Tabela Notações Matemáticas

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GUIDG.COM – PG. 1 
 
5/6/2011 – MAT: Notação Matemática, Símbolos Matemáticos. 
As principais notações utilizadas em Matemática: Dicionário, manual, tabela, conceitos, notação, números, formulário, fórmulas, 
operadores matemáticos, simbologia, símbolos, sinais, letras, abreviações, definições, teoremas, regras e etc. 
ESTE ARTIGO DEVE SER USADO COMO UM GUIA, NÃO UTILIZE COMO FONTE ÚNICA DE ESTUDOS. 
 
 
 
 
Palavras e conceitos importantes: 
Notação matemática: (1) é o conjunto de símbolos do qual o matemático utiliza para expressar, resumir, 
esclarecer e aplicar na resolução de um problema. (2) é uma linguagem cuja grafia e semântica se utiliza dos 
símbolos matemáticos e da lógica matemática, respectivamente. É com base nessa notação que são construídas as 
sentenças matemáticas (Wiki). 
Notação científica / Notação exponencial: veja a definição completa na seção MEF (medidas físicas). É uma 
forma de escrever números astronômicos ou microscópicos, utilizando um número simples multiplicado por uma 
potência de base decimal. 
Ex: 990.000.000.000 = 9,9B1011 
 
Ciência (do Latim scientia, significando "conhecimento”): Conjunto sistematicamente organizado de proposições 
evidentes ou aceitas, necessárias e universais, capaz de dar sobre seu objeto o conhecimento pelas causas. 
 
Matemática: ciência que tem por objetivo determinar as medidas, propriedades e relações de quantidades e 
grandezas. É a ciência do raciocínio lógico e abstrato. 
(Wiki), do grego µάθηµα (máthēma) que significa: ciência, conhecimento, aprendizagem; e µαθηµατικός, 
(mathēmatikós): apreciador do conhecimento. 
 
Número (Wiki): É um objeto da Matemática usado para descrever quantidade, ordem ou medida; É a relação entre 
a quantidade e a unidade (Newton). 
 
Calculus do latim: “pedra, pedrinha” (Onde começou a ser aplicado o processo de contagem, e as operações). Pela 
história as primeiras contagens do homem foram feitas com pedrinhas (tais que pudessem ser carregadas, a fim de 
expressar a quantidade que se tinha de alguma coisa). 
 
Cálculo: Efeito de calcular, resolver problemas matemáticos ou do mundo real, utilizando métodos matemáticos. 
O interessante neste ponto é o método de cálculo, pois é o procedimento matemático que nos ajuda a resolver 
problemas do cotidiano. 
 
Álgebra: Parte da matemática que ensina a calcular, generalizando e simplificando as questões aritméticas, por 
meio de letras de um ou mais alfabetos. 
A palavra Al-jabr da qual álgebra foi derivada significa "reunião", "conexão" ou "complementação". A palavra Al-
jabr significa, ao pé da letra, a reunião de partes quebradas. E foi o título de um trabalho do matemático Al-
Khowarizmi (considerado o fundador da álgebra como nós conhecemos hoje). 
 
Razão: A relação existente entre grandezas da mesma espécie. A palavra razão vem do latim “ratio” e significa 
divisão ou o quociente entre dois números A e B. 
 
Axioma: Definição admitida como verdadeira (verdade absoluta), que não necessita de provas. 
 
 
 
 
 
... 
 
 
 
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Na coluna “Notação”, “ou” será utilizado para variação do alvo. 
Notação: Significado: Definição / Descrição: 
α, β, γ, δ, ε, ζ, 
 η, θ, ι, κ, λ, µ, 
ν, ξ, ο ,pi, ρ, σ, 
 τ, υ, φ, χ, ψ, ω 
Alfabeto Grego 
Utilizado na matemática, física e entre muitas outras áreas do 
conhecimento, o Alfabeto Grego. Na coluna à esquerda as letras 
minúsculas ao lado das maiúsculas á direita com seus respectivos nomes. 
 
α Α Alfa ι Ι Iota ρ Ρ Rô 
β Β Beta κ Κ Kapa σ Σ Sigma 
γ Γ Gama λ Λ Lambda τ Τ Tau 
δ ∆ Delta µ Μ Mi υ Υ Ipsilon 
ε Ε Epsilon ν Ν Ni φ Φ Fi 
ζ Ζ Zeta ξ Ξ Csi χ Χ Qui 
η Η Eta ο Ο Ômicron ψ Ψ Psi 
θ Θ Theta pi Π Pi ω Ω Omega 
 
0, 1, 2, 3, 4, 
5, 6, 7, 8, 9 
O sistema decimal. 
Algarismos 
Indo-Arábicos 
 
Algarismos ou dígitos são símbolos usados na representação de números 
inteiros ou reais em sistemas numerais posicionais. 
 
Utiliza-se estes dez símbolos, que chamamos de algarismos (por 
homenagem ao matemático Al-Khowarizmi) para representar 
quantidades, objetos... 
0 para nenhuma unidade, 1 para uma unidade, 2 para duas unidades... 
É usado internacionalmente na ciência e na maioria dos países. 
 
 N Naturais 
Conjuntos numéricos: 
 
N é o conjunto dos números naturais. 
São os números que vão de 0, 1, 2, 3 ... à +∞ (lê-se mais infinito). 
 
Todo número natural é seguido imediatamente por outro número natural 
chamado sucessor, ou seja: 
N = {0,1,2,3,4, ...}. 
 
O antecessor de 1 é 0, e a definição é o número que antecede, isto é que 
vem antes (sinônimo: predecessor). 
 
O símbolo N* é usado para indicar o conjunto de números naturais sem o 
zero, ou seja: 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} 
 
Z Inteiros 
 
O conjunto dos números inteiros é o conjunto dos números naturais 
acrescido dos seus opostos (os naturais negativos). É representado pela 
letra Z, devido ao fato da palavra Zahl em alemão significar "número". 
 
Z = {... ,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
 O símbolo Z* é usado para indicar o conjunto de números inteiros, sem o 
zero: 
Z* = {... , -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
 
O símbolo Z+ é usado para indicar o conjunto de números inteiros não 
negativos: 
Z+ = {0,1,2,3,4,...} 
 
O símbolo Z@ é usado para indicar o conjunto de números inteiros, não-
positivos: 
Z@= {..., -3, -2, -1, 0} 
 
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O símbolo Z+
C
 é usado para indicar o conjunto de números inteiros 
positivos: 
Z+
C
= {1,2,3,4,5, ...} 
 
O símbolo Z@
C
 é usado para indicar o conjunto de números negativos: 
Z@
C
= {-1, -2, -3, -4, -5...} 
 
Como todos os números naturais também são números inteiros, dizemos 
que N é um subconjunto de Z ou que N está contido em Z: N Z. 
 
Q Racionais 
 
Fração: nd
ffff
=
numerador
denominador
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
 
Fração: Número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi 
dividida uma unidade ou um inteiro. 
 
Numerador: o numero superior do traço que separa os termos da fração, 
indica quantas partes da unidade foram tomadas, enquanto o 
denominador indica em quantas partes foi dividida a mesma unidade. 
 
Quando dividimos um número inteiro (a) por outro número inteiro (b) 
obtemos um número racional. Todo número racional é representado por 
uma parte inteira e uma parte fracionária. A letra Q deriva da palavra 
inglesa Quotient , que significa Quociente, já que um número racional 
é um quociente de dois números inteiros. 
 
Quociente: Número que indica quantas vezes o divisor se contém no 
dividendo; resultado de uma divisão. 
 
Por exemplo, se a = 6 e b = 2, obtemos o número racional 3,0. Se a = 1 e b 
= 2, obtemos o número racional 0,5. Ambos têm um número finito de 
casas após a vírgula e são chamados de racionais de decimal exata. 
 
Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito. Por 
exemplo, a = 1 e b = 3 nos dá o número racional 0,33333... É a chamada 
dízima periódica. 
 
Podemos considerar que os números racionais englobam todos os 
números inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os números 
inteiros. 
 
Q =
a
b
ffff| a 2 Z e b 2 ZC
T U
 
 
Lembre-se que não existe divisão por zero. Por quê? Zero é o que nos 
indica a ausência, o vazio, o nada. Logo se estamos dividindo por zero 
não estamos dividindo, e por isso a divisão não pode ser efetuada. Assim 
consideramos a inexistência da divisão por zero. 
 
O símbolo Q* é usado para indicar o conjunto dos números racionais sem 
o zero: 
Q
C
= x 2 Q | x ≠ 0R S 
 
O símbolo Q+ é usado para indicar o conjunto de números racionais não-
negativos: 
Q
+
= x 2 Q | x ≥ 0R S 
 
O símbolo Q- é usado para indicar o conjuntode números racionais não-
positivos: 
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Q
@
= x 2 Q | x ≤ 0R S 
 
O símbolo Q*+ é usado para indicar o conjunto de números racionais 
positivos sem o zero: 
Q
+
C
= x 2 Q | x > 0R S 
 
O símbolo Q*- é usado para indicar o conjunto de números racionais 
negativos sem o zero: 
Q
@
C
= x 2 Q | x < 0R S 
 
I ou ℑ Irracionais 
 
Quando a divisão de dois números tem como resultado um número com 
infinitas casas depois da vírgula, que não se repetem periodicamente, 
obtemos um número chamado irracional. 
 
O número irracional mais famoso é o PI ( π ). 
 
ℜ ou R Reais 
 
O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o 
conjunto dos números reais, indicado por R. 
 
Indicamos por R* o conjunto dos números reais sem o zero. 
 R
C
=R@ 0
P Q
 
 
O símbolo R+ é usado para indicar o conjunto de números reais não-
negativos: 
R+ = x 2R | x ≥ 0
R S
 
 
O símbolo R- é usado para indicar o conjunto de números reais não-
positivos: 
R@ = x 2R | x ≤ 0
R S
 
 
O símbolo R*+ é usado para indicar o conjunto de números reais 
positivos: 
R+
C
= x 2R | x > 0R S 
 
O símbolo R*- é usado para indicar o conjunto de números reais 
negativos: 
R@
C
= x 2R | x < 0R S 
C ou C Complexos 
 
Um número complexo é representado na forma: a + bi , sendo a a parte 
real e b a parte imaginária. 
 
