Métodos dos Deslocamentos
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Métodos dos Deslocamentos


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de rigidez das barras isoladas, que por sua vez 
200 \u2013 Métodos Básicos da Análise de Estruturas \u2013 Luiz Fernando Martha 
são tabelados (veja a Seção 4.4.2 do Capítulo 4). Uma das vantagens do Método 
dos Deslocamentos em relação ao Método das Forças é que o cálculo dos coeficien-
tes de rigidez é baseado em valores tabelados, o que exige um esforço menor na 
solução manual da estrutura, quando comparado com o cálculo dos coeficientes de 
flexibilidade do Método das Forças mostrado no capítulo anterior. Essa vantagem 
também facilita a implementação computacional do Método dos Deslocamentos. 
Caso (2) \u2013 Deslocabilidade D2 isolada no SH 
De maneira análoga, no caso (2), a deslocabilidade D2 é colocada em evidência, 
considerando o efeito devido a um valor unitário de D2 multiplicado pelo seu valor 
final, tal como indicado na Figura 6.7. Esse caso isola o efeito da deslocabilidade 
D2, mantendo nulos os valores das deslocabilidades D1 e D3. 
4,1316012 +=K kN/m 
22K
4,32632 +=K kNm/m
7,1972922 +=K kN/m 
x D2 
12K 
32K
D2 = 1 
 
Figura 6.7 \u2013 Deslocabilidade D2 isolada no SH da estrutura da Figura 6.3. 
A força horizontal K12, a força vertical K22 e o momento K32, que aparecem nos a-
poios fictícios do SH para mantê-lo em equilíbrio quando é imposta uma configu-
ração deformada onde D2 = 1, são os coeficientes de rigidez globais que aparecem 
no caso (2). As unidades desses coeficientes, por definição, são unidades de força 
ou momento divididas pela unidade da deslocabilidade D2 (metro), tal como mos-
trado na Figura 6.7. 
Caso (3) \u2013 Deslocabilidade D3 isolada no SH 
Do mesmo modo, no caso (3) a deslocabilidade D3 é colocada em evidência, como 
mostra a Figura 6.8. Esse caso isola o efeito da deslocabilidade D3, mantendo nulos 
os valores das deslocabilidades D1 e D2. A figura também mostra os coeficientes de 
rigidez globais desse caso. Observe que as unidades desses coeficientes são unida-
des de força ou momento divididas por radiano, pois a deslocabilidade D3 é uma 
rotação. 
Luiz Fernando Martha \u2013 Método dos Deslocamentos \u2013 201 
8,276413 +=K kN/rad 
13K 
23K 
33K 
0,2112033 +=K kNm/rad 
4,32623 +=K kN/rad 
D3 = 1
x D3 
 
