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Aula 04
Curso Regular de Matemática - Com videoaulas
Professores: Arthur Lima, Luiz Gonçalves
01780543565 - Ivonete Almeida da Silva Santos
CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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AULA 04: ÁLGEBRA 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 01 
2. Resolução de exercícios 34 
3. Questões apresentadas na aula 89 
4. Gabarito 111 
 
Caro aluno, 
 
 Nesta aula continuaremos tratando de tópicos de álgebra muito explorados 
em concursos: 
 
funções de primeiro e segundo grau, polinômios, funções logarítimica e exponencial 
etc. 
 
 Bons estudos! 
 
1. TEORIA 
1.1 FUNÇÕES 
 Observe os dois conjuntos abaixo: 
 
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 Veja que as setas servem para associar um elemento do conjunto A a um 
elemento do conjunto B. Vendo todas as setas, temos uma relação entre os 
conjuntos A e B. Observe que podemos ter inúmeras relações entre esses dois 
conjuntos. Observe também que: existem elementos de A que estão ligados a mais 
de um elemento de B; existem elementos de A que não estão ligados a nenhum 
elemento de B; existem dois elementos de A ligados ao mesmo elemento de B. 
Existe uma relação em especial envolvendo esses dois conjuntos, onde cada 
elemento de A está ligado a um único elemento de B. Veja um exemplo abaixo: 
 
 É isso que chamamos de função. Ou seja, uma função é uma relação entre 
elementos de dois conjuntos, que liga cada elemento de um conjunto a um único 
elemento do outro conjunto. Note que o fato dos elementos 2 e 3 do conjunto A 
estarem ligados ao mesmo elemento de B (5) não faz com que a relação deixe de 
ser considerada uma função. O que importa é que cada elemento de A está ligado a 
apenas 1 elemento de B. 
Já o primeiro exemplo que vimos não era uma função por dois motivos: 
- haviam elementos de A que não estavam ligados a nenhum elemento de B (4 e 6); 
- havia um elemento de A ligado a mais de um elemento de B (5). 
 Voltando a falar do exemplo de função apresentado no desenho acima, você 
precisa saber identificar os seguintes conjuntos: 
- Domínio da função (D): é o conjunto onde a função é definida, ou seja, contém 
todos os elementos que serão ligados a elementos de outros conjuntos. Trata-se, 
neste exemplo, do conjunto A, afinal todos seus elementos são ligados a elementos 
do conjunto B; 
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- Contradomínio da função (CD): é o conjunto onde se encontram todos os 
elementos que poderão ser ligados aos elementos do Domínio. Neste caso, trata-se 
do conjunto B; 
- Imagem da função (I): é formado apenas pelos valores do Contradomínio 
efetivamente ligados a algum elemento do Domínio. Veja, por exemplo, que os 
elementos 4 e 6 do conjunto B não estão ligados a nenhum termo do conjunto A. 
Portanto, eles fazem parte do Contradomínio, porém não fazem parte do conjunto 
Imagem. 
 Vamos olhar agora para o conjunto Imagem, isto é, os termos do conjunto B 
TXH� HVWmR� VHQGR� ³XVDGRV´� SHOD� IXQomR�� ,VVR� QRV� SHUPLWLUi� FRQKHFHU� DV�
classificações das funções: 
a) Função Injetora: se cada elemento do conjunto Imagem estiver ligado a um 
único elemento do Domínio, a função é chamada injetora. Ex.: 
 
 Neste exemplo, o conjunto imagem é I = {1, 2, 3, 4, 5, 7}. Veja que o 6 não 
faz parte da Imagem, apesar de ser parte do Contradomínio (B). E cada elemento 
da Imagem está ligado a apenas um elemento do Domínio, que é o conjunto A. Por 
isso, a função é Injetora. 
 
b) Função Sobrejetora: se não sobrarem elementos do Contradomínio que não 
fazem parte do conjunto Imagem, temos uma função sobrejetora. Em outras 
palavras, trata-se dos casos onde Contradomínio = Imagem. Ex.: 
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 Percebeu que todos os elementos do conjunto B (Contradomínio) estão 
sendo utilizados pela função (ou seja, este é o próprio conjunto Imagem)? Logo, a 
função é Sobrejetora. 
 
c) Função Bijetora: se as duas coisas acima acontecerem ao mesmo tempo, 
isto é, a função for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, a função é dita 
bijetora. Ex.: 
 
 Notou que cada elemento da Imagem está ligado a um único elemento do 
Domínio (conj. A)? E que a Imagem é igual ao próprio Contradomínio (conj. B)? 
Portanto, essa função é Bijetora. 
Qual a importância dessa classificação? Ela nos permite saber se é possível 
³LQYHUWHU� R� VHQWLGR´� GD� IXQomR�� As funções bijetoras são as únicas que sempre 
SHUPLWHP�LQYHUWHU��RX�VHMD��Vy�HODV�WHP�XPD�³IXQomR�LQYHUVD´� A função inversa pode 
ser visualizada simplesmente trocando o sentido das setas, isto é, ligando cada 
elemento do conjunto B a um único elemento de A. 
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Agora que já vimos os conceitos básicos, vamos introduzir as notações 
matemáticas. Para cada elemento x do Domínio, a função f levará a um elemento do 
contradomínio, que denotaremos por f(x) (OHLD�³I�GH�[´��RX�³IXQomR�GH�[´����$R�GHILQLU�
uma função, geralmente definimos quem é o domínio (D) e quem é o contradomínio 
(CD) através da notação f:DÆCD. Na função que vimos acima, tínhamos uma 
f:AÆB, ou seja, uma função com Domínio no conjunto A e Contradomínio no 
conjunto B. Na maioria dos exercícios de concurso você terá o:f N N (domínio e 
contradomínio iguais ao conjunto dos números naturais), o:f Z Z (inteiros) ou 
o:f R R (domínio e contradomínio iguais ao conjunto dos números reais). 
Ao representar uma função graficamente, colocamos no eixo horizontal os 
valores que o Domínio pode assumir, isto é, os valores de x; e no eixo vertical os 
valores que a Imagem pode assumir, ou seja, os valores de f(x), que também 
podemos chamar simplesmente de y: 
 
Exemplificando, vamos representar a função o:f R R onde f(x) = 2x. R , no 
caso, é o conjunto dos números reais. Portanto, a função f(x) tem como Domínio 
todos os números reais, e também os tem como Contradomínio. Se x for igual a 3, 
por exemplo, f(x) será f(3) = 2x3 = 6. Portanto, teremos o ponto P (3, 6), que 
podemos localizar no gráfico. Antes, porém, vamos calcular a função para outros 
valores de x. Veja a tabela abaixo: 
Valor de x Valor de f(x) = 2x Ponto (x, f(x)) 
0 0 (0, 0) 
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1 2 (1, 2) 
-1 -2 (-1, -2) 
-2 -4 (-2, -4) 
 
Vamos representar os pontos acima no gráfico. Veja: 
 
Observe que os pontos marcados formam umareta. Para cada número real 
x, teremos um número real dado por f(x) de forma que o ponto (x, f(x)) pertencerá à 
reta desenhada acima. 
Antes de avançarmos para as funções mais cobradas (linear e quadrática), 
veja o exercício abaixo: 
 
1. CEPERJ ± SEEDUC ± 2009) Considere a função :f N No tal que f(0)=0, e 
( 1) ( ) 1f n f n n� � � para todo n N . O valor de f(4) é: 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 13 
RESOLUÇÃO: 
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 Podemos começar substituindo n por 0 na expressão ( 1) ( ) 1f n f n n� � � . 
Veja: 
(0 1) (0) 0 1
(1) (0) 0 1
f f
f f
� � �
 � � 
 Como f(0) = 0, então podemos fazer essa substituição na equação acima e 
obter o valor de f(1): 
(1) 0 0 1
(1) 1
f
f
 � �
 
 Podemos agora substituir n por 1. Veja o que acontece: 
( 1) ( ) 1
(1 1) (1) 1 1
(2) 1 1 1
(2) 3
f n f n n
f f
f
f
� � �
� � �
 � �
 
 
 Substituindo n por 2, teremos: 
( 1) ( ) 1
(2 1) (2) 2 1
(3) 3 2 1
(3) 6
f n f n n
f f
f
f
� � �
� � �
 � �
 
 
 Finalmente, substituindo n por 3, obtemos o valor de f(4): 
(3 1) (3) 3 1
(4) 6 3 1
(4) 10
f f
f
f
� � �
 � �
 
 
Resposta: D. 
 
1.1.1 FUNÇÕES INVERSAS 
 Vamos trabalhar com a função que vimos acima, isto é, f(x) = 2x. Veja que 
essa função leva um valor x ao valor f(x), que no caso é igual a 2x. Veja isso no 
diagrama abaixo: 
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 A função inversa fará o caminho contrário, isto é, levará os elementos do 
conjunto da direita de volta aos elementos do conjunto da esquerda. O caso acima é 
bem intuitivo: uma vez que f(x)=2x, isto é, os elementos da direita são o dobro 
daqueles da esquerda, a função inversa será aquela que divide os elementos do 
conjunto da direita por 2. Simbolizando a função inversa por 1( )f x� , fica claro que 
neste caso 1( )
2
x
f x� . Note, por exemplo, que 1 11(11) 5,5
2
f � . 
 Se você tiver a função f(x) qualquer, e quiser obter a função inversa, basta: 
1. Substituir f(x) por x 
2. Substituir x por 1( )f x� 
3. Rearranjar os termos, isolando 1( )f x� . 
Para exemplificar, imagine ( ) 5
3
x
f x � . Executando os dois primeiros passos 
acima, temos: 
1
( ) 5
3
( )
5
3
x
f x
f x
x
�
 �
 �
 
 
 Agora vamos executar o último passo, isolando 1( )f x� : 
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1
1
1
1
( )
5
3
( )
5
3
3( 5) ( )
( ) 3( 5)
f x
x
f x
x
x f x
f x x
�
�
�
�
 �
� 
� 
 �
 
 
 Portanto, a função inversa de ( ) 5
3
x
f x � é 1( ) 3( 5)f x x� � . Para ficar mais 
claro, observe que f(6) = 7, e que 1(7) 6f � . 
 Note que: 
- o conjunto imagem da função f(x) será o domínio da função inversa; 
- o domínio da função f(x) será a imagem da função inversa; 
 Para finalizar, lembre-se: apenas as funções bijetoras admitem uma função 
inversa. 
 