A unidade imaginária é representada pela letra i , e significa a raiz 
quadrada de -1. Pode-se escrever então: i = @ 1p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
 . 
 
2, 3, 5, 7 ... Primos 
 
Em N (naturais) 
 
Número Primo: (1) Aquele que só é divisível por si e pela unidade. (2) 
Número divisível por um e por ele mesmo. 
 
Observação: o número 1 não é primo nem composto, é o único número 
divisível apenas por um número, ele mesmo. O número 2 é o único primo 
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par. As unidades comuns (isto é todo primo termina em) são: 1, 3, 7, 9. 
 
Até hoje não se sabe se existe uma regra, função ou lei de seqüência, que 
permita calcular qual o próximo número primo. 
 
Tabela dos 100 primeiros Números Primos: 
 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 
79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 
163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 
241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 
337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 
431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 
521, 523, 541 ... 
 
O último número primo calculado (por computador): 
243.112.609 − 1 , este é o primo “Mersenne” de número 46 e tem 12.978.189 
dígitos. 
 
 
Compostos 
 
Em N (naturais). 
 
Número composto: Aquele que é divisível por mais de dois números 
distintos. 
 
Ø ou {} Vazio 
 
Significa que o conjunto não tem elementos, é um conjunto vazio. 
C = { } ou C = Ø 
 
Ex: 
A={1,2,3} 
B={4,5,6} 
A B={} ou A B= Ø 
 
Obs: representação errada de um conjunto vazio: 
 
E = ∅P Q
 
Isto é, dessa forma o conjunto contém um elemento. 
 
∪∪∪∪ União 
 
A U B 
 
Lê-se: "A união com B" 
 
Ex: A={5,7,10} , B={3,6,7,8} 
 
A B = {3,5,6,7,8,10} 
 
∩∩∩∩ Interseção 
 
Lê-se como "A interseção B" 
 Ex: 
A={1,3,5,7,8,10} 
B={2,3,6,7,8} 
A B={3,7,8} 
 
∈ Pertence 
 
Indica relação de pertinência. 
Ex: 5 N . Significa que cinco pertence aos Naturais. 
 
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∉ Não pertence 
 
Ex: -1 N. 
Significa que o número -1 não pertence aos números Naturais. 
 
⊂ Esta contido 
 
Ex: N Z 
 
Significa que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto 
dos números inteiros. 
 
⊄ Não esta contido 
Ex: R N 
 
Significa que o conjunto dos números reais não está contido no conjunto 
dos números naturais. 
 
⊃ Contém 
 
Ex: Z N, 
 
Significa que o conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos 
números naturais. 
 
| Tal que 
 
Barra reta (vertical) 
 
Ex: R+ = x 2 R | x ≥ 0
R S
 
 
Leitura: Reais positivos são todos os “x pertencentes a R tais que x é 
maior ou igual a zero”. 
 
\ Menos, sem 
 
Barra para esquerda. 
 
Teoria dos conjuntos (Complemento teórico) 
A \ B, significa que é o conjunto que contém todos os elementos de A 
menos os elementos de B. 
Ex: 
A={1,2,3,4,5} e B={1,3,5} 
Então A \ B = {2,4} 
 
 
OBS: A barra pra direita ( / ) indica divisão. 
 
→ Se, ... Então 
se...então 
p: José vai ao mercado 
q: José vai fazer compras 
 
p q 
 
Se José vai ao mercado então ele vai fazer compras. 
 
⇒ Implica 
 
A: São Paulo é capital de um estado brasileiro 
B: São Paulo é uma cidade brasileira 
 
A B 
 
Ex: sendo verdadeira a afirmação que está antes dele, então também será 
verdadeira a afirmação à sua direita. Por exemplo, “São Paulo é capital de 
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um estado brasileiro” implica que “São Paulo é uma cidade brasileira”. 
 
*Deve-se tomar cuidado na utilização deste sinal, para não aplica-lo 
desnecessariamente. 
 
Exemplos: 
 
 x 2 + 2 = 4 [ x 2 = 2 [ x =F 2p
wwwwwwwwwwwwwwwww
 (certo, usar em linha) 
 
 
 x 2 + 2 = 4 [ F 2p
wwwwwwwwwwwwwwwww
 ? (errado, quatro implica em...) 
 
 
x 2 + 2 = 4
[ x = F 2p
wwwwwwwwwwwwwwwww
 ? (errado, não pular a linha) 
 
⇔ Se, e somente se 
 
Se, e somente se. 
 
Ex: 
p: Maria vai para a praia 
q: Maria vai tirar notas boas 
p q 
 
Maria vai para a praia se, e somente se ela tirar notas boas. 
 
 
9
 e 
9+
 
 
 
Existe 
e 
Não existe 
 
Indica existência. 
 
9 x 2 Z | x > 3
 
 
Lê-se: Existe x pertencente ao conjunto dos números inteiros tal que x é 
maior que 3. 
 
(O “existe” pode aparecer ainda, como um “E” ao contrario e cortado, que 
representa inexistência. 
 
Ex: 9+ x → B. (não existe x em B) 
 
Sendo B={0,1,2,3}, e x = 9, não existe x no conjunto B. 
 
... 
Período , a 
“reticência” 
 
A aplicação, depende do caso: 
 
1 - Pode representar o período de um numero racional ou irracional. 
(Período: parte que se repete). 
 
Ex: 1,222... (Neste caso indica que o período, é 2) 
 
2 – Pode representar a continuidade de uma seqüência numérica, ou uma 
soma. 
 
3 – Pode ocorrer mais aplicações. 
 
Ex: Seja o conjunto Z = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } 
E isto indica que os números seguem indefinidamente para o infinito. 
 
Verifique a definição de infinito. 
 
Veja a definição do dicionário português: 
GUIDG.COM – PG. 8 
 
 
reticência : s. f. Omissão daquilo que se devia ou podia dizer; silêncio 
voluntário. S. f. pl. Pontos (...) que, na escrita, indicam aquela omissão. 
 
∴∴∴∴ Portanto 
 
Utilizado em expressões, equações, e etc. Especialmente quando for 
apresentar o resultado final de um cálculo. 
 
Exemplo em logaritmos: 
 
log2 4 = x ^ 2
x
= 4
2x = 4
2x = 22
# x = 2
 
 
∀∀∀∀ Para todo 
 
É um A de cabeça para baixo. 
 
Significa "Para todo" ou "Para qualquer que seja". 
 
Ex: x > 0, x é positivo. 
 
Leitura: para todo x maior que zero, x é positivo. 
 
( ) Parênteses - I 
 
Por ordem de resolução é o primeiro a se resolver. 
 
O parênteses na matemática pode ter várias aplicações, vamos citar 
algumas: 
1 – f(x) = 3x+2 
 
Aqui está representando a função de 1ºgrau, ou função afim, o parênteses 
neste caso, guarda o espaço para valores que serão substituídos no 
lugar de “x”. 
 
Ex: supondo que x = 3/2 + 4 
f(3/2+4) = 3(3/2 + 4) + 2 
 
Para resolver você pode aplicar a propriedadedistributiva, ou tirar o 
mínimo antes de multiplicar, os dois caminhos levam a mesma resposta. 
 
Substituindo f(x) por y. 
 
y = 3(11/2) + 2 = 33/2 + 2 = (33+4)/2 = 37/2 
 
 
Pode também representar um intervalo aberto (igualmente o colchetes 
para fora). Veja: 
 
x tal que x, está entre 3 e 4, inclusive 3 e exclusive 4. 
Ou x 2R | 3 ≤ x<4 . Ou [ 3 , 4 ) = [ 3 , 4 [ 
 
O parênteses aqui tem o mesmo papel que o colchetes para fora 
Ou seja representa um intervalo aberto, no qual os valores tendem a esse 
valor, mas não o atinge. Como se fosse o seu limite. 
 
[ ] Colchetes - II Por ordem de resolução é o segundo a se resolver. 
 
GUIDG.COM – PG. 9 
 
Em funções/intervalos, representa inclusão; exemplo: 
 
[0;1] Entre 0 e 1. (inclusive o 0 e 1) 
0 ≤ x ≤ 1 (Lê-se: x maior ou igual a zero e menor ou igual a 1) 
 
]2;4] Entre 2 e 4. (exclusive 2 e inclusive 4) 
2 < x ≤ 4 (Lê-se: x maior que dois e menor ou igual a 4) 
 
]-6;2[ Entre -6 e 2. (exclusive -6 e exclusive 2) 
-6 < x < 2 (Lê-se: x maior que menos seis e menor que 2) 
 
{ } Chaves - III 
 
Por ordem de resolução é o terceiro a se resolver. 
 
o conjunto de... 
Ex: {a,b,c} representa o conjunto composto por a, b e c. 
 
+ Adição 
 
Lê-se: "mais" 
Ex: 2+3 = 5 (Lê-se: dois mais três é igual a cinco). 
Significa que se somarmos 2 e 3 o resultado é 5. 
 
± Mais ou Menos 
 
Indicação de um valor “x” com duplo sinal. 
 
x =F 5 [ x1 = + 5 e x2 =@ 5 
 
Isto é pode ser um ou pode ser outro, e ainda pode ser os dois, a conclusão 
é feita com a prova ou teste dos valores. Isto é melhor entendido no 
assunto equações de segundo grau e raízes de eq. de 2º grau. 
 
Quando delta é maior que zero, a equação de segundo grau apresenta duas 
raízes devido a presença do sinal “mais ou menos” contida na 
“fórmula para as raízes da equação de segundo grau” (fórmula atribuída à 
Báskara). 
 
