IEF991 Unidade 6 2013 1

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Unidade 6 Rotações e a conservação do momento angular 
6.1 Cinemática do corpo rígido 
Um corpo rígido corresponde a um 
conceito limite ideal, de um corpo 
indeformável quaisquer que sejam as 
forças a ele aplicadas: um corpo é 
rígido quando a distância entre duas 
partículas quaisquer do corpo é 
invariável. Nenhum corpo real é 
perfeitamente rígido: uma barra de aço 
se deforma sob a ação de forças 
suficientemente intensas e duas bolas de 
bilhar que colidem deformam-se ao 
entrar em contato. Entretanto, as 
deformações são em geral 
suficientemente pequenas para que 
possam ser desprezadas em primeira 
aproximação. 
Diz-se que um corpo rígido tem 
um movimento de translação quando a 
direção de qualquer segmento que une 
dois de seus pontos não se altera 
durante o movimento. Isto implica que 
todos os pontos do corpo descrevem 
curvas paralelas, ou seja, superponíveis 
umas às outras por translação. Todos os 
pontos sofrem o mesmo deslocamento 
durante o mesmo intervalo de tempo, de 
modo que todos têm, em qualquer 
instante, a mesma velocidade e 
aceleração, que se chamam, 
respectivamente, velocidade e 
aceleração de translação do corpo 
rígido. Para estudar o movimento de 
translação do corpo rígido, basta estudá-
lo para qualquer um de seus pontos (por 
exemplo, o centro de massa). Este tipo 
de movimento reduz-se então ao de um 
único ponto material. 
Fixando dois pontos 
A
 e 
B
 de um 
corpo rígido, isto equivale a fixar todos 
os pontos da reta definida por
,AB
 pois 
todos eles têm de manter inalteradas 
suas distâncias de 
A
 e 
.B
 Qualquer 
partícula do corpo situada fora desta 
reta tem de manter invariável sua 
distância ao eixo 
,AB
 de modo que só 
pode descrever um círculo com centro 
neste eixo. Logo, 
AB
 é um eixo de 
rotação: todas as partículas descrevem 
círculos com centro no eixo, e giram de 
um mesmo ângulo no mesmo intervalo 
de tempo. O estudo do movimento 
reduz-se neste caso ao estudo do 
movimento circular de qualquer 
partícula situada fora do eixo: tem-se 
uma rotação em torno de um eixo fixo, 
que pode ser descrita em termos de uma 
única coordenada, o ângulo de rotação. 
Fixando um único ponto 
O
 do 
corpo, qualquer outro ponto 
P
 situado a 
uma distância 
r
 de 
O
 tem de mover-se 
sobre uma esfera de raio 
r
 com centro 
em 
.O
 Tem-se uma rotação em torno de 
um ponto fixo, e o deslocamento de um 
ponto como 
P
 sobre a esfera pode ser 
descrito por duas coordenadas: por 
exemplo, os ângulos de latitude e 
longitude. Essas coordenadas descrevem 
a posição de 
.P
 
Fixando a posição de três pontos 
BA,
 e 
C
 não colineares, fica fixada a 
posição do corpo rígido. Com efeito, 
fixando 
A
 e 
,B
 fica fixado o eixo
.AB
 O 
ponto 
C
 não colinear só poderia 
descrever um círculo em torno de 
;AB
 
logo, fixando 
,C
 fixa-se o corpo rígido. 
Surge agora a questão: Quantos 
parâmetros é preciso dar para 
especificar completamente a posição de 
um corpo rígido em relação a um dado 
referencial? Inicialmente, para 
especificar a posição de um ponto 
P
 do 
corpo, precisa-se de 3 coordenadas. 
Uma vez fixado 
,P
 outro ponto 
A
 do 
corpo à distância 
r
 de 
P
 permanece 
sobre uma esfera de raio 
,r
 e sua 
posição sobre essa esfera é especificada 
por mais 2 coordenadas (latitude e 
longitude, por exemplo). Finalmente, 
uma vez especificadas as posições dos 2 
pontos 
P
 e 
,A
 qualquer outro ponto 
B
 
do corpo tem de estar sobre um círculo 
com centro no eixo 
,PA
 e sua posição 
2 
 
 
sobre esse círculo pode ser especificada 
por mais 1 coordenada (ângulo de 
rotação em torno do eixo). Logo, 
precisa-se de 
6123 
 coordenadas 
para especificar completamente a 
posição de um corpo rígido. Diz-se que 
um corpo rígido tem 6 graus de 
liberdade. 
De forma geral, chamam-se graus 
de liberdade de um sistema os 
parâmetros que são necessários para 
especificar a posição do sistema. Uma 
partícula livre tem 3 graus de liberdade 
e um sistema de 
N
 partículas têm 
N3
 
gruas de liberdade (3 coordenadas para 
cada partícula). Uma partícula que se 
desloca sobre uma superfície tem 2 
graus de liberdade; uma conta que 
desliza sobre um fio tem 1 grau de 
liberdade. 
O deslocamento mais geral de um 
corpo rígido tem 6 graus de liberdade, 3 
deles associados à translação e os outros 
3 à rotação. Um corpo rígido com um 
ponto fixo tem 3 graus de liberdade, 
associados à rotação em torno desse 
ponto; se girar em torno de um eixo fixo, 
tem 1 só grau de liberdade. 
6.2 Representação vetorial das rotações 
O movimento mais simples de 
rotação de um corpo rígido é a rotação 
em torno de um eixo fixo. O estudo 
desse movimento reduz-se ao do 
movimento circular de um ponto 
P
 
qualquer numa seção transversal ao 
eixo. O sistema tem 1 grau de liberdade: 
a rotação pode ser descrita pelo ângulo 
de rotação 

 do ponto 
P
 nesse 
movimento circular. 
Por conseguinte, se o eixo de 
rotação permanece fixo, a rotação pode 
ser descrita por uma grandeza escalar, 
que é o ângulo de rotação 
.
 Entretanto, 
isto deixa de valer para um movimento 
de rotação mais geral. Por exemplo, no 
movimento de um pião, a direção do 
eixo de rotação varia a cada instante. 
Logo, para caracterizar uma rotação no 
caso geral, não basta dar um ângulo de 
rotação: é preciso dar também uma 
direção, a direção do eixo de rotação. 
Pode-se pensar em associar um 
vetor 
""
 a uma rotação pelo ângulo 
,
 
a direção desse vetor sendo dada pela 
direção do eixo. O sentido de 
""
 pode 
ser associado ao sentido da rotação, 
convencionando-se que a rotação, vista 
a partir da “flecha” de 
,""
 é no sentido 
anti-horário. Entretanto, embora 
""
 
tenha magnitude, direção e sentido, não 
é um vetor. 
Para provar isto, seja a operação 
de composição de duas rotações finitas, 
representadas por 
"" 1
 e 
"" 2
 (em torno 
de eixos quaisquer), deveria 
corresponder à soma dos “vetores” 
correspondentes, 
,"" 21 


 da mesma 
forma que o deslocamento resultante de 
dois deslocamentos é a soma dos vetores 
correspondentes. A Figura 6.1 mostra 
que esta operação de “soma” deixa de 
satisfazer à propriedade comutativa: 
".""" 1221 


 
 
(6.1) 
Entretanto, se em lugar de 
rotações finitas forem consideradas 
apenas aquelas por ângulos 

 
infinitesimais, pode-se mostrar que 
rotações infinitesimais são comutativas 
e têm caráter vetorial. A magnitude de 

 é o ângulo de rotação infinitesimal 
,
 e sua direção é a do eixo de 
rotação. Entretanto, fisicamente não há 
nada que permita associar um sentido 
ao vetor. Isto só pode se feito por 
convenção. A convenção usualmente 
adotada é a que está ilustrada na Fig.2: 
um observador com a cabeça na 
extremidade do vetor 

 e os pés na 
origem, olhando para “baixo”, vê a 
rotação ocorrer no sentido anti-horário. 
 
