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ITA/IME – Pré-Universitário 1
Projeto rumo ao ita
matemática
revisão de álgebra
Exercícios de Fixação
01. Encontre os valores das raízes racionais a, b e c de x3 + ax2 + bx + c.
02. Se f(x)f(y) – f(xy) = x + y, "x,y ∈ R, determine f(x).
03. Encontre x real satisfazendo 1 1 1+ + + =x x.
04. Numa classe com vinte alunos, as notas do exame final 
podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação 
era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos 
foram reprovados. A média aritmética das notas desses oito 
alunos foi 65, enquanto que a média dos aprovados foi 77. 
Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma 
questão havia sido mal reformulada e decidiu atribuir 5 pontos 
a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos 
aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8.
A) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes 
da atribuição dos cinco pontos extras.
B) Com a atribuição dos cinco pontos extras, quantos alunos, 
inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação?
05. Encontre todas as soluções reais positivas da equação 
x
x x x
+



 =



 +



6 2
2
3
, onde k denota o maior inteiro menor 
que ou igual ao número real k. 
Sugestão: analise o resto da divisão de x por 6).
06. A função f, definida sobre o conjunto dos pares ordenados de 
inteiros positivos, satisfaz as seguintes propriedades: f(x, x) = x, 
f(x, y) = f(y, x) e (x + y) f(x, y) = yf(x, x + y). Calcule f(14, 52).
07. Simplifique a expressão 1
1
1
1
1
1
1
1
2 4 2100
+



 +



 +



 +



a a a a... , sendo a ≠ 1.
08. A soma dos algarismos de um número é 12. Invertendo-se a 
ordem dos algarismos, tem-se um novo número igual a 
4
7
 
do original. Determine o número sabendo que ele tem dois 
algarismos.
09. Encontre o menor inteiro positivo n que possui as seguintes 
propriedades:
I. Em sua representação, tem 6 como último dígito.
II. Se o último dígito (6) é apagado e colocado na frente dos 
dígitos restantes, o número resultante é quatro vezes maior 
que o número original n.
10. I. Ache todos os inteiros positivos com dígito inicial 6, tal que o 
inteiro formado apagando-se este 6 é 
1
25
 do inteiro original.
II. Mostre que não existe inteiro, tal que a retirada do primeiro 
dígito produz um novo inteiro que é 
1
35
 do inteiro original.
11. Para quais valores a desigualdade x
x
x
x
3
3
2
2
1 1
+ > + é falsa?
12. ( ITA/2012) Sejam r
1
, r
2
 e r
3
 números reais tais que 
r
1
 – r
2
 e r
1
 + r
2
 + r
3
 são racionais. Das afirmações:
I. Se r
1
 é racional ou r
2
 é racional, então r
3
 é racional;
II. Se r
3
 é racional, então r
1
 + r
2
 é racional;
III. Se r
3
 é racional, então r
1
 e r
2
 são racionais,
é(são) sempre verdadeira(s):
A) apenas I. B) apenas II.
C) apenas III. D) apenas I e II.
E) I, II e III.
13. (ITA/2013) Seja n > 6 um inteiro positivo não divisível por 6. 
Se, na divisão de n2 por 6, o quociente é um número ímpar, 
então o resto da divisão de n por 6 é
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 5
Exercícios Propostos
01. D e m o n s t r a r q u e s e 
A
a
B
b
C
c
= = , e n t ã o o c o r r e 
Aa Bb Cc A B C a b c+ + = + + + +( )( ), sendo a, b, c, 
A, B, C ∈ R*+
02. Mostre que se a
b
a
b
a
b
1
1
2
2
3
3
= = e p1, p2, p3 não são todos nulos,
 então 
a
b
p a p a p a
pb p b p b
n n n n
n n n
1
1
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3



 =
+ +
+ +
, para todo inteiro positivo n.
03. (IME/2007) Sejam a, b e c números reais não nulos. Sabendo que 
a b
c
b c
a
c a
b
+
=
+
=
+
, determine o valor numérico de a b
c
+
.
04. Se x é um número satisfazendo a equação x x+ − − =9 9 33 3 , 
então x2 está entre:
A) 55 e 65 B) 65 e 75 
C) 75 e 85 D) 85 e 95
E) 95 e 105
05. Considere todas as retas que encontram o gráfico da função 
f(x) = 2x4 + 7x3 + 3x – 5 em quatro pontos distintos, digamos 
(x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
), (x
3
, y
3
), (x
4
, y
4
). O valor de x x x x1 2 3 4
4
+ + + é:
A) 2 B)
7
8
C) 
7
2
 D) independente da reta.
E) NDA
06. Qual das sentenças seguintes não é verdadeira para a equação 
ix2 – x + 2i = 0, sendo i = −1?
A) A soma das raízes é 2.
B) O discriminante é 9.
C) As raízes são imaginárias.
D) As raízes podem ser encontradas usando a fórmula 
quadrática.
E) As raízes podem ser encontradas por fatoração, usando 
números imaginários.
ITA/IME – Pré-Universitário 2
Projeto rumo ao ita
07. Se a parábola y = ax2 + bx + c passa pelos pontos (–1, 12), (0, 5) 
e (2, –3), então o valor de a + b + c é:
A) –4 B) –2
C) 0 D) 1
E) 2
08. (IME/2007) Sejam x
1
 e x
2
 as raízes da equação x2 + (m – 15)x + m = 0. 
Sabendo que x
1
 e x
2
 são números inteiros, determine o conjunto 
de valores possíveis para m.
09. Se x =
+1 1996
2
, então 4x3 – 1999x – 1997 é igual a:
A) 0 B) 1
C) –1 D) 2
E) –2
10. (EUA) Para quais valores de K a equação x = K2(x – 1)(x – 2) 
tem raízes reais?
A) Nenhum B) –2 < K < 1
C) 
− < <2 2 2 2K D) K > 1 ou K < –2
E) Todos
11. (Romênia/2006) Encontre todos os números reais a e b 
satisfazendo 2(a2 + 1)(b2 + 1) = (a + 1)(b + 1)(ab + 1).
(Sugestão: Equação do 2º grau em a).
12. Suponha que a função f: R → R satisfaz f(xy) = xf(y) + yf(x) para 
todos x, y e R. Podemos afirmar que:
A) f(1) = 0 B) f(1) = 1
C) f é uma função constante D) f(4) = 2f(2)
E) NDA
13. Seja f: R* → R a função definida por f x
sen
x
x
( ) .=




+
1
1 2
1
Mostre que 
 
 existem números reais b
0
, b
1
, b
2
, ..., b
k
, ... tais que 
1 2
2 3
1
+



 = −
b
k
k f b( ) .
pi
14. (IME/2007) Seja f: N → R uma função tal que f k
n
nk
n
( ) ,= ⋅
+
+=
∑ 2008 1
20
 
 
onde N e o R são, respectivamente, o conjunto dos números 
naturais e o dos números reais. Determine o valor numérico 
de 
1
2006f( )
.
15. Seja f: Z → Z uma função satisfazendo f(n2) = f(n + m) f(n –m) 
+ m2, "m, n ∈ Z. Então f(0) pode ser:
A) 0 B) 1
C) 0 e 1 D) 4
E) NDA
16. Se f(x) = ax2 – c satisfaz –4 ≤ f(1) ≤ –1 e –1 ≤ f(2) ≤ 5, então:
A) 7 ≤ f(3) ≤ 26 B) –1 ≤ f(3) ≤ 20
C) –4 ≤ f(3) ≤ 15 D) − ≤ ≤
28
3
3
35
3
f( )
E) 
8
3
3
13
3
≤ ≤f( )
17. I. Se n é um inteiro positivo tal que 2n + 1 é quadrado perfeito, 
mostre que n + 1 é a soma de dois quadrados perfeitos 
sucessivos.
II. Se 3n + 1 é um quadrado perfeito, mostre que n + 1 é a 
soma de três quadrados.
18. Suponha que um número inteiro n é a soma de dois números 
triangulares n
a a b b
=
+
+
+2 2
2 2
. Mostre que 4n + 1 pode ser 
 