- 
Subtração 
 
Lê-se como "menos" 
 
Ex: 5-3 = 2, significa que se subtrairmos 3 de 5, o resultado é 2. 
 
O sinal - também denota um número negativo. 
 
Por exemplo: 
(-6) + 2 = -4. Significa que se somarmos 2 em -6, o resultado é -4. 
 
*ou B ou . Multiplicação 
 
Lê-se: "multiplicado" ou “vezes” 
Ex: 8*2 = 16, significa que se multiplicarmos 8 por 2, o resultado é 16. 
 
2*3 = 3*2 (Lê-se duas vezes três é igual a três vezes dois) 
 
Propriedade Comutativa: “A ordem dos fatores não altera o produto” 
 
2 e 3 são fatores, 6 é o resultado da multiplicação, também chamado de 
produto. 
 
*Fator: Cada uma das quantidades que são objetos de uma multiplicação 
 
GUIDG.COM – PG. 10 
 
/ ou ÷ ou : Divisão 
 
Lê-se: "dividido" 
Ex: Vamos representar a divisão: 6 por 2: 
 
6 / 2 = 62
fff
= 6D 2 = 6 :2 
 
Todas essas notações significam que se dividirmos 6 por 2, o resultado é 
3. 
 
 
6
2
fff
= 3 . Neste caso temos uma fração (que é uma divisão). 
 Lê-se: Seis sobre dois é igual à três. 
 
n
d
ffff
 
Fração 
 
Fração: nd
ffff
=
numerador
denominador
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 ; Leitura de frações: 
 
1/1 = 1 = Um inteiro 
 ½ = Um meio 
1/3 = Um terço 
 ¼ = Um quarto 
1/5 = Um quinto 
1/6 = Um sexto 
1/7 = Um sétimo 
1/8 = Um oitavo 
1/9 = Um nono 
 
1/11 = Um onze avos 
1/12 = Um doze avos 
1/13 = Um treze avos 
1/14 = Um quatorze avos 
1/15 = Um quinze avos 
1/16 = Um dezesseis avos 
1/17 = Um dezessete avos 
1/18 = Um dezoito avos 
1/19 = Um dezenove avos 
 
1/10 = um dez avos 
1/20 = um vinte avos 
1/30 = um trinta avos 
1/40 = um quarenta avos 
1/50 = um cinqüenta avos 
1/60 = um sessenta avos 
1/70 = um setenta avos 
1/80 = um oitenta avos 
1/90 = um noventa avos 
1/100 = um cem avos 
1/1000 = um mil avos 
1/10000 = um dez mil avos 
1/100000 = um cem mil avos 
1/1000000 = um milhão avos 
 
 
= um décimo 
= um vigésimo 
= um trigésimo 
= um quadragésimo 
= um qüinquagésimo 
= um sexagésimo 
= um septuagésimo 
= um octogésimo 
= um nonagésimo 
= um centésimo 
= um milésimo 
= um décimo milésimo 
= um centésimo milésimo 
= um milionésimo 
 
2/3 = dois terços 
3/2 = três meios 
4/5 = quatro quintos 
5/4 = cinco quartos 
6/7 = seis sétimos 
7/8 = sete oitavos 
8/9 = oito nonos 
9/8 = nove oitavos 
 
 
10/11 = dez onze avos, 10 sobre 11 
13/20 = treze vinte avos, 13 sobre 20 
60/7 = sessenta sétimos, 60 sobre 7 
73/21 = setenta e três vinte e um avos 
π/e = pi sobre e 
n/m = n sobre m 
 
... 
 
A Fração é uma representação da divisão, isto é uma simplificação devido 
as divisões não exatas: 
Ex: Como expressar a divisão 2 por 3: 
 
0,666666666... = 2/3 = 
2
3
fff
= 2D 3 = 2 A 13
fff
 
 
GUIDG.COM – PG. 11 
 
Tipos de frações: 
 
Fração própria: n < d (numerador menor que o denominador, isto é a 
parte tomada dentro do inteiro). 
 
Fração imprópria: n > d (numerador maior que o denominador, isto é a 
parte tomada é maior que o inteiro). 
 
Fração aparente: n é múltiplo de d . 
Ex: 0/3 = 0 , 4/2 = 2 
 
Fração equivalente: são frações que representam a mesma parte do 
inteiro. 
Ex: ½ = 2/4 = 3/6 = 4/8 
 
Fração composta: quando n é uma fração e d é outra fração, tais que se 
apresentem na forma: 
 
 
n
d
ffff| n = ef
fffff
e d = gh
ffff
,
n
d
ffff
=
e
f
fffff
g
fffffff
h
ffffff
=
e
f
fffff
A
h
g
ffff
 
 
Portanto as frações do tipo ( e/f ) / ( g/h ) , são denominadas frações 
compostas. Simplifica-se aplicando a regra de multiplicação: “a primeira 
pela inversa da segunda”. Isto é: 
 
( e/f ) / ( g/h ) = ( e.h )/( f.g ) 
 
 
i nd
ffff
 
Número Misto 
 
Um número misto, é aquele que é constituído por uma parte inteira (i) 
mais a fração n/d. 
 
O número misto não é o produto i . n/d . 
 
Transformações: 
 
Ex, número misto para uma fração: 
 
 4 14
ffff
= 4 + 14
ffff
=
16
4
fffffff+ 14
ffff
=
17
4
fffffff
 
 
Lê-se: quatro e um quarto; 
 quatro mais um quarto; 
ou quatro inteiros e um quarto; 
 Quatro inteiros mais um quarto; 
 
Ex: fração para um número misto: 
 
 
19
13
fffffff
=
13
13
fffffff+ 613
fffffff
= 1 + 613
fffffff
= 1 613
fffffff
 
 
% 
Percentagem 
ou 
Porcentagem 
 
... 1%, 2%, 3% ... 100% ... 
Lê-se: Um por cento, dois por cento ... 
 
Do latim, Per Centum = a cada centena 
 
É definido como uma medida de razão de base cem (100). Isto é a 
proporção que o número a está para b (base), sendo a o numerador e b 
o denominador. 
 
GUIDG.COM – PG. 12 
 
 
a
b
ffff
 
 
Indicador de fração por cento (100). Porcentagem = Por cento, ou seja um 
número por 100 (Sobre 100, dividido por cem). 
10% = 10/100 = 0,1 
20% = 20/100 = 0,2 
 
= 
Igual, 
Igualdade 
 
Lê-se como "igual a" 
Ex: x = y, significa que x e y possuem o mesmo valor. 
Por exemplo: 3+5 = 7+1 
≠ Diferente 
 
Ex: 13 ≠ 31 (13 é diferente de 31). 
Ex: x=5, y=2 
Logo x ≠ y 
 =
N
 
Numericamente 
igual 
Este símbolo é empregado em casos particulares. 
 
Exemplo em física: 
Considere o gráfico abaixo de um movimento uniforme: 
 
 
Neste caso dizemos que a área A do gráfico representa o deslocamento 
escalar ∆s do móvel, então: 
 
∆s=N A =
v + v0
2
fffffffffffffffffff
A∆t
 
 # 
Cerquilha 
ou 
Cardinal 
 
 
Para o matemático: 
 
Cerquilha é o sinal que definimos como o símbolo de número. 
Isto é ele indica o número de algo. 
 
#1, #2 ... pode ser lido como: número um, número dois. Pode ser 
empregado na construção de tabelas, enumeração de exemplos, 
exercícios, ordem etc. 
 
Nome oficial: Octothorpe(Bell Labs) 
 
Este símbolo é muito comum e pouco valorizado, com isso adquiriu vários nomes 
e agora esta como um símbolo de multi-significado (ou seja, o significado 
depende do caso de aplicação). Alguns exemplos de nomes comuns. Ex: jogo-da-
velha, chiqueirinho, tralha, cerquinha, e etc. 
 
≈
 ou 
Aproximadamente 
 
 ou 
 
Aproximadamente 
igual 
Tanto faz a utilização de um ou de outro, mas não confunda com Congruente. 
 
Usamos para arredondamento de um valor muito grande, periódico ou irracional. 
Alguns exemplos de aplicação: 
 
 
pi ≈ 3,14 ; e ≈ 2,72 ; 2p
wwwwwwwwwwwwwwwww
≈ 1,41
3p
wwwwwwwwwwwwwwwww
≈ 1,73 ; 13
fff
≈ 1,3
 
GUIDG.COM – PG. 13 
 
 
Não confundir com: t Congruente 
 
Para informações sobre como arredondar um valor corretamente veja o artigo: 
MEF: (1) Um curso de Medidas, Algarismos significativos, Notação científica e Unidades SI 
 
~ 
Eqüipolente ; 
Negação, (Lógica) ; 
Semelhança 
(Trigonometria) 
 
Depende o caso ou assunto. 
 
1 - Em Álgebra Linear e Geometria Analítica: 
 
Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm o 
mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. A eqüipolência dos 
segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD . 
 
2 – Em lógica, podem ser os símbolos: ~ e : 
Ex: p: Os alunos irão passear. 
 
 ~p ou : p : Os alunos não irão passear. 
 
 
3 – Veja o uso do til para a semelhança de triângulos (mais abaixo). 
 
4 – Podem existir outras aplicações. 
 
∧ e (Lógica) 
 
Ex: 
p: Cláudia tem um cachorro 
q: Cláudia tem um gato 
 
p q 
 
Cláudia tem um cachorro e um gato. 
 
∨ ou (Lógica) 
 
Ex: 
p: José gosta de jogar futebol 
q: José gosta de jogar tênis 
 
p  q 
 
José gosta de jogar futebol ou tênis. 
 
≡ e a6 Equivalente ou Idêntico 
 
Exemplos: 2/4 ≡ 1/2 
 
Lê-se: “é equivalente à” ou “é idêntico à”. 
 
x= 16 , y = 4 logo x ≡ y 
 
O sinal cortado significa “não equivalente” ou “não equivale”. 
 
t
 
Congruente à 
 
Ângulos Congruentes: 
 
Dois segmentos de reta são chamados congruentes quando tiverem a 
mesma medida, na mesma unidade. 
 