3 
 
 
 
Figura 6.1 – Ilustração do fato que as rotações finitas não são vetores. 
 
Entretanto, se em lugar de 
rotações finitas forem consideradas 
apenas aquelas por ângulos 

 
infinitesimais, pode-se mostrar que 
rotações infinitesimais são comutativas 
e têm caráter vetorial. A magnitude de 

 é o ângulo de rotação infinitesimal 
,
 e sua direção é a do eixo de 
rotação. Entretanto, fisicamente não há 
nada que permita associar um sentido 
ao vetor. Isto só pode se feito por 
convenção. A convenção usualmente 
adotada é a que está ilustrada na Figura 
6.2: um observador com a cabeçana 
extremidade do vetor 

 e os pés na 
origem, olhando para “baixo”, vê a 
rotação ocorrer no sentido anti-horário. 
 
 
Figura 6.2 – Características do vetor 
.
 
 
 
Seja agora um corpo rígido em 
rotação em torno de um eixo e uma 
seção transversal (perpendicular ao eixo 
de rotação) do corpo, tomado como o 
plano 
xy
 de um sistema de coordenadas 
com origem 
O
 no eixo de rotação 
Oz
 
(Figura 6.3). 
4 
 
 
 
Figura 6.3 – Rotação infinitesimal de um corpo rígido. 
 
Um ponto 
P
 da seção transversal 
à distância 
r
 da origem sofre um 
deslocamento 
 rs 
 em 
consequência da rotação infinitesimal. 
Relacionando-se o deslocamento vetorial 
sPP


 com 

 e o vetor posição 
,rOP


 obtém-se: 
.rs

 
 
 
(6.2) 
Ou seja, o produto vetorial dos vetores 

 e 
r
 é um vetor, o deslocamento 
,s


 
cuja magnitude é dada por: 
rsenrs o   90 
 
(6.3) 
 
6.3 Rotações e velocidade angular 
Quando um corpo sólido gira em 
torno de um eixo próprio, as 
coordenadas 
,x y
 e 
z
 de cada ponto no 
corpo aumentam e diminuem 
continuamente à medida que o objeto 
percorre uma trajetória circular. O uso 
de coordenadas 
,x y
 e 
z
 é em geral 
uma forma complicada de descrever as 
rotações. Em particular, as rotações 
confinadas em um plano podem ser 
facilmente descritas por um ângulo. Para 
a maioria de nós é familiar a utilização 
de medidas envolvendo ângulos (graus e 
radianos). A escolha de 360 graus para 
denotar uma revolução completa foi 
feita pelos babilônios e que 
provavelmente teve origem nos seus 
estudos e interesses em astronomia, 
principalmente na previsão das estações 
do ano, já que a rotação da Terra em 
torno do Sol tem aproximadamente 360 
dias. Com isto, a rotação de um grau 
feita pela Terra, em sua órbita, 
equivaleria a um dia. 
Seja o comprimento 
s
 do 
segmento de um círculo contido no 
ângulo 
,
 como indicado na Figura 4a. 
Se o círculo tem um raio 
,r
 o 
comprimento de sua circunferência é 
dado por: 
rC  2
 
 
(6.4) 
A fração de 
C
 contida em 

 é 
igual à fração de uma de uma revolução 
completa (360o) contida em 
.
 Então, 
,2
360
rs
o
 

 
 
(6.5) 
para 

 em graus. 
Para um dado ângulo 
,
 
s
 e 
r
 são 
proporcionais. Devido ao frequente uso 
da relação de proporcionalidade entre 
s
 
e 
r
 na dinâmica das rotações, é 
bastante conveniente definir uma 
unidade nova para ângulos: 
,rs 
 
 
(6.6) 
para 

 em radianos. 
5 
 
 
 
Figura 6.4 – (a) Realções entre 
,r
 

 e 
.s
 (b) Deslocamento angular entre 
1t
 e 
.2t
 
 
Um ângulo em radianos, sendo 
definido como a razão entre dois 
comprimentos é um número puro. Na 
Fig.4b, a linha de referência 
OP
de um 
corpo rígido em rotação faz um ângulo 
1
 com a linha de referência fixa 
,Ox
 em 
um instante 
.1t
 Num instante posterior 
2t
 
o ângulo cresceu para 
.2
 A velocidade 
angular média (

) do corpo, no 
intervalo entre 
1t
 e 
,2t
 é definida como 
a razão entre o deslocamento angular 
12  
 e o intervalo de tempo 
:12 ttt 
 
,
t




 
 
(6.7) 
A velocidade angular instantânea 
(

) é definida como o limite para o qual 
tende esta razão quando 
t
se aproxima 
de zero: 
.
0 dt
d
t
im
t
 





 
 
(6.8) 
Como o corpo é rígido, a velocidade 
angular é uma característica do corpo 
como um todo e não somente de uma 
linha nele situada. Se o ângulo 

 for 
medido em radianos, a unidade de 
velocidade angular é um radiano por 
segundo (
srad1
). Outras unidades 
como, por exemplo, rotações por minuto 
(
rpm
), são de uso comum. Note que 
.21 sradrps 
 
6.4 Aceleração angular 
Se a velocidade angular de um 
corpo variar, diz-se que ele tem uma 
aceleração. Se 
1
 e 
2
 forem as 
velocidades angulares instantâneas, nos 
instantes 
1t
 e 
,2t
 respectivamente, a 
aceleração angular média é definida 
como: 
,
12
12
ttt 






 
 
(6.9) 
e a aceleração angular instantânea é 
definida como limite desta razão quando 
t
 se aproxima de zero: 
.
0 dt
d
t
im
t
 





 
 
(6.10) 
A unidade de aceleração angular é 
.11 22  ssrad
 A velocidade angular e a 
aceleração angular são exatamente 
análogas à velocidade e à aceleração 
lineares. Como 
,dtd 
 a aceleração 
pode ser escrita como: 
,
2
2
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d  






 
 
(6.11) 
ou, usando a regra da cadeia para a 
derivação, 
.


d
d
d
d
dt
d
dt
d

 
 
(6.12) 
 
