apostilaA Geometria no ENEM

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A Geometria no ENEM. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ministrado por Cristiane Vinholes Jacomelli 
Coord. Prof.ª Dr.ª Edna Maura Zuffi 
 
 
 
OUTUBRO DE 2010 
 
 
 
 
 
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Índice 
 
 
Capítulo 1 – Por que devemos aprender Geometria? 5 
 
Capítulo 2 – Alguns conceitos de Geometria Plana 6 
2.1) Conceitos geométricos primitivos 6 
2.2) Simetria 7 
2.3) Isometria 9 
2.4) Polígonos 10 
2.5) Semelhança de figuras geométricas planas 12 
2.6) Relações Métricas no Triângulo Retângulo 15 
2.7) Medidas de comprimento de figuras planas 16 
2.8) Área das figuras geométricas planas 17 
2.9) Questões do ENEM envolvendo áreas de figuras planas 18 
 
Capítulo 3 – Geometria Espacial 22 
3.1) Sólidos Geométricos 22 
3.2) Estudo de Sólidos Geométricos 24 
3.2.1) Estudo do Prisma 24 
3.2.2) Paralelepípedo Retângulo e cubo 24 
3.2.3) Estudo da pirâmide 25 
3.2.4) Estudo do cilindro 27 
3.2.5) Estudo do cone 27 
3.2.6) Tronco de cone circular reto 29 
3.2.7) Estudo da esfera 29 
3.2.8) Questões do ENEM envolvendo volume 30 
 
Capítulo 4 – Geometria Analítica 
4.1) Distância entre dois pontos 36 
4.2) Calculando as coordenadas do ponto médio 36 
4.3) Estudando a reta no plano cartesiano 36 
4.4) Questões do ENEM 41 
 
Referências Bibliográficas 43 
 
Prefácio 
 
Nesta apostila abordaremos questões de Geometria que caíram nas provas do Exame 
Nacional do Ensino Médio. A partir delas, estudaremos as teorias envolvidas em suas 
resoluções. 
No primeiro capítulo, trataremos de uma pequena contextualização histórica do uso 
da Geometria desde a Antiguidade, ressaltando a importância da mesma para os estudantes 
de hoje. 
Em seguida, no segundo capítulo, iniciaremos com alguns conceitos de Geometria 
Plana, que envolvem figuras planas, polígonos, áreas e simetria. Também teremos a 
resolução de algumas questões do ENEM envolvendo tais conhecimentos. 
No capítulo seguinte, aprenderemos um pouco mais sobre os corpos no espaço, ou 
seja, trataremos de assunto da Geometria espacial como sólidos geométricos e cálculo do 
volume destes sólidos. Exploraremos como este assunto vem sendo abordado ao longo dos 
anos, nas provas do ENEM. 
Por fim, no quarto capítulo veremos, brevemente, alguns conceitos de Geometria 
Analítica que envolvem plano cartesiano e estudo de retas, seguidos de duas questões que 
caíram no ENEM. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entre dois espíritos iguais, postos nas mesmas condições, aquele que sabe geometria é 
superior ao outro e adquire um vigor especial. 
 (Pascal) 
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Capítulo 1: Por que devemos aprender Geometria? 
 
A palavra Geometria tem origem grega, formada pelos radicais GEO (terra) e 
METRIA (medida). Há 5.000 anos, era a ciência de medir terrenos, seus perímetros e suas 
áreas. Com o tempo tornou-se a parte da Matemática que estuda o espaço e as figuras que 
podem ocupá-lo. Está apoiada sobre alguns axiomas, postulados, definições, teoremas e 
corolários, sendo que essas afirmações e definições são usadas para demonstrar a validade 
de cada teorema. 
Neste minicurso, estudaremos algumas destas definições e propriedades que vão nos 
auxiliar a compreender e resolver questões que já apareceram nas provas do ENEM. 
A geometria está muito presente no nosso dia-a-dia. Olhe ao redor e veja quantas 
figuras geométricas fazem parte da sala de aula, da sua casa, dos objetos do nosso 
cotidiano, etc. Por isso, as idéias geométricas são muito utilizadas na arquitetura, 
engenharia e em muitas outras áreas do conhecimento humano. 
A geometria formal nasceu do desenho e foi criada pelos gregos, mas teve 
contribuições importantíssimas dos babilônicos e egípcios. A simples tarefa de levantar 
uma tenda no meio da floresta, talvez, obrigasse o ser humano a traçar algumas linhas no 
chão. Isso vale também para dividir terras férteis à beira dos rios, construir casas e templos, 
etc. 
Com o desenvolvimento da matemática, os desenhos começaram a não caber mais na 
tábua de argila, no papiro e, depois, nos papel. A precisão começou a ficar maior do que a 
capacidade de afiar do lápis: uma ponta mais grossa do que o estritamente necessário podia 
desvirtuar as coisas. No tempo das grandes navegações, usavam-se os compassos e as 
réguas para traçar o curso das caravelas e - até muito pouco tempo atrás - cartas náuticas 
ainda eram muito usadas. 
Como pudemos observar, a Geometria surgiu para solucionar problemas práticos e 
por isso ela é de extrema importância para todos nós. Além disso, trabalhando com 
geometria desenvolvemos nosso raciocínio lógico, nossa capacidade de abstração e de 
estabelecer relações. Por isso, ela vem sendo cobrada no Exame Nacional do Ensino Médio 
desde sua primeira edição. E são esses os objetivos que buscaremos alcançar no decorrer 
deste Minicurso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 2 – Alguns conceitos de Geometria Plana 
 
 Neste capítulo definiremos algumas idéias geométricas mais elementares que 
usaremos no decorrer das aulas. Mesmo que alguns conceitos não apareçam explícitos nas 
questões do ENEM, eles são utilizados intuitivamente para chegar à solução. 
 