GUIDG.COM – PG. 14 
 
Exemplo 
Os segmentos de reta e , da figura, têm medida 4 cm, portanto são 
congruentes. 
 Indica-se: 
 
< > Comparação 
 
Desigualdade Estrita. 
 
É menor que, é maior que 
x < y significa que x é menor que y 
x > y significa que x é maior que y 
 
 
≤ ≥ Comparação 
 
Desigualdade não estrita. 
 
é menor ou igual a, é maior ou igual a 
x ≤ y significa: x é menor ou igual a y; 
x ≥ y significa: x é maior ou igual a y 
x n = x A x A x
…= y Potenciação 
 
Definição dos termos da potenciação 
 
Lê-se: x elevado à enésima potência é igual ao produto de x, “n” 
vezes, que é igual a y. 
 
x n = x A x A x … = y
 
 
x = base 
n = expoente ou potência (determina o número de fatores) 
x.x.x... = produto de fatores (é determinado pelo expoente) 
y = produto (em alguns livros é definido como potência) 
 
Exemplos: 
 
…
@ 3` a@ 2 = 1
@ 3` a2
fffffffffffffffffff
=
1
9
fff
@ 2
` a@ 1
=
1
@ 2
` a1ffffffffffffffffff=@ 12fff
 
 
 
10 = 1
21 = 2
32 = 3 A 3 = 9
…
 
 
Existem várias propriedades, consulte Propriedades da Potenciação. 
x 2 = n
 
x ao quadrado é 
igual a n 
 
É comum alunos terem dúvidas nesse caso, por isso destacamos com um 
exemplo: 
 
x² = 9 ? 
 
Aqui vem a seguinte pergunta, que número elevado ao quadrado é igual a 
nove? E você responde 3! (certo), mas esquece que pode ser (-3) também. 
GUIDG.COM – PG. 15 
 
Portanto não cometa mais esse erro, existem dois números que elevados 
ao quadrado são iguais a nove. Isto é: 
 
x 2 = 9
x 2@ 9 = 0
então:x 2@32 = 0
diferença de quadrados:veja a forma fatorada:
x + 3
` a
x @ 3
` a
= 0
portanto x + 3 = 0 ou x @ 3 = 0
x =@ 3 ou x = 3
 
 
Podendo ser escrita da seguinte forma: 
}3,3{
39:
9:
:
2
2
−=
±=±=
=
±=
=
S
xentão
xexemplo
nxentão
nx
 
!!!! Fatorial , n fatorial (n!) 
 
O Símbolo / Sinal de exclamação na matemática é definido como fatorial. 
Fatorial que vêm da palavra fator. 
 
A definição de n fatorial é a seguinte: 
 
n! = n.(n-1).(n-2)(n-3)...3.2.1 
 
Definimos também: 
0! = 1 
1! = 1 
 
Exemplos: 
 
Para n = 6, teríamos: 
n! = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 
 
4!=4.3.2.1 = 24 
 
 
20!
18!
fffffffff
=
20.19 A 18!
18!
ffffffffffffffffffffffffffffffff
= 20.19 = 380 
 
(n+2)! = (n+2).(n+1).(n).(n-1)(n-2)! 
 
n + 1
` a !
n@ 1
` a
!
fffffffffffffffffffffffff
=
n + 1
` a
A n
` a
A n@ 1
` a !
n@ 1
` a
!
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
= n + 1
` a
n = n2 + n 
 
√ Radical 
 
O símbolo radical deriva da letra r devido ao nome em latim radix 
quadratum (raiz quadrada), interpreta-se geometricamente como o lado do 
quadrado. 
n x Lê-se: Raiz enésima de x. 
 
OBS: quando não houver número no índice esta será sempre quadrada, 
não existe em R raízes de índice par de números negativos. Existem em R 
raízes de índices impares de números negativos. 
Ex: 416 += (Raiz quadrada de 16) 
GUIDG.COM – PG. 16 
 
 
 
273p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= 3
@ 273p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=@ 3
 (Raiz cúbica) 
 
2164 += (Raiz quarta de 16) 
... 
re
ipwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= z
 
( √ ) Radical (sinal) 
( i ) Índice (fora) 
( r ) Radicando (dentro) 
( e ) Expoente de r 
( z ) Raiz (resultado) 
 
Importante: A raiz quadrada de um número é sempre positiva. 
|| 2 xx =
 
 
A segunda notação para raízes é a o expoente fracionário. Então 
 
z = r
e
i
fffff
 
Exemplo: 
A raiz quadrado de x ao cubo: 
 
 x 3q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= x
3
2
fffff
 
 
A raiz quinta de x ao quadrado: 
 
x 2
5q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= x
2
5
fffff
 
 
Decoreba: para escrever corretamente, “quem esta por dentro esta por 
cima, e quem esta por fora esta por baixo”. 
 
(dentro da raiz, fora da raiz, por cima na fração (numerador), por baixo na 
fração (denominador). 
 
 
log Logaritmo 
 
Ex: log28 = 3 
 
O logaritmo de 8 na base 2 é 3, pois elevando 2 ao expoente 3 obtemos 8. 
Nunca esqueça, se não tiver base no logarítmo, definimos como sendo na 
base 10. 
 
ln (l) Logaritmo (n) neperiano 
 
Logarítmo natural 
 
logen = y 
 
Logarítimo neperiano é o logarítmo cuja base é o numero "e". 
e = 2,718281828.... 
 
Ex: log e 8 = 2,079441542... 
porque e 2,079441542... = 8 
GUIDG.COM – PG. 17 
 
 
e Número de Euler 
 
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287... 
 
Lê-se “número de Óilar” ou também: número de Napier, constante de 
Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial. 
Publicado em 1618 por John Napier. 
γγγγ 
Constante de Euler-
Mascheroni 
 
*letra grega “Gama” 
minúscula 
 
À teoria dos números. 
 
 
 
γγγγ = 0,577215664901532860606512090082402431... 
 
A sexta constante matemática importante, foi calculado com centenas de 
casas decimais. Não se sabe se γ γ γ γ é um número irracional. 
 
i Unidade imaginaria 
 
i = @ 1p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
 
 
i é utilizado para representar a raiz de menos um 
Consulte Números Complexos. 
 
 
 
pi Pi (Minúsculo) *letra grega 
 
pi = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288... 
 
O número pi é definido como a razão entre a circunferência de um 
círculo e o seu diâmetro. 
 
Mas este número tem outras personalidades.É também um número 
irracional e um número transcendente. 
 
Em trigonometria pi = 180º 
 
Também é conhecido como constante de Arquimedes ou número de 
Ludoph. 
 
2p
wwwwwwwwwwwwwwwww
 
Constante de 
Pitágoras 
 
*Raiz quadrada de dois. 
 
2p
wwwwwwwwwwwwwwwww
= 1.41421 35623 73095 04880 16887 … 
 
φ 
Número de Ouro 
Letra grega Fi 
minúscula 
 
À razão Áurea, Proporção Áurea. 
 
φ =1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811... 
 
GUIDG.COM – PG. 18 
 
y = ax + b 
 
ou 
 
y = mx + n 
Função do primeiro 
grau. 
 
Ou 
 
Equação da reta 
Ou. 
 
 
* Para melhor entender verifique a definição de função. 
 
Ex: y = 0,5x + 1 
 
m é o coeficiente angular, e intercepta o eixo das abscissas (Ox). 
n é o coeficiente linear e intercepta o eixo das ordenadas (Oy). 
 
 
 
 
 
Se n e m forem diferentes de zero chama-se função afim, Se n for igual a 
zero chama-se função linear. 
Se m for maior que zero a função é crescente. 
Se m for menor que zero a função é decrescente. 
Se f(x) = y = x, chama-se função identidade. 
 
ax + by + c = 0
 
Equação geral da 
reta 
 
GEOMETRIA ANALITICA 
 
y = @ ab
fffffffffff
x @
c
b
ffff
 
Equação reduzida 
da reta 
 
GEOMETRIA ANALITICA 
 
ax2 + bx + c =0 
 
e 
 
x =
@bF b2@4acq
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2a
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
A equação de 
segundo grau 
 
e a fórmula para 
 
As Raízes da 
Equação de 
Segundo Grau 
 
Ocorre de escrevermos Báskara, mas o certo é Bhaskara. 
 
É apenas aqui no Brasil, que comum tornou-se atribuir créditos ao 
Matemático Bhaskara, e o método para extrair as raízes, como fórmula 
de Bhaskara. (Consulte a história). 
 
Essa fórmula se obtém quando fatora-se a equação de segundo grau, 
completa-se os quadrados e isola-se a variável (x). Viète também propôs 
outro método para extração das raízes (devem existir mais), mas essa é a 
forma mais fácil mesmo, e como na matemática trabalha-se repetidamente 
com equações de segundo grau, será fácil a memorização. 
 
Essa é a equação de segundo grau igualada à zero: 
 
ax2 + bx + c =0 
 
a, b, c são os coeficientes (também chamados de “parâmetros”), e x a 
variável. 
 
E foi a partir dela que surgiu a fórmula, o problema consistia em achar os 
valores de x para os quais tornam a equação verdadeira, ou seja que 
valores de x tornam a equação nula. 
 
Publicamos um artigo demonstrando essa fórmula, verifique o índice 
de Matemática Básica. 
 
GUIDG.COM – PG. 19 
 
Pesquisa de Raízes 
Racionais 
Raízes da equação 
polinomial quando o 
grau é maior que 2. 
 
Este método é chamado Pesquisa de raízes, por que raramente na 
primeira tentativa se acha uma solução para o problema. No entanto ele 
sugere um caminho, resumimos a definição abaixo. 
 
