Trigonometria

Prévia do material em texto

ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALCÁCER DO SAL
MATEMÁTICA – Exercícios de Exames e Testes Intermédios
11º Ano Ano Letivo de 2012/2013
Trigonometria
 1 Na figura está representado o quadrado 
•
•
• é a amplitude, em radianos, do ângulo 
•
Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de , 
por 
Exame Matemática A – 2012, 2ª Fase
 2 Na figura está representado um trapézio retângulo 
Sabe-se que:
•
•
• é a amplitude, em radianos, do ângulo 
•
Mostre que o perímetro do trapézio é dado, em função de , por 
Exame Matemática A – 2012, 1ª Fase
 3 Relativamente à figura 2, sabe-se que:
• o segmento de reta tem comprimento 
• o ponto é o ponto médio de 
• o segmento de reta é perpendicular a 
• o arco de circunferência tem centro em 
Admita que um ponto se desloca ao longo do arco , nunca coincidindo com nem 
com , e que um ponto se desloca ao longo do segmento de reta de tal forma que 
 é sempre perpendicular a 
Para cada posição do ponto , seja a amplitude, em radianos, do ângulo e seja 
 a área do triângulo 
Mostre que 
Teste Intermédio 12º ano – 24.05.2012
Página 1 de 16 http://mat.absolutamente.net 
 4 Seja um número real. Sabe-se que é uma solução da equação 
Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação ?
(A) (B) (C) (D) 
Teste Intermédio 11º ano – 09.02.2012
 5 Considere o triângulo representado na figura.
Sabe-se que:
•
•
Seja 
Qual das expressões seguintes representa , em função de ?
(A) (B) (C) (D) 
Teste Intermédio 11º ano – 09.02.2012
 6 Na figura está representado, num referencial o.n. , o círculo trigonométrico.
Sabe-se que:
• o ponto tem coordenadas 
• o ponto tem coordenadas 
Considere que um ponto se move sobre a 
circunferência.
Para cada posição do ponto , seja e seja 
, a amplitude, em radianos, do ângulo 
orientado cujo lado origem é o semieixo positivo e cujo lado extremidade é a semirreta 
Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.
 6.1 Mostre que 
Sugestão: Exprima as coordenadas do ponto em função de e utilize a fórmula da 
distância entre dois pontos.
 6.2 Resolva os dois itens seguintes tendo em conta que 
 6.2.1 Determine os valores de , para os quais 
 6.2.2 Para um certo valor de pertencente ao intervalo , tem-se 
 Determine , para esse valor de 
Teste Intermédio 11º ano – 09.02.2012
 7 Determine o valor de , sabendo que e que 
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Teste Intermédio 11º ano – 24.05.2011
Página 2 de 16 http://mat.absolutamente.net 
 8 Na figura estão representados, num referencial o.n. , uma circunferência e o triângulo 
.
Sabe-se que:
• é a origem do referencial;
• a circunferência tem centro no ponto e raio 
• é o ponto de coordenadas 
• pertence à circunferência e tem ordenada negativa;
• o ângulo tem amplitude igual a radianos.
Qual é a área do triângulo ?
(A) (B) (C) (D) 
Exame Matemática A – 2011, Época Especial
 9 Na figura está representado, num referencial o.n. , o círculo trigonométrico.
Sabe-se que:
• é o ponto de coordenadas 
• os pontos e pertencem ao eixo 
• é um diâmetro do círculo trigonométrico
• as retas e são paralelas ao eixo 
• é a amplitude do ângulo 
•
Qual das expressões seguintes dá o perímetro da região sombreada na figura?
(A) (B) 
(C) (D) 
Exame Matemática A – 2011, 2ª Fase
 10 Na figura está representado o círculo trigonométrico.
Sabe-se que:
• a reta é tangente à circunferência no ponto 
• a reta passa na origem do referencial e intersecta a reta 
no ponto , cuja ordenada é 
• o ponto , situado no terceiro quadrante, pertence à reta 
Seja a amplitude, em radianos, do ângulo orientado, assinalado 
na figura, que tem por lado origem o semieixo positivo e por 
lado extremidade a semirreta 
Qual é o valor de , arredondado às centésimas?
(A) (B) (C) (D) 
Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2011
Página 3 de 16 http://mat.absolutamente.net 
 11 Na figura está representada uma circunferência de centro no ponto e raio 
Sabe-se que:
• o ponto pertence à circunferência;
• os pontos , , e são colineares;
• o ponto está entre o ponto e o ponto 
• o ponto desloca-se ao longo da semirreta , nunca coincidindo com o ponto 
• é a distância do ponto ao ponto 
• para cada posição do ponto , o ponto é um ponto da circunferência tal que a reta 
 é tangente à circunferência;
• é a amplitude, em radianos, do ângulo , 
Seja a função, de domínio , definida por 
Sem recorrer à calculadora, mostre que 
Teste Intermédio 12º ano – 26.05.2011
 12 Considere, em , a equação trigonométrica 
Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução?