2.1) Conceitos geométricos primitivos 
 
A Geometria baseia-se nos chamados conceitos geométricos primitivos, ou seja, 
aqueles que não admitem definição, isto é, os conceitos que são aceitos por serem óbvios 
ou convenientes para uma determinada teoria, mesmo que sem uma apresentação formal 
através de palavras. Normalmente, em Matemática, os conceitos primitivos servem de base 
para a construção de postulados (ou axiomas) que formarão, por sua vez, a estrutura lógica 
e formal da teoria. 
Os conceitos geométricos primitivos são os seguintes: 
 
2.1.1) Ponto: é o conceito geométrico primitivo fundamental. Euclides o definiu 
como "aquilo que não tem parte". Ou seja, para Euclides é o conceito de "parte", e não de 
"ponto", que é primitivo. Imagine o ponto o menor que você puder. Diz-se que o ponto não 
tem dimensão (é adimensional), ou seja, ele é tão ínfimo quanto quisermos, e não faz 
sentido mencionar qualquer coisa sobre tamanho ou dimensão do ponto. A única 
propriedade do ponto é a localização. Representa-se o ponto por uma letra maiúscula 
qualquer do alfabeto latino. 
2.1.2) Linha ou curva: Imagine um pedaço de barbante sobre uma mesa, formando 
curvas ou nós sobre si mesmo: este é um exemplo de linha. 
2.1.3) Reta: É uma linha infinita e que tem uma única direção. Uma reta é o 
caminho mais curto entre dois pontos quaisquer. 
2.1.4) Semi-reta: Enquanto a reta é infinita para os dois lados, a semi-reta é 
infinita numa direção e finita na outra. 
2.1.5) Segmento de reta: Enquanto a reta é infinita dos dois lados o segmento de 
reta termina em ambos os lados. 
2.1.6) Plano: Você pode imaginá-lo como uma folha de papel infinita. Um plano é 
uma superfície plana que se estende infinitamente em todas as direções. Para definir um 
plano precisamos de pelo menos três pontos ou um ponto e uma reta. Costuma-se 
representar os planos pelas letras do alfabeto grego como alfa, beta * 
2.1.7) Lugar geométrico: é um conjunto de pontos que satisfazem uma determinada 
propriedade. Um exemplo simples de lugar geométrico é a circunferência, que é o lugar 
geométrico de todos os pontos que guardam a mesma distância de um ponto chamado 
centro. 
2.1.8) Ângulo: Ângulo é a região de um plano concebida pela abertura de duas 
semi-retas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. A abertura do 
ângulo é uma propriedade invariante e é medida em radianos ou graus. 
 
 
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2.2) Simetria 
 
Um conceito bastante utilizado nas provas do ENEM é o de simetria, principalmente, 
ele aparece associado à arte. Veja a seguir o exemplo de uma questão. 
Escher, um grande artista holandês, nasceu em 1898 e faleceu em 1970, deixando 
uma obra original e extraordinária. Os conceitos da Matemática, aliados à sua mente 
artística, aparecem em seus desenhos de ilusões espaciais, de construçõesimpossíveis, nos 
quais a geometria se transforma em arte, ou a arte em geometria. Escher dedicou grande 
parte de seu tempo ao estudo das pavimentações do plano e trabalhou com a divisão regular 
do plano em figuras geométricas que se transfiguram, repetem-se, refletem-se e se 
rotacionam. Fundamentalmente, trabalhou com isometrias, as transformações no plano que 
preservam distâncias. No preenchimento de superfícies, Escher usava figuras concretas, 
perceptíveis e existentes na natureza, como pássaros, peixes, pessoas, répteis, etc. 
 
Observe o passo a passo de uma de suas gravuras em que utiliza peixes. 
Na construção dessa gravura, o artista recorreu principalmente à: 
a) translação. 
b) simetria axial. 
c) simetria em relação a um ponto. 
d) rotação. 
e) reflexão. 
Para responder tal questão, precisamos definir o que é simetria e cada uma das 
alternativas apresentadas. 
Em termos geométricos, considera-se simetria como a semelhança exata da forma em 
torno de uma determinada linha reta (eixo de simetria), ponto ou plano. Se, ao rodarmos a 
figura, invertendo-a, ela for sobreponível ponto por ponto, ela é simétrica. Dada uma 
imagem, a sua simétrica preservará o comprimento e o ângulo, mas nem sempre mantém a 
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direção e sentido das várias partes da figura (embora isso possa acontecer em alguns casos). 
Simetrias são encontradas, freqüentemente, na natureza: olhe para o seu corpo, olhe para as 
imagens em um espelho, olhe as asas de uma borboleta, as pétalas de uma flor ou uma 
concha do mar. Veja exemplos abaixo. 
 
 
Note que a reta que divide as figuras em pedaços semelhantes, é chamada de eixo de 
simetria. O eixo de simetria pode estar na vertical como nas figuras acima, na horizontal ou 
inclinado. 
Veja alguns tipos de simetria. 
 
2.2.1) Simetria Axial 
Simetrias axiais ou em relação a retas são aquelas onde pontos, objetos ou partes de 
objetos são a imagem espelhada um do outro em relação à reta dada, chamada eixo de 
simetria. O eixo de simetria é a mediatriz do segmento que une os pontos correspondentes. 
 
2.2.2) Simetria em relação a um ponto 
Dizemos que duas figuras são simétricas em relação a um ponto O, dito centro da 
simetria, quando cada um dos pontos de uma das figuras é o simétrico em relação à O, a um 
dos pontos da outra figura. 
 
 
2.3) Isometria 
A isometria é uma transformação geométrica que, aplicada a uma figura geométrica, 
mantém as distâncias entre pontos. Ou seja, os segmentos da figura transformada são 
geometricamente iguais aos da figura original, podendo variar a direcção e o sentido. Os 
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ângulos mantêm também a sua amplitude. Existem isometrias simples e isometrias 
compostas. As isometrias simples podem ser rotações, translações e reflexões. 
 
2.2.3) Translação 
Transladar um objeto significa movê-lo sem girá-lo ou refletir. Cada translação tem 
um sentido e uma distância. Neste movimento, todos os pontos sofrem um deslocamento de 
mesma medida, na mesma direção. Ou seja, translação é o deslocamento paralelo em linha 
reta de um objeto ou figura. 
 
 
2.2.4) Reflexão 
Refletir um objeto é como reproduzir sua imagem no espelho. A distância de um 
ponto ao espelho é igual à distância da imagem desse ponto ao espelho. Além disso, a 
imagem refletida no espelho é inversa à original, ou seja, a reflexão altera a orientação dos 
pontos do plano. O eixo de reflexão pode ou não interceptar a figura. 
 
 
 
 
2.2.5) Rotação 
A rotação possui um ponto, onde todos os pontos do plano movimentam-se rodando a 
mesma medida em torno deste, que se chama ponto central. Por isso, é também conhecida 
como simetria central. 
 
 
Você nota alguma semelhança entre as definições citadas? Agora que você conhece 
um pouco mais sobre simetria, tente responder a questão inicial. 
 