6 
 
 
6.5 Rotação com aceleração angular constante 
O caso mais simples de movimento 
de rotação acelerado é aquele no qual a 
aceleração é constante. Neste caso, as 
expressões da velocidade angular e do 
deslocamento angular são facilmente 
encontradas por integração. Tem-se: 
cte
dt
d


 
   ,1Ctdtd 
 
Se 
0
 é a velocidade angular quando 
,0t
segue-se que 
01 C
 e: 
.to  
 
 
(6.13) 
Então, como 
,dtd 
 
   ,tdtdtd o 
 
cuja solução é: 
.
2
1 2ttoo  
 
 
(6.14) 
Escrevendo-se a aceleração 
angular como: 
,



d
d

 
 
(6.15) 
então, 
   .2
1
3
2
3 CCdd 
 
Se o ângulo 

 tem o valor 
o
 quando 
0t
 e se a velocidade angular inicial é 
,o
 então, 
2
3
2
1
ooC  
 
e, 
 .222 oo  
 
 
(6.16) 
A Tabela 6.1, mostra a analogia 
entre as equações do movimento com 
aceleração angular constante e as do 
movimento com aceleração linear 
constante. 
 
Tabela 6.1 – Analogia entre os movimentos de translação e rotação com acelerações constantes. 
Movimento com aceleração 
linear constante 
Movimento com aceleração 
angular constante 
a
constante 

constante 
atvv o 
 
to  
 
2
2
1
attvxx oo 
 
2
2
1
ttoo  
 
 oo xxavv  2
22
 
 oo   222
 
 
 
6.6 Torque (ou momento de uma força) 
A relação básica de toda a 
dinâmica é 
dtpdF


 (ou, 
amF


 no 
caso em que a massa é constante). Esta 
forma é particularmente apropriada à 
dinâmica do ponto material. Para a 
rotação, contudo, será mais conveniente 
exprimir a 2a lei de Newton em termos 
de grandezas relativas ao movimento de 
rotação. 
Do ponto de vista cinemático, a 
descrição do movimento de rotação de 
um corpo rígido em torno de um eixo 
fixo se reduz à descrição do movimento 
circular de um ponto 
P
 do corpo numa 
8 
 
 
seção transversal. Como só há 1 grau de 
liberdade, o ângulo de rotação 

 em 
torno do eixo, pode-se estabelecer uma 
analogia entre esse movimento e o 
movimento de translação em uma 
dimensão. A Tabela 6.2 mostra a 
correspondência entre grandezas 
lineares e angulares. 
 
Tabela 6.2 – Correspondência entre grandezas lineares e angulares. 
 
Movimento retilíneo Rotação em torno de um eixo fixo 
Deslocamento linear = 
x
  Deslocamento angular (ângulo de rotação) = 

 
Velocidade linear: 
dtdxv 
 Velocidade angular: 
dtd 
 
Aceleração linear: 
dtdva 
 Aceleração angular: 
dtd 
 
 
Para estudar a dinâmica dasrotações pode-se utilizar essa analogia a 
fim de procurar uma grandeza que 
desempenhe um papel análogo da força. 
Seja uma barra que possa girar em 
torno de um eixo fixo, sem atrito, 
passando perpendicularmente através da 
mesma, próximo a uma das 
extremidades (Figura 6.5). Para eliminar 
os efeitos do atrito e da gravidade, 
considera-se que a barra está apoiada 
sobre uma superfície lisa horizontal. 
Aplicando uma força 
1F
 no ponto 
,a
 a 
barra girará, isto é, será acelerada, 
partindo do repouso ao girar em torno do 
ponto 
O
 do eixo. Aplicando a mesma 
força 
1F
 no ponto 
,b
 a barra será 
novamente acelerada em rotação, mas 
esta aceleração será maior que a 
anterior. Evidentemente, não é só a 
força aplicada que determina a 
aceleração angular. É certo que, 
aumentando o módulo da força 
1F
 
aumentará a aceleração angular, mas 
também, com a mesma força, pode-se 
aumentar a aceleração angular 
simplesmente mudando o seu ponto de 
aplicação.
 
Figura 6.5 – Uma barra articulada em 
O
 e livre para girar no plano do papel. 
 
Aplicando, agora, uma segunda 
força 
,2F
 como indicada na Figura 6.5, 
de mesmo módulo de 
1F
 e o mesmo 
ponto de aplicação 
.b
 Tal força, cuja 
linha de ação passa pelo eixo de 
rotação, não causará movimento 
angular. Evidentemente a direção da 
força tem importância na determinação 
da aceleração angular que ela dá ao 
corpo. 
Com o fim de sugerir uma analogia 
para a massa seja uma barra constituída 
de partes iguais de madeira e aço, como 
na Figura 6.6. 
 
9 
 
 
 
Figura 6.6 – Uma barra, metade da qual é de madeira, a outra é de aço. A barra de cima está articulada na 
extremidade de madeira em 
O
 e na barra de baixo a articulação é feita na extremidade de aço em 
.O
 
 
Seja uma força 
F
 aplicada no 
ponto 
a
 no caso em que a barra está 
articulada na extremidade de madeira 
em 
.O
 Tem-se, então, uma aceleração 
angular bem definida. A seguir a barra é 
invertida e a articulação é feita na 
extremidade de aço em 
.O
 Neste caso, 
a mesma força 
F
 aplicada agora no 
ponto 
a
 irá produzir uma aceleração 
angular maior que a anterior. A massa 
total da barra não foi alterada pela 
escolha do eixo de rotação e a força 
aplicada tem em ambos os casos, a 
mesma intensidade direção, sentido e 
ponto de aplicação com relação ao eixo. 
Contudo, as acelerações angulares 
produzidas foram diferentes. E 
unicamente foi alterada a distribuição 
da massa em relação ao eixo de rotação. 
Se uma força 
F
 atuar sobre um 
ponto material 
,P
 cuja posição em 
relação à origem 
O
 é dada pelo vetor 
posição 
,r

 o torque (ou momento da 
força) 
,

 em relação à origem 
,O
 é 
definido como: 
.Fr


 
 
(6.17) 
Sendo o torque uma grandeza 
vetorial, seu módulo é dado por: 
, senFr
 
 
(6.18) 
onde 

 é o ângulo entre 
r
 e 
;F
 sua 
direção é perpendicular ao plano 
formado por 
r
 e 
,F
 com o sentido dado 
pela regra do produto vetorial de dois 
vetores. 
As equações (6.17) e (6.18) 
mostram que o torque produzido por 
uma força depende, não somente da sua 
intensidade, do seu sentido e da sua 
direção, mas também do ponto de 
aplicação da força em relação ao ponto 
fixo 
.O
 Em particular quando 
F
 atua 
sobre o eixo fixo que passa pela origem, 
r
 é zero, de modo que o torque 
,

 em 
relação ao ponto fixo 
O
 é nulo. A 
distância perpendicular ao eixo entre a 
origem e o ponto de aplicação da força é 
conhecida como braço da força (ou 
braço da alavanca). 
Agora que você já sabe que é um 
torque e não uma força que produz 
rotações, observe que sem a maçaneta 
de uma porta ou a borboleta da válvula 
do registro do botijão de gás, ações tão 
corriqueiras como abrir uma porta ou 
trocar o botijão seriam praticamente 
impossíveis. 
Quando a borboleta da válvula do 
registro do botijão de gás quebra, 
podemos resolver o problema usando um 
alicate, pois, com esta ferramenta, a 
força que faríamos com a mão deixa de 
ser feita diretamente no eixo de 
rotação, o que se traduz na prática por 
uma facilidade maior em desparafusar a 
válvula. Algumas tarefas, como trocar 
pneus ou tirar um parafuso, estariam 
impossibilitadas de serem realizadas se 
não tivéssemos um meio de ampliar o 
torque de nossa força através das 
ferramentas apropriadas (no caso, a 
chave de roda e a chave de fenda). 
10 
 
