais aos tempos 
de serviço: 
Quantidade de documentos Tempo de serviço 
P 6 
J 9 
 
 Como as grandezas são diretamente proporcionais, podemos efetuar a 
multiplicação cruzada sem se preocupar em colocar as setas: 
9 6P Ju u 
 Como couberam 78 documentos a Paulo, podemos afirmar que P = 78. 
Assim, podemos obter o valor de J: 
78 9 6Ju u 
78 9
6
J
u 
117 J 
 Portanto, ao todo temos 195 documentos (78 + 117). Dividindo-os de maneirainversamente proporcional às idades, temos: 
 
 
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Quantidade de documentos Idades 
P 30 
J 35 
 Veja que já coloquei as setas no esquema acima. Para deixá-las alinhadas, 
precisamos inverter uma das colunas. Assim, temos: 
Quantidade de documentos Idades 
P 35 
J 30 
 Com isso, podemos efetuar a multiplicação cruzada: 
30 35P Ju u 
 Sabemos ainda que P + J = 195, pois o número de documentos não se 
alterou. Portanto, temos o sistema abaixo: 
30 35
195
P J
P J
u u­® � ¯
 
 Podemos isolar P na primeira equação: 
35
30
J
P
u 
 A seguir, podemos substituir essa expressão na segunda equação: 
35
195
30
35 30 195 30
90
J
J
J J
J
u � 
u � u u
 
 
 Assim, João ficou responsável por 90 documentos. 
Resposta: D 
 
16. FCC ± TRF/4ª ± 2010) Sejam x , y e z três números inteiros e positivos, tais que 
x < y < z. Sabe-se que o maior é a soma dos outros dois, e que o menor é um sexto 
do maior. Nessas condições, x, y e z são, nesta ordem, diretamente proporcionais a 
(A) 1, 3 e 6. 
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(B) 1, 4 e 6. 
(C) 1, 5 e 6. 
(D) 1, 6 e 7. 
(E) 1, 7 e 8. 
RESOLUÇÃO: 
 O exercício diz que o maior número (z) é igual à soma dos outros dois. Isto é: 
z x y � 
 Além disso, o menor (x) é igual a um sexto do maior (z): 
1
6
x z 
 Substituindo esta última relação na primeira equação, podemos escrever y 
em termos de z: 
1
6
1 5
6 6
z x y
z z y
y z z z
 �
 �
 � 
 
 Portanto, colocando os 3 números em ordem crescente, temos: 
x, y e z 
ou melhor: 
1 5
, e 
6 6
z z z 
 Observe que, ao dividir x por 1, obtém-se o mesmo resultado da divisão de y 
por 5, ou da divisão de z por 6: 
1
1 6
x
z 
5
16 =
5 5 6
zy
z 
1
6 6
z
z 
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 Ou seja, x, y e z são proporcionais a 1, 5 e 6: 
1 5 6
x y z 
Resposta: C 
 
17. FCC ± TRF/4ª ± 2010) Oito trabalhadores, trabalhando com desempenhos 
constantes e iguais, são contratados para realizar uma tarefa no prazo estabelecido 
de 10 dias. Decorridos 6 dias, como apenas 40% da tarefa havia sido concluída, 
decidiu-se contratar mais trabalhadores a partir do 7o dia, com as mesmas 
características dos anteriores, para concluir a tarefa no prazo inicialmente 
estabelecido. A quantidade de trabalhadores contratados a mais, a partir do 7o dia, 
foi de 
(A) 6. 
(B) 8. 
(C) 10. 
(D) 12. 
(E) 18. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos imaginar que a tarefa completa a ser realizada seja T. Sabemos que 8 
trabalhadores executaram em 6 dias 0,4T (40% da tarefa). Precisamos saber 
quantos homens serão necessários para, nos 4 dias restantes, executar 0,6T (isto é, 
completar a tarefa). Vamos preparar a regra de três com as grandezas dadas no 
exercício: 
Homens trabalhando Tarefa Dias de trabalho 
8 0,4T 6 
X 0,6T 4 
 Uma vez montada a tabela acima, onde já coloquei uma seta na grandeza 
que queremos descobrir, precisamos avaliar se as demais grandezas são direta ou 
inversamente proporcionais. 
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 Quanto mais homens trabalhando, uma quantidade maior da tarefa pode ser 
concluída. Portanto, essas duas grandezas são diretamente proporcionais. Vamos 
colocar uma seta no mesmo sentido (para baixo) na grandeza Tarefa. 
 Quanto mais homens trabalhando, menos dias de trabalho são necessários. 
Estamos diante de grandezas inversamente proporcionais. Vamos colocar uma seta 
no sentido contrário (para cima) na grandeza Dias de trabalho. Assim, temos: 
 