 
 
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2.4) Polígonos 
 
 Polígonos são figuras fechadas formadas por segmentos de reta, sendo 
caracterizados pelos seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados. A figura é 
nomeada de acordo com o número de lados. Por exemplo, se a figura tem três lados é um 
triângulo, se tem quatro é um quadrilátero, se tem cinco é um pentágono e assim por diante. 
 
2.4.1) Polígonos convexos. 
 São aqueles que não possuem nenhum ângulo interno maior que 180º. Por exemplo: 
 
2.4.2) Polígonos côncavos ou não-convexos. 
 
 Caso um polígono tenha um ângulo maior que 180º graus, será classificado como 
côncavo ou não-convexo. Por exemplo: 
 
 
 
2.4.3) Polígonos Regulares e Irregulares. 
Todo polígono regular possui os lados e os ângulos com medidas iguais. 
 
Um polígono irregular é aquele que não possui os ângulos com medidas iguais e os 
lados não possuem o mesmo tamanho. 
 
 
 
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(ENEM-2002) 15 - Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou 
azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não 
são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, 
sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras: 
 
 
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas 
de seus ângulos internos. 
 
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos 
entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a 
forma de um: 
 
(A) triângulo. (B) quadrado. (C) pentágono. (D) hexágono. (E) eneágono. 
 
 
2.5) Semelhança de figuras geométricas planas 
 
 Um conceito muito utilizado em Geometria é a idéia de figuras semelhantes, ele 
vem sendo utilizado desde a Antiguidade. Uma ampliação, uma redução e até uma 
congruência são exemplos claros de semelhança. 
 Para que duas ou mais figuras sejam semelhantes, duas condições são necessárias: 
• Os ângulos correspondentes devem ser iguais. 
• Os comprimentos correspondentes devem ser proporcionais. 
Entre as figuras geométricas planas que são sempre semelhantes, temos todos os 
círculos e todos os quadrados. E entre as que nem sempre são semelhantes temos os 
retângulos, triângulos e demais polígonos. 
 
2.5.1) Feixe de paralelas 
 
Um conjunto de retas de um plano, paralelas entre si, denomina-se feixe de paralelas. 
A reta que corta as retas do feixe é denominada transversal. 
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Retas paralelas são aquelas que mantêm sempre a mesma distância entre si. Assim, 
duas retas paralelas estão no mesmo plano e não se interceptam. 
 
Feixe de retas paralelas a//b//c//d//e 
 
2.5.2) Teorema de Tales 
 O teorema de Tales diz o seguinte: “Um feixe de paralelas determina, em duas 
transversais quaisquer, segmentos proporcionais.”. 
 
Aplicando o Teorema de Tales, pode-se determinar o valor dos segmentos AB e BC 
na ilustração. Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte 
situação
´´
´´
CB
BA
BC
AB
= ou 
´´
´´
CB
CA
BC
AC
= . 
 
2.5.3) Teorema da bissetriz interna 
“A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina sobre o lado oposto 
segmentos proporcionais aos lados pertencentes aos do ângulo considerado”. 
Uma bissetriz é uma semi-reta que divide um ângulo geométrico em outros dois 
consecutivos e de mesma medida. 
 
OC é a bissetriz do ângulo AÔB 
 
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Dado um triângulo ABC, fazendo uma bissetriz interna do ângulo A que determina 
sobre o segmento BC um ponto S, tem-se que os segmentos BS e SC formados por este 
ponto que são diretamente proporcionais aos lados AB e AC, respectivamente. 
 
 
 
2.5.4) Triângulos Semelhantes 
 Dois triângulos são semelhantes quando os ângulos e os lados do primeiro triângulo 
estão em correspondência com os ângulos e lados do segundo triângulo, de tal forma que 
seus ângulos sejam iguais e os lados do primeiro sejam proporcionais aos lados do segundo. 
 
1ª propriedade: Se dois triângulos são semelhantes, então os lados de um são 
proporcionais aos lados homólogos do outro. 
 
Razão de semelhança k = 
f
c
e
b
d
a
== 
 
2ª propriedade (teorema fundamental da semelhança):Toda reta paralela a um lado 
de um triângulo, e que encontra os outros dois lados em pontos distintos, determina com 
esses lados um triângulo semelhante ao primeiro. 
 
Como r// AB , temos que DÂ ˆ≅ (ângulos correspondentes) 
 EB ˆˆ ≅ (ângulos correspondentes) 
 CC ˆˆ ≅ (ângulos correspondentes) 
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 Agora que você conheceu um pouco sobre semelhança de figuras geométricas. 
Tente resolver as seguintes questões do ENEM do ano de 1998 e de 2009. 
(ENEM-1998) 10 - A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. 
No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais 
tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir: 
(A) 30 cm 
(B) 45 cm 
(C) 50 cm 
(D) 80 cm 
(E) 90 cm 
 
(ENEM–2009) 154 - A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma 
altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 
metros e alcançou uma altura de 0,8 metros. 
A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais 
alto da rampa é: 
A) 1,16 metros. 
B) 3,0 metros. 
C) 5,4 metros 
D) 5,6 metros. 
E) 7,04 metros. 
 
2.6) Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
 
Considere o triângulo ABC abaixo: 
 
Definiremos agora as seguintes medidas: 
 AB = cateto de medida c. 
AC = cateto de medida b. 
BC = hipotenusa de medida a. 
h = altura relativa à hipotenusa. 
m = projeção do cateto b sobre a hipotenusa. 
n = projeção do cateto c sobre a hipotenusa. 
 Entre as medidas desses elementos podemos estabelecer relações de igualdade, que 
são chamadas relações métricas no triângulo retângulo. 
 
 15
2.6.1) Teorema de Pitágoras 
Em um triângulo retângulo, a medida da hipotenusa ao quadrado é igual à soma das 
medidas dos catetos ao quadrado: 
a2 = b2 + c2 
 Como a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo ABC em dois triângulos 
semelhantes a ele e entre si, podemos obter através da semelhança de triângulos as 
seguintes relações: 
 
I - Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura é igual ao produto da 
medida dos segmentos que representam as projeções dos catetos sobre a hipotenusa: 
h2 = m.n 
 II - Em um triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto 
da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa. 
b.c = a.h 
III - Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao 
produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto. 
b2 = a.m 
c2 = a.n 
 
2.7) Medidas de comprimento de figuras planas. 
 
2.7.1) Perímetro de um Polígono. 
Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados. 
 
2.7.2) Comprimento da Circunferência. 
Seja a circunferência da figura: 
 
 
1º) Suponhamos ser possível adaptar, sobre ela, um fio qualquer, fechado. 
2º) Cortando esse fio e esticando-o, obtemos o segmento AB . 
 
