IEF991 Unidade 5 2013 1

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Unidade 5 Conservação do momento linear e colisões 
5.1 Movimento do centro de massa 
Até agora os objetos foram 
tratados como se fossem partículas, ou 
seja, possuíssem massa, mas não tendo 
dimensões. Isto não é problema para o 
caso do movimento de translação de um 
corpo rígido, pois qualquer um de seus 
pontos, à medida que o tempo passa, 
sofre o mesmo deslocamento que 
qualquer outro ponto, de tal maneira 
que o movimento de uma partícula 
representa o movimento de todo o 
corpo. 
A situação parece ficar mais 
complicada quando o corpo roda ou vibra 
enquanto se desloca, e ainda mais 
complicada se, em vez de um corpo, 
descrevemos o movimento de um 
sistema de partículas. Veremos, nesta 
unidade, que há um ponto denominado 
centro de massa, que se desloca da 
mesma maneira que se deslocaria uma 
única partícula, sujeita ao mesmo 
sistema de forças externas. Assim, o 
movimento de qualquer corpo ou sistema 
de partículas pode ser descrito em 
termos do movimento do centro de 
massa. 
Vamos considerar, inicialmente, 
um sistema simples de duas partículas 
com massas 
1m
 e 
2m
 a distâncias 
1x
 e 
,2x
 respectivamente, de uma origem 
,O
 
sobre o eixo 
.x
 A posição do centro de 
massa do sistema é dada por: 
.
21
2211
mm
xmxm
xCM



 
 
(5.1) 
 De (5.1) nota-se que o centro de 
massa tem a seguinte propriedade: o 
produto de sua distância à origem pela 
massa total do sistema 
),( 21 mmM 
 é 
igual à soma dos produtos de cada uma 
das massas pela sua respectiva distância 
à origem; isto é, 
.
)(
2211
21
xmxm
xMxmm CMCM


 
 
 
(5.2) 
Para um sistema com 
n
 
partículas, 
,...,,, 21 nmmm
 ao longo de 
uma linha reta, por definição, o centro 
de massa destas partículas, em relação a 
uma origem, é: 
,
...
...
21
2211
i
ii
n
nn
CM
m
xm
mmm
xmxmxm
x






 
 
(5.3) 
onde 
nxxx ..,.,, 21
 são as distâncias das massas à origem em relação a qual 
cmx
 foi medido. 
Para um grande número de partículas num plano, o centro de massa estará em 
CMx
 e 
,CMy
 dados por: 










iiCM
iiCM
ym
M
y
xm
M
x
1
1
 
 
 
(5.4) 
em que 
)( imM 
 é a massa total do sistema. 
Podemos generalizar o problema 
para um grande número de pontos 
materiais distribuídos no espaço. As 
coordenadas 
,CMx
 
,CMy
 
,CMz
 do centro 
de massa são definidas pelas relações: 
 















iiCM
iiCM
iiCM
zm
M
z
ym
M
y
xm
M
x
1
1
1
 
 
 
 
(5.5) 
 
A posição do centro de massa é 
independente do sistema de 
coordenadas usado para localizá-lo. O 
centro de massa de um sistema de 
pontos materiais depende somente das 
massas dos referidos pontos e das 
posições relativas destas. 
 No caso de um corpo rígido, que 
pode ser imaginado como um sistema de 
pontos materiais agrupados muito 
juntos, as coordenadas do centro de 
massa são dadas por: 















dmz
M
z
dmy
M
y
dmx
M
x
CM
CM
CM
1
1
1
 
 
 
 
(5.6) 
 
Escrevendo a equação (5.3) como 
nnCM
xmxmxmxM  ...
2211
 e 
diferenciando duas vezes em relação ao 
tempo obtemos: 
 
nxnxx
n
n
CM
amamam
dt
xd
m
dt
xd
m
dt
xd
m
dt
xd
M


...
...
2211
2
2
2
2
2
22
1
2
12
2
 
 
 
(5.7) 
 
na qual 
xa1
 é o componente 
x
 da 
aceleração da primeira partícula, etc., e 
2
2
dt
xd CM
 é o componente 
x
 da aceleração 
do centro de massa. Sendo 
xF1
 o 
componente segundo o eixo dos 
x
 da 
força resultante atuante sobre a 
primeira partícula, então, pela segunda 
lei de Newton, 
,111 xx amF 
 
,222 xx amF 
 
etc. 
A equação (5.7) pode ser escrita 
da seguinte maneira: 
,...21 nxxxx FFFaM 
 
 
(5.8) 
 
em que 
xa
 é o componente 
x
 da 
aceleração do centro de massa. 
Equações semelhantes podem ser 
consideradas para os componentes 
y
 e 
.z
 As três equações escalares podem ser 
resumidas numa única equação vetorial: 
....21 nCM FFFaM