Figura 6.8 \u2013 Deslocabilidade D3 isolada no SH da estrutura da Figura 6.3. 
Restabelecimento das condições de equilíbrio 
A partir dos resultados obtidos nos casos mostrados acima, pode-se utilizar a su-
perposição dos casos para restabelecer as condições de equilíbrio do nó interior. A 
resultante de forças e momentos externos neste nó deve ser nula, tal como feito a 
seguir. 
\u2022 Somatório das forças externas horizontais que atuam no nó interior: 
031321211110 =+++ DKDKDK\u3b2 
\u2022 Somatório das forças externas verticais que atuam no nó interior: 
032322212120 =+++ DKDKDK\u3b2 
\u2022 Somatório dos momentos externos que atuam no nó interior: 
033323213130 =+++ DKDKDK\u3b2 
Pode-se generalizar esses resultados, escrevendo uma equação de equilíbrio na 
direção da deslocabilidade Di para uma estrutura com n deslocabilidades: 
0
1
0 =\u22c5+\u2211
=
=
nj
j
jiji DK\u3b2 . (6.1) 
A solução do sistema formado pelas três equações de equilíbrio do exemplo desta 
seção, com os valores mostrados anteriormente para os termos de carga \u3b2i0 e para 
os coeficientes de rigidez globais Kij, resulta nos seguintes valores para as desloca-
bilidades: 
3
1 1045,0
\u2212
\u22c5+=D m; 
3
2 1005,1
\u2212
\u22c5\u2212=D m; 
3
3 1075,0
\u2212
\u22c5\u2212=D rad. 
202 \u2013 Métodos Básicos da Análise de Estruturas \u2013 Luiz Fernando Martha 
Esses valores fazem com que as resultantes de forças e momentos externos que a-
tuam no nó interno da estrutura sejam nulas. Dessa forma, atingiu-se a solução 
correta da estrutura, pois além de satisfazer as condições de compatibilidade \u2013 que 
sempre foram satisfeitas nos casos (0), (1), (2) e (3) \u2013 ela também satisfaz as condi-
ções de equilíbrio, haja vista que não existem forças e momentos externos (fictícios) 
aplicados ao nó. O equilíbrio dos outros dois nós sempre foi satisfeito pelas rea-
ções de apoio, cujos valores finais podem obtidos pela superposição dos valores 
das reações obtidos em cada caso. 
Os sinais das deslocabilidades são determinados pelos sentidos em que foram im-
postos os deslocamentos unitários e a rotação unitária nos casos básicos. Assim, o 
sinal positivo de D1 indica que esse deslocamento tem o mesmo sentido (da es-
querda para a direita) do deslocamento horizontal imposto no caso (1). O sinal 
negativo de D2 indica que esse deslocamento vertical é para baixo pois é contrário 
ao deslocamento unitário imposto no caso (2). E o sinal negativo de D3 mostra que 
esta rotação é no sentido horário pois é contrária à rotação unitária imposta no caso 
(3). 
Determinação dos esforços internos 
Uma vez determinados os valores das deslocabilidades, os diagramas finais de es-
forços da estrutura do exemplo em estudo também podem ser obtidos pela super-
posição dos diagramas de cada um dos casos básicos, conforme vai ser mostrado 
na seqüência deste capítulo. Por exemplo, os momentos fletores finais (M) podem 
ser obtidos pela superposição dos diagramas de momentos fletores (Mi) dos casos 
básicos: 
3322110 DMDMDMMM +++= , 
sendo que o diagrama M0 corresponde ao caso (0) e os diagramas M1, M2 e M3 são 
provocados por valores unitários das deslocabilidades nos casos (1), (2) e (3), res-
pectivamente. 
Esse resultado pode ser generalizado para todos os esforços internos \u2013 esforços 
normais finais (N), esforços cortantes finais (Q) e momentos fletores finais (M) \u2013 de 
uma estrutura com n deslocabilidades: 
\u2211
=
=
\u22c5+=
nj
j
jj DNNN
1
0 ; (6.2) 
\u2211
=
=
\u22c5+=
nj
j
jj DQQQ
1
0 ; (6.3) 
\u2211
=
=
\u22c5+=
nj
j
jj DMMM
1
0 . (6.4) 
Luiz Fernando Martha \u2013 Método dos Deslocamentos \u2013 203 
Sendo: 
\u21920N diagrama de esforços normais da estrutura (na verdade, do SH) no caso (0), 
 isto é, quando é imposta a solicitação externa com todas as deslocabili- 
 dades mantidas nulas; 
\u2192jN diagrama de esforços normais da estrutura (na verdade, do SH) no caso (j), 
 isto é, quando é imposta uma configuração deformada onde Dj = 1 e as 
 demais deslocabilidades são nulas; 
\u21920Q diagrama de esforços cortantes da estrutura (na verdade, do SH) no caso (0), 
 isto é, quando é imposta a solicitação externa com todas as deslocabili- 
 dades mantidas nulas; 
\u2192jQ diagrama de esforços cortantes da estrutura (na verdade, do SH) no caso (j), 
 isto é, quando é imposta uma configuração deformada onde Dj = 1 e as 
 demais deslocabilidades são nulas; 
\u21920M diagrama de momentos fletores da estrutura (na verdade, do SH) no caso 
 (0), isto é, quando é imposta a solicitação externa com todas as desloca- 
 bilidades mantidas nulas; 
\u2192jM diagrama de momentos fletores da estrutura (na verdade, do SH) no caso (j), 
 isto é, quando é imposta uma configuração deformada onde Dj = 1 e as 
 demais deslocabilidades são nulas. 
6.3. Matriz de rigidez global e vetor dos termos de carga 
Pode-se reescrever o sistema de equações de equilíbrio do exemplo da seção ante-
rior de uma forma matricial: 
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=+++
=+++
=+++
0
0
0
33323213130
32322212120
31321211110
DKDKDK
DKDKDK
DKDKDK
\u3b2
\u3b2
\u3b2
 
\uf8f4
\uf8fe
\uf8f4
\uf8fd
\uf8fc
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=
\uf8f4
\uf8fe
\uf8f4
\uf8fd
\uf8fc
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
+
\uf8f4
\uf8fe
\uf8f4
\uf8fd
\uf8fc
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
\u21d2
0
0
0
3
2
1
333231
232221
131211
30
20
10
D
D
D
KKK
KKK
KKK
\u3b2
\u3b2
\u3b2
. 
No caso geral de uma estrutura com n deslocabilidades, pode-se escrever: 
{ } [ ]{ } { }00 =+ DK\u3b2 . (6.5) 
Sendo: 
{ }\u21920\u3b2 vetor dos termos de carga; 
[ ]\u2192K matriz de rigidez global; 
{ }\u2192D vetor das deslocabilidades. 
204 \u2013 Métodos Básicos da Análise de Estruturas \u2013 Luiz Fernando Martha 
O número de equações