A medida do segmento AB denomina-se medida da circunferência ou o comprimento 
de AB é o comprimento da circunferência. 
Quando dividimos o comprimento C da circunferência pelo seu diâmetro (2r), 
obtemos uma constante. 
Esta constante é um número irracional de valor 3,1415692..., que é indicado pela letra 
grega π , e se escreve: 
rrC
r
C
.22
2
πππ ==⇒= 
 
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Baseado nestas idéias, responda as questões a seguir: 
 
(ENEM – 1998) 29- Quando se dá uma pedalada na bicicleta ao lado (isto é, quando 
a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada 
percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento de um círculo de raio R é igual a 
2π R, onde π ≈3? 
A) 1,2 m 
(B) 2,4 m 
(C) 7,2 m 
(D) 14,4 m 
(E) 48,0 m 
 
(ENEM – 2002) 55 - As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à 
linha do equador e em pontos diametralmente opostos no globo terrestre. Considerando o 
raio da Terra igual a 6370 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em 
média 800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em 
aproximadamente: 
a) 16 horas. b) 20 horas. c) 25 horas. d) 32 horas. e) 36 horas. 
 
2.8) Área das figuras geométricas. 
Quando medimos superfícies tais como um terreno, ou o piso de uma sala, ou ainda 
uma parede, obtemos um número que é a sua área. 
Logo, área é um número real, maior ou igual a zero, que representa a medida de uma 
superfície. 
Para medir uma superfície, escolhemos uma unidade cuja área é 1 e a comparamos 
com a superfície a ser medida. 
 
2.8.1) Área do retângulo. 
 
A área de uma região retangular de comprimento b e largura h (ou base b e altura h) é 
dada por (b x h) unidades de área, ou seja: A = b x h. 
 
 17
 
 
2.8.2) Área da região quadrada. 
A área de um quadrado é similar a de um retângulo, já que o quadrado é um retângulo 
com os quatro lados iguais. Assim a área do quadrado será definida como: A = L x L = L2. 
 
2.8.3) Área da região triangular. 
Um triângulo é como se fosse a metade de um retângulo. Assim a área será definida 
como: 
2
hb×
 
 
2.8.4) Área de um trapézio. 
 
 
Como área do trapézio temos que 
2
)( 21 hbb ×+ 
 
2.8.5) Área do círculo. 
A área de um círculo de raio r é dada por: 2rA ⋅= π 
 
2.9) Questões do ENEM que envolvem área de figuras planas. 
 
(ENEM – 2009) 141- O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas 
residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como 
área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que AB = BC/2, 
Antônio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de 
acordo com o desenho, no qual AE = AB/5 é o lado do quadrado. 
 
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado 
pela condição se ele: 
A) duplicasse a medida do lado do quadrado. 
B) triplicasse a medida do lado do quadrado. 
C) triplicasse a área do quadrado. 
 18
D) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%. 
E) ampliasse a área do quadrado em 4%. 
(ENEM – 2009) 169 - A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação 
constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para 
controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de 
um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da 
água é de 1.050 m3/s. O cálculo da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A do setor 
transversal (por onde passa a água), em m2, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou 
seja, Q = Av. 
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, 
para evitar a ocorrência de enchentes. 
 
 
Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para 
depois da reforma na canaleta? 
A) 90 m3/s 
B) 750 m3/s 
C) 1050 m3/s 
D) 1512 m3/s 
E) 2009 m3/s 
 
 
(ENEM – 2001) 27 - Um município de 628 km2 é atendido por duas emissoras de 
rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10 km do município, conforme mostra a 
figura: 
 
 19
Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade que 
um morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se na área de alcance 
de pelo menos uma das emissoras. Essa probabilidade é de, aproximadamente: 
a) 20%. b) 25%. c) 30%. d) 35%. e) 40%. 
 
(ENEM – 2002) 22 - Um terreno com o formato mostrado na figura foi herdado por 
quatro irmãos e deverá ser dividido em quatro lotes de mesma área. Um dos irmãos fez 
algumas propostas de divisão para que fossem analisadas pelos demais herdeiros. Dos 
esquemas abaixo, onde lados de mesma medida têm símbolos iguais, o único em que os 
quatro lotes não possuem, necessariamente, a mesma área é: 
 
 
 
 
 
(ENEM – 2004) 12 - Um leitor encontra o seguinte anúncio entre os classificados de 
um jornal: 
VILA DAS FLORES 
Vende-se terreno plano medindo 200 m2. 
Frente voltada para o sol no período da manhã. 
Fácil acesso. (443)0677-0032Interessado no terreno, o leitor vai ao endereço indicado e, lá chegando, observa um 
painel com a planta a seguir, onde estavam destacados os terrenos ainda não vendidos, 
numerados de I a V: 
 
 20
Considerando as informações do jornal, é possível afirmar que o terreno anunciado é: 
 
(A)I. (B) II. (C) III. (D) IV. (E) V. 
(ENEM – 2000) 45 - Em uma empresa, existe um galpão que precisa ser dividido em 
três depósitos e um hall de entrada de 20 m2, conforme a figura abaixo. Os depósitos I, II e 
III serão construídos para o armazenamento de, respectivamente, 90, 60 e 120 fardos de 
igual volume, e suas áreas devem ser proporcionais a essas capacidades. 
 
 
A largura do depósito III dever ser, em metros, igual a: 
(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. (E) 5. 
 
(ENEM – 2007) 7- Na literatura de cordel, os textos são impressos, em geral, com 8, 
16, 24 ou 32 páginas de formato 10,5 cm x 15,5 cm. As razões históricas que explicam tal 
fato estão relacionadas à forma artesanal como são montadas as publicações e ao melhor 
aproveitamento possível do papel disponível. 
 
 
 
Considere, abaixo, a confecção de um texto de cordel com 8 páginas (4 folhas): 
Utilizando o processo descrito acima, pode-se produzir um exemplar de cordel com 
32 páginas de 10,5 cm x 15,5 cm, com o menor gasto possível de material, utilizando uma 
única folha de 
 (A) 84 cm x 62 cm 
 (B) 84 cm x 124 cm 
 (C) 42 cm x 31 cm 
 (D) 42 cm x 62 cm 
 (E) 21 cm x 31 cm 
 
( ENEM - 2004 )15 - Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para 
tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. 
Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas. 
 
 21
 
As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas 
dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem 
reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que: 
 
(A) a entidade I recebe mais material do que a entidade II. 
(B) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III. 
(C) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III. 
(D) as entidade I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III. 
(E) as três entidades recebem iguais quantidades de material. 
 