1.1.2 FUNÇÕES COMPOSTAS 
Veja as duas funções abaixo: 
( ) 5f x x � 
e 
( ) 1
2
x
g x � 
 Você já sabe calcular, por exemplo, f(4) e g(4). Neste caso, f(4) =9 e g(4)=1. 
O que seria, então, f(g(4))? Para responder, primeiramente precisamos calcular o 
que está dentro dos parênteses, isto é, g(4), obtendo o resultado 1. Este resultado é 
que será substituído na expressão da função f. Assim, f(g(4)) = f(1) = 1 + 5 = 6. 
A função f(g(x)) é uma função composta. Trata-se de uma função formada 
por outras duas. Assim, dado um valor de x, é preciso primeiro calcular o valor de 
g(x) para, a seguir, substituir esse valor na função f, obtendo o resultado final. Ao 
invés de sempre efetuar esses dois passos, é possível descobrir uma expressão 
que já dê direto o valor de f(g(x)). Veja que basta substituir x por g(x) na expressão 
da função f: 
( ) 5
( ( )) ( ) 5
f x x
f g x g x
 �
 � 
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 Como ( ) 1
2
x
g x � , podemos substituir o g(x) que se encontra no lado direito 
da expressão acima. Veja o que obtemos: 
( ( )) ( ) 5
( ( )) 1 5
2
( ( )) 4
2
f g x g x
x
f g x
x
f g x
 �
§ · � �¨ ¸© ¹
 �
 
 
 Portanto, a expressão acima já dá o resultado da aplicação da função g, 
seguida da aplicação da função f. Veja que 
4
( (4)) 4 6
2
f g � , como calculamos 
acima. 
Outra forma de simbolizar f(g(x)) é ( )f g x . Vamos aproveitar as funções f(x) 
e g(x) acima para calcular g(f(x)): 
( ) 1
2
( )
( ( )) 1
2
( 5)
( ( )) 1
2
3
( ( ))
2
x
g x
f x
g f x
x
g f x
x
g f x
 �
 �
� �
� 
 
 
 Observe que as expressões de f(g(x)) e g(f(x)) são bem diferentes. Muito 
cuidado com isso! Aqui, a ordem importa! 
 É possível ainda calcular a função composta ( )f f x , ou f(f(x)). Basta 
substituir o x, na expressão da função f, por f(x). Veja abaixo: 
( ) 5
( ) ( ) 5
( ) ( 5) 5
( ) 10
f x x
f f x f x
f f x x
f f x x
 �
 �
 � �
 �
 
 
 Vamos finalizar calculando g(g(x)), isto é, ( )g g x : 
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( ) 1
2
( )
( ) 1
2
1
2
( ) 1
2
3
( )
4 2
x
g x
g x
g g x
x
g g x
x
g g x
 �
 �
§ ·�¨ ¸© ¹ �
 �
 
 
2. CEPERJ ± SEE/RJ ± 2011) Se 2( )
1
f x
x
 � , a raiz da equação ( ) 10f f x é: 
a) 1/3 
b) 4/3 
c) 5/3 
d) 7/3 
e) 8/3 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui trabalhamos com as funções compostas. Se 
2
( )
1
f x
x
 � , então a função 
composta ( )f f x , ou simplesmente f(f(x)) é obtida substituindo o valor de x na 
função pela expressão de f(x). Veja: 
2
( )
1
f x
x
 � 
2
( ) ( ( ))
2
1
1
f f x f f x
x
 § · �¨ ¸�© ¹
 
 Veja que nós simplesmente substituímos o x pela expressão de f(x), isto é, 
por 
2
1x � . Vamos rearranjar os termos dessa última equação: 
2
( )
2
1
1
f f x
x
 § · �¨ ¸�© ¹
 
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2 2 2
( )
2 1 32 1
1 11 1
f f x
x xx
x xx x
 � � ��§ · § ·�¨ ¸ ¨ ¸ � �� �© ¹ © ¹
 
2 1 2 2
( ) 2
3 3 3
1
x x
f f x
x x x
x
� � u � � �
�
 
 Portanto, 
2 2
( )
3
x
f f x
x
� � 
 Portanto, para ( ) 10f f x , basta igualar a expressãoacima à 10 e obter o 
valor de x: 
2 2
10
3
2 2 10 (3 )
2 2 30 10
12 32
32 8
12 3
x
x
x x
x x
x
x
� �
� u �
� �
 
 
 
Resposta: E. 
 
1.1.3 FUNÇÕES LINEARES (1º GRAU) 
 Veja novamente o gráfico que desenhamos para a função f(x) = 2x: 
 
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Calculamos diversos pontos para só então traçar o gráfico e perceber que se 
tratava de uma reta. Entretanto, sem desenhar os pontos, você já deveria saber que 
esta função teria, como gráfico, uma reta. Isto porque a função f(x) = 2x é uma 
função do tipo f(x) = ax + b, que chamaremos de função de primeiro grau, onde a = 
2 e b = 0. 
Grave isso: as funções de primeiro grau tem como gráfico uma reta. Nestas 
funções, o coeficiente ³D´�p�FKDPDGR�GH�coeficiente angular, pois ele dá a inclinação 
da reta. Se a > 0, a reta será crescente (como a que vimos acima), e se a < 0 a reta 
VHUi�GHFUHVFHQWH��-i�R�FRHILFLHQWH�³E´�p�FKDPDGR�coeficiente linear, e ele indica em 
que ponto a reta cruza o eixo das ordenadas (eixo y, ou eixo f(x)). Veja que na 
função f(x) = 2x, o termo b é igual a zero. Portanto, a função cruza o eixo Y na 
posição y = 0. 
Para fixar o conhecimento: a função f(x) = -3x + 5 é uma função de primeiro 
grau (pois o maior expoente de x é 1), onde o coeficiente angular é a = -3 e o 
coeficiente linear é b = 5. Portanto, seu gráfico é uma reta decrescente (a < 0), que 
cruza o eixo y na posição y = 5 (pois este é o valor de b). 
Muitas vezes o exercício pode solicitar o ponto onde a função cruza o eixo 
horizontal. Veja este ponto, em destaque no gráfico abaixo: 
 
 Observe que, neste ponto, f(x) = 0. Portanto, para encontrar o valor de x, 
basta igualar a função a 0: 
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ax + b = 0 
 Veja que temos uma equação de primeiro grau. Já sabemos que a raiz será 
b
x
a
� . Ou seja, a função f(x) cruza o eixo x no ponto P ( b
a
�
, 0). 
 
 Para começar a exercitar, resolva o exercício abaixo: 
 
3. COPS/UEL ± Polícia Militar/PR ± 2010) Considere uma colisão de dois veículos. 
Num sistema de coordenadas cartesianas, as posições finais destes veículos após a 
colisão são dadas nos pontos A = (2, 2) e B = (4, 1). Para compreender como 
ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória retilínea que passa pelos 
pontos A e B. Essa trajetória é dada pela equação: 
a) x ± y = 0 
b) x + y ± 5 = 0 
c) x ± 2y + 2 = 0 
d) 2x + 2y ± 8 = 0 
e) x + 2y ± 6 = 0 
RESOLUÇÃO: 
 A equação de uma função linear (cujo gráfico é uma reta) é do tipo: 
f(x) = ax + b 
 
 No ponto A temos x = 2 e y = f(2) = 2. Assim, 
f(2) = a.2 + b 
2 = 2a + b 
b = 2 ± 2a 
 
 No ponto B temos x = 4 e y = f(4) = 1. Logo, 
f(4) = a.4 + b 
1 = 4a + b 
 
 Como já vimos que b é igual a 2 ± 2a, podemos efetuar a substituição nesta 
última equação: 
1 = 4a + (2 ± 2a) 
a = -1/2 
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 Portanto, b = 2 ± 2 x (-1/2) = 3. Assim, a reta é dada pela função: 
1( ) 3
2
f x x � � 
 
 Podemos chamar f(x) de y, afinal este é o valor que vai no eixo vertical do 
gráfico. Assim, 
1 3
2
y x � � 
2 6y x � � 
2 6 0x y� � 
Resposta: E 
 
1.1.4 FUNÇÕES DE 2º GRAU 
 As funções de segundo grau são aquelas do tipo 2( )f x ax bx c � � . Aqui 
usaremos os conceitos aprendidos para equações de segundo grau. 
Primeiramente, é bom você saber que as funções de segundo grau têm um 
gráfico na forma de parábola. Veja um exemplo: 
 
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 Neste exemplo, dizemos que a parábola tem concavidade para cima. Note 
ainda que a curva cruza o eixo x em dois pontos, marcados no gráfico. Estas são as 
raízes da função, ou seja, os pontos onde f(x) = 0. Para calcular estas raízes, basta 
igualar a função a zero e usar a fórmula de Báskara para resolver: 
2 0ax bx c� � 
 Além disso, veja que a curva cruza o eixo vertical (f(x)) em um ponto, que é 
dado pelo coeficiente c (que é o único que não multiplica x). 
 Saiba ainda que o coeficiente a nunca pode ser zero, pois se isso ocorrer, 
restará apenas f(x) = bx + c, e não mais teremos uma parábola, e sim uma reta. O 
sinal do coeficiente a determina se a concavidade será para cima ou para baixo. Isto 
é, se a > 0, a concavidade será para cima, como na figura acima. E se a < 0, a 
concavidade será para baixo, como você vê na figura a seguir: 
 
