IEF991 Unidade 3 2013 1

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Unidade 3 Dinâmica da partícula 
3.1 Força e movimento 
Na unidade anterior, estudamos o 
movimento de uma partícula sem 
indagar a causa do mesmo, descrevendo-
o em termos dos vetores, posição, 
velocidade e aceleração. Nesta unidade 
discutimos as causas do movimento, que 
constituem a parte da Mecânica 
denominada Dinâmica. 
Há mais de dois mil anos, o 
filósofo grego Aristóteles (384-322 a.C.) 
tentou explicar o movimento 
classificando-o em dois tipos: o 
movimento natural e o movimento 
violento. Segundo ele, o movimento 
natural decorre da natureza do objeto, 
conforme a combinação dos quatro 
elementos (terra, água, ar e fogo) de 
que ele fosse feito. Assim, uma pedra 
(elemento terra), que não esteja 
devidamente apoiada, cai em direção ao 
chão. Isto se deve em razão de que todo 
objeto, que não esteja em seu lugar 
natural, se esforçará para alcançá-lo. 
Ainda, segundo Aristóteles, o movimento 
violento resultava de forças que 
puxavam ou empurravam, ou seja, o 
movimento violento era o movimento 
imposto. 
Diante disso, perguntamos: O que 
é necessário para colocar um corpo em 
movimento? E para manter um corpo em 
movimento ou fazê-lo parar? O 
movimento de um corpo é determinado 
pela natureza e pela disposição de 
outros corpos, que constituem sua 
vizinhança. Estudaremos apenas o caso 
especial de objetos grandes (no sentido 
de que não estamos tratando de objetos 
nas escalas atômica e subatômica), que 
se movem com velocidades muito 
menores que a velocidade da luz no 
espaço vazio. Este é o domínio da 
Mecânica Clássica, ciência que se baseia 
em três leis fundamentais, estabelecidas 
por Sir Isaac Newton (1642-1727) e 
apresentadas pela primeira vez em 1686 
na sua obra Principia Mathematica 
Philosophiae Naturalis (Os Princípios 
Matemáticos da Filosofia Natural), 
usualmente chamada de Principia. 
No estudo da dinâmica de uma 
partícula devemos resolver o seguinte 
problema: (1) É dada uma partícula, da 
qual conhecemos suas características 
como massa, velocidade etc. (2) Coloca-
se essa partícula, com velocidade 
conhecida, em uma vizinhança que é 
possível descrever completamente. (3) 
Qual o movimento subsequente da 
partícula? 
Esse problema foi resolvido, pelo 
menos para uma grande variedade de 
estudiosos da física; por Isaac Newton, 
por exemplo, quando propôs as leis do 
movimento e formulou a lei de 
gravitação universal. O método para 
resolver esse problema é o seguinte: (1) 
Introduz-se o conceito de força 
,F
 a 
qual é definida por meio da aceleração 
a
 adquirida por determinado corpo-
padrão. (2) É estabelecido um processo 
para atribuir uma massa 
m
 a um corpo, 
de modo que se possa entender o fato de 
que diferentes partículas de mesma 
espécie adquirem acelerações diferentes 
na mesma vizinhança. (3) Finalmente, 
tenta-se calcular as forças que atuam 
nas partículas, a partir das propriedades 
delas e de sua vizinhança, isto é, 
procura-se descobrir as leis de força 
(HALLIDAY et al, 2002). 
Sabemos que devemos aplicar uma 
força a um objeto em movimento para 
alterar a velocidade do mesmo. Do ponto 
de vista físico, força é o agente 
responsável pela mudança da velocidade 
de um objeto. Se ele muda de 
velocidade, então, sobre ele age uma 
(ou mais de uma) força. A força, que é 
essencialmente uma técnica de 
relacionar a vizinhança com o 
movimento de uma partícula, aparece 
tanto nas leis do movimento (que nos 
2 
 
informam que aceleração terá um corpo 
sob a ação de determinada força), como 
nas leis de força (que nos permitem 
calcular a força que atuará sobre um 
dado corpo, em determinada 
vizinhança). As leis de movimento e as 
leis de força constituem, em conjunto, 
as leis da mecânica, como sugere a 
Figura 3.1. No cotidiano utilizamos 
forças constantemente, seja para 
empurrar, puxar, levantar ou mesmo 
provocar deformações nos objetos. Mas, 
quaisquer que sejam os seus efeitos, 
devemos entender força como resultado 
da interação entre um corpo e sua 
vizinhança. 
 