(ENEM – 2005) 42 - Um pátio de grandes dimensões vai ser revestido por pastilhas 
quadradas brancas e pretas, segundo o padrão representado ao lado, que vai ser repetido em 
toda a extensão do pátio. 
 
 
 
As pastilhas de cor branca custam R$ 8,00 por metro quadrado e as de cor preta, R$ 
10,00. O custo por metro quadrado do revestimento será de 
(A) R$ 8,20. (B) R$ 8,40. (C) R$ 8,60. (D) R$ 8,80. (E) R$ 9,00. 
 
(ENEM – 2009) 164 - Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um 
terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por 
um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado 
o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade 
de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a 
figura. 
 22
 
 
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que 
coube a João corresponde, aproximadamente, a: 
(considere 
3
3
= 0,58) 
A) 50%. 
B) 43%. 
C) 37%. 
D) 33%. 
E) 19%. 
 
 
Capítulo 3 – Geometria Espacial 
 
A Geometria espacial funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) 
e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais. Ela estuda, por 
exemplo, os sólidos geométricos e cálculo de seus volumes. 
 
3.1) Sólidos Geométricos 
Denominam-se sólidos geométricos os objetos sólidos do espaço tridimensional, ou 
seja, que não podem estar contidos exclusivamente em um plano. Entre eles, destacamos, 
pelo seu interesse, os poliedros e os corpos redondos. 
 
3.1.1) Poliedros 
Denomina-se poliedro o sólido limitado por polígonos planos que têm, dois a dois, 
um lado comum. Podemos citar como exemplos: 
 23
 
Os polígonos são denominados faces do poliedro. 
Os lados e os vértices dos polígonos denominam-se, respectivamente, arestas e 
vértices do poliedro. 
Um poliedro se diz convexo se, em relação a qualquer de suas faces, ele está todo 
situado num mesmo semi-espaço determinado por esta face. 
 
 Convexo Não convexo 
Os poliedros convexos possuem nomes especiais, de acordo com o número de faces: 
• Tetraedro = Quatro faces 
• Pentaedro = Cinco faces 
• Hexaedro = Seis faces 
• Heptaedro = Sete faces 
• Octaedro = Oito faces 
• Decaedro = Dez faces 
• Dodecaedro = Doze faces 
• Icosaedro = Vinte faces 
 
3.1.2) Poliedros regulares 
Na Geometria Plana, dizemos que um polígono é regular quando todos os seus lados 
são congruentes, assim como todos os seus ângulos. 
Daí, então, um poliedro convexo se diz regular se suas faces são regiões poligonais 
regulares, todas com o mesmo número de lados, e se em todo vértice do poliedro converge 
o mesmo número de arestas. 
 24
 
 
3.1.3) Relações de Euler 
Consideremos um poliedro convexo no qual designamos: 
V = número de vértices; A = número de arestas; F = número de faces. 
Temos que: “Em todo poliedro convexo, o número de arestas mais 2 é igual ao 
número de vértices mais o número de faces.” 
A + 2 = V + F 
 
3.2) Estudo de Sólidos Geométricos 
 
3.2.1) Estudo do Prisma 
Os prismas são poliedros convexos que têm duas faces paralelas e congruentes 
(chamadas bases) e as demais faces em forma de paralelogramos (chamadas faces laterais). 
Assim temos: 
 
Num prisma destacamos: 
• As arestas das bases 
• As arestas laterais 
• Altura do prisma: que é a distância entre os planos que contêm as bases. 
 
Quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases, o prisma se 
diz reto; neste caso, as faces laterais são retângulos congruentes. 
Note que, num prisma reto, as arestas laterais têm a mesma medida da altura do 
prisma. 
Um prisma será regular quando for reto e sua base for um polígono regular. No 
caso de as arestas laterais serem inclinadas em relação aos planos das bases, o prisma se 
diz oblíquo. 
 
I) Área da superfície de um prisma 
Vamos considerar: 
• Área da base (Sb) 
 25
• Área lateral (SL) 
• Área total (St) 
Assim, para encontrar a área da superfície de um prisma é preciso achar a área de 
cada uma de suas faces e somar para encontrar a área total St. 
 
II) Volume de um prisma 
Sendo B a área da base e h a medida da altura de um prisma, o volume V desse 
prisma é dado por: 
V = B.h 
 
3.2.2) Paralelepípedo Retângulo e Cubo. 
Entre os principais prismas, destacam-se o paralelepípedo retângulo e o cubo. 
 
 
 
I) Paralelepípedo Retângulo 
Este sólido tem as seis faces retangulares e são inúmeros os objetos que têm sua 
forma. 
 
Tente localizar alguns ao seu redor. Ele também pode ser chamado de ortoedro ou 
bloco retangular. 
As dimensões de um paralelepípedo retângulo são chamadas comprimento, largura 
e altura. Assim, tente deduzir as fórmulas para calcular: 
• Diagonal: 
• Área total: 
• Volume: 
 
II) Cubo 
O cubo tem as seis faces quadradas. Que objetos tem essa forma? 
 
Assim como você fez para o paralelepípedo retângulo, tente encontrar as 
fórmulas para calcular: 
• Diagonal: 
 26
• Área total: 
• Volume: 
3.2.3) Estudo da pirâmide 
As pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal e as faces laterais são 
regiões triangulares, conforme podemos verificar na figura abaixo. 
 
 
I) Pirâmide reta e pirâmide regular 
Uma pirâmide se diz reta quando a projeção ortogonal do vértice cai no centro da 
base. 
Uma pirâmide se diz regular quando for reta e sua base for um polígono regular. 
Numa pirâmide regular as arestas laterais são congruentes e as faces laterais são triângulos 
isósceles congruentes. 
A altura de uma face lateral é chamada apótema da pirâmide e sua medida será 
indicada por g. 
 
II)O tetraedro 
O sólido que possui no total, quatro faces é chamado tetraedro. O tetraedro nada 
mais é do que uma pirâmide de base triangular. 
Quando todas as faces do tetraedro são triângulos equiláteros, ele se diz regular. 
 
III) Volume de uma pirâmide 
O volume de qualquer pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela 
medida da altura, ou seja: V = hSb3
1
 
IV) Tronco de pirâmide regular (bases paralelas) 
 27
Consideremos agora, o sólido constituído pela base da pirâmide, uma secção 
transversal e os pontos compreendidos entre a base e a secção transversal. Esse sólido é 
denominado tronco de pirâmide de bases paralelas, em que destacamos: 
 
• As bases do tronco são: a base da pirâmide e a secção; 
• As faces laterais são trapézios; 
• A distância entre as bases do tronco chama-se altura do tronco, que 
chamaremos de k. 
• Seu volume é dado por V = ).(
3
bbBB
k
++ . Sendo B a base maior 
e b a base menor. 
 