(A) Raízes Racionais: Seja a função polinomial P(x) = 0 de grau n. 
 
 
a0 x
n + a1 x
n + 1 +…+ a
n@ 2 x
2 + a
n@ 1 x + an = 0
an ≠ 0 e a0 ≠ 0
b c
 
 
As possíveis raízes são o(s) número(s) x = p/q (p e q números primos), 
onde p é divisor Inteiro de an (termo independente) e q é divisor 
Inteiro de a0 (coeficiente do termo de maior grau). 
 
(B) Raízes Inteiras: Um caso particular é se an divisível por a0 , for 
um número inteiro. Então obtemos sem tantas tentativas as raízes, que são 
os divisores inteiros de an . (Mas o teorema que abrange mais 
amplamente é o primeiro mesmo). 
 
Exemplo para (A): 
Determinar em C as raízes da função polinomial: 
 
f (x) = 2x3 + x2 + x – 1 
 
Solução. 
 
I ) 2x3 + x2 + x – 1 = 0 
 
II) As raízes possíveis são x = p/q, onde p é divisor inteiro de -1 e q é 
divisor inteiro de 2 . 
 
III) D(-1) = { ±1} = p 
 D(2) = {±1, ±2} = q 
IV) Raízes possíveis: x = p/q { ±1 , ±1/2 } 
 
V) Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir o polinômio e 
testar as possíveis raízes. 
 
 
VI) Verifica-se que 1/2 é raiz do polinômio, e a função polinomial é 
dividida sem resto, assim re-escrevemos P(x): 
 
P(x) = (2x²+2x+2)(x-1/2) 
 
VII) Com o Método para extração das raízes da eq. De segundo grau 
temos o conjunto solução, com duas raízes imaginárias: 
 
 
 
 
Exemplo para (B): 
 
Determinar as raízes: 
 
GUIDG.COM – PG. 20 
 
f (x) =2x³-11x²+17x-6=0 
 
De acordo com o teorema B, as raízes possíveis, já que -6 é divisível por 
2, são apenas os divisores inteiros de -6. 
 
D(-6) = {±1, ±2, ±3, ±6} 
 
Pesquisando as raízes pelo dispositivo de Briot-Ruffini: 
 
 
 
Vemos que 2 é raiz, simplificando a função: 
f (x) = (x – 2) (2x2 – 7x + 3) 
S = {1/2, 2, 3} 
 
Logo notamos também que existe outra raiz inteira, 3. 
 E aqui se esclarece que se utilizarmos o teorema A, a raiz já seria 
sugerida, no entanto o conjunto das raízes possíveis aumentaria de oito 
raízes possíveis para doze. 
 
Utilizando o método A, o conjunto das raízes possíveis é: 
 
x = p/q={ -½, ½ , ±1, ±3/2, -2, 2, 3, -3, ±6} 
 
Portanto esteja consciente de utilizar o método adequado.~ 
 
Teorema Auxiliar: O Teorema de Bolzano sugere duas implicações e 
resumimos abaixo omitindo a demonstração: 
Considere a função polinomial de coeficientes Reais: 
 
f x` aa0 x n + a1 x n + 1 +…+ an @ 2 x 2 + an @ 1 x + an 
 
E dois números tais que a < b , f (a) . f (b) ≠ 0 
 
1 – Se f (a) . f (b) < 0 , Então em f (x) existe um número impar de raízes 
no intervalo (a, b). Dependendo do grau do polinômio. (se for três, então 
uma ou três raízes). 
 
2- Se f (a) . f (b) > 0 , Então em f (x) não existe, ou existe um número par 
de raízes no intervalo (a, b). Dependendo do grau do polinômio. (se for 
seis, então não existem raízes, ou há duas, ou quatro ou seis raízes). 
 
Este teorema resolve questões de análise, por exemplo: 
 
Analise a função polinomial e verifique quantas raízes há no intervalo (0, 
1). f(x) = x5 – 2x2 + 3x +1 . 
 
Solução: Pelo teorema P(0).P(1) > 0 , então não há raízes, ou há duas, ou 
quatro raízes no intervalo dado. (isto porque o polinômio é de quinto 
grau). 
 
 Produtos Notáveis 
 
1) Quadrado da soma ou diferença de dois termos: 
a + b` a2 = a 2 + 2ab + b 2
 
a @ b` a2 = a 2@ 2ab + b 2
 
GUIDG.COM – PG. 21 
 
 
2) Diferença de Quadrados: 
a 2@ b 2 = a + b` aA a @ b` a
 
 
3) Cubo da soma ou diferença de dois termos: 
a + b` a3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
 
a @ b` a3 = a 3@ 3a 2 b + 3ab 2@ b 3
 
 
4) Soma ou diferença de Cubos: 
a 3 + b 3 = a + b
` a
A a 2@ ab + b 2
b c
 
a 3@ b 3 = a @ b
` a
A a 2 + ab + b 2
b c
 
 
 Binômio de Newton 
Não se assuste com a seguinte fórmula, pois ela é muito simples, e 
foi desenvolvida com a intenção de facilitar o cálculo. 
 
A forma x + a
` an
8 n > 1 2 Z , é expandida da seguinte 
maneira e aplicável a todas as formas demonstradas anteriormente 
em Produtos notáveis. 
 
x + a
` an
= x n +
n
1!
fffff
A x n@ 1 A a +
n A n@ 1
` a
2!
ffffffffffffffffffffffffffffff
A x n@ 2A a2 + …
…+
n A n@ 1
` a
A n@ 2
` a
3!
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
A x n@ 3A a3 + …
… +
n n@ 1
` a
n@ 2
` a
…2
n@ 1
` a
!
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
A x A an@ 1 + an
 
 
Procedimento, para o lado direito da igualdade: 
1 – o primeiro termo (x) é sempre elevado ao expoente n. 
 
2 – o segundo termo, é o expoente vezes x elevado a uma unidade a 
menos que o n inicial. Multiplique isso por a. 
 
3 – o terceiro é o produto de n pelo expoente de x do segundo 
termo, ou seja: ne (n – 1). Divida isso pelo número de termos 
escritos, ou seja, dois. Multiplique por x elevado a duas unidades 
reduzidas do n inicial. Multiplique por a elevado a uma unidade a 
mais que a do segundo termo. 
 
A dica é memorizar os passos, deduzir os produtos notáveis (que 
possam ser) pelo Binômio de Newton, e por último demonstrar a 
fórmula até o quarto termo. Depois disso é repetição. 
 
PA Progressão Aritmética 
 
PA, Progressão Aritmética. É uma seqüência numérica, tal que o termo 
posterior é o termo anterior mais a razão. 
 
 
PA = a1 , a2 , a3 , … ,an
P Q
 
 
A Razão de uma PA 
r é a razão, numa PA determina-se fazendo a diferença do termo 
posterior pelo termo anterior, isto é: 
GUIDG.COM – PG. 22 
 
 
 
r = a2@ a1 
 
Termo geral de uma PA: 
 
 
an = a1 + n@ 1
` a
r
 
 
Formula de recorrência: Termo qualquer, sendo n ≠ m : 
 
an = am + n@m
` a
r 
 
Exemplo: Determinar r sendo a4 = 25 e a10 = 43 : 
 
an = am + n@m
` a
r [ a10 = a4 + 10@ 4
` a
r
43 = 25 + 6r
6r = 18 [ r = 3
 
 
Conseqüência: A soma dos extremos de uma PA é sempre um número 
constante. 
Considere a PA = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} então: 
 
 
a1 = 2, a2 = 4, … a9 = 18
a1 + a9 = a2 + a8 = a3 + a7 = a4 + a6 = a5 + a5
2 + 18 = 4 + 16 = 6 + 14 = 8 + 12 = 10 + 10 = 20
 
 
 
Termo médio, Média aritmética: 
 
 
Sendo a1 , a2 , a3 uma PA então:
a2 =
a1 + a3
2
ffffffffffffffffffff
[ an =
an@ 1 + an + 1
2
ffffffffffffffffffffffffffffffffffff 
 
Soma dos termos da PA: 
 
Sendo a1 e an então a soma dos n termos da PA:
S n =
a1 + an
b c
n
2
ffffffffffffffffffffffffffffffff 
 
PG Progressão Geométrica 
 
PG, Progressão Geométrica. É uma seqüência numérica, tal que o termo 
posterior é o termo anterior vezes a razão. 
 
Ex: PG = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...} é uma PQ de razão 2. 
 
q é a razão, e obtém-se dividindo o termo posterior pelo anterior. 
 
q = an
an@ 1
ffffffffffffff
 
 
 
Termo geral: 
 an = a1 A q
n@ 1
 
 
 
Termo qualquer: 
an = am A qn@ m 
 
Termo médio, Média Geométrica: 
GUIDG.COM – PG. 23 
 
Seja a PG: … , an@ 1 , an , an + 1 , …
` a
 
 
 
an
` a2
= an@ 1
` a
A an + 1
` a
an
` a
=F an@ 1
` a
A an + 1
` aqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww 
Isto é: o termo do meio é a raiz quadrada do produto: termo anterior vezes 
termo posterior (depende o sinal da seqüência também). 
 
Soma dos termos da PG: 
 
 S n = a1A
qn@ 1
q@ 1
ffffffffffffffffffff g
ou S n = a1 A
1@ qn
1@ q
ffffffffffffffffffff g
 
 
Apesar da troca de sinal, as duas fórmulas são iguais. 
 
 
Soma dos termos da PG, quando -1 < q < 1 , e n → +∞ . Isto é a soma 
dos termos de uma Progressão Geométrica Convergente. 
 
 S n =
a1
1@ q
ffffffffffffffff
 
 
Ex: Qual o valor da soma s = 1 + 12
fff+ 14
ffff+ 18
fff+ … ? 
 q =
1
2
ffff
1
ffff
=
1
2
fff
, S1 =
1
1@ 12
ffff
ffffffffffffffff
=
1
1
fff
2
fff
= 2 
 
 
 
AB
ffffffffff
 
Segmento de reta 
 
Dados dois pontos distintos, chamamos de segmento de reta a figura (*) 
constituída por eles e por todos os pontos que estão entre eles. 
 