 
Figura 3.1 – O programa para a mecânica. As três caixas à esquerda sugerem que força é uma interação 
entre um corpo e sua vizinhança. As três caixas à direita sugerem que uma força agindo em um corpo vai 
acelerá-lo. Fonte: Resnick et al, 1996, p.73. 
 
Dependendo da natureza de sua 
vizinhança, um corpo pode estar sujeito 
à ação de várias forças 
simultaneamente. Neste caso, podemos 
utilizar as regras da adição vetorial e 
substituir essas forças por uma única, 
chamada força resultante. Saber 
determinar a força resultante é muito 
importante para determinar como uma 
partícula irá se mover sob determinada 
circunstância. 
 
3.2 Leis do movimento de Newton 
Primeira Lei de Newton (Lei da inércia): Se a resultante das forças externas que atuam 
sobre uma partícula é nula, então a partícula estará em repouso ou em movimento 
retilíneo e uniforme. Em termos matemáticos: 





)(
0
MRUuniformeeretilíneomovimento
repouso
Fext
 
 
(3.1) 
 
Do enunciado da primeira lei de 
Newton nota-se que estar em movimento 
com velocidade constante ou em repouso 
irá depender do observador. Por 
exemplo, para o motorista de um carro 
que se desloca em linha reta com 
velocidade constante, o passageiro 
sentado ao seu lado está em repouso, 
mas para uma pessoa na calçada os dois 
se movem com a velocidade constante 
do carro. Assim, a primeira lei é uma 
afirmação sobre referenciais, pois, em 
geral, a velocidade de um corpo 
depende do sistema de referência em 
relação ao qual ela é medida. 
O fato de que os corpos 
permanecem em repouso ou em 
movimento retilíneo uniforme, na 
ausência de forças aplicadas, é 
frequentemente descrito atribuindo à 
matéria uma propriedade denominada 
inércia. A primeira lei de Newton é 
frequentemente chamada lei de inércia 
e os referenciais aos quais ela se aplica, 
são, por isso, chamados referenciais 
inerciais. Tais referenciais ou são fixos 
3 
 
em relação às estrelas distantes, ou se 
movem com velocidade constante com 
relação a elas (NUSSENZVEIG, 2002). 
Uma das consequências da 
primeira lei é o fato de que qualquer 
variação da velocidade 
v
 de um corpo 
(em módulo ou em direção!) em relação 
a um referencial inercial, ou seja, 
qualquer aceleração deve estar 
associada à ação de forças. 
Uma situação bastante comum, do 
ponto de vista da observação da inércia 
dos corpos, é aquela dos passageiros 
num ônibus. Quando o motorista freia 
bruscamente o ônibus, os passageiros 
tendem a manter-se em movimento, de 
modo que “vão para frente” do ônibus 
quando este para bruscamente, 
conforme sugere a Figura 3.2. Situação 
análoga ocorre quando os passageiros 
“caem sentados” quando o ônibus parte 
bruscamente do repouso. Na realidade, 
nas duas situações a mudança do estado 
de movimento é apenas do ônibus. Os 
passageiros simplesmente tendem a 
manter-se como estavam. 
 
 
Figura 3.2 – Passageiros “vão para frente” quando o ônibus para bruscamente. 
Fonte: http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/inercia/cotidiano/. 
 
É o princípio da inércia que 
explica porque as pessoas se ferem em 
acidentes automobilísticos. Conquanto 
os carros tenham suas velocidades 
reduzidas pela colisão, a tendência das 
pessoas é manterem-se em movimento 
(Figura 3.4). Daí resulta os corpos serem 
jogados contra o para-brisa ou outras 
partes do carro. É por isso que todos os 
usuários devem usar o cinto de 
segurança que tem a função de proteger 
o passageiro da inércia de seu 
movimento no caso de uma freada 
brusca ou colisão. 
Embora devido à inércia resultem 
os ferimentos em acidentes de trânsito, 
há situações nas quais se podem tirar 
proveito da inércia, sendo o exemplo 
mais simples o encaixedo martelo no 
cabo. Basta batê-lo contra uma 
superfície rígida como a de uma mesa. 
Uma vez em movimento, o martelo 
tende a manter-se em movimento, 
facilitando o encaixe, conforme sugere a 
Figura 3.5. 
 