3.2.4) Estudo do cilindro 
 
Denomina-se cilindro reto, ou de revolução, o sólido obtido quando giramos, em 
torno de uma reta, uma região retangular. A distância entre as bases chama-se altura do 
cilindro. Todo segmento paralelo ao eixo que tem suas extremidades nas circunferências 
das bases chama-se geratriz do cilindro. 
 
 
I) Área da base (Sb) 
É a área do círculo de raio r. Logo, Sb =π r2 
 
II) Área lateral (SL) 
Se abrirmos um cilindro podemos planificar a face lateral ficando com um 
retângulo de lados 2πr (comprimento da circunferência da base) e h. 
Assim, a área lateral será: SL = 2π h. 
 
III) Área Total 
A área total será a soma das áreas lateral e das duas bases. 
Portanto: St = 2π rh + 2π r2 = 2π r (h+r) 
 28
 
IV) Volume 
O volume de um cilindro é definido como a área da base multiplicado pela altura. 
Então, num cilindro circular reto de raio r e altura h, temos: 
V = Sb.h 
V = π r2h 
 
3.2.5) Estudo do cone 
Denomina-se cone reto, ou de revolução, o sólido obtido quando giramos em torno de 
uma reta uma região triangular cujo contorno é um triângulo retângulo. 
 
• O círculo C é a base do cone e seu raio r é chamado raio do cone. 
• A distância entre o vértice e o plano da base é a altura do cone, e sua medida 
é expressa por h. 
• A reta que passa pelo vértice V e o centro O da base chama-se eixo do cone. 
• Se P é um ponto da circunferência da base, então o segmento VP é chamado 
geratriz (g). 
 
I) Área da base (Sb) 
Idem ao cilindro. 
 
II) Área lateral (SL) 
Abrindo-se um cone, ficamos com uma área como a da figura abaixo. Assim, a 
área lateral de um cone é dada pela área desta superfície. 
SL = π rg. 
 
III) Área total (St) 
Será dada pela soma das áreas lateral e da base. 
St = SL + Sb 
St = π rg + π r2 
St = π r (g + r) 
 
 29
 
 
 
IV) Volume de um cone reto. 
O volume de um cone circular reto é dado por: 
V = hrhSb
2.
3
1
3
1
π= (corrigir esta – tinha faltado h) 
 
 
 
3.2.5) Tronco de cone circular reto de bases paralelas. 
Consideremos um cone circular reto de vértice V e altura h; a uma distância d do 
vértice, traçando um plano paralelo às bases, obtemos uma secção transversal do cone. 
Consideremos, agora, o sólido constituído pela reunião dos seguintes conjuntos: 
a. Base do cone; 
b. Secção transversal; 
c. Pontos do cone compreendidos entre a base e a secção transversal. 
 
Esse sólido é denominado tronco de cone de bases paralelas, em que destacamos: 
• As bases do tronco são as bases do cone e a secção; 
• A distância entre as bases do cone chama-se altura do tronco e sua medida é 
expressa por k. 
I) Área lateral (SL) 
SL = π .g.(r1 + r2) 
 
II) Volume (V): 
V = ).(
3
2
221
2
1 rrrr
k
++
π
 
 
3.2.5) Estudo da esfera. 
Sejam dados um ponto O e um número real r positivo. O conjunto de todos os pontos 
P do espaço cujas distâncias ao ponto O são iguais a r é denominado superfície esférica de 
 30
centro O e raio r. O sólido limitado por uma superfície esférica chama-se esfera. Desse 
modo, a esfera de centro O e raio r é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao 
ponto O são menores ou iguais a r. 
 
 
I) Área da superfície esférica. 
A área de uma superfície esférica de raio r é dada por: S = 4π r2. 
 
II) Volume da esfera 
O volume de uma esfera de raio r é dado por: V = 2.
3
4
rπ 
 
3.3) Questões do ENEM. 
 
(ENEM – 1998) 01 - Uma pessoa arrumou as bolinhas em camadas superpostas 
iguais, tendo assim empregado: 
 
 
(A) 100 bolinhas. 
(B) 300 bolinhas. 
(C) 1000 bolinhas. 
(D) 2000 bolinhas. 
(E) 10000 bolinhas
 
(ENEM – 1998) 02 - Uma segunda pessoa procurou encontrar outra maneira de 
arrumar as bolas na caixa achando que seria uma boa ideia organizá-las em camadas 
alternadas, onde cada bolinha de uma camada se apoiaria em 4 bolinhas da camada inferior, 
como mostra a figura. Deste modo, ela conseguiu fazer 12 camadas. Portanto, ela 
conseguiu colocar na caixa: 
 
 (A) 729 bolinhas. 
(B) 984 bolinhas. 
(C) 1000 bolinhas. 
 31
(D) 1086 bolinhas. 
(E) 1200 bolinhas. 
 
 
(ENEM-1999) Uma garrafa cilíndrica está fechada, contendo um líquido que ocupa 
quase completamente seu corpo, conforme mostra a figura. Suponha que, para fazer 
medições, você disponha apenas de uma régua milimetrada. 
 
20 Para calcular o volume do líquido contido na garrafa, o número mínimo de 
medições a serem realizadas é: 
 
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 
 
21 Para calcular a capacidade total da garrafa, lembrando que você pode virá-la, o 
número mínimo de medições a serem realizadas é: 
 
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 
 
 
(ENEM – 1999) 30 - Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e 
a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um 
eixo. Girando-se as figuras abaixo em torno da haste indicada obtêm-se os sólidos de 
revolução que estão na coluna da direita. 
A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é: 
(A) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. 
(B) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A. 
(C) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C. 
(D) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C. 
(E) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A. 
 
 32
 
 
 
(ENEM – 2000) 43 - Uma empresa de transporte armazena seu combustível em um 
reservatório cilíndrico enterrado horizontalmente. Seu conteúdo é medido com uma vara 
graduada em vinte intervalos, de modo que a distância entre duas graduações consecutivas 
representa sempre o mesmo volume. 
 