(A) (B) (C) (D) 
Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2011
 13 Sejam , e três números reais.
Sabe-se que:
•
•
•
Qual das expressões seguintes é equivalente a ?
(A) (B) (C) (D) 
Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2011
 14 Considere, num referencial o.n. , a superfície esférica , de equação
Para um certo valor de pertencente ao intervalo , o ponto , de coordenadas 
 pertence à superfície esférica 
Determine os valores numéricos das coordenadas do ponto 
Teste Intermédio 11º ano – 06.05.2010
Página 4 de 16 http://mat.absolutamente.net 
 15 Na figura , está representada, em referencial o.n. , a circunferência de centro em 
 e raio 
Os pontos e são os pontos de intersecção da circunferência com os semieixos positivos 
 e , respetivamente.
Considere que um ponto se desloca ao longo do arco , 
nunca coincidindo com o ponto , nem com o ponto
Para cada posição do ponto , sabe-se que:
• o ponto é o ponto do eixo tal que 
• a reta é a mediatriz do segmento 
• o ponto é o ponto de intersecção da reta com o 
eixo 
• é a amplitude, em radianos, do ângulo , 
Seja a função, de domínio , definida por 
Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.
 15.1 Mostre que a área do triângulo é dada por 
 15.2 Determine o valor de , pertencente ao intervalo , para o qual se tem 
 15.3 Seja um número real, pertencente ao intervalo , tal que 
 Determine o valor de 
Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2011
 16 Na figura, estão representados, num referencial o.n. , 
uma circunferência e o triângulo . 
Sabe-se que:
• a circunferência tem diâmetro ;
• o ponto tem coordenadas ;
• o vértice do triângulo coincide com a origem do referencial;
• o ponto desloca-se ao longo da semicircunferência superior.
Para cada posição do ponto , seja a amplitude do ângulo , com 
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, mostre que o perímetro do triângulo 
 é dado, em função de , por 
Exame Matemática A – 2010, 1ª Fase
Página 5 de 16 http://mat.absolutamente.net 
 17 Um depósito de combustível tem a forma de uma esfera.
As figuras representam dois cortes do mesmo 
depósito, com alturas de combustível distintas.
Os cortes são feitos por um plano vertical que 
passa pelo centro da esfera.
Sabe-se que:
• o ponto é o centro da esfera;
• a esfera tem metros de diâmetro;
• a amplitude , em radianos, do arco é igual à amplitude do ângulo ao centro 
 correspondente.
A altura , em metros, do combustível existente no depósito, em função de , por , de 
domínio 
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.17.1 Mostre que , para qualquer 
 17.2 Resolva a condição , 
Interprete o resultado obtido no contexto da situação apresentada.
Exame Matemática A – 2010, 2ª Fase
 18 Na figura está representado um triângulo retângulo , cujos catetos, e 
, medem unidades.
Considere que um ponto se desloca sobre o cateto , nunca 
coincidindo com nem com 
Para cada posição do ponto , seja a amplitude, em radianos, 
do ângulo 
Seja a função que, a cada valor de , faz corresponder o 
perímetro do triângulo Usando exclusivamente métodos analíticos, mostre que 
Teste Intermédio 12º ano – 19.05.2010
 19 Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a traço 
grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo 
Em qual das figuras esse ângulo pode ter radianos de amplitude?
 (A) (B) (C) (D)
Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2010
Página 6 de 16 http://mat.absolutamente.net 
 20 Considere a equação trigonométrica 
Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução?
(A) (B) (C) (D) 
Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2010
 21 Na figura está representado o quadrado de lado 
Considere que um ponto se desloca ao longo do lado , 
nunca coincidindo com o ponto , nem com o ponto 
Para cada posição do ponto , seja a amplitude, em radianos, do 
ângulo , 
Resolva os três itens seguintes, sem recorrer à calculadora, a não 
ser para efetuar eventuais cálculos numéricos.
 21.1 Mostre que a área da região sombreada é dada por 
 21.2 Determine o valor de para o qual a área da região sombreada é 
 21.3 Para um certo valor de , sabe-se que 
Determine, para esse valor de , a área da região sombreada.
Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2010
 22 Na figura está representado um triângulo inscrito numa 
circunferência de centro e raio igual a .