 Observe que até agora vimos exemplos de funções de segundo grau que 
cruzavam o eixo X em 2 pontos, que chamamos de raízes. Você deve estar 
lembrado que, ao estudar as equações de segundo grau, vimos que é possível que 
as mesmas tenham 2 raízes reais (quando 0' ! ); mas também pode ocorrer de 
não ter nenhuma raíz real (se 0' � ). Neste caso, a parábola não cruzará o eixo X. 
Veja um exemplo: 
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 Ainda, você lembra que se 0' a função tem 2 raízes reais idênticas. Ou 
seja, ela apenas toca o eixo X, em um único ponto. Observe esse exemplo abaixo: 
 
 
 Vamos fazer uma breve digressão, voltando ao tema Domínio, Contradomínio 
e Imagem, para fixar esses conceitos. Veja o gráfico acima. Note que todos os 
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valores de x são usados (para qualquer número real x, teremos um valor de f(x)). 
Portanto, o domínio da função é o conjunto dos números reais. E veja que o 
contradomínio é o conjunto dos números reais também, pois, a princípio, a função 
f(x) pode assumir qualquer valor real. Entretanto, note que o gráfico da função 
apenas toca o eixo x e volta a subir, de forma que nenhum valor f(x) negativo é 
usado. Portanto, o conjunto Imagem (valores que a função efetivamente assume) é 
formado pelos números reais não negativos, isto é, maiores ou iguais a zero. 
Usando notações matemáticas, dizemos que temos uma função o:f R R , cuja 
imagem é o conjunto  t{ | 0}I x R x �OHLD�� ³[�SHUWHQFHQWH�DRV�5HDLV�� WDO�TXH�[�p�
PDLRU�RX�LJXDO�D�]HUR´�� 
 As parábolas com concavidade para cima possuem um ponto onde f(x) atinge 
o seu valor mínimo. Já as parábolas com concavidade para baixo possuem um 
ponto onde f(x) atinge o seu valor máximo. Veja no desenho abaixo: 
 
 Veja que a curva em azul é uma função de segundo grau com a>0, ou seja, 
com concavidadepara cima. Neste caso, a função tem um ponto mínimo, 
identificado pelas coordenadas X mínima (Xmín.) e Y mínima (f(x)mín.). Já a curva 
em preto é uma função de segundo grau com a<0, tendo concavidade para baixo. 
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Assim, a função tem um ponto máximo representado pelas coordenadas X máxima 
(Xmáx.) e Y máxima (f(x)máx.). 
 Esse ponto de máximo ou mínimo da função de segundo grau é chamado de 
Vértice. É fácil obter as coordenadas dele. Basta saber que: 
2vértice
b
x
a
� 
 
. A fórmula acima permite calcular o valor da coordenada X no vértice. Uma 
vez calculado o valor de da coordenada X, basta substituí-la na função e calcular 
( )vérticef x , que será o valor máximo ou mínimo da função, dependendo do caso. 
Vamos rever os conceitos mencionados acima analisando a função 
2 3 2( ) xf x x � � . Vemos que a = 1, b = -3 e c = 2. Como a > 0, então o gráfico da 
função tem concavidade para cima. Calculando o valor de 2 4b ac' � , vemos que 
1' , que é positivo, portanto a função tem 2 raízes reais, cruzando o eixo x em 2 
pontos. Calculando essas raízes através da fórmula de Báskara, obtemos: 
1
2
1
2
x
x
 
 
 
 Como a concavidade é para cima, a função terá um ponto mínimo. A 
coordenada X deste ponto será: 
( 3) 3
2 2 1 2vértice
b
x
a
� � � u 
 
 O valor mínimo da função será dado por: 
2
2
3 2
3 3 3
( ) 3 2
2 2 2
3 1
( ) 2
2 4
( )
9 9
4 2
x
f
f
f x x � �
§ · § · � u �¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹
 � � �
 
 
 
 Portanto, podemos fazer um esboço do gráfico desta função da seguinte 
forma: 
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 Comece a exercitar seus conhecimentos sobre funções de segundo grau 
resolvendo esta questão: 
 
4. CEPERJ ± PREF. ITABORAI ± 2011) Sobre os gráficos das funções 
:f ƒoƒ (ƒ é o conjunto dos números reais) definida por ( )f x x e :g ƒoƒ 
definida por 2( ) 3 2g x x x � � , é correto afirmar que se interceptam em: 
a) Um único ponto de abscissa positiva 
b) Um único ponto de abscissa negativa 
c) Dois pontos distintos com abscissas de sinais contrários 
d) Dois pontos distintos com abscissas de mesmo sinal 
e) Mais de dois pontos 
RESOLUÇÃO: 
 As duas funções se interceptam nos pontos onde, para um mesmo valor da 
abscissa x, os valores de f(x) e g(x) são iguais. Efetuando essa igualdade, temos: 
2
2
( ) ( )
3 2
4 2 0
g x f x
x x x
x x
 
� � 
� � 
 
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 Podemos obter os valores de x utilizando a fórmula de Báskara: 
2
2
2
4
2
( 4) ( 4) 4(1)(2)
2(1)
4 16 8
2
4 8 4 2 2 4 2 2
2 2
2 2 2
b b ac
x
a
x
x
x
� r � 
� � r � � 
r � 
r r u r r
 
 
 Como 2 1,41# , então os valores possíveis para x são 3,41 e 0,59. Logo, as 
funções f(x) e g(x) se interceptam em 2 pontos, nos quais as abscissas são 
aproximadamente x = 0,59 e x = 3,41 (ambas positivas). 
Resposta: D. 
 
1.1.5 POLINÔMIOS OU FUNÇÕES POLINOMIAIS 
 Observe a função abaixo: 
f(x) = 5x4 + 8,05x3 ± 2x + 35 
 
 Note que ela é formada por uma soma de potências da variável x 
multiplicadas por coeficientes. Os expoentes de x são todos números naturais (4, 3, 
2, 1 e 0). Já os coeficientes são todos números reais (5; 8,05; 0; -2 e 35). Repare 
que o termo x2 não aparece acima pois ele está multiplicado pelo coeficiente 0; e o 
coeficiente 35 aparece sozinho porque ele está multiplicando x0, que é igual a 1. 
 Chamamos este tipo de função de polinômio ou função polinomial. Em nosso 
exemplo temos um polinômio de 4º grau, pois o maior expoente de maior valor é 
igual a 4. Da mesma forma, as funções lineares que estudamos acima são 
polinômios de 1º grau, e as funções quadráticas são polinômios de 2º grau. 
 O grau de um polinômio determina o número de raízes que ele possui ± 
lembrando que uma raiz é um valor de x que torna f(x) = 0. Essas raízes podem 
pertencer ou não ao conjunto dos números reais. O número de raízes reais é 
também o número de vezes que o gráfico da função f(x) toca o eixo horizontal. 
 Podemos escrever um polinômio de forma genérica assim: 
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f(x) = anx
n + an-1x
n-1 ��«��D2x2 + a1x + a0 
 
 Sendo r1, r2, r3, ... rn DV�³Q´�UDt]HV�GHVWH�SROLQ{PLR��SRGHPRV�UHHVFUHYr-lo na 
forma de SURGXWR��RX�³IDWRUDGD´��DVVLP� 
f(x) = an (x ± r1) (x ± r2) ... (x ± rn-1) (x ± rn) 
 
 Para aprender a manipular polinômios, vamos usar os exemplos abaixo: 
f(x) = 5x4 + 8x3 ± 2x + 3 
g(x) = 3x4 + x + 1 
 
a) Somar f(x) com g(x). Para isso, basta somar os coeficientes dos termos que 
multiplicam as mesmas potências de x. Veja: 
f(x) + g(x) = (5x4 + 8x3 ± 2x + 3) + (3x4 + x + 1) 
 
Tirando os parênteses: 
f(x) + g(x) = 5x4 + 8x3 ± 2x + 3 + 3x4 + x + 1 
 
 Somando os termos de mesmo expoente: 
f(x) + g(x) = (5+3) x4 + 8x3 + (±2 + 1) x + (3 + 1) 
f(x) + g(x) = 8x4 + 8x3 ± x + 4 
 
b) Subtrair g(x) de f(x). Para isso, basta subtrair os coeficientes dos termos que 
multiplicam as mesmas potências de x, porém efetuando as trocas de sinal 
necessárias. Veja: 
f(x) ± g(x) = (5x4 + 8x3 ± 2x + 3) ± (3x4 + x + 1) 
 
Tirando os parênteses: 
f(x) ± g(x) = 5x4 + 8x3 ± 2x + 3 ± 3x4 ± x ± 1 
 
 Somando os termos de mesmo expoente: 
f(x) ± g(x) = (5 ± 3) x4 + 8x3 + (±2 ± 1) x + (3 ± 1) 
f(x) ± g(x) = 2x4 + 8x3 ± 3 x + 2 
 
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c) Multiplicar ou dividir f(x) por um número. Para isso, basta multiplicar ou dividir 
cada coeficiente por este número. Veja: 
10 . f(x) = 10 . (5x4 + 8x3 ± 2x + 3) 
10 . f(x) = 10 . 5x4 + 10 . 8x3 + 10 . (-2)x + 10 . 3 
10 . f(x) = 50x4 + 80x3 ± 20x + 30 
 
 f(x) / 10 = (5x4 + 8x3 ± 2x + 3) / 10 
f(x) / 10 = 0,5x4 + 0,8x3 ± 0,2x + 0,3 
 
d) Multiplicar f(x) por g(x). Para isso basta utilizar a propriedade distributiva da 
multiplicação, de modo a multiplicar cada termo de um polinômio por cada termo do 
outro. Repare que é preciso multiplicar os termos xn entre si, e não apenas os 
coeficientes: 
f(x) . g(x) = (5x4 + 8x3 ± 2x + 3) . (3x4 + x + 1) 
 
 Multiplicando cada termo de f(x) por todos os termos de g(x): 
f(x) . g(x) = (5x4.3x4 + 5x4.x + 5x4.1) + (8x3.3x4 + 8x3.x + 8x3.1) + (± 2x .3x4 ± 2x .x ± 
2x . 1) + (3.3x4 + 3.x + 3.1) 
 
 Efetuando as multiplicações dentro dos parênteses: 
f(x).g(x) = (15x8 + 5x5 + 5x4) + (24x7 + 8x4 + 8x3) + (± 6x5 ± 2x2 ± 2x) + (9x4 + 3x + 3) 
 
 Somando os termos de mesmo expoente: 
f(x).g(x)= 15x8 + 24x7 ± x5 + 22x4 + 8x3 ± 2x2 + x + 3 
 
 Repare que ao multiplicar um polinômio de grau 4 por outro de grau 4 
obtivemos um polinômio de grau 4 + 4 = 8. 
 
e) Dividir f(x) por g(x). Aqui é preciso entender a metodologia da divisão de 
polinômios, que é muito similar àquela utilizada para dividir números. 
 