Exemplo: 
O segmento de reta determinado por A e B é representado por AB
ffffffffff
 , 
dizemos que A e B são suas extremidades, e representamos por AB a 
medida de . 
 
 
 
 
AB
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 ou u
jjjjjjjjk
 
Vetor 
 
Geometria Analítica, Álgebra Linear. 
Vetor, verifique a definição formal. Segmento de reta orientado. 
 
u
jjjjjjjjk
= AB
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= B@A
Ex: se A x1 ,y1 ,z1
` a
e B x2 ,y2 ,z2
` a
então AB
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= B@A = x2@ x1 , y2@ y1 ,z2@ z1
` a
 
 
GUIDG.COM – PG. 24 
 
< ujjjjjjjjk, vjjjjjjjjk>
 
Produto escalar 
 
Geometria Analítica, Álgebra Linear. 
Esta notação implica que devemos multiplicar as coordenadas do vetor u 
pelas de v, e então obter o produto escalar. Também representasse por: 
u
jjjjjjjjk
A v
jjjjjjjjk
 
 
Exemplo: 
 
u
jjjjjjjjk
= 1,2,3
b c
e v
jjjjjjjjk
= 4,5,6
b c
então < ujjjjjjjjk, vjjjjjjjjk> = ujjjjjjjjkA vjjjjjjjjk= 1,2,3
b c
A 4,5,6
b c
= 4 + 10 + 18` a= 32 
d P,pi
b c
 
Distância de um 
ponto a um Plano 
 
d P,pi
b c
=
ax0 + by0 + cz0 + d
LLL MMM
a2 + b2 + c2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
 
a,b,c são as coordenadas do vetor normaldo plano
x0 ,y0 ,z0 são as cordenadas do ponto qualquer
d =@ax1@ by1@cz1 onde x1 ,y1 ,z1
` a
são as coordenadas
de umponto pertencente ao plano A
 
 
Ex: A distância entre o ponto P(-4,2,5) ao plano 
π : 2x + y + 2z + 8 = 0 
 
d P,pi
b c
=
2 @ 4
` a
+ 1 2
` a
+ 2 5` a+ 8LLL MMM
22 + 12 + 22q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
d P,pi
b c
= 4uc
 
 
 
d P1 ,P2
b c
 
Distância entre dois 
pontos 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
Utilizando como base o teorema de Pitágoras, pode-se calcular a 
facilmente a distancia entre dois pontos no plano cartesiano. 
 
seja: P1 x1 , y1 ,z1
` a
e P2 x2 ,y2 ,z2
` a
então a distância d P1 ,P2
b c
= | P1 P2
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk| 
d P1 ,P2
b c
= x2@x1
` a2
+ y2@y1
` a2
+ z2@z1
` a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
 
 
Ou seja a distância é o módulo do vetor P1 ,P2
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 
 
Ex. 
A distância entre P(7,3,4) e Q(1,0,6) 
d P,Q
b c
= 1@7
` a2
+ 0@3
` a2
+ 6@4` a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 49pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww=7
 u.c. 
 
u.c. : unidades de comprimento 
 
GUIDG.COM – PG. 25 
 
X
i = m
n
f i` a
 
Notação Sigma 
 
“Somatório" 
*Σ letra grega 
Sigma maiúscula 
 
X
i = m
n
f i` a= f m` a+ f m + 1` a+ f m + 2` a+ …f n` a
 
 
i é o índice da soma (é um símbolo arbitrário, pode assumir o valor de 
qualquer letra) 
m é o limite inferior 
n é o limite superior 
f (i) é a função 
 
Ex: X
k = 1
5
k 2 =12 + 22 + 32 + 42 + 52
 
 
Π 
 
Produto, 
Produtório. 
 
(Aritmética) *letra grega 
Pi Maiúsculo 
 
Produto em, até, de... 
| x | Módulo / Valor absoluto de x 
 
|-5| = 5 
 
Lê-se: o módulo de menos cinco é igual à cinco. 
Significa geometricamente a distancia do valor de x até zero. (veja a 
definição de módulo para mais informações).|x| = x` a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
 
 
|9| = 9` a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 9
 
 
Definição: O módulo de x é x se x for maior ou igual a zero ou o módulo 
de x é -(x) se x for menor que zero. 
 
Definição em linguagem matemática: 
 
|x| = x, se x ≥ 0
@ x, se x <0
V
 
 
||x|| Norma de / comprimento de 
 
Análise funcional. (verificar definição e teoria) 
||x|| é a norma do elemento x de um espaço vetorial 
 
Ex: 
|| x + y || ≤ || x || + || y || 
 
⊥ 
Perpendicular ou 
Ortogonal 
 
Retas 
Perpendiculares 
 
Se r e s, são retas perpendiculares indicamos por r ⊥ s . 
 
Lê-se: r é perpendicular à s . Ou r é ortogonal à s . 
 
Retas perpendiculares / ortogonais são aquelas que possuem um único 
ponto em comum e formam entre si um ângulo de 90º. 
 
GUIDG.COM – PG. 26 
 
∟ ou 
 
 
Ângulo reto 
 
90º 
 
Representa em geometria e trigonometria, ou em geral. A formação de um 
ângulo de noventa graus (90º) entre duas retas ou planos, independente se 
a primeira(o) estiver disposta(o) de forma horizontal, vertical ou diagonal. 
 
Um ângulo reto é a metade de um ângulo raso. 
 
// 
Paralelo 
 
Retas paralelas 
 
Se r e s são duas retas paralelas indicamos por r // s. 
 
Lê-se: r é paralela(o) à s . 
 
Retas paralelas são aquelas que não possuem ponto em comum, ou seja 
não se cruzam, não são concorrentes. 
 
Ângulo raso Ângulo raso 
 
Um ângulo raso mede 180º, e é a metade do ângulo de uma volta 
completa (360º). 
 
 
 
Raso: Adj.: De superfície plana; liso. 
 
Ângulo agudo Ângulo agudo 
 
É o ângulo cuja medida esta entre 0º e 90º. Ou o mesmo que 0º < x < 90º 
 
Agudo: Adj.: Terminado em gume ou em ponta. (gume: lado afiado de 
um instrumento cortante) 
 
Ângulo obtuso Ângulo obtuso 
 
É aquele cuja medida situa-se entre 90º e 180º. 
Ou o mesmo que 90º < x < 180º 
 
Obtuso: Adj.:Que não é aguçado ou agudo; que não é bicudo; 
arredondado, rombo. 
 
Ângulos 
complementares 
Ângulos 
complementares 
 
São aqueles cujas medidas somam 90º, e diz-se que um é o complemento 
do outro. 
 
Ex: 34º é o complemento de 56º e vice-versa, pois 34º + 56º = 90º 
 
Complemento: s. m. 1. Ato ou efeito de completar. 
 
Ângulos 
suplementares 
Ângulos 
suplementares 
 
São aqueles cujas medidas somam 180º e diz-se que um é o suplemento 
do outro. 
Ex: 48º é o suplemento de 132º e vice-versa, pois 48º + 132º = 180º 
 
Suplemento: s. m. Aquilo que serve para suprir qualquer falta. 
 
Ângulo de 
depressão 
Ângulo de 
depressão 
 
É o ângulo que se forma abaixo da linha horizontal. Neste caso o ângulo 
alfa "α" 
 
GUIDG.COM – PG. 27 
 
 
 
Ângulo de elevação Ângulo de elevação 
 
É o ângulo que se forma acima da linha horizontal. Neste caso o ângulo 
alfa "α" 
 
 
 
Bissetriz de um 
ângulo 
Bissetriz de um 
angulo 
 
Bissetriz de um ângulo – é a semi-reta que partindo do vértice, determina 
dois ângulos congruentes ( ou seja, de mesma medida). 
 
 
 
Obs: todo ângulo possui uma única bissetriz 
º Grau 
 
Indicação para ângulos e coordenadas em geometria / trigonometria, 
temperatura em graus Celsius e etc. 
 
Tempo: 1 grau é igual a 60 minutos que é igual a 3600 segundos. 
1º = 60’ = 3600” 
MAT: Por definição, 1 grau é o arco equivalente a (um trezentos e 
sessenta avos) da circunferência, ou seja, em um arco de volta completa, 
ou de uma volta, cabem 360° (graus). 
 
‘ Minuto 
 
Indicação abreviada de minuto. 
 
Ex: 1’ = 60” (Um minuto igual a sessenta segundos). 
“ Segundo 
 
Indicação abreviada de segundo. 
 
Ex: 20 segundos = 20” 
gr Grado 
Definimos como 1 grado o arco equivalente a da circunferência, isto 
é, em uma circunferência ou arco de uma volta cabem 400 gr (grados). 
 
Esse sistema não é tão eficaz quanto ao sistema grau, por isso caiu em 
desuso. 
 
GUIDG.COM – PG. 28 
 
rad Radiano 
 
(1) Um radiano é o arco cujo comprimento é igual ao do raio da 
circunferência onde tal arco foi determinado. 
 
(2) Um radiano é o comprimento de arco cujo medida é igual a do raio da 
circunferência que ele compõe. 
 
 
 
arc Arco AB / AB
&
 
 
 
 
Definimos como arco de circunferência cada uma das partes em que ela 
é dividida por dois de seus pontos. 
 
: Um Arco é representado dessa forma, e lê-se: Arco AB 
 
Se dois pontos coincidem, há portanto dois arcos, um é o arco nulo, e 
outro é o arco de uma volta. 
 