 
Observe que, quando giramos o 
botão que aumenta o volume de um 
aparelho de rádio antigo, tanto o botão 
como seu eixo faz o mesmo giro. Se 
entendermos que o valor do torque 
necessário para girar o botão é sempre o 
mesmo, independente do local onde a 
força é aplicada, fica mais fácil 
interpretar porque é mais fácil aumentar 
o volume girando o botão e não o seu 
eixo. 
A chave de boca ilustrada na 
Figura 6.7 tem, como outras ferramentas 
semelhantes, a vantagem de diminuir a 
intensidade da força que precisamos 
fazer para soltar ou apertar uma porca, 
pois afasta o ponto de aplicação da força 
do eixo de rotação. 
Vamos supor que fosse possível 
soltar a porca usando somente as mãos, 
e que toda a força fosse aplicada sobre 
um dos seus lados (ponto A). Neste caso, 
esta força tem um braço 
 r
, 
correspondente à distância entre o 
centro da porca (eixo de rotação) e um 
de seus lados. O torque em relação ao 
eixo, que passa pelo centro da porca, é 
dado de acordo com (6.18) por: 
.rFsenrF A
o
A  90
 
Usando a chave de boca, a força 
será feita no seu cabo, com intensidade 
menor que a da situação anterior porque 
o braço 
b
 desta força corresponde agora 
à distância entre o centro da porca e a 
extremidade da chave. O torque desta 
força, em relação ao centro da porca, 
será então dado por: 
..90.. bFsenbF cabo
o
cabo 
 
Admitindo que das duas maneiras 
conseguíssemos mover a mesma porca, 
estes torques teriam a mesma 
intensidade, de modo que: 
.
r
b
F
F
bFrF
cabo
A
caboA 
 
 
 
(6.19) 
A razão entre a força aplicada 
diretamente na porca e aquela aplicada 
na extremidade da chave de boca é 
denominada vantagem-mecânica (
VM
). 
Como 
,rb 
 a equação (6.19) prevê que 
a razão entre as forças é maior que 1, 
indicando que a força feita na 
extremidade da chave de boca foi 
ampliada. 
A tesoura, assim como o alicate, é 
uma associação de duas alavancas. 
Quando dobramos ou cortamos um 
pedaço de fio com um alicate, a força 
feita no cabo é ampliada na extremidade 
contrária. 
 
 
Figura 6.7 – Uma chave de boca. 
 
6.7 Momento angular de um ponto material 
Além da força 
,F
 o outro conceito 
fundamental na dinâmica de uma 
partícula é o do momento linear 
,p

 
relacionado com 
F
 pela 2a lei de 
Newton: 
.
dt
pd
F


 
 
 
(6.20) 
Na dinâmica de rotação de uma 
partícula 
P
 em torno de um ponto 
,O
 o 
análogo da força 
F
 é o torque 
,Fr


 
onde 
.

OPr
 Como o momento 
p

 da 
partícula está relacionado com 
F
 pela 
relação (6.20), obtém-se, multiplicando 
vetorialmente por 
r
 ambos os membros: 
12 
 
 
.
dt
pd
rFr



 
 
 
(6.21) 
Como a regra de derivação de um 
produto se aplica igualmente ao produto 
vetorial (desde que não se inverta a 
ordem dos vetores), então, 
 
     .pr
dt
d
vmvpr
dt
d
p
dt
rd
pr
dt
d
dt
pd
r








 
 
 
(6.22) 
Logo, (6.22) fica, 
,
dtd



 
 
 
(6.23) 
onde, 
pr




 
 
(6.24) 
é o que se chama de momento angular 
de uma partícula (ou ponto material) em 
relação ao ponto 
.O
 
A relação 
dtd


 é o análogo 
para rotações da relação 
dtpdF


 para 
translações, e representa a segunda lei 
de Newton para o movimento de 
rotação.
 
6.8 Energia cinética de rotação e momento de inércia 
Estando em movimento, cada 
ponto material num corpo rígido em 
rotação possui certa quantidade de 
energia cinética. Um ponto material de 
massa 
m
 a uma distância 
r
 do eixo de 
rotação tem uma velocidade 
,rv 
 
sendo 

 a velocidade angular do ponto 
em torno do eixo de rotação; logo, sua 
energia cinética é dada por: 
.
2
1
2
1 222 rmvm 
 
 
 
(6.25) 
A energia cinética total do corpo é 
a soma das energias cinéticas de todos 
os seus pontos. Sendo o corpo rígido, 

 
será constante e igual para todos os 
pontos. O raio 
r
 pode ser diferente para 
pontos diferentes. Logo, a energia 
cinética total 
K
 do corpo que gira pode 
ser escrita como: 
 
  .
2
1
...
2
1
22
22
22
2
11




ii rm
rmrmK
 
 
 
 
(6.25) 
O termo 
 ,2ii rm
 é a soma dos 
produtos das massas dos pontos 
materiais pelos quadrados de suas 
respectivas distâncias ao eixo de 
rotação. Denominando esta quantidade 
por 
,I
 temos que: 
 ,2ii rmI
 
 
(6.26) 
e é chamada de inércia devida à 
rotação ou momento de inércia do 
corpo em relação ao eixo de rotação 
considerado. Deve-se notar que o 
momento de inércia de um corpo 
depende: (1) da forma do corpo, (2) da 
distância ortogonal do eixo ao centro de 
massa do corpo e (3) da orientação do 
corpo em relação ao eixo. 
Em termos de momento de inércia 
podemos escrever agora a energia 
cinética do corpo em rotação: 
.
2
1 2IK 
 
 
(6.27) 
Devemos entender que a energia 
cinética de rotação dada pela equação 
(6.20) é simplesmente a soma da energia 
cinética de rotação de todas as partes do 
corpo e não um novo tipo de energia. A 
energia cinética de rotação é uma 
maneira conveniente de exprimir a 
energia cinética de um corpo rígido que 
está girando. 
Para um corpo que não é 
composto de massas puntiformes 
discretas, mas sim de matéria distribuída 
continuamente, o processo de soma em 
5 
 