escrito como a soma de dois quadrados em termos de a e b.
19. Ache todos os inteiros positivos x, y tais que:
 y2 – x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 1
20. Para quantos inteiros positivos n entre 1 e 100 é possível fatorar 
x2 + x – n como produto de dois fatores lineares com coeficientes 
inteiros?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 9
E) 10
21. Defina a operação o por xoy = 4x – 3y + xy, "x, y ∈ R. 
Para quantos números reais y tem-se 3oy = 12?
A) 0 B) 1
C) 3 D) 4
E) mais que 4
22. (Latvian/1997) Quantos dígitos de n = + + + +9 99 999 99 9
2001
... ...���
são iguais a 1?
A) 1997 B) 1998
C) 1999 D) 2000
E) 2001
23. Seja n > 1 um inteiro. Prove que o número 11 1 44 4
2
... ...
n n
��� ��� �� 
não é racional.
24. A) Se tg
α
2
 é um número racional (a ≠ kp, k ∈ Z), prove que 
 
cosa e sena são números racionais.
B) Reciprocamente, se cosa e sena são números racionais, 
prove que tg
α2
 é um número racional.
25. Considere as afirmativas.
I. Entre dois números racionais sempre existe um outro número 
racional;
II. A soma de dois números irracionais é sempre irracional;
III. O produto de dois números irracionais é sempre irracional;
IV. Existe sempre um número racional entre dois números 
inteiros;
V. Existe sempre um número inteiro entre dois números 
racionais.
Conclua que:
A) 1 ,3, 4 são verdadeiras.
B) 1, 2, 3 são verdadeiras.
C) Somente 1 e 4 são verdadeiras.
D) Somente 2 e 4 são verdadeiras.
E) Somente 3 e 5 são falsas.
26. O número de soluções reais da equação:
x x
x x
x
2
2
1 2
2 1
1
− + =
− +
−
 é:
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) maior que 3
ITA/IME – Pré-Universitário3
Projeto rumo ao ita
27. Sendo |x| + x + y = 10 e x + |y| – y = 12, encontre x + y.
A) –2 B) 2
C) 
18
5
 D) 22
3
E) 22
28. (ITA/2007) Sobre a equação na variável real x, |||x – 1| –3| –2| = 0, 
podemos afirmar que:
A) ela não admite solução real.
B) a soma de todas as suas soluções é 6.
C) ela admite apenas soluções positivas.
D) a soma de todas as soluções é 4.
E) ela admite apenas duas soluções reais.
29. Qual é o produto das raízes da equação: 
 x x x x2 218 30 2 18 45+ + = + + ?
A) 10 B) 20
C) 30 D) 40
E) NDA
30. Um número primo e positivo é formado por 2 algarismos 
não nulos. Se, entre esses algarismos, colocarmos um zero, o 
número ficará aumentado em 360 unidades. Dessa forma, a 
soma desses 2 algarismos pode ser:
A) 8 B) 7
C) 6 D) 9
E) 10
31. (EUA) No s i s tema de numeração de base 10, o 
número 526 representa 5 ·102 + 2 · 10 + 6. Em Terras 
Brasilis, entretanto, os números são escritos na base r. 
Wellington compra um automóvel lá por 440 unidades monetárias 
(abreviada por u.m.). Ele dá ao vendedor uma cédula de 
1000u.m. e recebe de troco 340u.m. A base r é:
A) 2 B) 5
C) 7 D) 8
E) 12
32. (EUA) O número 695 é escrito no sistema de numeração de 
base fatorial, isto é, 695 = a
1
 + a
2
 ⋅ 2! + a
3
 ⋅ 3! + ...+a
n
 ⋅ n!, 
onde a
1
, a
2
, ..., a
n
 são inteiros tais que 0 ≤ a
k
 ≤ k, e n! representa 
n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1. Encontre a
4
.
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
33. (EUA) O número 121
b
, escrito na base inteira b, é o quadrado 
de um inteiro para:
A) b = 10, apenas B) b = 5 e b = 10, apenas
C) 2 ≤ b ≤ 10 D) b > 2
E) Nenhum valor de b
34. Se as igualdades a3 + b3 + c3 = a2 + b2 + c2 = a + b + c = 1 são 
satisfeitas, então abc =
A) 0 B) –1
C) 1 D) 26
E) NDA
35. O número de alunos prestando vestibular para o ITA era, em 
um dado ano, um quadrado perfeito. No ano seguinte, com 
um acréscimo de 100 participantes, o número de alunos passou 
a ser um quadrado perfeito mais 1. Um ano depois, com mais 
um acréscimo de 100 participantes, o número de alunos passa 
a ser novamente um quadrado perfeito. A quantidade inicial 
de alunos é um múltiplo de:
A) 3 B) 7
C) 9 D) 11
E) 17
36. São dados a, b, c ∈ . Sabe-se que a + b + c > 0, bc + ca + ab > 0 
e abc > 0. Prove que a > 0, b > 0, c > 0.
37. Sejam a, b, c, d reais tais que a2 + b2 = c2 + d2 = 1, ac + bd = 0. 
Calcular ab + cd.
38. Se x e y são reais tais que x x y y+ +( ) + +( ) =2 21 1 1, prove 
que x + y = 0.
39. (ITA/2007) Sendo c um número real a ser determinado, 
decomponha o polinômio 9x2 – 63x + c numa diferença de 
dois cubos (x + A)3 – (x + B)3. Neste caso, |a + |b| – c| é igual a:
A) 104 B) 114
C) 124 D) 134
E) 144
40. Para x e y números reais distintos, seja M(x, y) o maior 
número entre x e y e seja m(x, y) o menor número entre x e y. 
Se a < b < c < d < e, então M(M(a, m(b, c)), m(d, m(a, e))) =
A) a B) b
C) c D) d
E) e
41. (EUA) 
2 6
2 3 5+ +
 é igual a:
A) 2 3 5+ − B) 4 2 3− −
C) 2 3 6 5+ + − D) 2 5 3
2
+ −
E) 3 5 2
3
+ −
42. (EUA) O número de soluções distintas da equação:
 |x – | 2x + 1 || = 3 é:
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
43. (EUA) O número de triplas (a, b, c) de inteiros positivos que 
satisfazem simultaneamente as equações:
 ab + bc = 44
 ac + bc = 23, é
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
44. (EUA) Seja S a seguinte sentença: Se a soma dos dígitos 
do número inteiro n é divisível por 6, então n é divisível por 6. 
Um valor de n que mostra que S é falsa é:
A) 30 B) 33
C) 40 D) 42
E) NDA
45. (EUA) Qual dos seguintes números está mais próximo de 
65 63− ?
A) 0,12 B) 0,13
C) 0,14 D) 0,15
E) 0,16
46. Prove que a fração 
21 4
14 3
n
n
+
+
 é irredutível para todo número 
natural n.
ITA/IME – Pré-Universitário 4
Projeto rumo ao ita
47. O produto 1
1
2
1
1
3
1
1
9
1
1
102 2 2 2
−



 −



 −



 −



... é igual a:
A) 
5
12
 B) 1
2
C) 11
20
 D) 2
3
E) 7
10
48. Seja n um inteiro não negativo. O polinômio T
n
(x) é definido, 
para –1 ≤ x ≤ 1, por T
0
(x) = 1 e T
n
(x) = cos n (arccos x), n ≥ 1. 
Considere as afirmações sobre T
n
(x):
I. Seu grau é n;
II. Seu coeficiente líder é 2n;
III. T
4
(x) = 8x4 – 8x2 +1;
IV. A soma de seus coeficientes é 1.
Quantas são verdadeiras?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
49. O número de pares ordenados (x, y) com x, y ∈ Z, satisfazendo 
2x2 – 3xy – 2y2 = 7 é:
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) maior que 3
50. Quantos pares de números rea i s (a , b ) ex i s tem 
tais que a função f(x) = ax + b satisfaz a desigualdade 
( ( )) cos ( ) , [ , ]?f x x f x sen x x2 2
1
4
0 2− ⋅ < ∀ ∈ pi
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) mais que 3
51. Dada a equação x ⋅ {x} + x = 2{x} + 10, sendo x a parte inteira 
de x e {x} a parte fracionária de x (0 ≤ {x} < 1):
A) mostre que ( x –1)({x} + 1) = 9;
B) encontre todas as soluções dessa equação.
52. Analise as sentenças a seguir:
I. Existem exatamente 10 números naturais de 4 dígitos que 
são cubos perfeitos;
II. A soma dos cubos de três números inteiros positivos e 
consecutivos é divisível pelo número do meio e por 9;
III. O cubo de um número natural ou é múltiplo de 8 ou deixa 
resto 1 na divisão por 4;
IV. A soma dos quadrados de dois números ímpares consecutivos 
é um número par não múltiplo de 4.
Quantas são verdadeiras?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
53. Seja A = 77 ... 77 um número em que o dígito 7 aparece 1001 
vezes. Determine o quociente e o resto da divisão de A por 
1001.
54. O conjunto solução da inequação x
x x x
4
4 3 2
1
3 2
0
−
− + −
< é:
A) (–∞, –1) ∪ (2, ∞)
B) (–∞, –1) ∪ (1, 2)
C) (–∞, –1) ∪ (0, 2)
D) (–∞, –1) ∪ (1, 2)
E) (–∞, –1) ∪ (–1, 0)
55. (ITA/2008) Dado o conjunto A x x x x= ∈ + <{ / },� 3 22 2 
expresse-o como união de intervalo da reta real.
56. a x b representa a operação sobre dois números a e b que 
seleciona o maior dos dois números, com a x a = a. Além disso, 
a + b representa a operação sobre dois números a e b que 
seleciona o menor dos dois números, com a + a = a. Qual das 
seguintes regras é(são) correta(s)?
I. a x b = b x a
II. a x (b x c) = (a x b) x c
III. a + (b x c) = (a + b) x (a + c)
A) I apenas.
B) II apenas.
C) I e II apenas.
D) I e III apenas.
E) I, II e III.
57. Seja f(x) = x2 + 3x + 2 e S, o conjunto de inteiros {0, 1, 2, ..., 25}. 
O número de elementos s de S tais que f(s) deixa resto 0 (zero) 
na divisão por 6 é:
A) 25 B) 22
C) 21 D) 18
E) 17
58. Se p é um inteiro positivo, então 
3 25
2 5
p
p
+
−
 pode ser um inteiro 
 