4 
 
 
Figura 3.3 – Tirinhas do Garfield mostrando situações nas quais se aplicam a lei da inércia. 
Fonte: http://www.cepa.if.usp.br/e-fisica/mecanica/universitario/cap09/cap09_31.htm 
 
 
 
Figura 3.4 – Passageiros são “segurados” pelo cinto de segurança quando o carro para bruscamente. 
Fonte: http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/inercia/cotidiano/. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.5 – O princípio da inércia sendo usado para facilitar o encaixe do martelo no cabo. 
Fonte: http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/inercia/cotidiano/. 
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Segunda Lei de Newton (Princípio fundamental da dinâmica): Se a resultante das 
forças externas sobre uma partícula não é nula, então a quantidade de movimento (ou 
momentum linear) do corpo irá variar na mesma direção e sentido da força resultante. 
Em termos matemáticos: 
,0 
dt
pd
FFFext
 
 
(3.2) 
onde 
vmp


 expressa a quantidade de movimento (momento linear ou momentum) da 
partícula. 
Você deve estar achando estranho 
escrever a segunda lei de Newton na 
forma 
,dtpdF


 pois no Ensino Médio 
ela aparecia na forma 
.amF


 Na 
realidade, esta forma só é válida quando 
a massa da partícula não variar durante 
a aplicação da força, ou seja, se 
.,constm 
 então: 
 
 
,am
dt
vd
m
dt
vd
mv
dt
dm
dt
vmd
dt
pd
F





 
 
(3.3) 
pois 
0dtdm
 quando a massa da partícula é constante e 
.adtvd


 Assim, a forma 
amF


 para a segunda lei de Newton encontrada nos livros corresponde ao caso 
particular em que a massa da partícula não varia com o tempo. 
Na Dinâmica usaremos 
exclusivamente o Sistema Internacional 
de Unidade (SI), que tem, para unidade 
de intensidade de força, o Newton, cujo 
símbolo é 
.N
 De (3.3): 
 
    .1111 22 NsmkgsmkgF 
 
Observe que, de acordo com as regras de 
escrita do SI, a unidade "Newton" se 
escreve com letra minúscula, embora 
venha do nome próprio "Newton". No 
entanto, o símbolo da unidade de força é 
escrito com letra maiúscula. 
Terceira Lei de Newton (Lei da ação-reação): A cada ação sempre se opõe uma reação 
igual e oposta, ou seja, as ações mútuas entre dois corpos são sempre iguais e dirigidas 
para partes contrárias. Em termos matemáticos: 
    ,1221 FF


 
 
(3.4) 
onde 
 21F
 deve ser entendido como a força sobre a partícula 1 devida a sua interação 
com a partícula 2 e 
 12F
 a força sobre a partícula 2 devida a sua interação com a 
partícula 1. 
 
Já vimos que as forças que atuam 
em um corpo originam-se em outros 
corpos que constituem sua vizinhança. 
Uma força é apenas o resultado da 
interação mútua entre dois corpos. 
Assim, quando um corpo exerce uma 
força sobre outro, o segundo corpo 
sempre exerce uma força no primeiro. 
A experiência mostra que essas 
forças têm o mesmo módulo e mesma 
direção, mas sentidos opostos. É 
impossível existir uma única força 
isolada. Se uma das duas forças 
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envolvidas na interação entre dois 
corpos for denominada ação, a outra 
será chamada reação. Qualquer delas 
pode ser considerada ação e a outra 
reação. Não há relação de causa e 
efeito; verifica-se, apenas, uma 
interação simultânea mútua 
(NUSSENZVEIG, 2002). 
 
3.3 Forças de atrito 
Já sabemos que força é o 
resultado da interação entre um corpo e 
sua vizinhança e que é impossível existir 
uma única força isolada de acordo com a 
terceira lei de Newton. Assim, quando 
dois corpos interagem, ou seja, quando 
trocam forças eles podem ou não estar 
em contato. Um exemplo de força que 
atua à distância é a força de atração 
gravitacional que faz com que um objeto 
quando solto caia em direção ao solo. 
Também sabemos que é necessária uma 
força para empurrar uma mesa e que a 
mesa não interpenetra no solo devido à 
rigidez do mesmo. Na primeira situação, 
na qual os corpos interagem sem que 
entre eles haja contato, as forças entre 
os corpos são chamadas de forças de 
campo e, na segunda, forças de 
contato. 
No cotidiano percebemos a 
existência da força de atrito em muitas 
situações. Por exemplo, se uma caixa 
bem grande contendo alguns objetos for 
empurrada percebemos que à medida 
que formos retirando os objetos 
atingiremos um ponto no qual 
conseguiremos movimentá-la com 
facilidade. A dificuldade de mover a 
caixa é devida ao surgimento da força de 
atrito 
atF
 entre o solo e a caixa, 
conforme indicado na Figura 3.6. 
As forças de atrito resultantes do 
contato entre os dois corpos sólidos são 
forças tangenciais à superfície de 
contato. No exemplo acima, a direção 
da força de atrito é dada pela direção 
horizontal. Ela não aparecerá se você 
levantar a caixa. 
A força de atrito tende sempre a 
se opor ao movimento relativo das 
superfícies em contato. Assim, o sentido 
da força de atrito é sempre o sentido 
contrário ao movimento relativo das 
superfícies. 
Sobre o módulo da força de atrito 
cabem aqui alguns esclarecimentos: 
enquanto a força que empurra a caixa 
for pequena, o valor do módulo da força 
de atrito é igual à força que empurra a 
caixa. Ela anula o efeito da força 
aplicada. 
 