 
 ,2ii rmI
 transforma-se num processo 
de integração: 
 ,
2dmrI
 
 
(6.28) 
onde a integral é calculada ao longo do 
corpo. 
Conhecendo-se o momento de 
inércia de um corpo em relação a um 
eixo qualquer, que passe pelo seu centro 
de massa, pode-se determinar o 
momento de inércia em relação a 
qualquer outro eixo paralelo ao primeiro 
pelo teorema dos eixos paralelos 
(também conhecido como Teorema de 
Huygens-Steiner): 
,2hMII CM 
 
 
(6.29) 
sendo 
M
 a massa do corpo e 
h
 a 
distância perpendicular entre os eixos 
(paralelos). Esse teorema pode ser 
enunciado da seguinte forma: “O 
momento de inércia de um corpo em 
relação a um eixo qualquer é igual ao 
momento de inércia que ele teria em 
relação a esse eixo (
2hM
), se toda sua 
massa estivesse concentrada em seu 
centro de massa mais o seu momento de 
inércia em relação a um eixo passando 
pelo seu centro de massa (
CMI
)”. 
A Figura 6,8a mostra os momentos 
de inércia de um aro, primeiro em torno 
de qualquer diâmetro e depois em torno 
de qualquer tangente, enquanto que a 
Figura 6.8b mostra os momentos de 
inércia de uma esfera sólida (maciça) e 
de uma esfera oca em torno de qualquer 
diâmetro. 
 
 
 
Figura 6.8 – Momentos de inércia (a) de um aro e (b) de uma esfera. 
 
6.9 Momento angular de um sistema de pontos materiais 
Determina-se o momento angular 
total de um sistema constituído de 
muitos pontos materiais, em relação a 
uma origem, somando-se vetorialmente 
os momentos angulares de todos esses 
pontos materiais, considerados 
isoladamente, em relação a essa mesma 
origem: 
.
11



N
i
i
N
i
ii prL 
 
 
 
(6.30) 
5 
 
 
O momento angular de um sistema 
de pontos materiais em relação a um 
ponto fixo pode variar com o tempo. 
Para essa variação admitem-se duas 
causas: (a) torques aplicados aos pontos 
materiais do sistema por forças internas 
entre estes; (b) torques aplicados aos 
pontos materiais do sistema por forças 
externas. 
Se a terceira lei de Newton é 
rigorosamente certa, isto é, se as forças 
entre dois pontos materiais quaisquer 
não apenas são iguais e opostas, mas 
também atuam ao longo da reta definida 
pelos mesmos, o conjugado interno total 
é nulo, pois o torque produzido por cada 
par de forças de ação e reação é nulo. 
Assim, a primeira causa não contribui 
para a variação do momento angular 
total. Portanto, para um ponto de 
referência fixo apenas o segundo motivo 
permanece, e pode-se escrever: 
,
dt
Ld
ext



 
 
 
(6.31) 
em que 
ext

 representa a soma de todos 
os torques externos que agem no 
sistema. 
A equação (6.31) é uma 
generalização de (6.23) para muitos 
pontos materiais. Quando se tem apenas 
um ponto material, não há, 
evidentemente, forças ou conjugados 
internos. 
Sendo 
,

I
 onde 
I
 é o 
momento de inércia do corpo e 

 a 
soma dos torques (externos) aplicados a 
este, ambos em relação ao mesmo 
ponto. Comparando-se com (6.31), 
obtém-se: 
.


I
dt
Ld

 
Mas 
dtd  
 e, se 
I
 é constante, 
 
 

I
dt
d
dt
d
I 
 
e, portanto, 
 


I
dt
d
dt
Ld

 
ou seja, 
.

IL 
 
 
(6.32) 
Assim, o momento angular de um 
corpo rígido é o produto do momento de 
inércia do corpo pela sua velocidade 
angular. 
 
 
6.10 Dinâmica da rotação de um corpo rígido 
Seja um corpo rígido que gire ao 
redor de um eixo fixo, que passe por 
O
 
(Figura 6.9) perpendicularmente ao 
plano da figura. É necessário considerar 
apenas as forças existentes neste plano, 
porque as que são paralelas ao eixo não 
podem causar rotação em torno do 
mesmo por não produzirem nenhum 
torque externo. Supondo uma força 
externa 
,F
 no plano, agindo sobre o 
corpo no ponto 
.P
 Observando o corpo 
durante um tempo infinitesimal 
,dt
 o 
ponto
P
 mover-se-á de uma distância 
infinitesimal 
ds
 segundo uma trajetória 
circular de raio 
r
 e o corpo girará de um 
ângulo infinitesimal 
,d
 sendo: 
.rdds 
 
O trabalho 
,dW
 realizado pela 
força, durante esta pequena rotação, é: 
  ,coscos  rdFdsFsdFdW   
onde 
cosF
 é o componente de 
F
 na 
direção de 
.ds
 
Por seu turno, o termo 
  ,cos rF 
 
é o módulo do torque instantâneo, 
exercido por 
F
 sobre o corpo rígido, em 
5 
 
 
relação ao eixo que passa por 
,O
 de 
modo que: 
. ddW 
 
 
(6.33) 
Esta expressão diferencial do 
trabalho realizado na rotação (em 
relação a um eixo fixo) é equivalente à 
expressão 
FdsdW 
 para o trabalho 
realizado na translação. 
Para obter a taxa com que se 
realiza trabalho no movimento de 
rotação (ao redor de um eixo fixo), 
deve-se dividir ambos os membros de 
(6.33) pelo intervalo infinitesimal de 
tempo 
,dt
 durante o qual o corpo se 
move de um ângulo 
,d
 obtendo: 
.  P
dt
d
dt
dW
 
 
 
(6.34) 
A equação (6.34) é, na rotação, a 
equivalente de 
FvP 
 para o 
movimento de translação. 
 
 
 
Figura 6.9 – Vista de uma seção transversalde um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo que 
passa pela origem do sistema de referência. 
Aplicando várias forças 
,1F
 
,2F
 
etc., sobre o corpo, no plano normal a 
seu eixo de rotação, o trabalho realizado 
por essas forças sobre o corpo, durante 
uma pequena rotação 
,d
 será: 
  ,...
...coscos
21
222111


dd
drFdrFdW

 
expressões nas quais 
dr1
 é igual a 
,1ds
 
que é o deslocamento do ponto de 
aplicação de 
,1F
 e 
1
 é o ângulo entre 
1F
 e 
,1sd

 etc., e onde 

 é, agora, o 
torque resultante em relação ao eixo 
que passa por 
.O
 Ao calcular este 
somatório, cada torque será considerado 
positivo ou negativo segundo o sentido 
em que, por si só, tenderia a fazer o 
corpo girar em torno de seu eixo. 
Arbitrariamente, o torque é tomado 
como positivo se o efeito do mesmo 
produzir uma rotação no sentido anti-
horário e, negativo, se produzir uma 
rotação no sentido horário. 
Como não existe movimento 
interno dos pontos materiais dentro de 
um corpo verdadeiramente rígido, os 
pontos sempre conservam posições 
relativas fixas entre si e movem-se 
somente em conjunto com o corpo. 
Logo, não há dissipação de energia 
dentro de um corpo verdadeiramente 
5 
 
 
rígido. Portanto, pode-se igualar a taxa 
com que se realiza trabalho sobre o 
corpo àquela com que varia sua energia 
cinética. A taxa com que se realiza 
trabalho sobre o corpo é dado pela 
(6.34), e a rapidez com que varia a 
energia cinética de um corpo rígido é 
dada por: 
.
2
1 2