positivo para quantos valores de p?
A) 0.
B) 1.
C) 2.
D) 3.
E) mais que 3.
59. Calcule a soma dos valores inteiros positivos de n de modo que 
n
n
+
+
26
2
 seja um inteiro.
A) 20 B) 22
C) 43 D) 45
E) 52
60. (Cone Sul) Existem números inteiros ímpares a
1
, a
2
, ..., a
2010 
tais 
que ia ai
i
4
2010
4
1
2009
2010= ⋅
=
∑ ?
61. (Baltijos Kelias) Denote por d(n)a quantidade de todos os 
divisores positivos de um inteiro positivo n (incluindo 1 e n). 
Prove que existem infinitos n tais que 
n
d n( )
 é um inteiro 
positivo.
62. A expressão 2n + 1 é o quadrado de um inteiro para exatamente 
quantos números naturais n?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) mais de 3
63. Os algarismos a, b e c são tais que os números de dois 
algarismos aa, bc e cb são números primos e aa + bc + cb = aa2. 
Se b < c, então bc é igual a:
A) 19 B) 17
C) 37 D) 29
E) 59
ITA/IME – Pré-Universitário5
Projeto rumo ao ita
64. O crescimento da quantidade de coelhos do professor Fabrício 
Maia obedece, mês a mês, a sequência de Fibonacci, isto é, 
ao final do primeiro mês ele tinha c
1
 = 2 coelhos, ao final 
do segundo, c
2
 = 3 coelhos e, a partir do terceiro mês, para 
desespero do professor Fabrício, o número de coelhos ao final 
do n-ésimo mês satisfazia c
n
 = c
n
 
– 1
 + c
n – 2
, n ≥ 3. Se após um 
ano e meio ele tinha 6.765 coelhos e nos dois meses seguintes 
nasceu um total de 10.946 coelhos, quantos comedores de 
cenoura o professor Fabrício possuía ao final do 20º mês?
A) 17.711 B) 10.946
C) 6.766 D) 5.473
E) n.d.a.
65. (OBM) Qual é a quantidade total de letras de todas as respostas 
incorretas desta questão?
A) quarenta e oito.
B) quarenta e nove.
C) cinquenta.
D) cinquenta e um.
E) cinquenta e quatro.
66. Quantos inteiros positivos N de três dígitos existem tais que N 
e a soma de seus dígitos são divisíveis por 11?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) mais de 3
67. O valor da soma S = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + 2008 ⋅ 2009 é:
A) 2008 2009 2010
3
⋅ ⋅ B) 
2008 2009 2010
6
⋅ ⋅
C) 
2007 2008 2009
3
⋅ ⋅
 D) 
2008 2009 2010
6
⋅ ⋅
E) n.d.a.
68. Dada a sequência de equações x
1
 + 1 = 1, x
2
 + 2 = 4, x
3
 + 3 = 9, 
..., x
n
 + n = n2, calcule o valor de x
1
 + x
2
 + x
3
 + ... + x
n
.
A) 
n2 1
3
−
 B) 
n n( )2 1
3
−
C) n
2 1
3
+ D) 
n n( )2 1
3
+
E) n.d.a
69. (EUA) Seja N = 21002 + 20992 – 20982 – 20972 + 20962 + ... + 20042 
+ 20032 – 20022 – 20012, com somas e subtrações alternando-se 
em pares. O resto de N na divisão por 1000 é:
A) 0 B) 100
C) 200 D) 300
E) 400
70. Se x12 + 2x6 (1 – 2y2) + 1 = 0 e x ∈ r
–
,então:
A) y < 1
B) y ≤ –2
C) y ∉ r
D) x6 – 2x3y + 1 = 0
E) n.d.a.
71. Encontre todos os a reais tais que a4 + b4 + 2aa2b2 ≥ (a + 1) 
(a3b + ab3), sempre que a e b são reais.
Sugestão: Mostre que a desigualdade dada é equivalente a 
(a – b)2 (a2 + ab – aab + b2) ≥ 0.
72. (OBM) O maior inteiro que não supera 
3 2
3 2
2010 2010
2008 2008
+
+
 é igual a:
A) 4 B) 6
C) 7 D) 8
E) 9
73. Sejam a, b, c, d inteiros distintos tais que a equação (x – A) 
(x – b) (x – c) (x – d) – 4 = 0 tem uma raiz inteira r. Então:
A) 4r = a + b + c + d B) r = a + b + c + d
C) a + b + c + d = 0 D) r = 0
E) n.d.a.
74. Quantas soluções x, y, z inteiras a equação 3x2 + y2 + z2 = 
2x(y + z) possui?
A) 0 B) 1
D) 2 C) 3
E) mais de 3
75. Sejam x, y, z números naturais. Se x é um número primo e 
x2 + y2 = z2, então y é igual a:
A) x
2 1
2
− B) 
x2 1
2
+
C) x D) x2 – 1
E) x2 + 1
76. Seja p um número primo ímpar dado. Quantos valores de k 
inteiro positivo existem tais que k pk
2
− é também um inteiro 
positivo?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) mais de 3
77. Para quais valores de a as duas raízes de x2 – ax + 2 = 0 
pertencem ao intervalo [0; 3]?
78. Sendo l um parâmetro real, –1 ≤ l ≤ 1, resolva a inequação 
quadrática x2 – lx + 1 < 0.
79. Determine todas as soluções reais da inequação 
x3 – 2x2 – 4 x+ 3 < 0.
80. Resolva em R o sistema de equações 
x y z
x y
yz
+ + =
= −
=



6
2
3
. 
81. São dados os números reais a
1
, a
2
. Se a desigualdade 
x2 – (a
1
 + a
2
) x + a
1
 ⋅ a
2
 > 0 tem como conjunto solução R – {a}, 
a ≠ 0, então 
α
a a1 2+
 é igual a:
A) 2 B) 
1
2
C) 3 D) 
1
3
E) 1
82. (EUA) Defina n
a
! para n e a positivos como n
a
! = n(n – a)(n – 2a)
(n – 3a) ... (n – ka), sendo k o maior inteiro para o qual n > ka. 
 