 
 
(5.9) 
 
A equação (5.9) mostra que a 
massa total do conjunto de pontos 
materiais, multiplicada pela aceleração 
do seu centro de massa é igual à soma 
vetorial de todas as forças que atuam 
sobre o conjunto. No entanto, entre 
todas estas forças existem as forças 
internas exercidas pelos próprios pontos 
materiais entre si e, pela terceira lei de 
Newton, estas forças atuam em pares do 
tipo ação-reação e não contribuem para 
a soma em (5.9), que pode ser escrita 
como: 
 extCM FaM

 
 
(5.10) 
O resultado expresso em (5.10) assegura 
que o centro de massa do sistema de 
pontos materiais se move como uma 
partícula de massa 
 imM
 sob a 
influência da resultante das forças 
externas atuando sobre o sistema. Logo, 
o movimento do centro de massa 
representa o movimento de translação 
de todo o corpo. Este, na verdade, é o 
procedimento implícito em todos os 
diagramas de forças e resolução de 
problemas.
5.2 Conservação do momento linear 
O momento linear, também 
chamado de quantidade de movimento 
linear (ou momentum1) de uma partícula 
é definido como o produto de sua massa 
pela sua velocidade, ou seja, 
.vmp


 
 
(5.11) 
Se, ao invés de uma única partícula 
tivermos um sistema de 
n
 partículas de 
massas 
,...,,, 21 nmmm
 o momento linear 
total será dado por: 
....21 npppP


 
 
(5.12) 
Tomando a taxa de variação de 
(5.12) em relação ao tempo, obtém-se: 
 ....21 extn F
dt
Pd
FFF
dt
Pd 


 
 
(5.13) 
De (5.10) tem-se que: 
   CMext vM
dt
d
F

 
 
(5.14) 
de modo que: 
 
1
 A expressão momentum (plural momenta) 
foi cunhada por Newton com o significado 
de “inércia em movimento”. Em português 
é traduzida para quantidade de movimento. 
No entanto, alguns livros trazem o termo 
momento linear ou, simplesmente, 
momento. Aqui vamos usar o termo 
momento linear. 
 .CMvM
dt
d
dt
Pd 


 
 
(5.15) 
ou seja, 
,CMvMP


 
 
(5.16) 
Indicando que o momento linear 
total de um sistema de pontos materiais 
é igual ao produto da massa total do 
sistema pela velocidade do seu centro de 
massa. 
 Se a resultante das forças 
externas que atuam em um sistema for 
nula, então da segunda lei de Newton: 
constante.0  P
dt
Pd
dt
Pd
Fext


 
 
(5.17) 
O resultado expresso por (5.17) 
mostra que se a resultante das forças 
externas que atuam em um sistema de 
partículas é nula, o vetor momento 
linear do sistema permanece constante. 
Este resultado simples, mas realmente 
geral, é chamado princípio de 
conservação do momento linear. O 
momento linear individual das partículas 
que compõem o sistema pode sofrer 
variações, mas a sua soma permanece 
constante, se a resultante das forças 
externas é nula. 
As partículas podem interagir 
entre si, mas estas interações não irão 
modificar o momento linear do sistema, 
pois as forças de interação mútua entre 
duas partículas constituem um par ação-
reação, não contribuindo para mudar o 
momento linear total do sistema de 
partículas. Do princípio de conservação 
do momento linear tem-se que um 
sistema não pode deslocar oseu CM 
sob a ação puramente de força 
internas. Além disso, o resultado obtido 
na equação (5.17) leva a uma 
generalização da lei da inércia: se a 
resultante das forças externas que 
atuam sobre um sistema se anula, o CM 
do sistema permanece em repouso ou 
em movimento retilíneo uniforme. 
 
5.3 Energia e momento linear 
Agora que já sabemos que tanto a 
energia cinética quanto o momento 
linear dependem do movimento, é bom 
deixar bem claro que são grandezas 
físicas diferentes. Enquanto a energia 
cinética é uma grandeza escalar, o 
momento linear é uma grandeza 
vetorial. 
Outra diferença entre energia 
cinética e o momento linear é a 
dependência em relação à velocidade: o 
momento linear é proporcional à 
velocidade (
vmp