Homens trabalhando Tarefa Dias de trabalho 
8 0,4T 6 
X 0,6T 4 
 
 Invertendo a última coluna, temos as 3 setas alinhadas: 
 
Homens trabalhando Tarefa Dias de trabalho 
8 0,4T 4 
X 0,6T 6 
 
 Feito isso, basta montar a proporção, igualando a razão onde se encontra a 
variável X ao produto das demais razões: 
8 0,4 4
0,6 6
T
X T
 u 
 Podemos cortar a variável T, que não nos interessa, e isolar X, obtendo seu 
valor: 
8 0,4 4
0,6 6
1 0,2 1
0,6 6
3,6 36
18
0,2 2
X
X
X
 u
 u
 
 
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 Portanto, serão necessários 18 homens trabalhando nos 4 dias restantes 
para finalizar o trabalho. Como já tínhamos 8 homens trabalhando, será preciso 
contratar mais 10 pessoas. 
Resposta: C 
 
18. FCC ± TCE/SP ± 2012) O robô A percorre um segmento de reta com medida 
par, em metros, em 20 segundos cada metro; um segmento de reta com medida 
ímpar, em metros, é percorrido em 30 segundos cada metro. O robô B percorre em 
20 segundos cada metro os segmentos de medida ímpar, em metros. Os segmentos 
de medida par, em metros, o robô B percorre em 30 segundos. Um percurso com 
segmentos de reta de 2 metros, 3 metros, 4 metros, 7 metros, 4 metros e 3 metros 
será percorrido pelo robô mais rápido, neste percurso, com uma vantagem, em 
segundos, igual a 
(A) 20. 
(B) 30. 
(C) 40. 
(D) 50. 
(E) 60. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos utilizar regras de três para calcular o tempo gasto por cada robô para 
percorrer cada segmento. Vejamos: 
1) Segmentos de medida par. Estes segmentos somam 2 + 4 + 4 = 10 metros. 
Vejamos o tempo gasto por cada robô: 
Robô A: 
1 metro --------------------------- 20 segundos 
10 metros ------------------------- TempoA 
TempoA = 200 segundos 
 
 
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Robô B: 
1 metro --------------------------- 30 segundos 
10 metros ------------------------- TempoB 
TempoB = 300 segundos 
 
2) Segmentos de medida ímpar. Estes segmentos somam 3 + 7 + 3 = 13 
metros. Vejamos o tempo gasto por cada robô: 
Robô A: 
1 metro --------------------------- 30 segundos 
13 metros ------------------------- TempoA 
TempoA = 390 segundos 
Robô B: 
1 metro --------------------------- 20 segundos 
13 metros ------------------------- TempoB 
TempoB = 260 segundos 
 Assim, o tempo total gasto pelo Robô A é de 200 + 390 = 590 segundos, e 
pelo Robô B é de 300 + 260 = 560 segundos. A diferença é de: 
590 ± 560 = 30 segundos 
Resposta: B 
 
19. FCC ± TRF/2ª ± 2012) Duas empresas X e Y têm, respectivamente, 60 e 90 
funcionários. Sabe-seque, certo dia, em virtude de uma greve dos motoristas de 
ônibus, apenas 42 funcionários de X compareceram ao trabalho e que, em Y, a 
frequência dos funcionários ocorreu na mesma razão. Nessas condições, quantos 
funcionários de Y faltaram ao trabalho nesse dia? 
a) 36 
b) 33 
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c) 30 
d) 27 
e) 20 
RESOLUÇÃO: 
 Se 42 funcionários de X compareceram, então 18 faltaram. Chamando de Z o 
número de funcionários que faltaram na empresa Y, podemos montar a seguinte 
proporção: 
Total de funcionários de X --------------------- Número de faltantes em X 
Total de funcionários de Y --------------------- Número de faltantes em Y 
 
 Colocando os valores que o enunciado forneceu, temos: 
60 ------------------------ 18 
90 ------------------------ Z 
 
 Logo, Z = 90 x 18 / 60 = 27. Isto é, 27 funcionários de Y faltaram ao trabalho. 
Resposta: D 
 