Um dos lados do triângulo é um diâmetro da circunferência.
Qual das expressões seguintes representa, em função de , a 
área da parte sombreada?
(A) (B) 
(C) (D) 
Exame Matemática A – 2009, 1ª Fase
 23 Na figura está representado, em referencial o.n. , o 
círculo trigonométrico.
Os pontos e pertencem à circunferência, sendo a reta 
paralela ao eixo . O ponto pertence ao eixo . O ângulo 
 tem de amplitude.
Qual é o perímetro do triângulo (valor aproximado às décimas) ?
(A) (B) (C) (D) 
Teste Intermédio 11º ano – 07.05.2009
Página 7 de 16 http://mat.absolutamente.net 
 24 A Inês olhou para o seu relógio quando este marcava 10 h e 45 min.
Passado algum tempo, ao ver novamente as horas, a Inês concluiu que o ponteiro dos 
minutos tinha rodado radianos.
Que horas marcava o relógio da Inês, neste último instante?
(A) 11 h e 15 min (B) 11 h e 45 min (C) 12 h e 15 min (D) 13 h e 45 min
Teste Intermédio 11º ano – 07.05.2009
 25 Considere a equação trigonométrica 
Num dos intervalos seguintes, esta equação tem apenas uma solução. Em qual deles?
(A) (B) (C) (D) 
Teste Intermédio 11º ano – 29.01.2009
 26 Na figura estão representados, em referencial o.n. 
• o círculo trigonométrico
• o raio deste círculo
• o arco de circunferência , de centro no ponto 
Tal como a figura sugere, o ponto pertence ao primeiro 
quadrante, os pontos e pertencem ao eixo e a reta 
 é perpendicular a este eixo.
Seja a amplitude do ângulo 
Qual é a abcissa do ponto ?
(A) (B) 
(C) (D) 
Teste Intermédio 11º ano – 29.01.2009
 27 Relativamente à figura junta, sabe-se que:
• o triângulo é retângulo
• o ponto pertence ao cateto 
• designa a amplitude, em radianos, do ângulo 
• e 
 27.1 Mostre que a área do triângulo é dada por 
 27.2 Determine o valor de para o qual a área do triângulo é igual a 
 27.3 Sabendo que e que , determine o valor de 
Teste Intermédio 11º ano – 29.01.2009
Página 8 de 16 http://mat.absolutamente.net 
 28 Na figura está representado, em referencial o.n. , um arco de 
circunferência , de centro na origem do referencial e raio igual a .
A reta tem equação 
O ponto pertence ao arco 
Seja a amplitude do ângulo 
Qual das expressões seguintes dá a distância do ponto à reta ?
(A) (B) (C) (D) 
Teste Intermédio 11º ano – 06.05.2008
 29 Seja 
Qual das expressões seguintes designa um número positivo?
(A) (B) 
(C) (D) 
Teste Intermédio 11º ano – 06.05.2008
 30 Na figura está representado o círculo trigonométrico.
Tal como a figura sugere, é a origem do referencial, 
pertence à circunferência, é o ponto de coordenadas 
 e é o ponto de coordenadas 
A amplitude, em radianos, do ângulo é 
Qual é o valor, arredondado às centésimas, da área do 
triângulo ?
(A) (B) (C) (D) 
Teste Intermédio 12º ano – 29.04.2008
 31 Na figura está representado um triângulo 
 com dois ângulos de amplitude e um 
ângulo de amplitude .
Qual das igualdades seguintes é verdadeira, para 
qualquer triângulo nestas condições?
(A) (B) 
(C) (D) 
Teste Intermédio 11º ano – 24.01.2008
 32 Seja um valor pertencente ao intervalo .
Qual das expressões seguintes designa um número real positivo?
(A) (B) 
(C) (D) 
Teste Intermédio 11º ano – 24.01.2008
Página 9 de 16 http://mat.absolutamente.net 
 33 Considere a equação 
Qual dos seguintes valores é solução desta equação?
(A) (B) (C) (D) 
Teste Intermédio 11º ano – 24.01.2008
 34 Na figura estão representadas, em referencial o. n. , uma reta 
 e uma circunferência com centro na origem e raio igual a 
Os pontos e pertencem à circunferência.
O ponto também pertence ao eixo das abcissas.
Admita agora que o ponto se desloca ao longo da 
circunferência, no primeiro quadrante.
Para cada posição do ponto , seja a amplitude do ângulo 
orientado cujo lado origem é o semieixo positivo e cujo lado 
extremidade é a semi-reta 
Seja o comprimento do segmento 
 34.1 Mostre que 
 34.2 Para uma certa posição do ponto , tem-se .
Sem recorrer à calculadora, determine, para este caso, o valor de .