) e a energia cinética 
é proporcional ao quadrado da 
velocidade (
2
2
1
vmK 
). Isto faz toda a 
diferença. Vamos considerar o caso de 
uma bola com 
g500
 de massa com 
velocidade igual a 
,4 sm
 e uma pedra de 
g50
 com velocidade de 
.40 sm
 Os 
momentos lineares da bola e da pedra 
são: 
    smkgsmkgpbola  24500,0 
e: 
    .240050,0 smkgsmkgppedra 
 
 Entretanto, sabemos que se 
alguém for atingido pela pedra o 
“estrago” será maior do que se for 
atingido pela bola. Por que isto acontece 
se ambos possuem a mesma quantidade 
de movimento? 
Vamos calcular a energia cinética 
da bola e da pedra: 
    JsmkgKbola 44500,0
2
1 2
 
e: 
    ,4040050,0
2
1 2
JsmkgK pedra  
ou seja, a pedra tem 10 vezes mais 
capacidade de realizar trabalho! O 
momento linear fornece apenas impacto, 
enquanto a energia produz os danos. 
 
5.4 Sistemas de massa variável 
 Os resultados obtidos até aqui 
parecem implicar que o deslocamento de 
um corpo só é possível se existirem 
forças externas capazes de impulsioná-
lo. Assim, somos capazes de caminhar 
porque empurramos o solo para trás e o 
atrito com o solo nos impele para frente. 
Entretanto, existe outro método de 
propulsão de grande importância 
prática, exemplificado pelo recuo de um 
canhão: mesmo na ausência de atrito 
com o solo, o canhão se deslocará para 
trás ao disparar a bala. Isto é possível 
porque a massa inicial (canhão + bala) 
diminui após o disparo, se for 
considerado só o deslocamento do 
canhão (o 
CM
 do sistema canhão + bala 
permanece em repouso). Assim, se a 
massa de um corpo é variável, ele pode 
ser impulsionado sob a ação puramente 
de forças internas. 
 Supondo que num instante 
t
 (Figura 
5.1) um astronauta estivesse flutuando 
no espaço, longe de qualquer campo 
gravitacional (
0 extF
 ). Ele estaria se 
deslocando em movimento retilíneo 
uniforme com velocidade 
v
 em relação a 
um referencial inercial. O astronauta 
segura um revólver, e no instante 
t
 
dispara uma bala de massa 
.m
 Se a 
massa do astronauta + revólver (vazio) é 
,m
 a massa inicial do sistema é: 
.)( mmtm 
 
 
(5.18) 
 
 
Figura 5.1 – Astronauta estivesse flutuando no espaço, longe de qualquer campo gravitacional. Fonte: 
Nussenzveig, 2002, p.159. 
Seja 
ev


 a velocidade com que a 
bala escapa em relação ao revólver. A 
velocidade 
2v

 da bala em relação ao 
referencial inercial é dada por: 
.2 evvv


 
 
(5.19) 
Num instante 
tt 
 após o disparo, a 
massa do astronauta + revólver é: 
mttm  )(
 
 
(5.20) 
e sua velocidade é: 
.)( vvttv


 
 
(5.21) 
Como 
0 extF
 por hipótese, o 
momento linear total do sistema, 
,P
 se 
conserva. Assim: 
,)()( vmmtP
 
 
 
(5.22) 
 
   ,)( evvmvvmttP

  
 
(5.23) 
de forma que a conservação do momento 
linear implica: 
,)()(0 evmvmtPttPP
  
 
(5.24) 
o que dá: 
.ev
m
m
v
 

 
 
(5.25) 
A variação de massa do sistema cuja 
velocidade variou de 
v


 é: 
,)()( mmtmttm  
 
(5.26) 
ou seja, é negativa (o sistema do 
astronauta perdeu a massa da bala). A 
equação (5.25) pode então ser rescrita 
como: 
.ev
m
m
v
 

 
 
(5.27) 
Se agora o astronauta substituir o 
revólver por uma pistola de jato, que 
ejete material (água ou gás) 
continuamente, a massa do astronauta 
(nela compreendida a massa da pistola) 
varia continuamente com o tempo, e 
pode-se chamar de 
)(tm
 a massa no 
instante 
.t
 Supondo que a velocidade de 
ejeção 
ev


 em relação à pistola é uma 
característica da mesma, permanecendo 
constante, a equação (5.27), que se 
aplica à variação de velocidade 
v


 do 
astronauta durante um intervalo de 
tempo 
,t
 permite chegar à equação: 
.ev
t
m
t
v
m







 
 
(5.28) 
Passando ao limite em que 
,0t
 obtém-se: 
,rele v
dt
dm
v
dt
dm
am
dt
vd
m



 
(5.29) 
 
onde 
erel vv


 é a velocidade relativa de 
ejeção de material em relação à pistola. 
Se 
0dtdm
 é constante durante 
certo período, então 
ev

 também é 
constante, de modo que o segundo 
membro de (5.29) equivale (no sentido 
de 
amF