A ilustração que melhor representa a distribuição das graduações na vara é: 
 
 
 
(ENEM – 2001) 24 - Um fabricante de brinquedos recebeu o projeto de uma caixa 
que deverá conter cinco pequenos sólidos, colocados na caixa por uma abertura em sua 
tampa. A figura representa a planificação da caixa, com as medidas dadas em centímetros. 
 
 33
 
 
Os sólidos são fabricados nas formas de: 
I. um cone reto de altura 1 cm e raio da base 1,5 cm. 
II. um cubo de aresta 2 cm. 
III. uma esfera de raio 1,5 cm. 
IV. um paralelepípedo retangular reto, de dimensões 2 cm, 3 cm e 4 cm. 
V. um cilindro reto de altura 3 cm e raio da base 1 cm. 
 
O fabricante não aceitou o projeto, pois percebeu que, pela abertura dessa caixa, só 
poderia colocar os sólidos dos tipos: 
 
(A) I, II e III. 
(B) I, II e V. 
(C) I, II, IV e V. 
(D) II, III, IV e 
(E) III, IV e V 
 
 
(ENEM – 2003) 6 - Uma editora pretende despachar um lote de livros, agrupados em 
100 pacotes de 20 cm x 20 cm x 30 cm. A transportadora acondicionará esses pacotes em 
caixas com formato de bloco retangular de 40 cm x 40 cm x 60 cm. A quantidade mínima 
necessária de caixas para esse envio é: 
 (A) 9 
 (B) 11 
 (C) 13 
 (D) 15 
 (E) 17 
 
(ENEM – 2005) 61- Os três recipientes da figura têm formas diferentes, mas a 
mesma altura e o mesmo diâmetro da boca. Neles é colocado líquido até a metade de sua 
altura, conforme indicado nas figuras. 
 
 34
 
 
Representando por V1, V2 e V3 o volume de líquido emcada um dos recipientes, 
tem-se: 
(A) V1 = V2 = V3 (B) V1 < V3 < V2 (C) V1 = V3 < V2 (D) V3 < V1 < V2 
(E) V1 < V2 = V3 
 
 
 
 
(ENEM – 2009) 153 - Suponha que, na escultura do artista Emanoel Araújo, 
mostrada na figura a seguir, todos os prismas numerados em algarismos romanos são retos, 
com bases triangulares, e que as faces laterais do poliedro II são perpendiculares à sua 
própria face superior, que, por sua vez, é um triângulo congruente ao triângulo base dos 
prismas. Além disso, considere que os prismas I e III são perpendiculares ao prisma IV e ao 
poliedro II. 
 
 
Imagine um plano paralelo à face α do prisma I, mas que passe pelo ponto P 
pertencente à aresta do poliedro II, indicado na figura. A interseção desse plano imaginário 
com a escultura contém: 
A) dois triângulos congruentes com lados correspondentes paralelos. 
B) dois retângulos congruentes e com lados correspondentes paralelos. 
C) dois trapézios congruentes com lados correspondentes perpendiculares. 
D) dois paralelogramos congruentes com lados correspondentes paralelos. 
E) dois quadriláteros congruentes com lados correspondentes perpendiculares. 
 
 
(ENEM – 2009) 173 - Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide 
quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são 
formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 
pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de 
 35
cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando 
pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. 
 
 
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte 
superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele 
passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? 
A) 156 cm3 
B) 189 cm3 
C) 192 cm3 
D) 216 cm3 
E) 540 cm3 
(ENEM – 2009) 177 - Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma 
pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que 
poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal. 
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão? 
A) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano 
com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono 
de 4 lados. 
B) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano 
intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos 
polígonos tem 4 lados. 
C) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um 
plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono 
obtido nessa interseção tem 5 lados. 
D) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide 
com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o 
polígono tem 5 lados. 
E) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide 
por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 
arestas laterais, o polígono tem 4 lados. 
 
 
(ENEM – 2009) 179 - A cisterna é um recipiente utilizado para armazenar água da 
chuva. Os principais critérios a serem observados para captação e armazenagem de água da 
chuva são: a demanda diária de água na propriedade; o índice médio de precipitação 
(chuva), por região, em cada período do ano; o tempo necessário para armazenagem; e a 
área de telhado necessária ou disponível para captação. 
Para fazer o cálculo do volume de uma cisterna, deve-se acrescentar um adicional 
relativo ao coeficiente de evaporação. Na dificuldade em se estabelecer um coeficiente 
 36
confiável, a Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (EMBRAPA) sugere que sejam 
adicionados 10% ao volume calculado de água. Desse modo, o volume, em m3, de uma 
cisterna é calculado por Vc = Vd × Ndia, em que Vd = volume de demanda da água diária 
(m³), Ndia = número de dias de armazenagem, e este resultado deve ser acrescido de 10%. 
Para melhorar a qualidade da água, recomenda-se que a captação seja feita somente nos 
telhados das edificações. 
Considerando que a precipitação de chuva de 1 mm sobre uma área de 1 m2 produz 1 
litro de água, pode-se calcular a área de um telhado a fim de atender a necessidade de 
armazenagem da seguinte maneira: área do telhado (em m2) = volume da cisterna (em 
litros)/precipitação. 
Para atender a uma demanda diária de 2.000 litros de água, com período de 
armazenagem de 15 dias e precipitação média de 110 mm, o telhado, retangular, deverá ter 
as dimensões mínimas de: 
 
A) 6 metros por 5 metros, pois assim teria uma área de 30 m2 
B) 15 metros por 20 metros, pois assim teria uma área de 300 m2 
C) 50 metros por 60 metros, pois assim teria uma área de 3.000 m2 
D) 91 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de 2.730 m2 
E) 110 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de 3.300 m2
 37
Capítulo 4 – Geometria Analítica 
 
É interessante notar que, quando uma geração aprendeu algo sobre Matemática, a 
geração seguinte aprenderá muito mais. Assim, quase tudo o que você aprendeu sobre a 
Geometria Plana até agora já era do conhecimento dos gregos antigos há mais de dois mil 
anos. 
Após os gregos, o grande avanço no estudo da Geometria se deu no século XVII 
quando um francês, René Descartes (1596 – 1650), com seu livro La Géometrie, 
estabeleceu um novo método chamado Geometria com coordenadas ou Geometria 
Analítica. Nesse método, Descartes procurou relacionar as figuras geométricas (como 
ponto, reta, circunferência, etc) com elementos algébricos (como pares ordenados, 
equações, etc) 
Neste capítulo, daremos uma breve introdução à Geometria Analítica, para que você 
tenha uma idéia do que ela é e como pode aparecer no Exame Nacional do Ensino Médio. 
 