 Antes de começar, lembre-se que em uma divisão comum, temos um 
dividendo que é dividido por divisor, gerando um quociente e um resto. Se o resto 
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for igual a zero, dizemos que a divisão é exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo 
divisor. Além disso: 
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto 
 
 Ao dividir f(x) por g(x), o polinômio f será o dividendo e g será o divisor. 
Chamando de Q(x) o polinômio quociente e de R(x) o resto, temos que: 
f(x) = g(x) . Q(x) + R(x) 
 
 Vamos trabalhar com os polinômios abaixo: 
f(x) = 4x4 + 8x3 ± 2x + 3 
g(x) = 2x2 + x + 1 
 
 Devemos começar dividindo o termo de maior grau do dividendo (4x4) pelo 
termo de maior grau do divisor (2x2), que tem por quociente 2x2: 
4 3 2
2
4 8 2 3 2 1
 2
x x x x x
x
� � � � �
 
 
 Agora devemos multiplicar o termo encontrado (2x2) pelo divisor (2x2+x+1), e 
a seguir subtrair este valor do dividendo (4x4 + 8x3 ± 2x + 3). Como: 
2 2 4 3 2(2 1) 2 4 +2 +2x x x x x x� � u 
 
temos: 
4 3 2
4 3 2 2
4 8 2 3 2 1
(4 +2 +2 ) 2
x x x x x
x x x x
� � � � �
�
 
 
 Efetuando a subtração, temos: 
4 3 2
4 3 2 2
3 2
4 8 2 3 2 1
(4 +2 +2 ) 2
6 2 2 3
x x x x x
x x x x
x x x
� � � � �
�
 � � �
 
 
 Agora vamos dividir o termo de maior expoente do resultado (6x3) pelo termo 
de maior expoente do divisor (2x2), obtendo o resultado 3x, que devemos somar ao 
quociente já encontrado: 
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4 3 2
4 3 2 2
3 2
4 8 2 3 2 1
(4 +2 +2 ) 2 3
6 2 2 3
x x x x x
x x x x x
x x x
� � � � �
� �
 � � �
 
 
 Multiplicando o termo 3x pelo divisor (2x2+x+1), e depois subtraindo do 
dividendo, temos: 
4 3 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
4 8 2 3 2 1
(4 +2 +2 ) 2 3
6 2 2 3
(6 3 3 )
5 5 3
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
� � � � �
� �
 � � �
� � �
 � � �
 
 
 Dividindo (-5x2) por (2x2) temos -2,5. Devemos adicionar este valor ao 
quociente: 
4 3 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
4 8 2 3 2 1
(4 +2 +2 ) 2 3 2,5
6 2 2 3
(6 3 3 )
5 5 3
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
� � � � �
� � �
 � � �
� � �
 � � �
 
 
 A seguir devemos multiplicar -2,5 pelo divisor (2x2+x+1), e depois subtrair do 
dividendo: 
4 3 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
2
4 8 2 3 2 1
(4 +2 +2 ) 2 3 2,5
6 2 2 3
(6 3 3 )
5 5 3
( 5 2,5 2,5)
2,5 5,5
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
x x
x
� � � � �
� � �
 � � �
� � �
 � � �
� � � �
 � �
 
 
 Agora o dividendo é um polinômio de grau 1, inferior ao grau do divisor. 
Portanto, chegamos ao final da divisão, obtendo o quociente 2( ) 2 3 2,5Q x x x � � e o 
resto ( ) 2,5 5,5R x x � � , de fato, 
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f(x) = g(x).Q(x) + R(x) 
 
ou seja, 
 
4x4 + 8x3 ± 2x + 3 = (2x2 + x + 1) (2x2 + 3x ± 2,5) + (-2,5x + 5,5) 
 
Observe que sempre dividimos um polinômio por outro de grau menor ou 
igual. E o resto sempre terá grau menor que o do dividendo. Isto é, só podemos 
dividir um polinômio de grau 5 por outro de grau 5 ou menor que este. E, se 
estivermos dividindo este polinômo por outro de grau 3, isto significa que o resto 
poderá ter, no máximo, grau 2. Isto é, este resto terá a forma R(x) = ax2 + bx + c 
(sendo que os coeficientes a, b e c podem ser iguais a zero). 
Um caso muito comum é a divisão de um polinômio P(x) por um divisor na 
forma (x ± D���RQGH�³D´�p�XPD�FRQVWDQWH�TXDOTXHU��&RPR�R�GLYLVRU�p�XP�SROLQ{PLR�GH�
grau 1, o resto certamente terá grau zero, ou seja, será um valor constante. O 
teorema do resto nos diz que o resto dessa divisão é o próprio P(a). Entenda isso 
através do exemplo abaixo: 
 
Sendo P(x) = 5x4 + 8x3 ± 2x + 3, qual é o valor do resto da divisão de P(x) por 
(x ± 1)? 
Observe que o divisor é na forma (x ± a), onde a = 1. De acordo com o 
teorema acima, o resto é o próprio P(1), ou seja: 
 
Resto = P(1) = 5.14 + 8.13 ± 2.1 + 3 = 5 + 8 ± 2 + 3 = 14 
 
 E se quiséssemos saber o valor do resto da divisão deste polinômio por 
(x+2)? Temos novamente um divisor na forma (x ± a), porém neste caso a = -2. 
Afinal, [x ± (-2)] = (x + 2). O resto da divisão é justamente P(a), ou seja, P(-2): 
Resto = P(-2) = 5.(-2)4 + 8. (-2)3 ± 2. (-2) + 3 = 80 ± 64 + 4 + 3 = 23 
 
 Veja como isso já foi cobrado em concursos: 
 
5. ESAF ± AFRFB ± 2009) Se um polinômio f for divisível separadamente por (x ± a) 
(x ± E��FRP�D��E��HQWmR�I�p�GLYLVtYHO�SHOR�SURGXWR�HQWUH��[�± a) e (x ± b). Sabendo-se 
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que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3), 
respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por 
(x - 1) e (x + 3) é igual a: 
 
RESOLUÇÃO: 
 Pelo teorema do resto que vimos acima, se f dividido por (x ± 1) tem resto 
igual a 5, isto significa que f(1) = 5. E se f dividido por (x + 3) tem resto igual a -2, 
isto indica que f(-3) = -2. 
 O polinômio (x ± 1).(x + 3) terá grau 2. Assim, ao dividir f por este polinômio, 
o grau do resto será, no máximo, igual a 1. Genericamente, podemos representar 
este resto por R(x) = ax + b, sendo que a e/ou b podem ser iguais a zero. 
 
 Assim, lembrando que P(x) = Q(x).D(x) + R(x), temos que: 
f(x) = Q(x).(x ± 1).(x + 3) + ax + b 
 
 Como f(1) = 5, substituindo x por 1 temos: 
f(1) = Q(1).(1 ± 1).(1 + 3) + a.1 + b 
5 = Q(1).(0).(1 + 3) + a + b 
5 = a + b 
 
 E como f(-3) = -2, podemos substituir x por ±3: 
f(-3) = Q(-3).(-3 ± 1).(-3 + 3) + a.(-3) + b 
-2 = Q(-3).(-3 ± 1).(0) + -3a + b 
-2 = -3a + b 
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 Portanto, temos um sistema linear com 2 equações e duas variáveis (a e b): 
5 = a + b 
-2 = -3a + b 
 
 Da primeira equação temos que b = 5 ± a. Substituindo na segunda: 
-2 = -3a + (5 ± a) 
-2 = -4a + 5 
4a = 5 + 2 
a = 7 / 4 
 Logo, 
b = 5 ± a = 5 ± 7/4 = 13 / 4Portanto, 
R(x) = ax + b = (7/4)x + 13/4 
Resposta: C 
 
1.1.6 FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
 A função f(x) = 2x é um exemplo de função exponencial. Repare que, neste 
caso, a variável x encontra-se no expoente. De maneira geral, dizemos que funções 
do tipo f(x) = ax VmR� IXQo}HV�H[SRQHQFLDLV��2�FRHILFLHQWH� ³D´�SUHFLVD�VHU�PDLRU�GR�
que zero, e também diferente de 1 (afinal 1 elevado a qualquer número é sempre 
igual a 1). 
 Você verá que todos os valores de f(x) serão positivos. Assim, a função 
exponencial tem domínio no conjunto dos números reais (R) e contradomínio no 
conjunto dos números reais positivos (isto é, o zero não está incluso). Ou seja, 
temos uma função do tipo f: R Æ R+*. 
 Se a > 1, a função é crescente. Já se 0 < a < 1, a função é decrescente. A 
título de exemplo, veja como são os gráficos de f(x) = 2x (crescente) e de g(x) = 0,5x 
(decrescente): 
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 Repare que g(x) = 0,5x aproxima-se bastante do eixo horizontal à medida que 
o valor de x cresce (para a direita), entretanto esta função nunca toca o eixo 
horizontal. Da mesma forma, f(x) = 2x aproxima-se bastante do eixo horizontal à 
medida que o valor de x decresce (para a esquerda), mas esta função também 
nunca toca o eixo horizontal. 
 Um caso especial da função exponencial é aquele onde o coeficiente a é o 
IDPRVR� ³Q~PHUR�GH� (XOHU´�� UHSUHVHQWDGR�SHOD� OHWUD� ³H´�� H� FXMR� YDORU� p� XP�Q~PHUR�
irracional: e = 2,718281... . Trata-se da função f(x) = ex que, como veremos ao 
estudar as funções logarítmicas, é o inverso da função g(x) = lnx. Esta função é 
crescente, dado que e > 1: 
 