) a uma força constante 
exercida sobre o astronauta. Esta 
“força” chama-se o empuxo devido à 
ejeção de massa. 
Entretanto, como 
)(tmm 
 é 
variável em (5.29), o segundo membro 
não corresponde à taxa de variação 
temporal do momento linear do 
astronauta. Com efeito, como 
)()()( tvtmtp


 é a expressão do 
momento linear, tem-se que: 
,relv
dt
dm
v
dt
dm
dt
vd
mv
dt
dm
dt
pd 




 
 
(5.30) 
onde foi utilizado o resultado expresso 
em (5.29). Logo, 
 ,relvv
dt
dm
dt
pd 


 
 
(5.31) 
onde a expressão entre parênteses, pela 
(5.19), representa a velocidade da massa 
ejetada em relação ao referencial 
inercial adotado. Neste referencial, o 
segundo membro de (5.30) também 
equivale a uma força, no sentido de 
.dtpdF


 
Se, além das forças internas já 
consideradas, atuam também forças 
externas, basta acrescentá-las em (5.29) 
e (5.30): 
  .
,
extrel
extrel
Fvv
dt
dm
dt
pd
Fv
dt
dm
dt
vd
m






 
 
 
(5.32) 
Embora deduzida no caso 
particular do astronauta, a equação de 
movimento de um sistema de massa 
variável, em qualquer das duas formas 
em (5.31), se aplica a situações bem 
mais gerais. Nestas expressões, 
relv

 
sempre representa a velocidade relativa 
ao sistema de massa variável dos 
elementos de massa 
dm
 dele removidos 
(ou a ele acrescentados, num caso em 
que a massa esteja crescendo) 
(NUSSEZVEIG, 2002). 
 
 
5.5 Impulso e momento linear 
 Se uma força externa 
F
 atua sobre 
um ponto material durante um intervalo 
de tempo muito pequeno 
,dt
 segue da 
Segunda Lei de Newton que: 
.dtFpd
dt
pd
F



 
 
(5.33) 
 A variação no momento linear 
(momentum ou quantidade de 
movimento) 
,vmp


 durante um dado 
intervalo de tempo 
,if ttt 
em que a 
força externa 
F
 atua sobre o ponto 
material é dada por: 
 
f
i
f
i
p
p
t
t
if dtFpdppp ,

 
 
(5.34) 
onde os índices 
i
 (= inicial) e 
f
 (= final) 
se referem aos instantes “antes” e 
“depois” da força externa 
F
 ter agido 
sobre o ponto material. 
 A integral definida em (5.34) é 
denominada de impulso, 
,J
 da força 
externa 
.F
 Em consequência, a variação 
do momento linear de um corpo sobre o 
qualatua uma força impulsiva é igual ao 
impulso 
.J
 Uma força impulsiva tem 
como característica o fato de ser 
extremamente intensa, porém atuando 
durante um intervalo de tempo 
extremamente curto, o “tempo de 
colisão”. 
 
5.6 Colisões elásticas e inelásticas 
 Uma colisão entre duas partículas é 
um processo em que uma é lançada 
contra a outra, podendo trocar energia e 
momento linear em consequência da 
interação entre as partículas (Figura 
5.2). As “partículas” podem ser corpos 
macroscópicos ou pertencer à escala 
atômica ou subatômica. O resultado da 
colisão pode ser extremamente variado. 
Podem emergir as mesmas duas 
partículas, caso em que o processo é 
denominado de espalhamento, como na 
colisão entre duas bolas de sinuca. Por 
outro lado, pode emergir um sistema 
muito diferente: uma só partícula, duas 
partículas diferentes das iniciais 
(reações químicas, reações nucleares) ou 
mais de duas partículas (fragmentação, 
colisões de alta energia entre “partículas 
elementares”). 
 