20. FCC ± TRF/2ª ± 2012) Certo dia, dois Técnicos Judiciários de uma Unidade do 
Tribunal Regional Federal ± Nilmar e Abraão ± foram incumbidos de arquivar 105 
documentos e expedir um lote com 80 unidades de correspondências. Sabe-se que, 
para a execução de tal tarefa, eles dividiram o total de documentos entre si na razão 
inversa de suas respectivas idades e o total de correspondências, na razão direta de 
seus tempos de serviço no Tribunal. Assim sendo, se Nilmar tem 30 anos de idade e 
trabalha há 8 anos no Tribunal, enquanto que Abraão tem 40 anos e lá trabalha há 
12 anos, é correto afirmar que: 
a) Nilmar arquivou 15 documentos a mais do que o total daqueles arquivados por 
Abraão 
b) Abraão expediu o dobro do número de correspondências expedidas por Nilmar 
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c) o número de documentos arquivados por Abraão foi maior que a quantidade de 
correspondências que ele expediu 
d) o número de correspondências expedidas por Nilmar foi maior que a quantidade 
de documentos que ele arquivou 
e) Abraão e Nilmar arquivaram quantidades iguais de documentos 
RESOLUÇÃO: 
 No caso dos documentos, a divisão é inversamente proporcional às idades. 
Logo, podemos montar a proporção abaixo, chamando de N os documentos de 
Nilmar e A os documentos de Abraão: 
N ------- 40 
A ------- 30 
 Veja que, nessa proporção, já invertemos a posição da coluna das idades. 
Logo, 3N = 4A. Como A + N = 105, então N = 105 ± A. Assim: 
3 (105 ± A) = 4A 
315 = 7A 
A = 45 Æ N = 60 
 
 No caso das correspondências, a divisão é diretamente proporcional aos 
tempos de serviço. Assim, podemos montar a seguinte proporção, onde N é o 
número de correspondências de Nilmar e A o número de correspondências de 
Abraão: 
 
N ------- 8 
A ------- 12 
Logo, 12N = 8A. Como A + N = 80, então N = 80 ± A. Portanto: 
12 (80 ± A) = 8A 
3 (80 ± A) = 2A 
240 = 5A 
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A = 48 Æ N = 80 ± 48 = 32 
 
 Assim, ao todo Abraão arquivou 45 documentos e expediu 48 
correspondências, enquanto Nilmar arquivou 60 documentos e expediu 32 
correspondências. 
Resposta: A 
 
21. FCC ± TRF/2ª ± 2012) Suponha que, pelo consumo de energia elétrica de uma 
máquina, que durante 30 dias funciona ininterruptamente 8 horas por dia, paga-se o 
total de R$288,00. Se essa máquina passar a funcionar 5 horas por dia, a despesa 
que ela acarretará em 6 dias de funcionamento ininterrupto será de: 
a) R$36,00 
b) R$36,80 
c) R$40,00 
d) R$42,60 
e) R$42,80 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui temos 3 grandezas: dias de funcionamento, horas de funcionamento por 
dia, e valor da conta de energia. Assim, temos: 
30 dias ------------ 8 horas por dia -------------- 288 reais 
6 dias ------------ 5 horas por dia -------------- X reais 
 Sabemos que, quanto maior o número de dias, maior a conta de energia. 
Essas grandezas são diretamente proporcionais. Da mesma forma, quanto maior o 
número de horas de funcionamento por dia, maior a conta de energia. Também são 
grandezas diretamente proporcionais. Assim, basta montar a proporção, igualando a 
razão da coluna onde está o X com a multiplicação das demais razões: 
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288 30 8
6 5
288 85
5
36
X
X
X reais
 u
 u
 
 
Resposta: A 
 
22. FCC ± MPE/PE ± 2012) Um casal de idosos determinou, em testamento, que a 
quantia de R$ 4.950,00 fosse doada aos três filhos de seu sobrinho que os ajudara 
nos últimos anos. O casal determinou, também, que a quantia fosse distribuída em 
razão inversamente proporcional à idade de cada filho por ocasião da doação. 
Sabendo que as idades dos filhos eram 2, 5 e x anos respectivamente, e que o filho 
de x anos recebeu R$ 750,00, a idade desconhecida é, em anos, 
(A) 4. 
(B) 6. 
(C) 7. 
(D) 9. 
(E) 8. 
RESOLUÇÃO: 
 Como os valores são inversamente proporcionais às idades, podemos 
também dizer que os valores recebidos são diretamente proporcionais aos inversos 
das idades, ou seja: 
4950 -------------------------- 
1 1 1
2 5x
� � 
750 ---------------------------- 
1
x
 
 
 Assim, temos: 
01780543565
01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos
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1
750
1 1 14950
2 5
x
x
 