I
dt
d
 
Mas o momento de inércia 
I
 é constante 
porque o corpo é rígido e o eixo está 
fixo. Logo: 
 
.
2
1
2
1 22




I
dt
d
I
dt
d
II
dt
d







 
 
 
(6.35) 
De modo que: 
. II 
 
 
(6.36) 
A equação (6.36) é equivalente à 
da 2a lei do movimento, 
,maF 
 para o 
movimento de rotação de um corpo 
rígido. Aqui a soma dos torques 

 é 
análoga à soma das forças 
,F
 o 
momento de inércia 
I
 é análogo à massa 
,m
 e a aceleração angular 

 é análoga à 
aceleração linear 
.a
 
 
6.11 Movimento combinado de translação e de rotação de um corpo rígido 
Até aqui foi considerado apenas a 
situação de corpos que giram em torno 
de algum eixo fixo. Contudo, quando 
uma bicicleta se move em linha reta, o 
centro de cada uma das rodas se desloca 
para frente executando um movimento 
de translação pura. Entretanto, um 
ponto qualquer localizado no aro da roda 
segue uma trajetória mais complexa 
denominada cicloide. Nesta seção será 
analisado o rolamento de uma roda 
considerando-o, primeiramente, como a 
combinação de uma translação pura com 
uma rotação pura e, em seguida, apenas 
como rotação. 
No caso da roda de uma bicicleta 
que passa a uma velocidade constante, 
rolando suavemente, sem deslizar. O 
centro de massa da roda move-se para 
frente a uma velocidade constante 
.CMv
 
O ponto 
,P
 onde a roda e o chão estão 
em contato, também se move para 
frente com velocidade 
,CMv
 de modo 
que ele está sempre situado diretamente 
abaixo do centro de massa. 
A Figura 6.10 mostra o movimento 
de rolamento de uma roda é uma 
combinação de dois movimentos: um 
puramente translacional e outro 
puramente rotacional. A Figura 6.10a 
mostra o movimento puramente 
rotacional (como se o eixo de rotação 
que passa pelo centro estivesse 
estacionário): todos os pontos da roda 
giram em torno do centro com 
velocidade angular 
.
 Todos os pontos 
situados na borda externa da roda têm 
velocidade linear 
.rvCM  
 A Figura 
6.10b mostra o movimento puramente 
translacional (como se a roda não 
estivesse rolando): cada ponto da roda 
se move para a direita com velocidade 
.CMv
 
A combinação das Figuras 6.10a e 
6.10b dá origem à Figura 6.10c, que 
mostra o movimento de rolamento real 
executado pela roda. Observa-se que, 
nesta combinação de movimentos, a 
parte inferior da roda (no ponto 
P
) está 
estacionária, enquanto a parte superior 
(no ponto 
T
) se move a uma velocidade 
igual a 
,2 CMv
 mais rapidamente que 
qualquer outra parte da roda. 
 
 
5 
 
 
 
Figura 6.10 – O rolamento de uma roda, visto como uma combinação de um movimento puramente 
rotacional com outro puramente translacional. (a) O movimento puramente rotacional: todos os pontos da 
roda movem-se com a mesma velocidade angular 
.
 Todos os pontos que estão sobre a borda externa da 
roda movem-se com a mesma velocidade linear 
.CMvv 
 As velocidades lineares 
v
 de dois destes 
pontos, no topo (
T
) e na base (
P
) da roda, são mostrados na figura. (b) O movimento puramente 
translacional: todos os pontos da roda movem-se para a direita com a mesma velocidade linear 
,CMv
 
idêntica à do centro da roda. (c) O movimento de rolamento da roda é a combinação de (a) e (b). 
 
 
A Figura 6.11 sugere um outro 
modo de analisar o rolamento de uma 
roda considerando-o, agora, como sendo 
uma rotação pura em torno de um eixo 
que passa pelo ponto em que ele toca o 
solo, durante todo o tempo em que se 
move, ou seja, um eixo que passa pelo 
ponto 
P
 na Figura 6.10c e que é 
perpendicular ao plano da figura. Os 
vetores mostrados na Figura 6.11 
representam as velocidades instantâneas 
de vários pontos da roda durante o 
rolamento. 
Pergunta. Para um observador 
estacionário, qual é o valor da 
velocidade angular da roda da bicicleta, 
em torno desse novo eixo? 
Resposta. A mesma velocidade 
angular 

 que o ciclista atribui à roda, 
ao observá-la em rotação pura em torno 
de um eixo que passa pelo seu centro de 
massa.
 
 
Figura 6.11 – Um corpo rolando pode, em qualquer instante, ser tratado como se estivesse girando em 
torno de seu ponto de contato 
.P
 
 
Usando esta resposta para calcular 
a velocidade linear do topo da roda, do 
ponto de vista de um observador 
estacionário. Sendo 
R
 o raio da roda, o 
topo está situado numa distância 
R2
 do 
eixo que passa por 
P
 na Figura 6.11, de 
5 
 
 
modo que a sua velocidade linear deve 
ser: 
     ,222 CMtopo vRRv  
 
 
(6.37) 
o que concorda inteiramente com a 
Figura 6.10c. 
A Energia Cinética. Calculando agora a 
energia cinética da roda, medida pelo 
observador estacionário, supondo que a 
roda sem escorregar em uma superfície 
horizontal, como na Fig.7. Em qualquer 
instante, a parte inferior da roda, estará 
em repouso na superfície, já que não 
escorrega. O eixo perpendicular à figura, 
que passa pelo ponto de contato 
,P
 
chama-se eixo instantâneo de rotação. 
Nesse instante, a velocidade linear de 
cada ponto da roda está dirigida 
perpendicularmente à linha que une 
P
 
ao ponto e sua intensidade é 
proporcional a essa distância. Isto é 
equivalente a dizer que a roda está 
girando em torno de um eixo fixo que 
passa por 
,P
com certa velocidade 
angular 
,
 nesse instante. Logo, o 
movimento da roda num dado instante é 
equivalente a uma rotação pura. 
Portanto, a energia cinética total pode 
ser escrita como: 
,
2
1 2PIK 
 
 
 
(6.38) 
sendo 
PI
 o momento de inércia com 
respeito ao eixo que passa por 
.P
 
 Aplicando agora o teorema dos 
eixos paralelos, 
,2MRII CMP 
 
onde 
CMI
 é o momento de inércia da 
roda de massa 
M
 e raio 
,R
 com relação 
a um eixo que passa pelo centro de 
massa. A equação (6.38) transforma-se 
agora em: 
.
2
1
2
1 22
CMCM MvIK  (6.39) 
O primeiro termo 
2
2
1
CMI
 em (6.39), 
obtida para um movimento de rotação 
puro, representa a energia cinética que 
teria a roda se estivesse apenas girando 
em torno de um eixo que passa pelo seu 
centro de massa, sem movimento de 
translação; e o segundo 
,
2
1 2
CMMv
 é a 
energia cinética que teria a roda se 
estivesse em movimento de translação 
com a velocidade de seu centro de 
massa e sem girar. Deve-se notar que já 
não se faz referência alguma ao eixo 
instantâneo de rotação. De fato, a 
equação (6.39) aplica-se a um corpo 
qualquer que se mova e gire em torno de 
um eixo perpendicular a seu movimento, 
quer esteja rolando ou não, em uma 
superfície. 
Os efeitos combinados da 
translação do centro de massa e de 
rotação em torno de um eixo que passe 
pelo centro de massa são equivalentes a 
uma rotação pura, com a mesma 
velocidade angular, em torno de um eixo 
que passe pelo ponto de contato do 
corpo que rola. 
 