Então, o quociente 
72
18
8
2
!
!
 é igual a:
A) 45 B) 46
C) 48 D) 49
E) 412
ITA/IME – Pré-Universitário 6
Projeto rumo ao ita
83. O número de soluções reais distintas da equação x x3 3 7 3+ − = 
é igual a:
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
84. Se x é um número satisfazendo x x+ − − =9 9 33 3 , então x2 
está entre:
A) 55 e 65 B) 65 e 75
C) 75 e 85 D) 85 e 95
E) 95 e 105
85. Considere as afirmações:
I. A função f associa a cada real x o menor elemento do 
conjunto x
x
+
−
1
15
2
, . O valor máximo de f(x) é 
16
3
;
II. Existe apenas um valor real de x que satisfaz a inequação 
x
x
+ ≤1 2;
III. A soma das raízes reais de x3 + 3x2 + 3x – 1 = 0 é –3;
IV. Há exatamente 20 valores inteiros de x para os quais x
x
+
+
99
19
 
também é um número inteiro.
Quantas são verdadeiras?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
86. Considere o polinômio quadrático P(x) = ax2 – bx + c, abc ≠ 0. 
Se uma de suas raízes está no intervalo de (–2; –1) e a outra 
no intervalo (2; 3), analise as seguintes sentenças e marque o 
item correto.
I. P(0) < 0
II. abc < 0
III. P P( )1
1
2
0⋅ −



 > 
A) V – V – V B) V – F – V
C) V – F – F D) F – V – V
E) F – F – V
87. Considere a expressão matemática f x
x
x
( ) =
+
2
6
 tal que f(a) = b,
 
{a, b} ⊂ Z. Indique o número de valores diferentes que a pode 
assumir.
A) 18 B) 20
C) 28 D) 36
E) 40
88. O valor mínimo da função real e de variável real dada por 
f(x) = x + 3 + x – 2 + x – 4 é:
A) 0 B) 1
C) 2 D) 4
E) 7
89. Qual é a soma das soluções da equação: 
 x + 3– x – 2– x – 1= 0 ?
A) 6 B) 8
C) 10 D) –14
E) 0
90. Considere os conjuntos A = {x – 1∈ r /x 2 < 1} , 
B = {x∈ z / x2 < 1}, C = {x∈ z /|x| > x}, então A – (B ∪ C) é o 
conjunto:
A) ∅ B) (1; 2)
C) (–2; 0) – {1} D) (–2; 0) – {–1}
E) (–1; 1)
91. Se a soma das soluções inteiras da inequação (x – n) (x – n – 3) 
(x – n – 6) (x – n – 9) (x – n – 12) (x – n – 15) < 0 é 39, indique 
o valor inteiro de n.
A) 5 B) 1
C) –2 D) –1
E) 3
92. Determine a quantidade de pares ordenados de números reais 
que verificam a equação 5x2 – 2xy + 2y2 – 2x – 2y + 1 = 0.
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) mais de 3
93. (China-Adaptado) Seja n um número inteiro positivo e d(n), 
a quantidade de divisores positivos de n. Encontre todos 
os inteiros c não negativos tais que existe n satisfazendo 
d(n) + j(n) = n + c, sendo j a função de Euler.
94. (IME/2010) Sejam r, s, t e v números inteiros positivos tais que 
r
s
t
v
< . Considere as seguintes relações:
I. r s
s
t v
v
+( )
<
+( )
II. 
r
r s
t
t v+( ) < +( )
III. r
s
r t
s v
<
+( )
+( )
IV. r t
s
r t
v
+( )
<
+( )
O número total de relações que estão corretas é:
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
95. (Putman) Sejam x, y, z números reais distintos dois a dois. 
Prove que x y y z z x− + − + − ≠3 3 3 0.
Sugestão: a + b + c = 0 implica a3 + b3 + c3 = 3abc.
96. (EUA) Existe um único par de inteiros positivos x e y 
satisfazendo a equação x2 + 84x + 2008 = y2. Encontre x + y.
97. (AustráliA) Se x, y, z são números positivos satisfazendo 
x + 
1
4
y
= , y + 
1
1
z
= e z + 
1 7
3x
= , então xyz é igual a: 
A) 
2
3
 B) 1
C) 
4
3
 D) 2
E) 
7
3
98. Sejam x e y números inteiros tais que x3 + y3 + (x + y)3 + 
+ 30xy = 2000. O valor de x + y é:
A) 10 B) 20
C) 30 D) 40
E) 50
ITA/IME – Pré-Universitário7
Projeto rumo ao ita
99. (OBM) Os inteiros positivos x e y satisfazem a equação 
x y x y+ − − =
1
2
1
2
1. Qual dasalternativas apresenta 
um possível valor de y?
A) 5 B) 6
C) 7 D) 8
E) 9
100. Para quantos valores inteiros de a as duas raízes de 
x2 – 2ax + 3 = 0 pertencem ao intervalo [–1; 2]?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) mais de 3
101. Para quantos valores inteiros do parâmetro p as raízes de 
x2 – 2px + p2 – 2 = 0 pertencem ao intervalo (0; 2)?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) mais de 3
102. (Torneio Harvard-MIT) Determine todos os números reais a 
tais que a inequação |x2 + 2ax + 3a| ≤ 2 tem exatamente uma 
solução em x.
103. Um número complexo ζ é uma raiz primitiva n-ésima da unidade 
se, e somente se, ζn = 1 mas ζk ≠ 1 para cada inteiro k com 
1 ≤ k ≤ n – 1. Isto é, n é o menor expoente para o qual a 
potência de ζ é 1.
 O n-ésimo polinômio ciclotômico Q
n
(t) é o produto de todos 
os polinômios lineares (t – ζ), sendo ζ raiz n-ésima primitiva 
da unidade.
Analise as seguintes afirmações.
I. O grau de Q
n
 é j(n) e sempre é par, em que j é função de Euler.
II. Toda raiz n-ésima da unidade é uma raiz de Q
n
.
III. Q
6
(t) = t2 – t + 1.
IV. Se p é um número primo, então Q
p
(t) = tp – 1 + tp – 2 + ... + t + 1.
Assim, somente:
A) IV é verdadeira. B) I e IV são verdadeiras.
C) II é falsa. D) III e IV são verdadeiras.
E) NDA.
104. Se as raízes da equação x2 – 2ax + a2 + a – 3 = 0 são reais e 
menores que 3, então:
A) a < 2 B) 2 ≤ a ≤ 3
C) 3 < a ≤ 4 D) a > 4
E) NDA
105. Um quadrado é cortado em 49 quadrados menores. 
Todos esses quadrados têm as medidas de seus lados, em 
centímetros, expressas por números inteiros positivos. 
Há exatamente 48 quadrados com área igual a 1 cm2. 
O número de resultados possíveis para expressar, em cm2, a 
medida da área do quadrado original é exatamente igual a:
A) 1 B) 2 
C) 3 D) 4 
E) 5
106. Para selecionar um recruta dentre 225 voluntários, o sargento 
de determinado batalhão os dispõe em um quadrado de 
15 linhas por 15 colunas e, a princípio, manda sair o mais alto 
de cada linha e denomina de A o mais baixo, dentre esses 15. 
Em seguida, faz com que todos retomem suas posições no 
quadrado e, agora, manda sair o mais baixo de cada coluna e 
denomina de B o mais alto, dentre esses 15.
Analise as seguintes situações:
I. A ser mais alto do que B;
II. B ser mais alto do que A;
III. A e B serem a mesma pessoa.
É(São) possível(is) apenas a(s) situação(ões):
A) I B) II 
C) III D) I e III 
E) II e III
107. A) Mostre que se a e b são números reais, então [a] + [b] ≤ [a + b].
B) Seja p um número primo e f(k) a quantidade de fatores 
p em k!. Sendo m e n números naturais, mostre que 
f(m) + f(n) ≤ f(m + n). 
108. Se n é um número natural maior que 1, então, de quantas 
maneiras podemos escrever n como soma de dois números 
naturais primos entre si?
109. Mostre que a soma dos quadrados de três inteiros consecutivos 
não pode terminar em 1 ou em 6.
110. Se as raízes da equação x2 + px + q = 0 são positivas, 
mostre que o mesmo ocorre com as raízes da equação 
qy2+ (p – 2rq)y + 1 – pr = 0, onde r é um número positivo. 
111. Na equação x2 – px + q = 0, os números p e q são inteiros 
positivos. Mostre que se essa equação tem duas raízes reais e 
iguais, então p é par.
112. (Torneio Harvard-MIT) Encontre a(s) solução(ões) real(is) da 
equação (x + y)2 = (x + 1)(y – 1). 
113. (OCM) Prove que não existem inteiros positivos a e b tal que 
b b
a a
2
2
+
+
 = 4. 
114. O valor de 
x x x x x x
x x x x x
3 2 3 2
3 2 3
3 1 1 3 1 1
3 1 1 3
+ + +  + − − − 
+ + +  − −
( ) ( )
( ) (( )x − − 1 1
2
 
 quando x = 
2 1
2 1
3
3
+
−
 é:
A) 1 B) 3/5 
C) 12/5 D) 5/3 
E) NDA
115. Quantos dígitos (base 10) possui S = 22 + 42 + 62 + 82 + ... + 1002?
A) 4 B) 5 
C) 6 D) 7 
E) 8
116. O resto na divisão por 1000 de 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... 
+ 2010 · 2011 é: 
A) 140 B) 240 
C) 340 D) 440 
E) NDA
117. Quantos inteiros positivos menores que 1000 são iguais a 6 
vezes a soma de seus dígitos? 
A) 0 B) 1 
C) 2 D) 4 
E) 12
ITA/IME – Pré-Universitário 8
Projeto rumo ao ita
118. Para quantos valores inteiros de x a função 
 f(x) = 
2010
9 5 2 3− − −| | |x
 está definida?
A) 0 B) 4
C) 8 D) 12
E) mais de 12
119. Que números a seguir são racionais? 
I. 2
2
2