� �
 
1
750
10 5 24950
10 10 10
x
x x
x x x
 
� �
 
1
750
10 74950
10
x
x
x
 � 
750 1 10
4950 10 7
x
x x
 u � 
750 1 10
4950 1 10 7x
 u � 
x = 8 
Resposta: E 
 
23. FCC ± MPE/PE ± 2012) O dono de uma obra verificou que, com o ritmo de 
trabalho de 15 trabalhadores, todos trabalhando apenas 4 horas por dia, o restante 
de sua obra ainda levaria 12 dias para ser encerrado. Para terminar a obra com 9 
dias de trabalho o dono da obra resolveu alterar o número de horas de trabalho por 
dia dos trabalhadores. Com a proposta feita, cinco trabalhadores se desligaram da 
obra. Com o pessoal reduzido, o número de horas de trabalho por dia aumentou 
ainda mais e, mesmo assim, houve acordo e as obras foram retomadas, mantendo-
se o prazo final de 9 dias. Após três dias de trabalho nesse novo ritmo de mais 
horas de trabalho por dia, cinco trabalhadores se desligaram da obra. O dono 
desistiu de manter fixa a previsão do prazo, mas manteve o número de horas de 
trabalho por dia conforme o acordo. Sendo assim, os trabalhadores restantes 
terminaram o que faltava da obra em uma quantidade de dias igual a 
(A) 42. 
(B) 36. 
01780543565
01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos
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(C) 24. 
(D) 12. 
(E) 8. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos 3 grandezas envolvidas nesse exercício: número de trabalhadores, 
horas trabalhadas por dia, e tempo para finalizar a obra. Vejamos os dados 
fornecidos inicialmente: 
 
Trabalhadores Horas/Dia Tempo restante 
15 4 12 
 
A seguir temos uma redução de 12 para 9 dias e uma redução de 15 para 10 
trabalhadores. Vejamos qual passa a ser a jornada diária: 
 
Trabalhadores Horas/Dia Tempo restante 
15 4 12 
10 x 9 
 
 Observe que quanto mais horas por dia de trabalho, menos trabalhadores 
são necessários, e menor é o tempo restante da obra. Assim, temos grandezas 
LQYHUVDPHQWH� SURSRUFLRQDLV�� ,QYHUWHQGR� DV� FROXQDV� ³WUDEDOKDGRUHV´� H� ³WHPSR�
UHVWDQWH´��WHPRV� 
 
Trabalhadores Horas/Dia Tempo restante 
10 4 9 
15 x 12 
 
01780543565
01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos
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4 10 9
15 12x
 u 
x = 8 horas/dia 
 
 Durante os 3 primeiros dias, o trabalho foi feito por esses 10 trabalhadores, 
trabalhando 8 horas por dia. Sendo T o trabalho total a ser executado, vejamos 
quanto foi feito nestes primeiros dias. O que sabemos é que, em 9 dias, eles 
finalizariam o trabalho. Assim: 
 
9 dias --------------- T 
3 dias --------------- X 
 
9X = 3T 
X = T/3 
 
 Portanto, 1/3 do trabalho foi executado nos primeiros 3 dias, restando 2/3. 
Neste momento mais 5 trabalhadores abandonaram o serviço, ficando apenas os 
outros 5. Vejamos em quanto tempo eles finalizam o trabalho: 
 
Trabalhadores Tempo restante 
10 6 
5 x 
 
 Observe que quanto mais trabalhadores, menos tempo será necessário para 
acabar o serviço. Isto é, essas grandezas são inversamente proporcionais. 
Invertendo uma das colunas temos: 
 
 
01780543565
01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos
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Trabalhadores Tempo restante 
10 x 
5 6 
 
10 x 6 = 5x 
x = 12 dias 
Resposta: D 
 
24. FCC ± Banco do Brasil ± 2006) Três pessoas formaram, na data de hoje, uma 
sociedade com a soma dos capitais investidos igual a R$ 100 000,00. Após um ano, 
o lucro auferido de R$ 7 500,00 é dividido entre os sócios em partes diretamente 
proporcionais aos capitais iniciais investidos. Sabendo-se que o valor da parte do 
lucro que coube ao sócio que recebeu o menor valor é igual ao módulo da diferença 
entre os valores que receberam os outros dois, tem-se que o valor do capital inicial 
do sócio que entrou com maior valor é 
(A) R$ 75 000,00 
(B) R$ 60 000,00 
(C) R$ 50 000,00 
(D) R$ 40 000,00 
(E) R$ 37 500,00 
RESOLUÇÃO: 
 Sejam X, Y e Z os valores investidos por cada sócio. Vamos assumir que X é 
o menor valor, Y o valor intermediário e Z o maior valor. A soma é de 100000 reais: 
X + Y + Z = 100000 
X = 100000 ± Y ± Z 
 