Teste Intermédio 11º ano – 24.01.2008
 35 Indique as soluções da equação que pertencem ao intervalo .
(A) e (B) e (C) e (D) e 
Teste Intermédio 11º ano – 10.05.2007
 36 Na figura junta estão representados, em referencial o. n. :
• o círculo trigonométrico
• a reta , de equação 
• o ângulo, de amplitude , que tem por lado origem o 
semieixo positivo e por lado extremidade a semi-reta 
• o ponto , intersecção do prolongamento da semi-reta 
com a reta .
Como a figura sugere, a ordenada de é 
Sem recorrer à calculadora, determine o valor de 
Teste Intermédio 11º ano – 10.05.2007
Página 10 de 16 http://mat.absolutamente.net 
 37 Na figura está representado, em referencial o.n. , um arco 
, que está contido na circunferência de equação .
O ponto pertence ao eixo e o segmento de reta é 
perpendicular a este eixo.
 é a amplitude, em radianos, do ângulo .
Qual é a expressão que dá o perímetro da região sombreada, em função de ?
(A) (B) 
(C) (D) 
Exame Matemática A – 2006, 2ª Fase
 38 Na figura está representado o círculo 
trigonométrico e um triângulo .
O ponto desloca-se ao longoda circunferência, no 
primeiro quadrante.
O ponto desloca-se ao longo do eixo , de tal 
modo que o triângulo é sempre isósceles.
Sendo a amplitude, em radianos, do ângulo , 
qual das expressões seguintes dá a área do triângulo 
 , em função de ?
(A) (B) 
(C) (D) 
Teste Intermédio 11º ano – 19.5.2006
 39 Da amplitude de um certo ângulo orientado sabe-se que e .
Qual das expressões seguintes dá o valor de ?
(A) (B) 
(C) (D) 
Teste Intermédio 11º ano – 19.05.2006
 40 Sabe-se que é uma solução da equação 
Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação ?
(A) (B) (C) (D) 
Teste Intermédio 11º ano – 19.05.2006
Página 11 de 16 http://mat.absolutamente.net 
 41 Na figura está representado um trapézio retângulo 
, cujas bases têm e unidades de 
comprimento.
Considera que um ponto se desloca sobre o lado .
Para cada posição do ponto , seja a amplitude, em radianos, do ângulo .
Pretende-se determinar o valor de para o qual o segmento divide o trapézio em duas 
figuras com a mesma área.
Qual das equações seguintes traduz este problema? 
(A) (B) 
(C) (D) 
Exame Matemática A – 2003, 2 Fase
 42 Na figura está representado a sombreado um polígono 
Tem-se que:
• é um quadrado de lado 
• é um arco de circunferência de centro em ; o 
ponto move-se ao longo desse arco; em 
consequência, o ponto desloca-se sobre o 
segmento , de tal forma que se tem sempre 
• designa a amplitude, em radianos, do ângulo 
 42.1 Mostre que a área do polígono é dada, em função de , por 
 
Sugestão: pode ser-lhe útil considerar o trapézio 
 42.2 Determine e 
 Interprete geometricamente cada um dos valores obtidos.
 42.3 Recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que 
lhe permite resolver o seguinte problema:
Quais são os valores de para os quais a área do polígono é ?
Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, 
nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes 
de alguns pontos. Apresente os valores pedidos na forma de dízima, arredondados às 
décimas.
Exame Matemática A – 2003, 1ª Fase, 1ª Chamada
Página 12 de 16 http://mat.absolutamente.net 
 43 Considere uma circunferência e raio , tangente a uma reta . 
Um ponto começa a deslocar-se sobre a 
circunferência, no sentido indicado pela figura. 
Inicialmente, o ponto encontra-se à distância de 
 unidades da reta .
Seja a distância de a , após uma rotação de amplitude .
Qual das igualdades seguintes é verdadeira para qualquer número real positivo ?
(A) (B) 
(C) (D) 
Exame Matemática A – 2002, 2ª Fase
 44 Na figura estão representados, em referencial o. n. , o círculo 
trigonométrico e um triângulo .
Os pontos e pertencem à circunferência.
O segmento é perpendicular ao semieixo positivo . 
O ponto é o ponto de interseção da circunferência com o semieixo 
positivo .
Seja a amplitude do ângulo 
Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo , em função de ?