 
6.12 Conservação do momento angular 
Se a resultante dos torques 
externos em relação a um ponto fixo se 
anula (
0ext
 ), então de (6.31): 
.0 cteL
dt
Ld
ext 



 
 
 
(6.40) 
Quando a resultante dos torques 
externos aplicados a um sistema é nulo o 
vetor momento angular total do sistema 
permanece constante. Este é o princípio 
da conservação do momento angular. 
5 
 
 
Para um sistema de 
n
 pontos 
materiais, o momento angular total, em 
relação a um ponto é: 
....21 nLLLL


 
Assim, quando o momento angular total 
L
 é constante, tem-se: 
,...21 on LcteLLL


 
 
(6.40) 
em que 
oL
 é um vetor constante. O 
momento angular de cada ponto 
material podem variar, mas a sua soma 
permanece constante na ausência de 
torques externos. 
O momento angular é uma 
grandeza vetorial, de modo que (6.40) é 
equivalente a 3 equações escalares, uma 
relativa a cada um dos eixos 
coordenados, passando pelo ponto de 
referência. A conservação do momento 
angular fornece, pois, três condições ao 
movimento do sistema a que se aplica. 
Se o sistema de pontos materiais é 
um corpo rígido, seu momento angular é 
dado por (6.32), e a equação da 
conservação do momento angular (6.40), 
torna-se: 
.ooIcteI 


 
 
(6.41) 
Isto é, o momento angular de um corpo 
rígido, em relação a um eixo, permanece 
constante quando os torques externos 
aplicados, tomados em relação ao 
mesmo eixo, são nulos. 
 
5 
 
 
Exercício 6.1 
A órbita da Terra em torno do Sol é quase circular. (a) Qual a velocidade angular 
da Terra (considerada como partícula) em torno do Sol? (b) Qual é a sua velocidade 
linear em sua órbita? (c) Qual é a aceleração da Terra com relação ao Sol? 
Dado: 
.1050,1 8kmrorbital 
 
Respostas: (a) 
.1099,1 7 srad
 (b) 
.9,29 skmvt 
 (c) 
.1095,5 26 smac

 
 
Exercício 6.2 
A posição angular de um ponto da borda de uma roda é dada por 
,0,30,4 32 ttt 
 onde 

 está em radianos e 
t
 em segundos. Quais são as velocidades 
angulares em (a) 
st 0,2
 e (b) 
?0,4 st 
 (c) Qual é a aceleração angular média no 
intervalo de tempo que começa em 
st 0,2
 e termina em 
?0,4 st 
 Qual é a aceleração 
angular instantânea (d) no início e (e) no fim desse intervalo? 
Respostas: (a) 
srad0,4)0,2( 
 (b) 
srad28)0,2( 
 (c) 
2
12 srad
 
(d) 
t0,60,6 
 e 
2
0,6)0,2( srad
 (e) 
2
18)0,4( srad
 
 
Exercício 6.3 
Nosso Sol está a 
luzanos  4103,2
 do centro da Via Láctea, movendo-se em um 
círculo ao redor desse centro a uma velocidade de 
.250 skm
 (a) Qual a distância do sol 
ao centro da Via Láctea em metros? (b) Quanto tempo o Sol leva para fazer uma volta 
completa em torno do centro da galáxia? (c) Quantas voltas o Sol completou desde que 
ele foi formado, há cerca de 4,5 bilhões de anos? 
Respostas: (a) 
.1018,2 20mR 
 (b) 
.105,5 15sT 
 (c) 
.26N
 
 
Exercício 6.4 
Uma roda com oito raios de 
cm30
 igualmente espaçados, está montada em um 
eixo fixo e gira a 
.5,2 srev
 Para atirar uma flecha com 
cm20
 de comprimento 
paralelamente ao eixo da roda sem atingir um dos raios, (a) Qual é a menor velocidade 
que a flecha pode ter? Suponha que a flecha e os raios são muito finos. (b) O ponto entre 
o eixo e a borda da roda por onde a flecha passa faz alguma diferença? Caso a resposta 
seja afirmativa, para que ponto se deve mirar? 
 
Respostas: (a) 
.0,4 smvmín 
 (b) Não. 
 
6 
 
 
Exercício 6.5 
Uma roda executa 40 revoluções quando desacelera a partir de uma velocidade 
angular de 
srad5,1
 até parar. (a) Supondo que a aceleração angular é constante, 
determine o intervalo de tempo em que isso ocorre? (b) Qual é a aceleração angular da 
roda? (c) Quanto tempo é necessário para que a roda complete as 20 primeiras 
revoluções? 
Respostas: (a) 
.335st 
 (b) 
23105,4 srad
 (c) 
.98s
 
 
Exercício 6.6 
Um pulsar é uma estrela de nêutrons que gira rapidamente em torno de si própria 
e emite um feixe de rádio, do mesmo modo como um farol emite um feixe luminoso. 
Recebemos na Terra um pulso de rádio a cada revolução da estrela. O período 
T
 de 
rotação de um pulsar é determinado medindo o intervalo de tempo entre os pulsos. O 
pulsar da nebulosa do Caranguejo tem período de 
sT 033,0
que está aumentando a uma 
taxa de 
.1026,1 5 anos
 (a) Qual é a aceleração angular 

 do pulsar? (b) Se 

 se 
mantiver constante, daqui a quantos anos o pulsar vai parar de girar? (c) O pulsar foi 
criado pela explosão de uma supernova observada no ano de 1054. Supondo que a 
aceleração 

 se manteve constante, determine o período 
T
 logo após a explosão. 
Respostas: (a) 
29103,2 srad
 (b) 
anos3106,2 
 (c) 
.104,2 2 sT 
 
 
Exercício 6.7 
Um CD (“Compact Disc”) de um sistema digital de áudio possui raios interno e 
externo de sua gravação de 
cm50,2
 e 
,80,5 cm
 respectivamente. Durante a execução, o 
disco é varrido à velocidade linear constante de 
,130 scm
 partindo-se de seu lado 
interno para o lado externo. (a) Se a velocidade angular inicial do disco é 
,0,52 srad
 
qual é a sua velocidade angular final? (b) Quantas revoluções completas (voltas) dará o 
CD desde que começou a tocar a primeira música até o final da última se as linhas 
espirais são separadas por 
?60,1 m
 (c) Qual é o tempo total de gravação? 
Respostas: (a) 
.4,22 srad
 (b) 
.20625N
 (c) 
.min8,54t
 