 Se o valor da parte do lucro que coube ao sócio que recebeu o menor valor é 
igual ao módulo da diferença entre os valores que receberam os outros dois, o 
01780543565
01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos
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mesmo vale para os valores investidos. Ou seja, o menor valor investido (X) é igual 
à diferença Z ± Y: 
X = Z ± Y 
 
 Como X = 100000 ± Y ± Z e também X = Z ± Y, então: 
Z ± Y = 100000 ± Y ± Z 
Z + Z = 100000 ± Y + Y 
2Z = 100000 
Z = 50000 reais 
 
 Portanto, o sócio que investiu o maior valor aplicou 50000 reais. 
Resposta: C 
 
25. FCC ± Banco do Brasil ± 2006) Em um determinado banco, o funcionário 
Antônio, trabalhando sozinho, realiza uma tarefa em 10 dias. Dando início ao 
trabalho e tendo trabalhado sozinho apenas 2 dias, no terceiro dia Antônio junta-se 
ao funcionário Bernardo e em 3 dias de trabalho concluíram a tarefa. Supondo 
constante o desempenho desenvolvido por esses funcionários para realizarem seus 
trabalhos, tem-se que Bernardo, trabalhando sozinho, realizaria toda a tarefa em 
(A) 10 dias. 
(B) 8 dias. 
(C) 6 dias. 
(D) 5 dias. 
(E) 4 dias. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja T a tarefa total a ser executada. Veja que Antônio trabalhou sozinho por 
2 dias, e com Bernardo por mais 3 dias, totalizando 5 dias. Vejamos quanto trabalho 
foi executado por Antônio neste período: 
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T ------------------------------ 10 dias 
X ------------------------------ 5 dias 
X = T/2 
 
 Portanto, ao longo dos 5 dias que trabalhou, Antônio executou metade da 
tarefa. A outra metade (T/2) foi executada por Bernardo ao longo dos 3 dias que ele 
trabalhou. Vejamos quanto tempo Bernardo precisaria para, sozinho, executar toda 
a tarefa: 
T/2 -------------------------- 3 dias 
T ----------------------------- Y dias 
Y = 6 dias 
 
 Assim, Bernardo executaria toda a tarefa sozinho em 6 dias. 
Resposta: C 
 
26. FCC ± Banco do Brasil ± 2010) Pesquisadores descobriram que o uso do 
fundo preto nas páginas de busca da internet produz um consumo menor de energia 
em relação à tela branca. Se todas as buscas fossem feitas com tela preta, a 
economia total em um tempo médio de 10 segundos seria equivalente à energia 
gasta por 77 milhões de geladeiras ligadas ininterruptamente durante 1 hora. 
Nessas condições, a economia total em um tempo médio de buscas de 30 minutos 
seria equivalente à energia gasta por essas geladeiras ligadas ininterruptamente 
durante 
(A) 2 dias e meio. 
(B) 3 dias. 
(C) 5 dias. 
(D) 7 dias e meio. 
(E) 8 dias. 
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RESOLUÇÃO: 
 Temos 3 grandezas no enunciado: tempo de buscas, número de geladeiras, 
tempo com geladeira ligada. Vejamos os dados fornecidos: 
 
Tempo de buscas Nº de geladeiras Tempo c/ geladeira ligada 
10 segundos 77.000.000 1 hora 
30 minutos 77.000.000 X horas 
 
 30 minutos correspondem a 30 x 60 = 1800 segundos. Assim, temos: 
Tempo de buscas Nº de geladeiras Tempo c/ geladeira ligada 
10 segundos 77.000.000 1 hora 
1800 segundos 77.000.000 X horas 
 
 Quanto mais tempo de buscas, a energia economizada permite manter as 
geladeiras ligadas por mais tempo. São grandezas diretamente proporcionais. 
Assim, temos: 
1 10 77000000
1800 77000000X
 u 
X = 180 horas 
 
 Como um dia tem 24 horas, 180 horas correspondem a 7,5 dias (sete dias e 
meio). 
Resposta: D 
 
27. FCC ± Banco do Brasil ± 2011) Relativamente aos tempos de serviço de dois 
funcionários do Banco do Brasil, sabe-se que sua soma é 5 anos e 10 meses e que 
estão entre si na razão 3/2. Nessas condições, a diferença positiva entre os tempos 
de serviço desses funcionários é de 
01780543565
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