(A) (B) (C) (D) 
Exame Matemática A – 2002, 1ª Fase, 2ª Chamada
 45 Na figura está representada um quadrado de lado 
O ponto desloca-se sobre o lado , o ponto desloca-se sobre o 
lado , de tal forma que se tem sempre . 
Para cada posição do ponto , seja a amplitude do ângulo 
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, mostre que o do perímetro quadrilátero 
 é dado, em função de , por 
Exame Matemática A – 2002, 1ª Fase, 1ª Chamada
 46 Na figura está representado um triângulo retângulo , cuja 
hipotenusa mede .
Qual das expressões seguintes dá a área (em ) do triângulo 
, em função da amplitude, , do ângulo ?
(A) (B) (C) (D) 
Exame Matemática – 2000, Prova para Militares
Página 13 de 16 http://mat.absolutamente.net 
 47 Na figura está representado um lago artificial de forma retangular.
Pretende-se construir uma ponte, ligando duas margens do 
lago, entre os pontos e , tal como a figura ilustra.
A ponte tem um ponto de apoio , situado a de uma das 
margens e a da outra.
Seja a amplitude do ângulo 
 47.1 Mostre que o comprimento da ponte, em metros, é dado por 
 47.2 Considerando que a localização de e pode variar, determine o comprimento da 
ponte para o qual se tem 
Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas.
Exame Matemática A – 2001, Época Especial
 48 Na figura estão representado, em referencial o.n. :
• um quarto de círculo de centro na origem e raio 
• uma semirreta paralela ao eixo , com origem no ponto 
• um ponto pertencente a esta semirreta
• um ângulo de amplitude , cujo lado origem é o semieixo 
positivo e cujo lado extremidade é a semirreta 
Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada, em 
função de ?
(A) (B) (C) (D) 
Exame Matemática A – 2001, 1ª Fase, 2ª Chamada
 49 Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular.
Sabe-se que:
• A base da pirâmide tem centro e lado 
• é o ponto médio da aresta 
• designa a amplitude do ângulo 
Mostre que a área total da pirâmide é dada, em função de , por 
 
Exame Matemática A – 2001, 1ª Fase, 1ª Chamada
Página 14 de 16 http://mat.absolutamente.net 
 50 Considere a função , definida por 
 é um trapézio isósceles; os lados e são paralelos. 
Tem-se que:
•
•
Seja , a amplitude do ângulo do ângulo 
 50.1 Mostre que, para cada , a área do trapézio é igual a 
 50.2 Determine e interprete geometricamente o resultado obtido, caracterizando o 
quadrilátero que se obtém para 
Exame Matemática – 1999, Prova Modelo
 51 Na figura
• o triângulo é isósceles 
• é um retângulo
 e 
• designa a amplitude do ângulo 
Mostre que a área do triângulo é dada, em função de , por 
 
(Nota: Pode ser-lhe útil reparar que )
Exame Matemática – 1998, 2ª Fase
 52 A figura representa um canteiro de forma circular com de raio.
O canteiro tem uma zona retangular, que se destina à plantação de flores, e uma zona 
relvada, assinalada a sombreado na figura.
Os vértices , , e do retângulo pertencem à circunferência que 
limita o canteiro.
Na figura também estão assinalados:
• dois diâmetros da circunferência, e , que contêm os 
pontos médios dos lados do retângulo
• o centro da circunferência
• o ângulo , de amplitude 
Mostre que a área (em ) da zona relvada é dada, em função , por 
Exame Matemática – 1998, 1ª Fase, 2ª Chamada
Página 15 de 16 http://mat.absolutamente.net 
 53 Duas povoações e , distanciadas uma da outra, 
estão a igual distância de uma fonte de abastecimento de 
água, localizada em .
Pretende-se construir uma canalização ligando a fonte às duas 
povoações, como se indica na figura. A canalização é 
formada por três canos: um que vai da fonte até um ponto 
 e dois que partem de , um para e outro para . O ponto está a igual distância de 
e de .
Tem-se ainda que:
• o ponto , ponto médio de , dista de 
• é a amplitude do ângulo 
 53.1 Tomando para unidade o quilómetro, mostre que o comprimento total da 
canalização é dado por 
(Sugestão: Comece por mostrar que e que )
 53.2 Calcule e interprete o resultado obtido, referindo a forma da canalização e 
consequente comprimento.
Exame Matemática – 1998, 1ª Fase, 1ª Chamada
 54 Considere a função definida em por 
Mostre que, para qualquer , é a 
área de um triângulo , em que 
• é a amplitudedo ângulo ;
• ;
• é a altura relativa ao vértice ;
• .
Exame Matemática – 1998, Prova Modelo
Página 16 de 16 http://mat.absolutamente.net