Atenção: Não confundir com segmento de reta. 
 
sin ou sen e 
cos 
Seno e Co-seno 
 
Muitas pessoas tem dificuldade com trigonometria, por não entender o 
significado das abreviações sen, cos, tg, etc. esses termos representam 
medidas, que se projeta em algum eixo. Por exemplo o seno de um ponto 
P(x,y) é dado pela relação abaixo, e significa uma medida. 
 
sen α
` a
=
cateto oposto
hipotenusa
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
 
cos α
` a
=
cateto adjacente
hipotenusa
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
 
 
 
Função Trigonométrica: 
 
GUIDG.COM – PG. 29 
 
 
 
Definição geométrica de “sen” e “cos”: Tomemos uma circunferência de 
raio 1 e um ponto A da mesma, considere o sistema de coordenadas da 
figura acima. Dado um número real x, seja Px o ponto da circunferência 
correspondente a x, então: 
 
cos x = abscissa de Px ; 
sen x = ordenada de Px ; 
Portanto Px = (cos x, sen x) 
 
Obs: o símbolo da função seno é sen, então deveríamos escrever sen(x), e 
da mesma forma para cos x, cos(x). A omissão dos parênteses é 
tradicional, e serve para aliviar a notação. Contudo não vá pensar que sen 
x, é um produto de sen por x. E isso não tem sentido, pois sen e cos é uma 
correspondência (função) e não um número: 
 
sen x não é produto de sen por x; cos x não é produto de cos por x. 
 
co-x 
Co-razão x 
 
O complemento de x 
 
Expliquemos o significado da partícula co, que inicia o nome das relações 
co-seno, co-tangente e co-secante. Ela foi introduzida por Edmund 
Gunter, em 1620, querendo indicar a razão trigonométrica do 
complemento. Por exemplo, co-seno de 22° tem valor idêntico ao seno de 
68° (complementar de 22°). 
 
Assim, as relações co-seno, co-tangente e co-secante de um ângulo 
indicam, respectivamente, seno, tangente e secante do complemento 
desse ângulo. 
 
Assim, indicando seno, tangente e secante simplesmente pelo nome de 
razão, podemos dizer que 
 
co-razão x = razão (90º - x) 
 
Exemplos: 
 
I
a
sen
pi
3
fffffd e
= cos
pi
2
fffff
@
pi
3
fffffd e
= cos
3pi @ 2pi
6
fffffffffffffffffffffffffff g
= cos
pi
6
fffffd e
II
a
sen 37º` a= cos 90º@ 37º` a= cos 53º` a
 
 
 
 
Com base no triângulo apresentado na figura A, conclui-se que: 
 
sen = cos e sen = cos 
 
tg = cotg tg = cotg 
 
GUIDG.COM – PG. 30 
 
sec = cossec sec = cossec 
 
tan ou tg Tangente 
tg = (co: cateto Oposto)/(ca: cateto adjacente) = co/ca 
 
 tg x = senx
cosx
ffffffffffffff
=
co
h
fffffffff
ca
h
fffffffff
ffffffff
=
co
h
fffffff
A
h
ca
fffffff
=
co
ca
fffffff
 
 
Interpretação geométrica no ciclo trigonométrico: 
 
 
cot ou cotg Co-tangente 
cot x =
cos x
sen x
ffffffffffffffff
=
1
tg x
ffffffffffff
 
 
Sabendo as três primeiras “sen, cos e tg”, o resto não fica difícil de 
memorizar veja: 
 
Quando aparecer “Co” pode se para memorização interpretar como: 
 “inverso de”. 
Tg é sen sobre cos, então cotg é o inverso de tg, e fica cos sobre sen.Geometricamente: 
 
 
sec Secante 
sec x =
1
cos x
fffffffffffffff
 
 
“Secante lembra Seno, mas é um sobre cosseno” 
 
Geometricamente 
csc ou cossec Co-secante 
csc x =
1
sen x
ffffffffffffffff
 
 
“Co-secante lembra cosseno, mas é um sobre seno” 
 
GUIDG.COM – PG. 31 
 
 
 
Interpretação 
geométrica das 
funções 
trigonométricas no 
ciclo trigonométrico 
 
 
 
sinh ou senh Seno hiperbólico 
 
Definimos a seguinte função exponencial como Seno hiperbólico, e suas 
demais conseqüentes abaixo. 
 
 f:RQR , sinh x` a= ex@ e@ x2ffffffffffffffffffffffffff 
cosh Co-seno hiperbólico 
 
f:RQ 1, +1
B c
, cosh x
` a
=
ex + e@ x
2
fffffffffffffffffffffffff
 
tanh ou tgh Tangente hiperbólica 
 
f:RQ @ 1, 1
b c
,
sinh x` a
cosh x
` affffffffffffffffffffffff= tgh x` a= ex@ e@ x
ex + e@ x
ffffffffffffffffffffffffff
 
coth ou cotgh Co-tangente hiperbólica 
 
f:RCQ @1 ,@ 1
b c
S 1, +1
b cD E
,
1
tgh x` afffffffffffffffffffff= coth x
` a
=
ex + e@ x
ex@ e@ x
ffffffffffffffffffffffffff 
sech Secante hiperbólica 
 
f:RQ 0, 1
b c
,
1
cosh x
` affffffffffffffffffffffff= sech x` a= 2
ex + e@ x
fffffffffffffffffffffffff
 
csch ou cossech Co-secante hiperbólica 
 
f:RCQRC , 1
sinh x
` affffffffffffffffffffff= csch x` a= 2
ex@ e@ x
ffffffffffffffffffffffffff
 
Relações Hiperbólicas 
 
Aqui está uma analogia às relações trigonométricas, onde alguns casos 
também são verificados nas funções hiperbólicas. Abaixo estão algumas 
identidades: 
 
1) cosh2 x @sinh2 x = 1 
 
GUIDG.COM – PG. 32 
 
2) sinh @ x` a=@ sinh x` a 
 
3) cosh @ x` a= cosh x` a 
 
4) coshx + sinhx = e x 
 
5) coshx@ sinhx = e@ x 
 
6) sech2 x = 1@ tgh2 x 
 
7) @csch
2
x = 1@coth2 x
csch2 x = coth2 x@ 1
X\
Z 
 
8) sinh x + y` a= sinhxA coshy + sinhyA coshx 
 
9) cosh x + y` a= coshxA coshy + sinhxA sinh y 
 
10) sinh 2x` a= sinh x + x` a= 2 A sinhxA coshx 
 
11) 
cosh 2x
` a
= cosh x + x
` a
= cosh2 x + sinh2 x
= 2 Asinh2 x + 1
= 2 Acosh2 x @ 1
X^^^
^^^^\
^^^^^^^
Z
 
 
12) sinh2 x = coshx@ 12
fffffffffffffffffffffffffffff
 
 
13) cosh2 x = coshx + 12
fffffffffffffffffffffffffffff
 
Relações 
Trigonométricas 
Relação 
fundamental 
 
 
 
Partindo da figura A e da relação de Pitágoras: 
a² = b² + c² (dividindo por a²) 
1 = (b/a)² + (c/a)² 
 
Tomando em relação ao Ângulo B. 
Sabemos que sen² x = (c.o./h)² = (b/a)² 
e cos² x = (ca/h)² = (c/a)² 
 
sen2 x + cos2 x = 1
 
 
Outras relações: 
 
sec2 x = 1 + tg2 x mas cosx ≠ 0
cossec2 x = 1 + cotg2 x mas senx ≠ 0
 
GUIDG.COM – PG. 33 
 
Relações 
Trigonométricas Em senos 
 
Algumas fórmulas que podem ser úteis na vida dos estudantes de cálculo. 
Quando aparece: cos a cos b , isto implica que estamos multiplicando o 
co-seno de a pelo co-seno de b, e isto se aplica a todas as fórmulas 
apenas mudando as funções em sen, cos, tg, etc. 
 
1: sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b 
 
2: sen(a – b) = sen a cos b – cos a sen b 
“Decoreba” para 1 e 2: Minha terra tem palmeiras onde canta o sabiá, 
seno a co-seno b, seno b co-seno a. Sinais iguais 
 
3: sen(2a) = sen (a +a) = sen a cos a + sen a cos a 
 sen(2a) = 2 sen a cos a 
 
4: sena senb =@12
fff
cos a + b` a@ cos a@b` aB C 
 
5: sena cos b = 12
fff
sen a + b` a+ sen a@b` aB C 
 
Não recomendo a memorização, mas você deve saber que existem essas 
relações, saber aplicar e ter em mãos quando for necessário. 
 
Relações 
Trigonométricas Em co-senos 
1: cos(a + b) = cos a cos b – sen a sen b 
 
2: cos(a – b) = cos a cos b + sen a sen b 
“Decoreba” para 1 e 2: coça-coça, senta-senta.Sinais contrários. 
 
3a: cos(2a) = cos (a + a) = cos a cos a – sen a sen a 
 cos(2a) = cos²a – sen²a 
3b: cos(2a) = 1 – 2sen²a 
3c: cos (2a) = 2cos² a – 1 
OBS: 3b e 3c são obtidas por substituição da relação fundamental. E a 
partir dessas duas relações pode-se chegar a outras por manipulação 
algébrica. 
 
4: cos a cos b = 12
fff
cos a + b` a+ cos a@b` aB C 
Relações 
Trigonométricas Em tangente 
1: tg a + b` a= sen a + b
` a
cos a + b` affffffffffffffffffffffffffffffffff 
 tg a + b` a= tga + tgb1@ tga A tgbffffffffffffffffffffffffffffffffffffff^ cos a + b
` a
≠ 0 
 
 
2: tg a@ b` a= sen a@b
` a
cos a@b` affffffffffffffffffffffffffffffffff 
 tg a@b` a= tga@ tgb1 + tga A tgbfffffffffffffffffffffffffffffffffffff^ cos a@b
` a
≠ 0 
 
 
3: tg 2a
` a
=
2tga
1@ tg2 a
ffffffffffffffffffffffffffff
^ cos 2a
` a
≠ 0
 
GUIDG.COM – PG. 34 
 
Relações 
Trigonométricas Em metades. 
1: sen2 a2
ffffd e
=
1@ cos a
2
ffffffffffffffffffffffffffff
 
 
2: cos2 a2
ffffd e
=
1 + cos a
2
fffffffffffffffffffffffffff
 
 
3: tg2 a2
ffffd e
=
1@ cos a
1 + cosa
ffffffffffffffffffffffffffff
^ cosa ≠@ 1 
Relações 
Trigonométricas 
Soma e diferença de 
senos 
1: senp + senq = 2sen p + q2
fffffffffffffffffd e
A cos
p@ q
2
fffffffffffffffffd e
 
 
2: senp@ senq = 2sen p@ q2
fffffffffffffffffd e
A cos
p + q
2
fffffffffffffffffd e
 
Relações 
Trigonométricas 
Soma e diferença de 
co-senos 
1: cos p + cos q = 2cos p + q2
fffffffffffffffffd e
A cos
p@q
2
fffffffffffffffffd e
 
 
2: cos p@ cos q =@2sen p + q2
fffffffffffffffffd e
A sen
p@q
2
fffffffffffffffffd e
 
Relações 
Trigonométricas 
para qualquer 
triângulo 
Lei dos senos. 
 