 
Exercício 6.8 
O prato de um toca-discos de vinil está girando a 
.
3
1
33 rpm
 Uma semente de 
melancia está sobre o prato a 
cm0,6
 de distância do eixo de rotação. (a) Calcule a 
aceleração da semente, supondo que ela não escorregue. (b) Qual o valor mínimo do 
coeficiente de atrito estático entre a semente e o prato para que a semente não 
escorregue? (c) Suponha que o prato atinge sua velocidade angular final em 
,25,0 s
partindo do repouso com aceleração constante. Calcule o menor coeficiente de 
atrito estático necessário para que a semente não escorregue durante o período de 
aceleração. 
Respostas: (a) 
;73,0 2sma 
 (b) 
;075,0mín
 (c) 
.11,0mín
 
 
7 
 
 
Exercício 6.9 
Uma pequena bola com 
g750
 de massa está presa a uma das extremidades de 
uma barra com 
m25,1
 de comprimento e massa desprezível. A outra extremidade da 
barra está pendurada em um eixo. Quando o pêndulo assim formado faz um ângulo de 
30º com a vertical, qual é o módulo do torque exercido pela força gravitacional em 
relação ao eixo? 
Resposta: 
mN 60,4Exercício 6.10 
Duas partículas, ambas com massa 
,85,0 kgm 
 estão ligadas uma à outra e a um 
eixo de rotação em 
O
 por duas barras finas, ambas de comprimento 
cmd 6,5
 e massa 
.2,1 kgM 
 O conjunto gira em torno do eixo de rotação com velocidade angular 
.30,0 srad
 em relação a 
,O
 quais são (a) o momento de inércia do conjunto e (b) a 
energia cinética do conjunto? 
 
Respostas: (a) 
2023,0 mkgI 
 (b) 
JK 3101,1 
 
 
Exercício 6.11 
Em um salto de trampolim, a velocidade angular de uma atleta em relação ao 
eixo que passa pelo seu centro de massa varia de zero a 
srad20,6
 em 
.220ms
 Seu 
momento de inércia em relação ao mesmo eixo é 
.0,12 2mkg 
 Durante o salto, quais são 
os módulos (a) da aceleração angular média da atleta e (b) do torque externo médio 
exercido pelo trampolim sobre a atleta? 
Respostas: (a) 
2
2,28 srad
 (b) 
mNI  21038,3
 
 
Exercício 6.12 
Duas partículas, ambas de massa 
,m
 presas à extremidade de uma barra rígida de 
massa desprezível e comprimento 
,21 LL 
 com 
cmL 201 
 e 
.802 cmL 
 A barra é mantida 
horizontalmente no fulcro até ser liberada. Qual é o módulo da aceleração inicial (a) da 
partícula 1 e (b) da partícula 2? 
 
Respostas: (a) 
2
1 7,1 sma 
 (b) 
2
1 9,6 sma 
 
 
8 
 
 
Exercício 6.13 
Na figura a seguir, o bloco 1 tem massa 
gm 4601 
 e o bloco 2 tem massa 
,5002 gm 
 e a polia, que está montada em um eixo horizontal com atrito desprezível, 
tem raio 
.00,5 cmR 
 Quando o sistema é liberado a partir do repouso o bloco 2 cai 
cm0,75
 em 
s00,5
 sem que a corda desliza na borda da polia. (a) Qual é o módulo da 
aceleração dos blocos? (b) Qual é o valor das tensões 
1T
 e 
?2T
 (c) Qual é o módulo da 
aceleração angular da polia? (d) Qual é o momento de inércia da polia? 
 
Respostas: (a) 
221000,6 sma 
 (b) 
,54,41 NT 
 
.87,2 NT 4
 (c) 
2
20,1 srad
 
(d) 
238,1 mkgI 
 
 
Exercício 6.14 
 Uma pessoa está em pé sobre uma plataforma que gira sem atrito com velocidade 
angular de 
.2,1 srev
 Seus braços estão abertos e ela segura um haltere em cada mão. O 
momento de inércia formado pela pessoa, os halteres e a plataforma em relação ao eixo 
vertical central da plataforma é de 
.0,6 2mkg 
 Se, ao mover os braços para junto do 
corpo, a pessoa reduz o momento de inércia do sistema para 
,0,2 2mkg 
 determine (a) a 
nova velocidade angular da plataforma e (b) a razão entre a nova energia cinética do 
sistema e a energia cinética inicial. (c) De onde vem a energia cinética adicional? 
Respostas: (a) 
.6,3 srevf 
 (b) 
3if KK
 (c) A pessoa realizou trabalho ao trazer os 
halteres para junto do corpo. Logo, a energia adicional veio de sua energia interna. 
 
Exercício 6.15 
 Uma roda com 
cm0,25
 de raio, que está se movendo inicialmente a 
,0,43 sm
rola 
m225
 até parar. Calcule o módulo (a) da aceleração linear e (b) da aceleração angular 
da roda. (c) O momento de inércia da roda em torno do eixo central é 
.155,0 2mkg 
 
Calcule o módulo do torque em relação ao eixo central devido ao atrito sobre a roda. 
Respostas: (a) 
2
11,4 sma 
 (b) 
2
4,16 srad
 (c) 
mN  55,2
 
 
Exercício 6.16 
O virabrequim de um automóvel transfere energia do motor para o eixo a uma taxa 
de 
cv104
 quando gira a 
.min3600rev
 Qual o torque (em newtons-metros) exercido pelo 
virabrequim? 
Resposta: 
mN  3,21
 
9 
 
 
Exercício 6.17 
(a) Explique por que o puxador da porta é colocado o mais longe possível das 
dobradiças. 
(b) Usando a lei de conservação do momento angular explique por que, na prova 
olímpica de salto do trampolim de 
,10m
 o atleta tem a necessidade de encolher 
os braços e pernas para dar um duplo giro antes de mergulhar? 
 
Exercício 6.18 
 Suponha que a Terra seja uma esfera de densidade uniforme. (a) Calcule sua 
energia cinética rotacional. (b) Suponha que essa energia possa ser utilizada. Por quanto 
tempo a Terra poderia suprir cada um de seus sete bilhões de habitantes com uma 
potência de 
?00,1 kW
 Dados: 
kgmTerra
241098,5 
 e 
.1037,6 6mRTerra 
 
Respostas: (a) 
JKr
291057,2 
 (b) 
.min8,54t
 
 
Exercício 6.19 
 Dois cilindros, um maciço e outro oco, de mesma massa e mesmo raio rolam, a 
partir do repouso, do topo de um plano inclinado de altura 
.h
 (a) Quem chegará primeiro 
à base do plano? (b) Explique essa diferença em termos das energia cinéticas de 
translação e de rotação. 
Dados: 
,2mRIoco 
 
.
2
1 2mRImaciço 