 
1.1.7 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 
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 Antes de conhecermos as funções logaritmicas, penso ser interessante 
relembrar o conceito de logaritmo e suas principais propriedades. 
Sabemos que 32 = 9. Portanto, o número ao qual 3 precisa ser elevado para 
atingir o valor 9 é o número 2. É exatamente isto que o logaritmo expressa. Ou seja, 
o logaritmo de 9 na base 3 é 2: log39 = 2. Grave esta relação: 
32 = 9 œ log39 = 2 
 
 De maneira equivalente, podemos dizer que: 
24 = 16 œ log216 = 4 
 
 Na expressão logaE� �F��FKDPDPRV�R�Q~PHUR�³D´�GH�EDVH�Go logaritmo. Veja 
que o resultado do logaritmo (c) é justamente o expoente ao qual deve ser elevada 
D�EDVH�³D´�SDUD�DWLQJLU�R�YDORU�E�� 
 
De modo bastante resumido, as propriedades mais importantes dos 
logaritmos são: 
a) 
logbaa b . Exemplo: 175log5 17 
b) log .logna ab n b . Exemplo: 25 5log 12 2.log 12 
c) log ( . ) log loga a ab c b c � . Exemplo: 2 2 2log (3.4) log 3 log 4 � 
d) log ( / ) log loga a ab c b c � . Exemplo: 2 2 2log (3/ 4) log 3 log 4 � 
e) 
loglog
log
c
a
c
bb
a
 . Exemplo: 52
5
log 10log 10
log 2
 
 
 Para exercitar as propriedades do logaritmo, resolva a questão a seguir: 
 
6. COPS/UEL ± CELEPAR ± 2010) Sabemos que logX = log 5 + log2 5 + log2 
onde log é o logaritmo decimal. Então o valor de X é: 
a) 4 5 
b) 15,875 aproximadamente 
c) 17,585 aproximadamente 
d) 2 + 3 5 
e) 20 
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RESOLUÇÃO: 
 Se logX = log 5 + log2 5 + log2, então podemos dizer também que: 
 
log log 5 log2 5 log210 10X � � 
 
 Lembrando das propriedades das potências, temos que: 
log log 5 log2 5 log210 10 10 10X u u 
 
 E lembrando da propriedade dos logaritmos de que log
b
aa b , temos: 
5 2 5 2X u u 
20X 
Resposta: E 
 Obs.: na resolução acima utilizamos a propriedade a) dos logaritmos. Veja 
uma segunda forma de resolver (e mais rápida), com base na propriedade c) que 
estudamos: 
logX = log 5 + log2 5 + log2 
logX = log( 5 .2 5 .2) 
logX = log(20) 
X = 20 
 
 A função f(x) = log5(x) é um exemplo de função logarítmica. Veja que nela a 
variável x encontra-se dentro do operador logaritmo. De maneira mais genérica, 
dizemos que as funções do tipo f(x) = loga(x) são funções logarítmicas. Assim como 
nas exponenciais, o coeficiente a precisa ser positivo (a > 0) e diferente de 1. 
 Aqui há uma inversão: o domínio é formado apenas pelos números reais 
positivos (pois não há logaritmo de número negativo) e o contradomínio é o conjunto 
dos números reais. Ou seja, temos f: R+
* Æ R. 
Para exercitar, vamos calcular o domínio da função f(x) = log2(3x ± 1). Veja 
que é preciso que 3x ± 1 seja positivo, ou seja: 
3x ± 1 > 0 
x > 1/3 
 
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 Assim, o domínio é D = {x R | x > 1/3}. 
 
 Se a > 1, a função é crescente. Já se 0 < a < 1, a função é decrescente. A 
título de exemplo, veja os gráficos de f(x) = log2x e de g(x) = log0,5x: 
 
 
 
 Observe ainda a relação entre os gráficos da função logaritmica crescente 
f(x) = log2x e da função exponencial crescente g(x) = 2
x: 
 
 
 Repare que estes gráficos são simétricos em relação à reta pontilhada, que é 
FRQKHFLGD� FRPR� ³ELVVHWUL]� GRV� TXDGUDQWHV� tPSDUHV´�� e� FRPR� VH� HVWD� OLQKD�
IXQFLRQDVVH�FRPR�XP�³HVSHOKR´�HQWUH�DV�GXDV�IXQo}HV��GH�PRGR�TXH�XPD�UHIOHWH�D�
outra. 
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 Da mesma forma, veja a relação entre os gráficos da função logaritmica 
decrescente f(x) = log0,5x e da função exponencial decrescente g(x) = 0,5
x: 
 
 
 Mais uma vez os gráficos também são simétricos em relação à bissetriz dos 
quadrantes ímpares. É por isso que dizemos que as funções logarítmica e 
exponencial são inversas entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
7. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2010) O valor de um caminhão do tipo A novo 
é de R$ 90.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$50.000,00. Supondo que o preço 
caia com o tempo, segundo uma função linear, o valor de um caminhão do tipo A, 
com 2 anos de uso, em reais, é de 
 a) 40.000,00 
 b) 50.000,00 
 c) 60.000,00 
 d) 70.000,00 
 e) 80.000,00 
RESOLUÇÃO: 
 6HMD�³W´�R�WHPSR�GH�XVR�GH�XP�FDPLQKmR�H�I�W��R�SUHoR�GHVWH�FDPLQKmR��HP�
função do tempo de uso. Foi dito que esta é uma função linear, ou seja, uma função 
GH�SULPHLUR�JUDX��GR�WLSR��I�[�� �D[���E��2X�PHOKRU��XVDQGR�D�YDULiYHO�³W´� 
f(t) = a.t + b 
 
 Sabemos que um caminhãonovo (t = 0) tem preço f(0) = 90000. Ou seja, 
f(0) = a.0 + b 
90000 = b 
 
 Sabemos também que um caminhão com 4 anos de uso (t = 4) tem preço f(4) 
= 50000. Isto é: 
f(4) = a.4 + b 
50000 = 4a + 90000 
-40000 = 4a 
a = -10000 
 
 Portanto, temos a função linear que nos dá a relação entre o tempo de uso e 
o preço do caminhão: 
f(t) = -10000t + 90000 
 
 Para t = 2 anos de uso, temos: 
f(2) = -10000 x 2 + 90000 = 70000 reais 
Resposta: D 
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8. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2010) O número de elementos do conjunto 
soluções da equação x + y + z = 8 , onde x, y e z são números naturais positivos, é 
 a) 13 
 b) 15 
 c) 17 
 d) 19 
 e) 21 
RESOLUÇÃO: 
 Vejamos quais as possibilidades de somar 3 números naturais positivos (o 
zero não entra!!) e obter o resultado 8: 
1 + 1 + 6 
1 + 2 + 5 
1 + 3 + 4 
1 + 4 + 3 
1 + 5 + 2 
1 + 6 + 1 
2 + 1 + 5 
2 + 2 + 4 
2 + 3 + 3 
2 + 4 + 2 
2 + 5 + 1 
3 + 1 + 4 
3 + 2 + 3 
3 + 3 + 2 
3 + 4 + 1 
4 + 1 + 3 
4 + 2 + 2 
4 + 3 + 1 
5 + 1 + 2 
5 + 2 + 1 
6 + 1 + 1 
 Temos 21 possibilidades. 
Resposta: E 
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9. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2010) A função geradora do gráfico abaixo é do 
tipo y = mx + n 
 
Então, o valor de m3 + n é 
 a) 2 
 b) 3 
 c) 5 
 d) 8 
 e) 13 
RESOLUÇÃO: 
 Observe no gráfico que, para x = 3, temos y = 1. E para x = -2, temos y = -9. 
Como a reta é do tipo y = mx + n, temos que: 
1 = m.3 + n 
-9 = m.(-2) + n 
 
1 = 3m + n 
-9 = -2m + n 
 
 Isolando n na primeira equação, temos: 
n = 1 ± 3m 
 
 Substituindo na segunda equação, temos: 
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-9 = -2m + (1 ± 3m) 
-9 = -2m + 1 ± 3m 
-10 = -5m 
m = 2 
 
 Logo, n = 1 ± 3m = 1 ± 3.2 = -5. 
 
 Assim, m3 + n = 23 + (-5) = 3. 
Resposta: B 
 
10. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2010) Uma loja de eletrodomésticos possui 
1.600 unidades de liquidificadores em estoque. Uma recente pesquisa de mercado 
apontou que seriam vendidas 800 unidades a um preço de R$300,00, e que cada 
diminuição de R$ 5,00, no valor do produto, resultaria em 20 novas vendas. Qual 
valor de venda, em reais, permite que a receita seja máxima? 
 a) 230,00 
 b) 240,00 
 c) 250,00 
 d) 270,00 
 e) 280,00 
RESOLUÇÃO: 
 Imagine a função f(p) = a.p + b, onde p é o preço de venda de cada 
liquidificador e f(p) é o número de unidades que poderiam ser vendidas naquele 
preço. 
 Foi dito que para o preço p = 300 reais temos f(300) = 800 unidades 
vendidas. Uma queda de 5 reais no valor do produto (p = 295 reais) levaria a 20 
vendas adicionais, ou seja, f(295) = 820 unidades. Assim, temos: 
f(300) = a.300 + b 
f(295) = a.295 + b 
 
800 = a.300 + b 
820 = a.295 + b 
 
b = 800 ± 300a 
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820 = 295a + (800 ± 300a) 
20 = -5a 
a = -4 
 
b = 800 ± 300.(-4) 
b = 2000 
 
 Assim, temos f(p) = -4p + 2000. 
 