Figura 3.6 – A força de atrito de deslizamento é uma força tangencial à superfície de contato entre as 
superfícies. Fonte: http://www.cepa.if.usp.br/e-fisica/mecanica/universitario/cap09/cap09_36.htm 
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Na Figura 3.7a temos o caso de 
um bloco apoiado em repouso sobre uma 
superfície plana. Neste caso, de acordo 
com a primeira lei de Newton, a 
resultante das forças externas sobre o 
bloco é igual a zero. Note que a força 
peso (
P
 ) é uma força de campo (ela é o 
resultado da força de atração 
gravitacional e seu módulo vale 
,mgP 
 
onde 
m
 é a massa do bloco e 
28,9 smg 
 é o módulo da aceleração 
da gravidade ao nível do mar). A força 
normal (
N
 ) é um exemplo de força de 
contato e provém da deformação 
elástica dos corpos em contato e atua no 
sentido contrário ao efeito da 
deformação na superfície. Como o bloco 
não tem aceleração vertical, a superfície 
deve exercer sobre ele uma força 
dirigida para cima de mesma intensidade 
que a força de atração exercida pela 
Terra sobre o bloco, ou seja, igual ao 
peso do bloco. 
 
Figura 3.7 – (a) Bloco apoiado em repouso sobre uma superfície plana. (b) Mesmo bloco apoiado sobre 
uma rampa. 
 
 
Colocando o mesmo bloco da 
Figura 3.7a numa rampa com inclinação 
dada pelo ângulo 
,
 a resultante entre a 
força peso (
P
 ) e força normal de 
contato (
N
 ) não é zero pela regra de 
adição vetorial, conforme indicado na 
Figura 3.7b. No entanto, a experiência 
mostra que se a inclinação da rampa não 
for muito grande o bloco permanece em 
repouso. Da primeira lei de Newton 
sabemos que se uma partícula está em 
repouso, num dado referencial inercial, 
então a resultante das forças externas 
sobre a partícula é igual a zero. Qual 
será então a força que anula a força 
resultante 
?PN


 É outro tipo de força 
de contato muito comum em nossas 
experiências diárias: a força de atrito. 
Para entendermos o que é esta 
força de atrito, consideremos ainda o 
bloco em repouso da Figura 3.7a sobre 
uma superfície horizontal. Liguemos a 
ele um dinamômetro (aparelho usado 
para medir a força). Verificamos, assim, 
que o bloco não se moverá mesmo se 
aplicarmos uma pequena força. Neste 
caso, dizemos que a força aplicadaé 
equilibrada por uma força de atrito 
oposta, exercida sobre o bloco pela 
superfície, atuando ao longo da área de 
contato. É esta força que anula a 
resultante 
PN


 quando o bloco está 
numa rampa como indicado na Figura 
3.7b. Aumentando a força aplicada, 
encontraremos uma força definida, para 
a qual o bloco apenas começa a se 
mover. A experiência mostra que, uma 
vez iniciado o movimento, esta mesma 
força acelera o bloco. Reduzindo a força 
(desde que o movimento tenha 
começado), verificamos ser possível 
Unidade 3 
Leis de Newton do 
movimento e 
aplicações 
8 
 
