2ª Lista de Cálculo A (1)

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias
Lista 2 de Ca´lculo A
Professor: Thiago Lourenc¸o Pires
1a Questa˜o: Qua˜o pro´ximo de 2 devemos tomar x para que 5x + 3 esteja a uma distaˆncia de 13 menor do
que (a) 0, 1 e (b) 0, 01.
2a Questa˜o: Qua˜o pro´ximo de 3 devemos tomar x para que 2x + 4 esteja a uma distaˆncia de 10 menor do
que 0, 01.
3a Questa˜o: Qua˜o pro´ximo de −1 devemos tomar x para que 3 − 4x esteja a uma distaˆncia de 7 menor do
que 0, 02.
4a Questa˜o: Mostre que lim
x→3
4x− 1 = 11 usando a definic¸a˜o de limite.
5a Questa˜o: Mostre que lim
x→2
x2 = 4 usando a definic¸a˜o de limite.
6a Questa˜o: Mostre que se lim
x→x0
f(x) = L e lim
x→x0
g(x) = M , enta˜o lim
x→x0
(f − g)(x) = L−M
7a Questa˜o: Discuta a continuidade das func¸o˜es no ponto a dado.
(a) f(x) =
√
2x− 5 + 3x, a = 4 (b) f(x) = x
x2 − 4, a = 2
(c) f(x) = 3x2 + 7− 1√−x , a = −2 (d) f(x) =
x2 − 4
x− 2 , a = 2
8a Questa˜o: Discuta a continuidade das func¸o˜es.
(a)
f(x) =


x2 − 4
x− 2
2
se x 6= 2
se x = 2
(b)
f(x) =


1
x− 1
2
se x 6= 1
se x = 1
(c)
f(x) =
{
x2 + 1
x3 + x+ 1
se x ≤ 0
se x > 0
(d)
f(x) =
{
sen(x)
cos(x)
se x ≤ pi/4
se x ≥ pi/4
(e)
f(x) =


x2 + 1
2− x
(x− 2)2
se x ≤ 0
se 0 ≤ x ≤ 2
se x ≥ 2
9a Questa˜o: Determine os valores de k e c para que as func¸o˜es abaixo sejam cont´ınuas.
(a)
f(x) =


x2 − x
x
k
se x 6= 0
se x = 0
(b)
f(x) =


kx2 + cx
2x2
2k + cx
se x < 1
se 1 ≤ x ≤ 3
se x > 3
(c)
f(x) =


√
x− 1
x− 1
c
(4x2 + kx)(x− 1)
x2 + 2x− 3
se 0 ≤ x < 1
se x = 1
se x > 1
(d)
f(x) =


x2 − (2 + k)x+ 2k
x− 2
(
√
x−√2)c
x− 2
√
x3 + (k + 1)2x2
x
se x > 2
se 0 ≤ x ≤ 2
se x < 0
(e)
f(x) =


c(
√
1 + x− 1)
kx
−x2 + 2
(3x2 + 2k)(x− 1)
c(x2 + x− 2)
se x < 0
se 0 ≤ x ≤ 1
se 1 < x
(f)
f(x) =


tg(kx)
x
3x+ 2k2
se x < 0
se x ≥ 0
10a Questa˜o: Calcule os limites, se existirem.
(a) lim
x→+∞
1
2x− 3
(b) lim
x→+∞
3x+ 5
x− 4
(c) lim
x→0+
3
x2 − x
(d) lim
x→3+
5
3− x
(e) lim
x→−∞
1− x− x2
2x2 − 7
(f) lim
y→+∞
2− 3y2
5y2 + 4y
(g) lim
x→+∞
x7 + 2x3 + 4
5x4 + 2pix+ 4
(h) lim
x→−∞
−4x3 + 5x+ 1
2x3 + x− 1
(i) lim
x→+∞
x−√x
(j) lim
x→+∞
−x3 + 3x+ 1
x2 + 7
(k) lim
u→+∞
4u2 + 5
(u2 + 1)(3u2 − 1)
(l) lim
h→−∞
h+ 2√
9h2 + 1
(m) lim
x→−∞
x4 + x5
(n) lim
x→−∞
sen
(
1
x
)
(o) lim
x→+∞
√
9x2 + x− 3x
(p) lim
x→−1+
2x+ 1
x2 + x
(q) lim
x→+∞
√
x2 + ax−
√
x2 + bx
(r) lim
x→−∞
x+
√
x2 + 2x
(s) lim
x→3+
x2 − 3x
x2 − 6x+ 9
(t) lim
x→0+
sen(x)
x3 − x2
(u) lim
t→0
tg(t)
t
(v) lim
x→0
sen(3x)
x
(w) lim
x→pi
sen(x)
x− pi
(x) lim
x→0
x2
sen(x)
(y) lim
x→0
tg(3x)
sen(4x)
(z) lim
h→0
sen(x+ h)− sen(x)
h
11a Questa˜o: A func¸a˜o maior inteiro ou func¸a˜o cha˜o e´ definida por ⌊x⌋ = o maior inteiro, que e´ menor
ou igual a x. (Por exemplo, ⌊4⌋ = 4, ⌊4, 56⌋ = 4 ⌊pi⌋ = 3, ⌊√2⌋ = 1). Esboce o gra´fico de ⌊x⌋.
Em que conjunto a func¸a˜o e´ cont´ınua?
12a Questa˜o: Mostre a existeˆncia de
√
2.
13a Questa˜o: Existe um nu´mero que e´ exatamente um a mais do que seu cubo? Justifique sua resposta.
14a Questa˜o: Use o teorema do sandu´ıche para calcular lim
x→+∞
sen(x)
x
.
15a Questa˜o: A forc¸a gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distaˆncia r do
centro do planeta e´
F (r) =


GMr
R3
se r < R
GM
r2
se r ≥ R,
onde M e´ a massa da Terra; R e´ seu raio; e G e´ a constante gravitacional. F e´ uma func¸a˜o
cont´ınua de r?
Respostas
1a |x− 2| < 0, 02
1b |x− 2| < 0, 002
2 |x− 3| < 0, 005
3 |x+ 1| < 0, 005
7a f e´ cont´ınua em a = 4
7b f na˜o e´ cont´ınua em a = 2
7c f e´ cont´ınua em a = −2
7d f na˜o e´ cont´ınua em a = 2
8a f e´ cont´ınua em R \ {2}
8b f e´ cont´ınua em R \ {1}
8c f e´ cont´ınua em R
8d f e´ cont´ınua em R
8e f e´ cont´ınua em R∗
9a k = −1
9b k = −12, c = 14
9c k = −2, c = 1/2
9d k = 1, c = −2√2 ou k = 5, c = 6√2
9e k = 3/10, c = 6/5
9f k = 0 ou k = 1/2
10a 0′
10b 3
10c −∞
10d −∞
10e 0
10f − 3/5
10g +∞
10h −∞
10i +∞
10j −∞
10k 0
10l − 1/3
10m −∞
10n 0
10o 1/6
10p +∞
10q (a− b)/2
10r −∞
10s +∞
10t −∞
10u 1
10v 3
10w − 1
10x 0
10y 3/4
10z cosx
11 A func¸a˜o cha˜o e´ cont´ınua em R \ Z.
12 Use o Teorema do Valor intermedia´rio na func¸a˜o f(x) = x2 em um intervalo adequado.
13 Use o Teorema do Anulamento (corola´rio do T.V. Intermedia´rio) na func¸a˜o f(x) = x3−x+1
e mostre que ela tem pelo menos uma raiz.
14 0
15 F e´ cont´ınua.