II. 11 122 25
1
... ...
n n
���� ��
+
, n ∈ N
III. 93
IV. log
3
5
A) I 
B) I e II
C) I, II e III 
D) I, II, III e IV 
E) NDA
120. (EUA) Encontre o menor inteiro positivo n tal que 
n
2
 é um 
quadrado perfeito, 
n
3
 é um cubo perfeito e 
n
5
 é uma quinta 
potência perfeita.
121. (EUA) Seja n um inteiro positivo tal que 2n tem 28 divisores 
positivos e 3n tem 30 divisores positivos. Quantos divisores 
positivos tem 6n?
122. Para n inteiro positivo, definimos n! (lê-se “n fatorial”) como o 
produto de todos os inteiros positivos menores que ou iguais 
a n. Por exemplo, 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6. Se n! = 215 · 36 · 
53 · 72 · 11 · 13, então n é igual a:
A) 13 
B) 14 
C) 15 
D) 16 
E) 17
123. Analise as afirmações:
I. x + x e x x2 21 1+ + − são inversos, "x ∈ R.
II. x + x e x x2 21 1− − − são inversos, "x ∈ R.
III. x2 + x + 1 e x2 – x + 1 são inversos, "x ∈ R. 
IV. Todo número racional possui inverso. 
São verdadeiras:
A) I 
B) I e II
C) I, II e III 
D) NDA
124. Seja x um número real ou complexo para o qual x
x
+ =
1
1. 
O valor de x
x
6
6
1
+ é: 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5
125. Se x + y + z = 2, x2 + y2 + z2 = 3 e x3 + y3 + z3 = 4, então o valor 
de x5 + y5 + z5 é:
A) 6 B) −
1
3
 
C) 
35
6
 D) 
26
3
E) NDA
126. (Torneio Harvard-MIT) Sejam a, b, c números reais não 
nulos tais que a + b + c = 0 e a3 + b3 + c3 = a5 + b5 + c5. 
Encontre o valor de a2 + b2 + c2.
127. (Torneio Harvard-MIT/2008) Seja P(x) um polinômio mônico com 
grau 2008 tal que P(0) = 2007, P(1) = 2006, P(2) = 2005, ... , 
P(2007) = 0. Determine o valor de P(2008). Você pode usar 
fatoriais em sua resposta. 
Sugestão: Crie o polinômio Q(x) = P(x) + x – 2007
128. (Usamo) Determine todas as soluções inteiras de 
n4
1
 + n4
2
 + ... + n4
1 4
 = 1599. (Sugestão: Divisão por 16)
129. O produto dos números que aparecem nas alternativas 
incorretas dessa questão é um cubo perfeito. Assinale a 
alternativa correta.
A) 4 B) 8
C) 18 D) 54
E) 192
130. Se a razão entre as raízes da equação mx2 + nx + n = 0 é 
p
q
, 
então mostre que 
p
q
q
p
n
m
+ + = 0.
131. Se a e b são as raízes de x2 – 10cx – 11d = 0, e c e d são 
as raízes de x2 – 10ax – 11b = 0, então encontre o valor de 
a + b + c + d sabendo que a, b, c, d são números distintos.
132. O número a é racional se:
A) a4 é racional. B) a3 e a11 são racionais.
C) a8 e a6 são racionais. D) a 2 é irracional.
E) NDA
133. Sejam m, n, p números inteiros tais que m + n 2 + p 3 = 0. 
Mostre que m = n = p = 0.
134. Mostre que se a é uma raiz da equação 4x2 + 2x – 1 = 0, então 
4a3 – 3a é a outra raiz.
135. Determine o conjunto solução da equação 4 x 2 – 36
 x  + 45 = 0, onde  a  representa a parte inteira de a.
136. A soma dos algarismos do número 999 995
100
2...
 algarismos
� �� �� é:
A) 925 B) 905 
C) 916 D) 898 
E) 998
137. Sejam a, b e c números ímpares. Qual dos valores a seguir 
pode ser raiz da equação ax2 + bx + c = 0?
A) 0 B) 1 
C) 2 D) 3 
E) NDA
ITA/IME – Pré-Universitário9
Projeto rumo ao ita
138. Quantos pares de números inteiros m e n satisfazem 
m2 – n2 = 2011?
A) 0 B) 1 
C) 2 D) 3 
E) mais de 3
139. Defina n
k
n n n k
k



 =
−( ) − +( )
⋅ ⋅ ⋅
1 1
1 2
...
...
, sendo k um número natural. 
Assim, o menor valor de a tal que 2
1
2
4
a
⋅