manter o bloco em movimento retilíneo 
e uniforme (sem aceleração). 
As forças de atrito que atuam 
entre superfícies em repouso relativo são 
chamadas forças de atrito estático. A 
força máxima de atrito estático será 
igual à força mínima necessária para 
começar o movimento. As forças que 
atuam entre superfícies em movimento 
relativo denominam-se de atrito 
cinético (em alguns livros, atrito 
dinâmico). 
Várias experiências nos levaram às 
seguintes propriedades da força de atrito 
(direção e sentido): (1) As forças de 
atrito resultantes do contato entre dois 
corpos sólidos são tangenciais à 
superfície de contato; (2) A força de 
atrito tende sempre a se opor ao 
movimento relativo das superfícies em 
contato, ou seja, o sentido da força de 
atrito é sempre contrário ao sentido do 
movimento relativo das superfícies. 
Mesmo quando não há movimento 
relativo, podem existir forças de atrito 
entre as superfícies (caso do atrito 
estático). 
A força máxima de atrito estático 
entre um par qualquer de superfícies 
secas, não lubrificadas, obedece a duas 
leis empíricas: (1) é aproximadamente 
independente da área de contato, 
dentro de amplos limites, e (2) é 
proporcional à força normal, ou seja, 
,Nf ea  
 (3.5) 
onde 
e
 representa o coeficiente de 
atrito estático para as duas superfícies 
em contato. Ele representa o quociente 
do módulo da força de atrito estático 
máxima pelo módulo da força normal. 
A força de atrito cinético entre 
superfícies secas não lubrificadas 
obedece às mesmas duas leis do atrito 
estático: (1) é aproximadamente 
independente da área de contato, 
dentro de amplos limites, e (2) é 
proporcional à força normal. A força de 
atrito cinético também é razoavelmente 
independente da velocidade com a qual 
cada superfície se move em relação à 
outra. 
Representando por 
ef
 a 
intensidade da força de atrito estático, e 
por 
cf
 a intensidade da força de atrito 
cinético, a experiência mostra que para 
um dado par de superfícies, 
,ce ff 
 ou 
seja, 
ce  
. 
 
 
 9 
Exercício 3.1 
Newton mostrou, conforme indicado no esquema da Figura 3.1, que a grandeza 
física “força” surge como resultado da interação entre um corpo e sua vizinhança. 
Explique, então, por que está errado o termo “força de um corpo”? 
 
Exercício 3.2 
Da primeira lei de Newton, expressa na equação (3.1), um corpo pode estar em 
movimento retilíneo e uniforme, ou seja, com velocidade constante, mesmo que a força 
resultante sobre este corpo seja nula. Então, por que é necessário ficar “acelerando” o 
carro ou a moto para manter a velocidade constante? Será que há algo errado com a 
primeira lei de Newton? Explique. 
 
Exercício 3.3 
Da terceira lei de Newton, expressa pela equação (3.4), verifica-se que é 
impossível existir uma única força isolada e que, pela a terceira lei de Newton, quando 
um corpo exerce uma força sobre outro, o segundo corpo sempre exerce uma força no 
primeiro de modo que elas são de mesma intensidade, mesma direção e de sentidos 
opostos. Então, considere um corpo de massa 
m
 em repouso sobre uma mesa. Onde 
atua a reação da força peso (divida à atração da Terra) sobre este corpo? Explique 
através de um diagrama indicando as forças de ação e de reação. 
 
Exercício 3.4 
Você já deve saber, por experiência própria, que é necessário uma força muito 
maior para começar a arrastar um bloco pesado do que para mantê-lo em movimento, 
pois como se diz em linguagem popular “o bloco já está no embalo”. Explique este fato. 
 
Exercício 3.5 
Uma força horizontal 
NF 53
 empurra um bloco que pesa 
N22
 contra uma 
parede vertical. O coeficiente de atrito estático entre a parede e o bloco é 
60,0
 e o 
coeficiente de atrito cinético é 
.40,0
 Considere o bloco inicialmente em repouso. (a) O 
bloco começará a se mover? (b) Qual é a força exercida pela parede sobre o bloco? 
 
Exercício 3.6 
O coeficiente de atrito estático entre o chão da carroceria de um caminhão e uma 
caixa que está sobre ela é 0,3. O caminhão está a 
.90 hkm
 Qual a distância mínima em 
que o caminhão pode parar, uniformemente freado, sem que a caixa escorregue pela 
carroceria? 
 
Exercício 3.7 
(a) Qual a inclinação necessária de uma curva com 
m30
 de raio de modo que um carro 
com 
kg1000
 se movendo a 
hkm54
 pode realizá-la mesmo que o asfalto esteja tão 
molhado que o coeficiente de atrito estático seja aproximadamente nulo? 
 10 
(b) Se esta mesma curva não for inclinada, qual deve o coeficiente de atrito estático 
entre o asfalto e os pneus para que um carro com 
kg1000
 se movendo a 
hkm54
 
possa realizá-la? 
 
Exercício 3.8 
Duas massas estão amarradas por uma corda leve, com a massa 
1m
 sobre um plano 
inclinado e a massa 
2m
 pendurada. O plano inclinado e a polia são ideais, sem atrito. 
Achar a aceleração das massas e a tensão na corda, quando a inclinação do plano é 
o30
 e 
.521 kgmm 