 A receita é dada pela multiplicação do número de unidades vendidas, isto é, 
f(p), pelo preço unitário p: 
Receita(p) = f(p) x p 
Receita(p) = (-4p + 2000) x p 
Receita(p) = -4p2 + 2000p 
 
 Note que a equação acima é uma função de segundo grau do tipo y = ax2 + 
bx + c, onde a = -4, b = 2000 e c = 0. Trata-se de uma parábola com concavidade 
para baixo, pois a < 0. Para descobrirmos a receita máxima, basta encontrarmos o 
vértice desta parábola. 
 O valor de x do vértice é xvértice = -b / 2a, ou seja: 
pvértice = -2000 / (2 x -4) = 250 reais 
 
 Portanto, o preço p = 250 reais é aquele que leva ao máximo da função 
Receita(p), ou seja, gera a receita máxima. Se você quisesse ainda descobrir o 
valor desta receita máxima, bastaria calcular o valor de Receita(250). 
Resposta: C 
 
11. CEPERJ ± PREF. SÃO GONÇALO ± 2011) 
Seja 
0, se x é um número racional
( )
2, se x é um número irracional
f x
x
­° ® �°¯ , o valor de 
( 6) ( 16)
(3,2) ( 8)
f f
f f
�
� é: 
a) 3 1� 
b) 2 3 1� 
c) 6 
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d) 6 1� 
e) 2 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que 6 e 8 não possuem raiz quadrada exata. Portanto, 6 e 8 
são irracionais. Seguindo a regra dada pelo enunciado ( ( ) 2f x x � , para x 
irracional), temos: 
( 6) 6 2f � 
e 
( 8) 8 2f � 
 Sabemos que 16 é igual a 4, que é um número racional. Da mesma forma, 
3,2 também é racional. Portanto, seguindo a regra do enunciado (f(x) = 0, se x é 
racional), teremos: 
( 16) 0f 
e 
(3,2) 0f 
 Logo, a expressão 
( 6) ( 16)
(3,2) ( 8)
f f
f f
�
� pode ser trabalhada da seguinte forma: 
( 6) ( 16) ( 6 2) 0 6 2
(3,2) ( 8) 0 ( 8 2) 8 2
f f
f f
� � � � � � � � 
 Notando que 6 3 2 3 2 u u , e 8 4 2 2 2 u u , temos: 
6 2 3 2 2 2( 3 1) ( 3 1)
3 1
18 2 2 2 2 2
� u � � � �� � 
Resposta: A. 
 
12. FGV ± PREF. CONTAGEM ± 2011) Considere o conjunto A = 
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, e a sentença aberta em A: p(x) = x2 ± 5x + 6 = 0. 
Marque a alternativa abaixo que contém o conjunto dos elementos que satisfazem a 
sentença aberta p(x). 
(A) {0,5} 
(B) {2,4} 
(C) {3,5} 
(D) {2,3} 
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RESOLUÇÃO: 
 Devemos substituir x por cada um dos números do conjunto A para verificar 
se eles satisfazem a igualdade. Por outro lado, podemos calcular as raízes de p(x) 
através da fórmula de Báskara: 
( 5) 25 4 6 1 5 1
2 1 2
x
� � r � u u r u 
 
 Portanto, temos x1 = 3 e x2 = 2, como vemos na letra D. 
Resposta: D 
 
13. FGV ± PREF. CONTAGEM ± 2011) Seja ( ) : 3 7 3p x x x� t � uma sentença 
aberta em A = {-7,-5,-3,-2,2,3,5,7}. . 
Marque a alternativa abaixo que contém o conjunto dos elementos que verificam a 
sentença aberta . 
(A) {-7,-5} 
(B) {-3,-2} 
(C) {2,3} 
(D) {5,7} 
RESOLUÇÃO: 
 Se 3 7 3x x� t � , então: 
3 3 7x x� t � 
2 10x t 
5x t 
 
 Como apenas os elementos da letra D são maiores ou iguais a 5, este é o 
gabarito. 
Resposta: D 
 
14. CEPERJ ± SEPLAG/RJ ± 2013) Sabendo-se que duas retas f(x) = ax + 6 e g(x) 
= cx + 1 são perpendiculares e, além disso, f(g(x)) = g(f(x)), e a reta g(x) possui a 
menor inclinaçãopossível, tem-se que os valores de a e c são, repectivamente: 
A) -1 e 1 
B) -2 e 1/2 
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C) -3 e 1/3 
D) -4 e 1/4 
E) -5 e 1/5 
RESOLUÇÃO: 
f(x) = ax + 6 e g(x) = cx + 1 são perpendiculares e, além disso, f(g(x)) = g(f(x)), 
 
 Calculando as funções compostas: 
f(g(x)) = a.g(x) + 6 = a.(cx + 1) + 6 = acx + a + 6 
g(f(x)) = c.f(x) + 1 = c.(ax + 6) + 1 = acx + 6c + 1 
 
 Igualando-as, como diz o enunciado, temos: 
f(g(x)) = g(f(x)) 
acx + a + 6 = acx + 6c + 1 
a + 6 = 6c + 1 
c = (a + 5)/6 
 
 Com esta última relação em mãos, podemos testar as alternativas de 
resposta: 
A) -1 e 1 Æ errado, pois se a = -1 temos c = 2/3 
B) -2 e ½ Æ possível, pois se a = -2 temos c = 1/2 
C) -3 e 1/3 Æ possível, pois se a = -3 temos c = 1/3 
D) -4 e ¼ Æ errado, pois se a = -4 temos c = 1/6 
E) -5 e 1/5 Æ errado, pois se a = -5 temos c = 0. 
 
 Assim, ficamos entre as alternativas B e C. Dentre elas, devemos escolher a 
alternativa C, pois o enunciado disse que a reta g(x) tem a menor inclinação 
possível, e 1/3 < 1/2. 
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Resposta: C 
Obs.: repare que, se duas retas são perpendiculares, os seus coeficientes angulares 
obedecem a relação a = -1/c, onde a e c são os coeficientes angulares das duas 
retas. Seria possível resolver diretamente a questão, sem testar as alternativas, 
lançando mão dessa informação. 
 
15. CEPERJ ± SEPLAG/RJ ± 2013) Sabendo-se que para duas retas f(x) = ax + 6 e 
g(x) = x + 1 vale a relação f(g(x)) = g(f(x)), o valor de a é: 
A) -1 
B) +1 
C) -2 
D) +2 
E) -3 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos calcular as funções compostas: 
f(g(x)) = a.g(x) + 6 = a.(x + 1) + 6 = ax + a + 6 
g(f(x)) = f(x) + 1 = ax + 6 + 1 = ax + 7 
 
 Igualando as funções compostas, como diz o enunciado: 
f(g(x)) = g(f(x)) 
ax + a + 6 = ax + 7 
a + 6 = 7 
a = 1 
Resposta: B 
 
16. CEPERJ ± SEPLAG/RJ ± 2013) Observe atentamente as duas equações 
abaixo: 
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A soma dos valores de x e y que resolvem esse sistema vale: 
A) 5 
B) 6 
C) 7 
D) 8 
E) 9 
RESOLUÇÃO: 
 Isolando y na segunda equação, temos: 
3x + 1 = y 
 
 Substituindo na primeira, temos: 
x + 2 (3x + 1) = 9 
x + 6x + 2 = 9 
7x = 7 
x = 1 
 
 Logo, y = 3.1 + 1 = 4. Portanto, a soma x + y é 1 + 4 = 5. 
Resposta: A 
 
17. IBFC ± Câmara de Franca/SP ± 2012) A soma das soluções da equação 3.(x-2) 
= x + 4 e da inequação 3x -1 < 8 no conjunto dos números naturais é igual a: 
a) 11 
b) 5 
c) 7 
d) 8 
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RESOLUÇÃO: 
 Resolvendo a equação: 
3.(x-2) = x + 4 
3x ± 6 = x + 4 
3x ± x = 6 + 4 
2x = 10 
x = 5 
 
 Resolvendo a inequação: 
3x -1 < 8 
3x < 9 
x < 3 
 
 No conjunto dos números naturais, são menores que 3 apenas os números 0, 
1 e 2. Estas são as soluções da inequação. 
 Somando as soluções da equação e da inequação, temos: 
5 + 0 + 1 + 2 = 8 
Resposta: D 
 
18. IBFC ± Câmara de Franca/SP ± 2012) Analisando as afirmações: 
I) Se f(x) = 3x ± 2, então f (1/3) = 1 
II) A função f(x) = -2x + 4 é crescente para x > 2 
III) O valor mínimo da função f(x) = x2± 4x + 3 é y = - 1 
Podemos dizer que são incorretas 
a) I e III, somente 
b) II e III, somente 
c) Somente I 
d) I e II, somente 
RESOLUÇÃO: 
 
I) Se f(x) = 3x ± 2, então f (1/3) = 1 
f(1/3) = 3 (1/3) ± 2 
f(1/3) = 1 ± 2 
f(1/3) = -1 
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 Item ERRADO. 
 
II) A função f(x) = -2x + 4 é crescente para x > 2 
 Uma função de primeiro grau é DECRESCENTE quando o coeficiente do 
WHUPR�³[´�p�QHJDWLYR��&RPR�R�FRHILFLHQWH�TXH�PXOWLSOLFD�³[´�p�-2, essa função é uma 
reta decrescente, para qualquer valor de x. 
Item ERRADO. 
 