 é um número inteiro é:
A) 7 B) 8 
C) 9 D) 10E) NDA
140. Se a, b e c são números naturais não nulos tais que c = 5a e 
b + 3c = 60, os possíveis valores de c são em número de:
A) 2 B) 3 
C) 4 D) 5 
E) 6
141. O menor inteiro positivo x para o qual 1260x = N3, sendo N 
um número inteiro, é:
A) 1050 B) 1260 
C) 12602 D) 7350 
E) NDA
142. Seja r um número real positivo tal que r
r
6
6
1
6+ = . 
O valor máximo de r
r
4
4
1
− é:
A) 14 B) –14 
C) 12 D) 6
3
2 
E) NDA
143. O número de maneiras de escrever 2010 como soma de dois 
números inteiros positivos primos entre si é:
A) 2009 B) 1004 
C) 502 D) 528 
E) 264
144. Suponhamos que p e q sejam os catetos de um triângulo 
retângulo e h, a altura relativa à hipotenusa do mesmo. 
Nessas condições, podemos afirmar que a equação 
2 2 1
02
p
x
h
x
q
− + = : 
A) não admite raízes reais.
B) admite uma raiz da forma m −1, sendo m real positivo.
C) sempre admite raízes reais.
D) admite uma raiz da forma − −m 1 sendo m real positivo.
E) NDA
145. A notação x significa o maior inteiro não maior que x. 
Por exemplo, 3, 5 = 3 e 5 = 5. O número de inteiros x entre 
0 e 500 para os quais x x−  
1
2
2
 = 10 é:
A) 17 B) 18 
C) 19 D) 20 
E) 21
146. Determine o conjunto solução da equação x = 1 – x, onde 
a representa a parte inteira de a.
147. Determine todas as triplas de números reais (x, y, z) que são 
solução da equação
4x4 – x2 ⋅ (4y4 + 4z4 – 1) – 2xyz + y8 + 2y4z4 + y2z2 + z8 = 0
148. Se f(x) = px2 + qx + r, sendo p, q, r números racionais e 
f : Z → Z, sendo Z o conjunto dos números inteiros. 
Então, p + q é:
A) inteiro negativo B) um inteiro
C) racional não inteiro D) r
E) NDA
149. A quantidade de inteiros positivos menores que ou iguais a 
1000 que são múltiplos de 5 e não são múltiplos de 7 é:
A) 172 B) 171 
C) 58 D) 57 
E) NDA
150. Suponha que f seja uma função tal que, para todo número 
real x:
I. f(x) + f(1 – x) = 11;
II. f(1 + x) = 3 + f(x).
Então, f(x) + f(-x) deve ser igual a:
A) 8 B) 9 
C) 10 D) 11 
E) 12
151. Seja f : Z
+
 → Z
+
 tal que f(mn) = mf(n) + nf(m), f(10) = 19, 
f(12) = 52 e f(15) = 26. Então, f(8) é igual a:
A) 12 B) 24 
C) 36 D) 48 
E) 60
152. A função f é definida para todos os pares ordenados 
(x, y) de inteiros positivos e tem as seguintes propriedades: 
f(x, x) = x, f(x, y) = f(y, x) e (x + y)f(x, y) = yf(x, x+ y). Qual é o 
valor de f(22, 55)?
A) 11 B) 22 
C) 55 D) 110 
E) NDA
153. O número de pares ordenados (m, n) de números inteiros 
positivos que são soluções da equação 
4 2
1
m n
+ = é:
A) 1 B) 2 
C) 3 D) 4 
E) mais de 4
154. Sejam p e q números inteiros e positivos tais que 
x2 – px + 2q = 0 tem duas raízes reais e iguais. Então, podemos 
afirmar que:
A) p é par 
B) p = q
C) q é ímpar
D) p e q são primos entre si
E) NDA
155. (EUA) Seja N o número de 0s consecutivos no final (à direita) 
da representação decimal do produto 1! 2! 3! 4! … 99! 100!. 
Encontre o resto quando N é dividido por 1000.
A) 124 B) 126 
C) 348 D) 485 
E) NDA
156. A quantidade de inteiros positivos menores que ou iguais a 
1000 que são múltiplos de 3 e não múltiplos de 7 é:
A) 191 B) 277 
C) 286 D) 312 
E) NDA
ITA/IME – Pré-Universitário 10
Projeto rumo ao ita
157. A soma dos algarismos do número 9 99 999 99 9
2011
+ + + +... ...��� é:
A) 2032 B) 2033 
C) 2034 D) 2035 
E) NDA
158. Qual dos números a seguir não é um quadrado perfeito?
A) 4044121
B) n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1, n ∈ Z
C) 11 122 25
1
... ...
n n
���� ��
+
, n ∈ Z
D) 11 144 4
2
... ...
n n
���� , n ∈ Z
E) NDA
159. A soma de todos os inteiros positivos n ≤ 100 para os quais 
n n−( )1
2
é um quadrado perfeito é:
A) 61 B) 60 
C) 12 D) 62 
E) 53
160. Em relação à equação do segundo grau x x2 1995
1
1995
0− + = , 
de raízes a e b, podemos afirmar que:
A) se a > b, então 1990 é o maior inteiro não maior que a.
B) 
1 1
α βn n+ nunca é inteiro, para todo inteiro n ≥ 1.
C) a3 + b3 é um inteiro que deixa resto 2 ao ser dividido por 5.
D) an + bn é inteiro para todo n natural.
E) NDA
161. O maior inteiro menor que ou igual a 3 2
3 2
31 31
29 29
+
+
é:
A) 4 B) 6 
C) 7 D) 8 
E) 9
162. Se a + b + c = 0, então a equação quadrát ica 
3ax2 + 2bx + c = 0 tem:
A) pelo menos uma raiz em (0, 1).
B) uma raiz em (2, 3) e a outra em (–2, –1).
C) raízes imaginárias.
D) raízes iguais.
E) NDA
163. Sejam a e b dois números inteiros não negativos. 
Então (2a + 2b)2 pode expressar-se como soma de duas 
potências distintas de 2, sempre que:
A) a = b 
B) a = 0 ou b = 0
C) |a – b| = 1
D) a e b são ambos potências de 2
E) nunca
164. Mostre que não existem números naturais distintos a, b, c, d 
tais que a3 + b3 = c3 + d3 e a + b = c + d.
165. Se f x
x x
x x
( ) = − +
+ +
≤1
1
3
2
2
, "x∈R, então o valor máximo de 
1 2 4
1 2 4
2
2
+ +
− +
x x
x x
 é:
A) 9 B) 6 
C) 3 D) 
3
2
 
E) NDA
166. Seja n o menor inteiro positivo tal que n é divisível por 20, 
n2 é um cubo perfeito e n3 é um quadrado perfeito. Qual é a 
quantidade de dígitos de n?
A) 3 B) 4 
C) 5 D) 6 
E) 7
167. Para a, b, c distintos, o valor da expressão 
1 1 1
a b a c b a b c c a c b−( ) −( ) + −( ) −( ) + −( ) −( ) é:
A) a + b + c. B) sempre 0.
C) abc. D) 3(a + b + C).
E) 
1
a b c+ +
 
168. 
A) Os Polinômios de Tchebyshev de 1ª espécie são 
definidos por T
n
 = cos[(n(arccosx)], n ≥ 1. Mostre que 
T
1
(x) = x, T
n+1
(x) = 2x ⋅ T
n
(x) – T
n–1
(x), para n ≥ 1. 
B) Os Polinômios de Tchebyshev de 2ª espécie são definidos 
por U x
sen n x
sen x
n ( ) = +( )( ) ( )
1 arccos
arccos
, n ≥ 1. Mostre que 
U
1
(x) = 2x, U
n+1
(x) = 2x ⋅ U
n
(x) – U
n–1
(x), para n ≥ 1.
Sugestão: 
A) Use T
n
(cos q) = cos(nq)
B) Use U
sen n
sen
n cosθ
θ
θ( ) =
+( ) 1
169. Se uma raiz da equação quadrática ax2 + bx + c = 0 é igual 
ao quadrado da outra, então:
A) a3 + bc(b + c) = 3abc
B) b3 + ac(a + c) = 3abc
C) c3 + ab(a + b) = 3abc
D) b3 + ac(a + c) = abc
170. A sequência de Fibonacci começa com 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 
21, ... (cada número a partir do terceiro é a soma dos dois 
números anteriores). A notação f
n
 significa o n-ésimo termo 
dessa sequência. Por exemplo, f
4
 = 3 e f
7
 = 13. Quantos dos 
termos f
38
, f
51
, f
150
, f
200
, f
300
 são ímpares e quantos dos termos 
f
48
, f
75
, f
196
, f
379
, f
1000
 são divisíveis por 3, respectivamente?
A) 2 e 3 B) 2 e 4
C) 3 e 3 D) 3 e 4
171. O menor inteiro positivo x para o qual 1260x = N3, onde N 
é um inteiro, é: 
A) 1050 B) 1260
C) 12602 D) 7350
E) 44100
172. O número de soluções inteiras positivas para 2(x + y) = xy + 7 é:
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) NDA
173. Dizemos que N é um número automórfico se o valor de 
N2 termina com a mesma sequência de dígitos que N. 
Por exemplo, 6 é automórfico pois 62 termina em 6. 
Quantos números automórficos de 2 dígitos (base 10) existem?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) mais de 3
ITA/IME – Pré-Universitário11
Projeto rumo ao ita
174. Se |x2 – 4| < N para todo x real tal que |x – 2| < 1, então:
A) o menor valor possível de N é 3.
B) o maior valor possível de N é 3.
C) o menor valor possível de N é 5.
D) o maior valor possível de N é 5.
E) N pode assumir qualquer valor.
175. O menor inteiro positivo n para o qual a diferença 
n n+ − −1 1 fica menor que 0,02 é:
A) 51 
B) 2500
C) 2501 
D) 2502
E) NDA
176. Sejam a e b números reais não nulos tais que b > 2a. A respeito 
da inequação ax2 – bx + b – a > 0 podemos garantir que:
A) sua solução é −∞( )∪ − +∞

; ;1
b a
a
.
B) sua solução é −∞
−


 ∪ +∞( ); ;
b a
a
1 .
C) existe a tal que a solução é 
b a
a
−


;1 .
D) existe a tal que a solução é 1;
b a
a
−


 .
E) NDA
177. Se x ∈ R e 4y2 + 4xy + x + 6 = 0, então o conjunto completo 
dos valores de x para os quais y ∈ R é:
A) (–∞; –2] ∪ [3; +∞)
B) (–∞; 2] ∪ [3; +∞)
C) (–∞; –3] ∪ [2; +∞)
D) [–3; 2] 
E) [–2; 3]
178. Se p e q são primos e x2 – px + q = 0 tem raízes inteiras 
positivas e distintas, então quais das seguintes sentenças são 
verdadeiras?
I. A diferença entre as raízes é ímpar;
II. Pelo menos uma raiz é um número primo;
III. p2 – q é primo;
IV. p + q é primo.
A) I apenas. B) II apenas.
C) II e III apenas. D) I, II e IV apenas.
E) todas.
179. O menor valor de k tal que k! termina em 100 zeros é:
A) 399 B) 401
C) 403 D) 405
E) NDA
180. Determine todos os valores de x para os quais (1999x – 99)3 = 
= (1234x – 56)3 + (765x – 43)3.
181. Determine os valores reais do parâmetro a para os quais existe 
pelo menos um número real x satisfazendo 1 4 2 2− ≥ +x a x .
182. Encontre todas as soluções reais de 13 4 34 4+ + − =x x . 
183. Se as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 são da forma 
k
k
+1
 
e 
k + 2
k +1
, então (a + b + c)2
 
é igual a:
A) b2 – 4ac B) b2 – 2ac
C) 2b2 – ac D) a2 + b2 + c2
E) NDA
184. A soma de todos os inteiros positivos n tais que 1 + 22 + 33 + 4n 
é um quadrado perfeito é:
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) maior que 4
185. Quantos inteiros de 10 a 99 (incluindo 10 e 99) tem a 
propriedade que a soma de seus dígitos é igual ao quadrado 
de um inteiro?
A) 13 B) 14
C) 15 D) 16
E) 17
186. Seja n um inteiro não negativo. Definimos os Polinômios 
de Tchebyshev por T
n
(x) = cos[n(arccosx)], –1 ≤ x ≤ 1. 
Podemos afirmar que:
A) T
5
(x) = 16x5 – 20x3 + 5x.
B) todas as raízes de T
3
(x) têm módulo menor que 
1
2
.
C) o conjunto-solução de T
2
(x) ≥ 0 é 
2
2
;∞