4.1) Distância entre dois pontos 
 
4.1.1) Na reta real 
Já sabemos que todo número real fica associado a um ponto na reta real e vice-versa. 
A distância entre dois pontos sobre esta reta é dada pelo valor absoluto da subtração deles. 
Assim: d (A,B) = | b – a | 
 
4.1.2) No plano cartesiano 
Quando conhecemos as coordenadas de dois pontos A e B do plano, sabemos 
localizar esses pontos num sistema cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a 
distância d (A,B). 
Sejam x1 e y1 as coordenadas do ponto A, ou seja, A (x1, y1). 
Sejam x2 e y2 as coordenadas do ponto B, ou seja, B (x2, y2). 
Temos que d (A,B) = raiz de (x2 – x1) 2 + (y2 – y1)2 
 
4.2) Calculando as coordenadas do ponto médio de um segmento. 
Em muitos problemas precisaremos determinar as coordenadas do ponto médio de um 
segmento AB em função das coordenadas das extremidades A e B do segmento. 
A coordenada do ponto médio no eixo das abscissas será dada por: 
a = 
2
21 xx + 
E no eixo das ordenadas será: 
2
21 yyb
+
= 
 
4.3) Estudando a reta no plano cartesiano 
4.3.1) Plano cartesiano 
Consiste de um sistema de eixos associados a um plano, que faz corresponder a cada 
ponto do plano um par ordenado e vice-versa. 
 38
 Quando os eixos desse sistema são perpendiculares na origem, essa 
correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal (ou plano cartesiano). Assim, 
há uma reciprocidade entre o estudo da geometria (ponto, reta, circunferência) e da 
Álgebra (relações, equações etc.), podendo-se representar graficamente relações algébricas 
e expressar algebricamente representações gráficas. 
 Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes: 
 
 
4.3.2) Equações de uma reta 
I) Equação geral 
Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento 
de três pontos. 
 Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos de r e 
P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever: 
 
Fazendo yA- yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA = c, como a e b não são simultaneamente 
nulos BA ≠ , temos: 
ax + by + c = 0 
 39
Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado o 
ponto P(m, n): 
• se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta; 
• se am + bn + c 0, P não é ponto da reta. 
 
4.3.3) Coeficiente angular 
 Chamamos de coeficiente angular da reta r o número real m tal que: 
θtgm = com º90≠θ 
O ângulo é orientado no sentido anti-horário e obtido a partir do semi-eixo positivo 
Ox até a reta r. Desse modo, temos sempre . 
 Assim: 
• para ( a tangente é positiva no 1º quadrante) 
• para ( a tangente é negativa no 2º quadrante) 
I) Determinação do coeficiente angular 
 Vamos considerar três casos: 
a) o ângulo é conhecido 
 
 40
 
 
b) as coordenadas de dois pontos distintos da reta são conhecidas: A(xA, yA) e B(xB, 
yB) 
AB
AB
XX
YY
AC
CB
tg
−
−
==1θ 
Como θθ =1 ( ângulos correspondentes) temos que
AB
AB
XX
YY
tg
−
−
=1θ 
Mas, m = tg θ Então: 
AB
AB
XX
YY
m
−
−
= 
c) A equação geral da reta é conhecida 
Se uma reta passa por dois pontos distintos A(XA, YA) e B(XB, YB), temos: 
 
Aplicando o Teorema de Laplace na 1ª linha, vem: 
(YA - YB)x + (XB - XA)y + XAYA - XBYB = 0 
 41
Da equação geral da reta, temos: 
 
Substituindo esses valores em 
AB
AB
XX
YY
m
−
−
= , temos: 
b
a
m
−
= 
4.3.4) Coordenadas do ponto de intersecção de retas 
 A intersecção das retas r e s, quando existir, é o ponto P(x, y), comum a elas, que é 
a solução do sistema formado pelas equações das duas retas. 
 Vamos determinar o ponto de intersecção, por exemplo, das retas r: 2x +y - 4 =0 e 
s: x -y +1=0. Montando o sistema e resolvendo-o, temos: 
 
 Substituindo esse valor em x -y = -1, temos: 
1 - y = -1 
y = 2 
Logo, P(1, 2) é o ponto de intersecção das retas r e s. 
Graficamente, temos: 
 
 42
 
4.4) Questões do ENEM 
 
(ENEM – 1999) José e Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias 
para a cidade de Serra Branca. Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam um 
encontro no marco inicial da rodovia, onde chegarão, de modo independente, entre meio-
dia e 1 hora da tarde. Entretanto, como não querem ficar muito tempo esperando um pelo 
outro, combinam que o primeiro que chegar ao marco inicial esperará pelo outro, no 
máximo, meia hora; após esse tempo, seguirá viagem sozinho. 
Chamando de x o horário de chegada de José e de y o horário de chegada de Antônio, 
e representando os pares (x;y) em um sistema de eixos cartesianos, a região OPQR ao lado 
indicada corresponde ao conjunto de todas as possibilidades para o par (x;y): 
 
 
24 - Na região indicada, o conjunto de pontos que representa o evento “José e 
Antônio chegam ao marco inicial exatamente no mesmo horário” corresponde: 
(A) à diagonal OQ. 
(B) à diagonal PR. 
(C) ao lado PQ. 
(D) ao lado QR. 
(E) ao lado OR. 
 
 
25 - Segundo o combinado, para que José e Antônio viajem juntos, é necessário que: 
y – x 
2
1
≤ ou que x – y 
2
1
≤ . De acordo com o gráfico e nas condições combinadas, as 
chances de José e Antônio viajarem juntos é de: 
(A) 0% 
(B) 25% 
(C) 50% 
(D) 75% 
(E) 100% 
 43
 
 
(ENEM- 2009) 174 - Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano 
cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e 
suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d ≤ r sobre a 
circunferência. 
 
Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 44
Referências Bibliográficas 
 
IEZZI, M. A. S. Matemática, temas e metas: geometria analítica e polinômios. São 
Paulo: Atual, 1986. 
IEZZI, Gelson, Fundamentos de Matemática Elementar, Geometria analítica. 
Vol. 7. 5ª ed. São Paulo: Editara Atual, 2005. 
GIOVANNI, José Ruy, BONJORNO, José Roberto. GIOVANNI Jr, José Ruy. 
Matemática fundamental. São Paulo: FTD, 1994. 
DANTE, L.R. Matemática contexto e aplicações. V.1, 2 e 3. Atica, 2001. 
FACCHINI, W. Matematica. Volume único. Saraiva, 2000.