III) O valor mínimo da função f(x) = x2± 4x + 3 é y = - 1 
 O valor da abscissa X do vértice dessa função é: 
Xvértice = -b / 2ª = -(-4) / (2 x 1) = 4 / 2 = 2 
 
 Neste vértice ocorre o valor mínimo da função. Este valor é a função de x = 2, 
ou seja, 
Mínimo = f(2) = 22 ± 4.2 + 3 = 4 ± 8 + 3 = -1 
 
 Item CORRETO. 
Resposta: D 
 
19. IBFC ± Pref. João Pessoa ± 2012) A função A(t) = - t2 + 8t - 7 descreve a 
trajetória de uma bola arremessada para cima até atingir o solo, sendo t dado em 
minutos e A(t) a altura(em metros) da bola em relação ao solo. A altura máxima que 
a bola atinge é de: 
a) 10 metros 
b) 8 metros 
c) 6 metros 
d) 9 metros 
RESOLUÇÃO: 
 O valor da abscissa t do vértice dessa função é dado por: 
8 4
2. 2.( 1)vértice
b
t
a
� � � 
 
 Assim, a altura máxima é alcançada para t = 4. Essa altura é de: 
A(t) = - t2 + 8t ± 7 
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A(4) = - 42 + 8.4 ± 7 
A(4) = 9 metros 
Resposta: D 
 
20. CESPE ± IBAMA ± 2013) Julgue os itens subsequentes, relacionados a 
problemas aritméticos, geométricos e matriciais. 
( ) Considere que A e B sejam matrizes distintas, de ordem 2 × 2, com entradas 
reais e, em cada matriz, três das quatro entradas sejam iguais a zero. Além disso, 
considere também que A × A = B × B = A × B = O, em que O é a matriz nula, isto é, 
a matriz em que todas as entradas são iguais a zero. Nesse caso, necessariamente, 
A = O ou B = O. 
( ) Se A, B e C são números reais, com Cz 1 e A + BC = B + AC, então, 
necessariamente, A = B. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Considere que A e B sejam matrizes distintas, de ordem 2 × 2, com entradas 
reais e, em cada matriz, três das quatro entradas sejam iguais a zero. Além disso, 
considere também que A × A = B × B = A × B = O, em que O é a matriz nula, isto é, 
a matriz em que todas as entradas são iguais a zero. Nesse caso, necessariamente, 
A = O ou B = O. 
 (55$'2�� ,PDJLQH� TXH� WHPRV� DV� PDWUL]HV� DEDL[R�� RQGH� ³D´� H� ³E´� VmR�
números diferentes de zero: 
0 0
0
A
a
ª º « »¬ ¼ 
0 0
0
B
b
ª º « »¬ ¼ 
 Note que A × A = 0, B × B = 0 e A × B = 0. Portanto, não é necessário que 
todas as entradas das matrizes A e B sejam iguais a zero. Item ERRADO. 
 
( ) Se A, B e C são números reais, com C z 1 e A + BC = B + AC, então, 
necessariamente, A = B. 
 Desenvolvendo a expressão dada, temos: 
A + BC = B + AC 
A ± AC = B ± BC 
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A x (1 ± C) = B x (1 ± C) 
 Sendo Cz 1, podemos dividir ambos os lados dessa expressão por (1 ± C), 
obtendo: 
A = B 
 Item CORRETO. 
Resposta: E C 
 
21. CESPE ± BASA ± 2012) A matemática financeira é o ramo da Matemática que 
se dedica a estudar as operações financeiras, entendendo-se estas como 
interações entre dois agentes: o financiador, que empresta uma quantia C0 ² o 
principal ², ao outro, o tomador, em determinado momento bem definido, 
esperando recebê-la mais tarde, acrescida de uma remuneração. A forma de 
devolução do principal acrescido de remuneração depende da combinação entre 
tomador e financiador, que consiste em determinar uma função crescente C(t), 
medida em reais, que determine o valor do dinheiro t meses após o empréstimo e tal 
que C(0) = C0. Supondo que, na negociação entre os dois agentes, o principal 
acompanhado da remuneração a ser devolvido ao financiador seja expresso pela 
função C(t) = 3.000(1 + 0,01t2), julgue os itens seguintes. 
 
( ) O tempo, em meses, necessário para que o valor do principal acompanhado de 
remuneração seja o dobro do principal será superior a 12 meses 
RESOLUÇÃO: 
 Para que o valor total C(t) seja igual a 6000 reais, vejamos quanto tempo é 
preciso: 
C(t) = 3000(1 + 0,01t2) 
6000 = 3000(1 + 0,01t2) 
2 = 1 + 0,01t2 
1 / 0,01 = t2 
100 = t2 
t = 10 meses 
 Item ERRADO, pois t < 12 meses. 
Resposta: E 
 
22. CESPE ± INPI ± 2013) Considerando que, em determinado dia, a quantidade de 
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homens e mulheres, em um shopping center, entre 10 h e 20 h, seja dada, 
respectivamente, pelas expressões y = 5t + 200 e x = 3t + 234, em que t seja a hora 
correspondente, julgue os itens que se seguem. 
( ) A cada hora, a quantidade de homens aumenta 20 unidades a mais do que a 
quantidade de mulheres. 
( ) A quantidade de pessoas no shopping center, às 20 h, é superior à quantidade de 
pessoas às 10 h. 
( ) Ao longo do dia em questão, a quantidade de homens dentro do shopping 
aumentou, enquanto que a quantidade de mulheres no shopping diminuiu. 
( ) A quantidade de homens no shopping torna-se igual à quantidade de mulheres 
antes das 18 h. 
RESOLUÇÃO: 
( ) A cada hora, a quantidade de homens aumenta 20 unidades a mais do que a 
quantidade de mulheres. 
 Vejamos as quantidades de homens e mulheres em t = 10 horas e também 1 
hora depois, isto é, t = 11 horas: 
y = 5t + 200 = 5.10 + 200 = 250 homens às 10 horas 
x = 3t + 234 = 3.10 + 234 = 264 mulheres às 10 horas 
 
y = 5t + 200 = 5.11 + 200 = 255 homens às 11 horas 
x = 3t + 234 = 3.11 + 234 = 267 mulheres às 11 horas 
 
 Portanto, o número de homens aumentou em 5 unidades e o de mulheres em 
��XQLGDGHV��5HSDUH�TXH�HVWHV�VmR� MXVWDPHQWH�RV�FRHILFLHQWHV�GD�YDULiYHO� ³W´�� ,WHP�
ERRADO. 
 
( ) A quantidade de pessoas no shopping center, às 20 h, é superior à quantidade de 
pessoas às 10 h. 
 CORRETO. Repare que as duas equações são retas crescentes, onde o 
FRHILFLHQWH�TXH�PXOWLSOLFD�D� YDULiYHO� ³W´� p�SRVLWLYR��$VVLP��j�PHGLGD�TXH�R� WHPSR� W�
passa, a quantidade de pessoas no shopping aumenta. 
 
( ) Ao longo do dia em questão, a quantidade de homens dentro do shopping 
aumentou, enquanto que a quantidade de mulheres no shopping diminuiu. 
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 ERRADO. Ambas são crescentes. 
 
( ) A quantidade de homens no shopping torna-se igual à quantidade de mulheres 
antes das 18 h. 
 Para que essas quantidades sejam iguais, é preciso que x seja igual a y, isto 
é: 
x = y 
3t + 234 = 5t + 200 
234 ± 200 = 5t ± 3t 
34 = 2t 
t = 17horas 
 
 CORRETO, pois as quantidades se igualaram às 17h. 
Resposta: E C E C 
 
23. CESPE ± INPI ± 2013) Considere que, em determinado período, a quantidade 
de refrigeradores no estoque de uma loja e a quantidade de unidades vendidas 
sejam dadas, respectivamente, pelas funções f(x) = x2 + bx + c, e g(x) = x + a, em 
TXH���”�[�”�����&RQVLGHUH��DLQGD��TXH�D�TXDQWLGDGH�GH�UHIULJHUDGRUHV�QR�HVWRTXH�GD�
loja no início do dia x seja igual à quantidade que existia no final do dia x ±1 e que o 
gráfico dessas funções está ilustrado na figura abaixo. 
 
Com base na situação hipotética acima e nas informações contidas na figura, julgue 
os itens subsequentes. 
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( ) A quantidade de refrigeradores, no estoque da loja, no início do primeiro dia do 
período considerado, era superior a 40 unidades. 
( ) O valores de b e c satisfazem a relação b2 ± 4c > 0. 
( ) A equação f(x) ± g(x) = 0 possui uma única raiz real. 
( ) No período analisado, o estoque da loja teve a menor quantidade de 
refrigeradores ao final do 10.º dia daquele período. 
( ) Durante o período considerado, a quantidade de refrigeradores vendidos foi 
superior à quantidade de unidades disponíveis no estoque por um período de 5 dias. 
( ) Os valores de a e c satisfazem a relação c ± a = 25. 
RESOLUÇÃO: 
( ) A quantidade de refrigeradores, no estoque da loja, no início do primeiro dia do 
período considerado, era superior a 40 unidades. 
 CORRETO. No momento inicial (x = 0) temos y = 54 unidades no estoque. 
%DVWD�ROKDU�D�FXUYD�³I´�QR�JUiILFR� 
 
( ) O valores de b e c satisfazem a relação b2 ± 4c > 0. 
 Observe que a função f(x) possui coeficientes a = 1 (multiplicando x2), b e c. 
$VVLP��R�³GHOWD´��' ) desta equação é: 
'= b2 ± 4.a.c = b2 ± 4.1.c = b2 ± 4c 
 
Note que a função f não cruza o eixo horizontal, isto é, não possui raízes 
rHDLV��,VWR�Vy�RFRUUH�TXDQGR�R�³GHOWD´�p�QHJDWLYR��LVWR�p�� 
0' � 
b2 ± 4c < 0 
 
 Item ERRADO. 
 