 .
D) o coeficiente líder de T
2012
(x) é 22012.
E) NDA 
187. Seja n um inteiro não negativo. Definimos os Polinômios 
de Tchebyshev por T
n
(x) = cos[n(arccosx)], –1 ≤ x ≤ 1. 
Analise as afirmações:
I. T
6
(x) = 32x6 – 49x4 + 19x2 - 1;
II. Todas as raízes de T
4
(x) são números irracionais;
III. O conjunto-solução de T
3
(x) ≥ 0 é 
2
2
;∞




 ;
IV. O coeficiente líder de T
2012
(x) é 22011.
Quantas são verdadeiras?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4 
188. Os Polinômios de Tchebyshev de 1ª espécie são definidos por 
T
n
(x) = cos[n(arc cos x)]
 
e os Polinômios de Tchebyshev de 2ª 
espécie são definidos por U
n
(x) = 
sen n arc x
sen arc x
+( ) ( ) 
( )
1 cos
cos
, 
n ≥ 1. Prove que T
n + 1
(x) = x · T
n
 (x) – (1 – x2) · U
n – 1
(x)
 
 e 
U
n
(x) = x · U
n – 1
 (x) + T
n
 (x), para n ≥ 1.
ITA/IME – Pré-Universitário 12
Projeto rumo ao ita
189. Um número complexo ζ é uma raiz primitiva n-ésima da 
unidade se, e somente se, ζn = 1 mas ζk ≠ 1 para cada inteiro 
k com 1 ≤ k ≤ n – 1. Isto é, n é o menor expoente para o qual 
a potência de ζ é 1. 
 O n-ésimo polinômio ciclotômico Q
n
(t) é o produto de todos 
os polinômios lineares (t – ζ), sendo ζ raiz n-ésima primitiva 
da unidade.
Analise as seguintes afirmações.
I. O grau de Q
n
 é j(n);
II. Toda raiz de Q
n
 é uma raiz n-ésima da unidade;
III. Q
4
(t) = t2 + 1;
IV. t6 – 1 = Q
6
(t)Q
3
(t)Q
2
(t)Q
1
(t).
Assim:
A) somente I e II são verdadeiras. 
B) somente I, II e III são verdadeiras. 
C) somente I, II e IV é falsa.
D) todas são verdadeiras. 
E) NDA
190. O grau do 2012o polinômio ciclotômico é:
A) um número ímpar.
B) 2012. 
C) 1506.
D) 1004. 
E) NDA
191. Para quantos valores inteiros do parâmetro p as raízes de 
x2 – 2px + p2 – 2 = 0 pertencem ao intervalo (0; 2)?
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
E) mais de 3
192. Seja y ax bx a b= − − +( ) 2
1
22 2 . Em qual dos casos abaixo 
y é real e diferente de zero?
A) a > 0, b > 0, –1 < x < 
a b
a
+
B) a > 0, b < 0, x = 
a b
a
+2
C) a > 0, b = 0, –1 < x < 1
D) a < 0, b = 3a, x < –1
E) a < 0, b = 2a, – 1 < x < 
a b
a
+
193. Em qual dos casos abaixo, vale a desigualdade 
 
x ax a
x a x a
2 2
2
2
2 2
0
− −
− + +
<
( )
:
A) a < 0, x < 2a 
B) a = 0, x > –a
C) a > 2, 2 < x < a 
D) a > 2, –a < x < 2
E) a > 2, x > 2a
194. O conjunto solução da desigualdade | x + 1 | – | x | ≤ x + 2 é:
A) [–3, 0] ∪ [1, 73]
B) {x ∈ R / x ≤ 0} ∪ [3, 15]
C) [–3, 0] ∪ {x ∈ R/ x ≥ 0}
D) {x ∈ R / – 5 < x < –1} ∪ {x ∈ R / 1 < x < 17}
E) [– 4, 2] ∪ [–2, 1]
195. A respeito da equação 3x2 – 4x + 3 4 62x x− − = 18 
podemos dizer que:
A) 
2 70
3
±
 são raízes.
B) a única raiz é x = 3.
C) a única raiz é x = 2 10+ .
D) tem 2 raízes reais e 2 imaginárias.
E) NDA
196. A respeito das raízes reais da equação x
x
x
x
2
2
3
3
3
2
+
−
+
= , 
podemos afirmar que:
A) são 3 e –3. B) são 3 e 3.
C) são 3 e 3. D) elas não existem.
E) NDA
197. A soma de todos os inteiros positivos n ≤ 150 para os quais 
n n −( )2
3 
é um quadrado perfeito:
A) é um múltiplo de 6. 
B) é um número primo. 
C) é menor que 17.
D) não é possível de calcular, pois não existem tais inteiros 
positivos.
E) NDA
198. Dois conjuntos finitos têm m e n elementos. O número total 
de subconjuntos do primeiro conjunto é 56 a mais que o 
número total de subconjuntos do segundo conjunto. Os valores 
de m e n são:
A) 3 e 6 B) 6 e 3
C) 5 e 1 D) 8 e 7
E) NDA
199. Sejam x e y inteiros positivos de dois dígitos com média 60. 
Qual é o valor máximo da razão x
y
?
A) 3 B) 
33
7
C) 
39
7 
D) 9
E) 
99
10
 
200. Encontre todas as soluções da equação (x – 1)3 + (x – 2)3 + 
+ (x – 3)3 + (x – 4)3 + (x – 5)3 = 0. 
201. Seja f : R → R uma função definida por f(x) = (x – a) (x – b) + 
+ (x – b) (x – c) + (x – c) (x – a), sendo 0 < a < b < c. 
Mostre que o valor mínimo de f não pode ser um número 
positivo.
202. O número de maneiras de escrever 2010 como soma de dois 
números inteiros positivos primos entre si é:
A) 2009 B) 1004
C) 502 D) 528
E) 264
203. A) Escreva 43 como soma de quatro números ímpares 
consecutivos. 
B) Demonstre que, para todo número inteiro positivo n, nk é 
a soma de n números ímpares consecutivos, sendo k um 
inteiro maior que ou igual a 2. 
ITA/IME – Pré-Universitário13
Projeto rumo ao ita
204. O intervalo de valores de m para os quais a equação 
(m – 5)x2 + + 2(m – 10)x + m + 10 = 0 tenha raízes reais com 
o mesmo sinal é dado por:
A) m > 10 B) –5 < m < 5
C) m < –10 ou 5 < m ≤ 6 D) m < 10
E) NDA
205. Se 1 está entre as raízes da equação 3x2 – 3x · sen a – 2cos2 
a = 0 e a ∈ [0, 2p], então a está no intervalo:
A) 0
2
,
pi