Lei dos senos: 
 
A medida de um lado (x) é igual ao dobro do 
raio (2R) vezes o seno do ângulo oposto ao 
lado (X^ ): 
 
 ( x = 2R senX^ ). 
 
Ou também: 
a
senA^
fffffffffffffffff
=
b
senB^
ffffffffffffffff
=
c
senC^
ffffffffffffffff
= 2R 
 
Obs: O Triângulo não precisa ser eqüilátero 
(ter os lados iguais). 
 
Relações 
Trigonométricas 
para qualquer 
triângulo 
Lei dos co-senos. 
 
Lei dos co-senos: 
 
 
a2 = b2 + c2@ 2bc A cos A^
b2 = a2 + c2@ 2ac A cos B^
c2 = a2 + b2@ 2ab A cosC^
 
Mais informações consulte a teoria. 
 
a 2 = b 2 + c2
 
Teorema de 
Pitágoras 
 
Consulte trigonometria. 
Relação trigonométrica de Pitágoras para o Triangulo Retângulo (T.R. é 
aquele que possui um ângulo de noventa graus ou ângulo reto). 
 
a, b e c são as medidas dos catetos. 
 
Cateto: Cada um dos lados do ângulo reto no triângulo retângulo. 
Adjacente: próximo, vizinho, ao lado. 
Hipotenusa: em geometria, é o nome do lado do triangulo que esta 
oposto ao ângulo reto. 
 
GUIDG.COM – PG. 35 
 
 
 
A hipotenusa ao quadrado (a²) é igual (=) a soma dos quadrados dos 
catetos (b² + c²). 
 
CO = cateto oposto ao ângulo 
CA = cateto adjacente ao ângulo 
 
Outras relações: 
 
 
Altura h: 
a.h = b.c 
h² = m.n 
 
Projeções m e n: 
b² = a.n 
c² = a.m 
 
Existem controvérsias quanto a atribuição da fórmula à Pitágoras, pelo fato dele 
próprio não ter deixado nada por escrito, o que se tem são relatos de outros 
estudiosos daquela época, que podem ser alterações do trabalho original, de 
qualquer forma conhecemos esse teorema e assim nos lembramos por “teorema de 
Pitágoras”. 
 
Polígonos regulares Tabela de polígonos 
 
Polígonos (figuras geométricas com n número de lados iguais). Obs: 
Polígono regular é todo polígono convexo que tem os lados congruentes 
e os ângulos coincidentes (ângulos iguais). 
 
Número de lados, Polígono: 
3 - Triangulo 
4 - Quadrilátero 
5 - Pentágono 
6 - Hexágono 
7 - Heptágono 
8 – Octógono 
10 - Decágono 
11 - Undecágono 
12 - Dodecágono 
15 - Pentadecágono 
20 – Icoságono 
 
d = nA n@ 3
` a
2
fffffffffffffffffffffffffffff
 
Número de 
diagonais. 
 
Polígonos 
A diagonal é a reta que liga vértices não consecutivos: 
O número de diagonais (d) é dado por: 
 
d = n A n@ 3
` a
2
fffffffffffffffffffffffffffff
 
 
(n) é o número de lados do polígono. 
 
 
Para este polígono temos 5 lados, e substituindo na fórmula temos o 
número de diagonais que é 5. Mas nem sempre o número de lados é igual 
GUIDG.COM – PG. 36 
 
ao número de diagonais. 
As diagonais desde pentágono são as retas coloridas. 
 
Si = n@ 2
` a
A 180º 
Soma de ângulos 
internos. 
 
Polígonos 
 
Essa fórmula determina a soma dos ângulos internos de um polígono 
convexo, mas não necessariamente regular. 
 
Si = n@ 2
` a
A 180º
 
 
i^
 
Ângulo interno 
 
 
Em polígonos regulares, como todos os ângulos são coincidentes, 
podemos calcular cada ângulo interno utilizando a formula da soma de 
ângulos internos (Si ) dividida pelo número de lados (n) do polígono. 
 
i^ =
Si
n
ffffff
[ i^ =
n@ 2
` a
A 180º
n
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
 
AB
BC
ffffffffff
=
DE
EF
ffffffffff
 Teorema de Tales 
 
Um feixe de retas paralelas (a, b, c) determina, sobre duas transversais 
quaisquer, que segmentos de uma ( ABBC
ffffffffff) são proporcionais aos segmentos 
correspondentes da outra ( DEEF
ffffffffff). 
 a // b // c então ABBC
ffffffffff
=
DE
EF
ffffffffff
 
 
∆∆∆∆ABC ~ ∆∆∆∆DEF Semelhança de triângulos 
 
O til (~) neste caso pode ser lido como “é semelhante” 
 
 
 
Os triângulos são semelhantes se as seguintes condições forem 
verificadas: 
 
1 – Os ângulos internos correspondentes são iguais. 
2 – A razão entre os lados homólogos forem proporcionais. 
 
Homólogo: lados, ângulos, diagonais, vértices e outros elementos que se 
correspondem ordenadamente. 
 
Então, em linguagem matemática resumimos: 
 
GUIDG.COM – PG. 37 
 
 ∆ABC~∆DEF ^
A^ = D^
B^ = E^
C^ = F^
X^^^^
\
^^^^Z e
a
d
ffff
=
b
e
ffff
=
c
f
fff
= k 
 
Decorrência: 
 
 
No Triângulo ABC, se PQ
ffffffffff
 // BC
ffffffffff
, então ∆∆∆∆APQ ~ ∆∆∆∆ABC 
∞ Infinito 
 
É um "oito deitado" e representa o infinito. 
 
Este símbolo foi criado pelo matemático Inglês John Wallis (1616-1703) 
para representar a "aritmética Infinitorum". 
 
Infinito não é um número, é um conceito, pode ser visto como aquilo que 
esta acima de todos os números, e que contém todos e além. 
 
 xQ1 
Quando dizemos que x tende ao infinito, queremos dizer que ele cresce 
sempre, sem ter um limite, independente do sinal, positivo ou negativo, 
cresce nos dois sentidos simultaneamente. 
 
xQ +1 
Se for dito que x tende a mais infinito, então ele cresce sempre, somente 
na parte positiva. 
 
∝ 
Proporcional à 
 
À definir. 
f :AQ B
 
Função de A em B 
f = função 
: = de 
A = Conjunto de saída (Domínio) 
→ = em 
B = Conjunto de chegada (Contra-domínio) 
 
Lê-se: “ f de A em B ”. 
 
Ou interpretasse como associação, “Se associa ao elemento”. 
Exemplo de utilização em funções: 
 
f : R→ R 
x→y | y = a.x + b, a≠0 
 
Lê-se: F de R em R, associa a cada x o elemento y igual à “a” vezes “x” 
mais “b” com “a” diferente de zero. 
 
f x` a
 
Função de x 
 
Consulte a teoria de Funções: 
Lê-se: “f” de “x” 
 
Exemplo: f(x) = ax + b (Lê-se: “f” de “x” é igual a “ax” mais “b”) 
Essa é uma função de primeiro grau, ou também chamada de função afim 
quando b for diferente de zero. 
GUIDG.COM – PG. 38 
 
 
Podendo variar entre f, f, F ... e não se restringindo à x, podendo ser y, z, 
t, e qualquer outra letra. 
 
lim Limite 
 
Verificar tabela de limites no índice de Calculo Dif. E integral. 
Ex: 
 
 
Indica que 3 é o limite da função 2x+1 quando x tende a 1. 
 
f .
 
Derivada 
 
f ’ é a notação para a derivada de uma função, outras notações também 
são usadas freqüentemente: 
Se y é uma função de x y = f x` ab c, então a derivada de x é indicada por: 
f . x` a= dydxffffffff= Dx y 
A definição: 
f . x` a= lim
∆xQ 0
f x + ∆x` a@ f x` a
∆x
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
 
 
∂ , lê-se: partial d (d parcial), partial differential (derivada parcial). 
 
Quando trata-se de uma função de várias variáveis, o símbolo de derivação muda. 
Ex: seja u = f(x,y,z) então a derivada é indicada em relação a que variável quer-se 
derivar a função: 
 
 
∂u
∂x
ffffffff
,
∂u
∂y
ffffffff
,
∂u
∂z
ffffffff
 que indicam a derivada da função f em relação à x, à y , à 
z , respectivamente. Existem outros casos de aplicação. 
 
∫ Integral 
 
∫ , S de Soma. 
 
O símbolo da integral é um S estilizado (e não um I como pode se 
pensar), pelo fato da integral ser uma soma (Cálculo 2). Inicialmente a 
integral é vista como a inversa da derivada, a Anti-derivada (cálculo 1), e 
depois ela recebe uma nova cara, que é a soma de infinitésimos para o 
cálculo de áreas e volumes, verifique as noções intuitivas e a definição 
formal por um livro. 
 
Existem várias regras de integração. Exemplo de uma das regras: 
 
 
 
Lê-se: A integral de seno de x dx é "menos" cosseno de x"mais" a 
constante. 
 
Verifique a Tabela de integrais imediatas no site. (para o cálculo 1) 
 
 
 
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