( ) A equação f(x) ± g(x) = 0 possui uma única raiz real. 
 Para que f(x) ± g(x) = 0, é preciso que f(x) = g(x). Note que o único ponto no 
gráfico onde essas duas funções se cruzam (isto é, são iguais), é para x = 5. Logo, 
este item está CORRETO. 
 
( ) No período analisado, o estoque da loja teve a menor quantidade de 
refrigeradores ao final do 10.º dia daquele período. 
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 ERRADO. Note que a cuUYD�³I´�WHP�R�VHX�YDORU�PtQLPR�SRXFR�DQWHV�GH�[� ���
dias. 
 
( ) Durante o período considerado, a quantidade de refrigeradores vendidos foi 
superior à quantidade de unidades disponíveis no estoque por um período de 5 dias. 
 ERRADO. A curva do estoque (f) é superior à curva de vendas (g) ao longo 
de todo o período. 
 
( ) Os valores de a e c satisfazem a relação c ± a = 25. 
 Para resolvereste item precisamos conhecer os coeficientes de f(x) e g(x). 
Vejamos como obtê-los: 
 
No gráfico de g(x), note que quando x = 0 temos g(0) = 29. Isto é, 
g(0) = 0 + a = 29 Æ a = 29 
 
 Logo, g(x) = x + 29. 
 
 No gráfico de f(x) vimos que para x = 0 temos f(0) = 54, logo: 
f(0) = 02 + b.0 + c = 54 Æ c = 54 
 
 Assim, temos a = 29 e c = 54, de modo que c ± a = 54 ± 29 = 25. Item 
CORRETO. 
 
 Caso fosse necessário obter o coeficiente b, bastaria notar que, para x = 5, 
f(x) e g(x) possuem o mesmo valor. Ou seja, 
f(5) = g(5) 
52 + b.5 + 54 = 5 + 29 
25 + 5b + 54 = 34 
b = -9 
 Portanto, f(x) = x2 -9x + 54. 
Resposta: C E C E E C 
 
24. CESPE ± INPI ± 2013) Acerca da função f(x) = ax2 + bx + c, em que a variável x 
e as constantes a, b e c são números reais, julgue os itens a seguir. 
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( ) Se a<0, então a inequação ax2 + bx + c t 0 não tem solução, 
independentemente dos valores de b e c. 
( ) Se os pontos P(0,2), Q(1,5) e R(-1,1) estiverem sobre o gráfico da função f(x), 
então o ponto T(-2,2) também estará sobre o gráfico de f(x). 
RESOLUÇÃO: 
( ) Se a<0, então a inequação ax2 + bx + c t 0 não tem solução, 
independentemente dos valores de b e c. 
 ERRADO. Basta que a função f(x) possua raízes reais para que a inequação 
tenha solução. Como já vimos, para que f(x) possua raízes reais, é preciso que o 
VHX�³GHOWD´�VHMD�PDLRU�RX�LJXDO�D�]HUR��LVWR�p�� 
b2 ± 4ac t 0 
 
 Esta condição pode ser atendida mesmo que tenhamos a < 0. 
 
( ) Se os pontos P(0,2), Q(1,5) e R(-1,1) estiverem sobre o gráfico da função f(x), 
então o ponto T(-2,2) também estará sobre o gráfico de f(x). 
 Com os pontos fornecidos podemos obter os coeficientes a, b e c da função. 
Vejamos: 
 
P(0,2) Æ para x = 0, temos f(x) = f(0) = 2 
f(0) = a.02 + b.0 + c = 2 Æ c = 2 
 
Q(1,5) Æ para x = 1, temos f(x) = f(1) = 5 
f(1) = a.12 + b.1 + 2 = 5 Æ a + b = 3 
 
R(-1,1) Æ para x = -1, temos f(x) = f(-1) = 1 
f(-1) = a.(-1)2 + b.(-1) + 2 = 1 Æ a ± b = -1 Æ a = b ± 1 
 
Com as equações a + b = 3 e a = b ± 1, podemos escrever 
(b ± 1) + b = 3 
b = 2 
 
Logo, a = b ± 1 = 2 - 1 = 1. Portanto, temos a função: 
f(x) = x2 + 2x + 2 
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 Para verificar se o ponto T(-2, 2) faz parte da função, vejamos qual é o valor 
de f(-2): 
f(-2) = (-2)2 + 2.(-2) + 2 = 4 ± 4 + 2 = 2 
 
 Portanto, f(-2) = 2, de modo que o ponto T está sobre o gráfico da função. 
Item CORRETO. 
Resposta: E C 
 
25. ESAF ± RECEITA FEDERAL ± 2012) Sabendo-se que o conjunto X é dado por 
;� �^[�ȯ�5�Ň�[2 ± 9 = 0 ou 2x ± 1 = 9} H�R�TXH�R�FRQMXQWR�<�p�GDGR�SRU�<� �^\�ȯ�5�
Ň�\����� ���H��\2 ± y ± 1 = 0}, onde R é o conjunto dos números reais, então pode-
VH�D¿rmar que: 
a) X U Y = {-3; -0,5; 1; 3; 5}. 
b) X - Y = {-3; 3}. 
c) X U Y = {-3; -0,5; 3; 5}. 
d) Y = {-0,5; 1}. 
e) Y = {-1}. 
RESOLUÇÃO: 
 Vejamos cada conjunto: 
 
;� �^[�ȯ�5�Ň�[2 ± 9 = 0 ou 2x ± 1 = 9} 
 
 Resolvendo as duas equações: 
x2 ± 9 = 0 
x2 = 9 
x = 3 ou x = -3 
 
2x ± 1 = 9 
2x = 10 
x = 5 
 
 Portanto X = {-3, 3, 5}. 
 
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<� �^\�ȯ�5�Ň�\����� ���H��\2 ± y ± 1 = 0} 
 
 Resolvendo as duas equações: 
2y + 1 = 0 
2y = -1 
y = -1/2 
 
2y2 ± y ± 1 = 0 
2( 1) ( 1) 4.2.( 1)
2.2
y
� � r � � � 
1 9
4
y r 
1 3
4
y r 
y = 1 ou y = -1/2 
 
 Observe que no conMXQWR�<�WHPRV�XP�³H´�HQWUH�DV�GXDV�HTXDo}HV��2X�VHMD��
só devemos considerar os valores y que resolvem uma E TAMBÉM a outra 
equação. Neste caso, apenas o y = -1/2 resolve as duas equações (no conjunto X 
WtQKDPRV� XP� ³RX´� HQWUH� DV� HTXDo}HV�� H� IRL� SRU� LVVR� TXH consideramos todas as 
soluções das duas equações). Por isso, 
Y = {-1/2} 
 
 Logo, nosso gabarito é: 
X U Y = {-3; -0,5; 3; 5} 
RESPOSTA: C 
 
26. ESAF ± RECEITA FEDERAL ± 2012) A função bijetora dada por f(x) = 1
2
x
x
�
� 
possui domínio no conjunto dos números reais, exceto o número 2, ou seja: R - {2}. 
O conjunto imagem de f(x) é o conjunto dos reais menos o número 1, ou seja: R - 
{1}. Desse modo, diz-se que f(x) é uma função de R - {2} em R - {1}. Com isso, a 
função inversa de f, denotada por f-1, p�GH¿QLGD�FRPR� 
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a) f-1(x) = 
2 1
1
x
x
�
� de R - {1} em R - {2}. 
b) f-1(x) = 
2 1
1
x
x
�
� de R - {1} em R - {2}. 
c) f-1(x) = 
2 1
1
x
x
�
� de R - {2} em R - {1}. 
d) f-1(x) = 
2
1
x
x
�
� de R - 1 em R - {2}. 
e) f-1(x) = 
2
1
x
x
�
� de R - 2 em R - {1}. 
RESOLUÇÃO: 
 Em primeiro lugar, vamos calcular a função inversa, que chamaremos de f-
1(x). Fazemos isso trocando f(x) por x, e trocando x por f-1(x): 
1( )
2
xf x
x
� � 
1
1
( ) 1
( ) 2
f x
x
f x
�
�
� � 
 
 Agora basta isolar f-1(x): 
1 1
. ( ) 2 ( ) 1x f x x f x� �� � 
1 1
. ( ) ( ) 2 1x f x f x x� �� � 
1( ).( 1) 2 1f x x x� � � 
1 2 1( )
1
xf x
x
� � � 
 
 Observe que o denominador nunca pode ser igual a zero. Portanto, 
1 0x� z 
1xz 
 
 Portanto, a função inversa f-1(x) tem como domínio qualquer número x que 
pertença ao conjunto dos números reais (R), com exceção de x = 1. Temos então o 
domínio R ± {1}. Repare o seguinte: a imagem de f(x), que era R ± {1}, virou o 
domínio da inversa f-1(x). Da mesma forma, o domínio de f(x), que era R ± {2}, virou 
a imagem da inversa f-1(x). 
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 Portanto, temos: 
1 2 1( )
1
xf x
x
� � � de R ± {1} em R ± {2} 
RESPOSTA: A 
 
27. VUNESP ± POLÍCIA CIVIL/SP ± 2013) As retas das equações x +2 y ± 4 = 0, 2x 
+ y + 7 = 0 e x + y + k = 0 concorrem em P. O valor de k na equação x + y + k = 0 é 
(A) ±2. 
(B) ±1. 
(C) 1. 
(D) 2. 
(E) 3. 
RESOLUÇÃO: 
 Podemos inicialmente encontrar o ponto P onde as retas x +2 y ± 4 = 0 e 2x + 
y + 7 = 0 se cruzam, ou seja, concorrem. Neste ponto, as duas retas tem o mesmo 
valor de x e o mesmo valor de y. Portanto, isolando x na primeira equação: 
x = 4 ± 2y 
 
 Substituindo na segunda: 
2.(4 ± 2y) + y + 7 = 0 
8 ± 4y + y + 7 = 0 
15 = 3y 
y = 5 
 
Logo, 
x = 4 ± 2.5 = -6 
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