 B) 
pi pi
12 2
,




C) 
pi pi
6
5
6
,



 D) 
pi pi pi pi
6 2 2
5
6
, ,



 ∪




E) NDA
206. Se as raízes da equação x2 – 12kx + k2 + k – 5 = 0 são reais e 
menores que 5, então k está no intervalo:
A) (–∞, 4)
B) [4, 5]
C) [5, 6]
D) (6, +∞)
E) NDA
207. Sobre o número x = 17 12 2 2 2− − é correto afirmar que:
A) x é racional.
B) x2 é um número ímpar.
C) x + 4 2 é racional.
D) x é positivo. 
E) NDA
208. Sejam a, b, c ∈ Z+*. Prove que a2 + b2 + c2 é divisível por 4 se, 
e somente se, a, b, c são pares. 
209. Sejam x, y, z números reais tais que 
1
1
2
1xy
y
z x z
=
− +
=
+
. 
Prove que um desses números é a média aritmética dos 
outros dois. 
210. Mostre que 20 14 2 20 14 2 43 3+ + − = .
211. Simplificando S =
− − − −2 1
2
3 1
3
4 1
4
2012 1
20122
2
2
2
2
2
2
2
· · · ... · , 
obtemos:
A) 
2013
4024
 B) 
1
2
C) 
2011
4024 
D) 
1
4024
212. Se uma raiz da equação quadrática ax2 + bx + c = 0 é igual 
ao quadrado da outra, então:
A) a3 + bc(b + c) = 3abc B) b3 + ac(a + c) = 3abc
C) c3 + ab(a + b) = 3abc D) b3 + ac(a + c) = abc
213. Se o gráfico de f(x) = || x – 2 | – a | – 3 tem exatamente três 
interseções com o eixo x, então a é igual a:
A) 3 B) 4
C) 0 D) –3
214. A sequência de Fibonacci começa com 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 
21, ... (cada número a partir do terceiro é a soma dos dois 
números anteriores). A notação f
n
 significa o n-ésimo termo 
dessa sequência. Por exemplo, f
4
 = 3 e f
7
 = 13. Quantos dos 
termos f
38
, f
51
, f
150
, f
200
, f
300
 são ímpares e quantos dos termos 
f
48
, f
75
, f
196
, f
379
, f
1000
 são divisíveis por 3, respectivamente?
A) 2 e 3 B) 2 e 4
C) 3 e 3 D) 3 e 4
215. Determine para quais valores reais de x é verdadeira a 
desigualdade | x2 – 10x + 21 | ≤ | 3x – 15 |.
216. Determine a soma dos naturais positivos que, divididos por 
37, dão resto igual ao cubo do quociente.
217. Uma companhia telefônica oferece aos seus clientes 2 
planos diferentes de tarifas. No plano básico, a assinatura 
inclui 200 minutos mensais de ligações telefônicas. 
Acima desse tempo, cobra-se uma tarifa de R$ 0,10 por minuto. 
No plano alternativo, a assinatura inclui 400 minutos mensais, 
mas o tempo de cada chamada desse plano é acrescido de 
4 minutos, a título de taxa de conexão. Minutos adicionais no 
plano alternativo custam R$ 0,04. Os custos de assinatura dos 
dois planos são iguais e não existe taxa de conexão no plano 
básico. Supondo que todas as ligações durem 3 minutos, qual 
o número máximo de chamadas para que o plano básico tenha 
um custo menor ou igual ao do plano alternativo?
218. Os valores de a para os quais a equação 2x2 – 2(2a + 1)x + 
a(a – 1) = 0 tem raízes a e b tais que a < a < b satisfazem:
A) a ≥ 0 B) a < 0
C) –3 < a < 0 D) –2 < a < 0
E) NDA
219. Para quantos inteiros m o número 
2012
262m −
 é um número 
inteiro?
A) 1 B) 2 
C) 3 D) 4 
E) mais que 4
220. Sejam a
1
, a
2
, ..., a
n
 números reais. A expressão (a
1
 + a
2
 + ... + a
n
)2
 é igual a:
A) a ai
i
n
j
i
n
2
1 1
4
= =
∑ ∑+
 
B) a aai
i
n
i
j
n
j
i
n
2
1 11= ==
∑ ∑∑+ 




C) a
n
ai
i
n
j
i
n
2
1 1
2
= =
∑ ∑+ 


 
D) aai
j
n
j
i
n
==
∑∑




11
E) NDA
221. Se a + 2b + 5c = 0, a ≠ 0, então mostre que a equação 
3ax2 + 4bx + 5c = 0 sempre possui raízes reais distintas.
222. Prove que a equação an + 2010 · bn = cn + 1 tem infinitas soluções 
naturais a, b, c para todo inteiro positivo n.
223. Um palíndromo, como 83438, é um número que permanece 
o mesmo quando seus dígitos são invertidos. Os números 
x e x + 32 são palíndromos de 3 e 4 dígitos, respectivamente. 
Qual é a soma dos dígitos de x?
A) 20 B) 21
C) 22 D) 23
E) 24
ITA/IME – Pré-Universitário 14
Projeto rumo ao ita
GABARITO – EXERCÍCIOS dE fIXAçãO
Aula 1 – Revisão de Álgebra
01 02 03 04 05 06 07
* * * * * * *
08 09 10 11 12 13 14
* * * * E C
* 01: a = b = c = 0; a = 1, b = –2, c = 0; a = 1, b = c = –1
 02: f(x) = x + 1
 03: 1 5
2
+
 04: a) 72,2 b) 3
 05: x ∈ , x ≠ 6k + 1
 06: 364
 07: 
1
1
1
1
2101
−
−
a
a
, se a ≠ 1; 2101, se a = 1
 08: 84
 09: 153846
 10: I. 2k – 2 ⋅ 5k + 2, k ≥ 2
 11: (–∞, 0] ∪ {1}
GABARITO – EXERCÍCIOS pROpOSTOS
Aula 1 – Revisão de Álgebra
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
* * * C D A C * E E
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
* A * * A B * * * D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
E B * * C C C D B B
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
D D D A B * 0 * B B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
A C C B B * C D C A
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
* C * A * E E E D *
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
* B C A D E A B B E
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
* D A B A B * ∅ * *
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
B D C C D E A E A D
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
D B * D * 80 B A C A
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
A * D A B D * * * *
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
D * * D C D B E B *
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
35 D B B D * * * D *
131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
* B * * * D E E A B
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
D A E C B * * B A A
151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
C D D A A C C D D C
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170
D E C * C E B * B A
171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
D B C C C C A E D *
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190
* * A A E A C * D D
191 192 193 194 195 196 197 198 199 200
A E D C E D A B B *
201 202 203 204 205 206 207 208 209 210
* E * C D A C * * *
211 212 213 214 215 216 217 218 219 220
A B A A * 258 200 E D D
221 222 223
* * E
* 01: Demonstração
 02: Demonstração
 03: 2 ou –1
 08: {0, 7, 9, 25, 27, 34}
 11: a = b = 1
 13: Demonstração
 14: 2007
 17: Demonstração
 18: Demonstração
 19: y = x(x + 3) + 1
 23: Demonstração
 24: Demonstração
 36: Demonstração
 38: Demonstração
 46: Demonstração
 51: B) 6, 8; 7, 5; 
58
7
; 9, 125; 10
 53: q = 777 ⋅ A ⋅ 105 + 77, sendo A = 1000001000001...1 
(com 166 1’s) e r = 700
 55: ( ; ) ; ( , )−∞ − ∪ − −



 ∪ + ∞1 1
2
3
2
 60: Não
 61: pp
k
− 1, p primo, k ∈ IN
 71: –1 ≤ a ≤ 3 
 77: 2 2
11
3
≤ ≤a
ITA/IME – Pré-Universitário15
Projeto rumo ao ita
 79: −
−



 ∪
−



3
1 5
2
5 1
2
3, ,
 80: 2 1 3 2 1 3
2
5
5
3
5
2
5
5
3
5
, , , , , , , , , , ,− −( ) − − −( ) − −


−
−
−





 93: c = 0 ou 1
 95: Demonstração
 102: a = 1 ou a = 2
 107: Demonstração
 108: 
ϕ( )n
2
, se n > 2 e 1, se n = 2.
 109: Mostre que S só pode terminar em 0, 2, 4, 5, 7 ou 9.
 110: Demonstração
 111: Demonstração
 112: x = –1 e y = 1
 113: Demonstração
 120: n = 215 · 310 · 56 
 126: 
6
5
 127: 2008! – 1
 128: Não há solução inteira.
 130: Demonstração
 131: 1210
 133: Demonstração
 134: Demonstração
 135: S = ∅
 146: S = ∅
 147: (t2, t, t) ou (–t2, t, –t), t ∈ R
 164: Demonstração
 180: 99/1999, 43/765, 56/1234
 181: a ≤ 1
 182: 3 e –12
 188: Demonstração
 200: x – 3 = y · S = 3 3 6, ±{ }i
 201: Demonstração
 203: a) 13 + 15 + 17 + 19
 208: Demonstração
 209: Demonstração
 210: Demonstração
 215: [1, 4] ∪ [6, 9]
 221: Demonstração
 222: Demonstração
Anotações
AN – 15/03/13 – Rev.: TM
OSG.: 69250/13
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