Figura 5.2 – Processo de colisão: (a) configuração inicial. (b) Processo de colisão. (c) Configuração final. 
Fonte: Nussenzveig, 2002, p.169. 
A energia total do sistema de partículas 
sempre se conserva numa colisão, como 
em qualquer processo físico, embora 
uma parte da energia mecânica possa 
converter-se em outras formas de 
energia, como o calor. Entretanto, 
mesmo nas colisões em que a energia 
mecânica se conserva (forças de 
interação conservativas), parte da 
energia cinética pode converter-se em 
energia potencial, ou vice-versa. 
 Quando numa colisão a energia 
cinética final é igual à energia cinética 
inicial, esta é dita ser uma colisão 
elástica. Qualquer outra colisão é uma 
colisão inelástica. Numa colisão 
inelástica a energia cinética final poder 
ser maior ou menor que a inicial. Um 
exemplo em que é maior é a explosão de 
uma granada ao colidir com o solo. Neste 
caso, energia química armazenada no 
explosivo se converte em energia 
cinética dos fragmentos. 
 Em geral, as colisões nem são 
perfeitamente elásticas nem 
completamente inelásticas, mas podem 
enquadrar-se entre estes extremos. A 
colisão entre duas bolas de sinuca não é 
perfeitamente elástica. Quando elas se 
chocam, ouvimos um som: logo, parte da 
energia é convertida em vibrações, que 
dão origem a ondas sonoras. Há também 
um (ligeiro) aquecimento da superfície 
de contato, ou seja, conversão parcial 
de energia mecânica em calor. 
Entretanto, a perda total de energia 
cinética é pequena – tipicamente, da 
ordem de 3% ou 4%, e pode-se desprezá-
la com boa aproximação, tratando a 
colisão como se fosse elástica. 
 É sempre possível caracterizar a 
dissipação de energia de uma colisão 
especificando um único número 
,e
 
chamado de coeficiente de restituição, 
que representa a razão das velocidades 
relativas antes e depois da colisão. 
Colocada em termos matemáticos, o 
coeficiente de restituição é dado por: 
.
21
21
ff
ii
vv
vv
e


 
 
(5.35) 
De (5.35) é evidente que para uma 
colisão perfeitamente elástica, 
.1e
 
Para uma colisão perfeitamente 
inelástica, 
.0e
 
5.7 Colisões elásticas unidimensionais 
 Sejam duas partículas que se 
movem ao longo de uma reta e colidem 
elasticamente. Sejam 
1m
 e 
2m
 as 
massas, e 
iv1
 e 
iv2
 as velocidades iniciais 
antes da colisão. A velocidade relativa 
deve satisfazer à condição: 
021  ii vv
 
 
(5.36) 
para que haja colisão. Supondo que esta 
condição seja satisfeita e que as 
partículas estão sujeitas apenas às forças 
internas de interação que atuam durante 
a colisão, de modo que o momento 
linear total do sistema se conserva: 
.2121 fffiii PppppP 
 
 
(5.36) 
 Como por hipótese a colisão é 
elástica, a energia cinética total 
também se conserva. Convém exprimi-la 
em termos dos momentos lineares das 
partículas: 
.
2222 2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
f
ffii
i K
m
p
m
p
m
p
m
p
K 
 
 
(5.37) 
 Dada a configuração inicial 
),,( 21 ii pp
 (5.36) e (5.37) são duas 
equações nas duas incógnitas 
),,( 21 ff pp
 
que determinam a configuração final. 
Para resolvê-las, (5.36) pode ser escrita 
na forma: 
,1122 fiif pppp 
 
 
(5.38) 
e (5.37) como: 
 ,21212222 fiif pppp  
 
(5.39) 
onde foi introduzido o parâmetro 
adimensional: 
.
1
2
m
m

 
 
(5.40) 
 Dividindo membro a membro (5.39) 
por (5.38) obtém-se: 
 
fiif pppp 1122  
 
(5.41) 
 As equações (5.38) e (5.41) 
constituem um sistema de duas equações 
lineares nas duas incógnitas 
 ., 22 fi pp
 A 
equação (5.41), expressa em termos das 
velocidades das partículas, dá: 
   ,111
1
2
222 ifif vvm
m
m
vvm 
 
ou seja, 
 .1212 iiff vvvv 
 
(5.42) 
Isto significa que a velocidade relativa 
entre as duas partículas se inverte em 
consequência da colisão, o que é 
característico de uma colisão elástica em 
uma dimensão. 
 Resolvendo o sistema formado 
pelas equações (5.38) e (5.41) obtém-se: 
iif
iif
ppp
ppp
212
211
1
1
1
2
1
2
1
1



























 
 
 
(5.42) 
 As equações (5.42) podem ser 
escritas em termos das velocidades 
(bastando usar 
mvp 
): 




























.
2
,
2
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
iif
iif
v
mm
mm
v
mm
m
v
v
mm
m
v
mm
mm
v
 
 
 
(5.43) 
Casos particulares: 
i) massas iguais 
 Neste caso, 
,112  mm
 e (5.42) 
e (5.43) dão: 













,
,,
12
21
,12
21
if
if
if
if
vv
vv
pp
pp
 
 
 
(5.44) 
ou seja, as partículas trocam entre si os 
momentos lineares e as velocidades. 
ii) Alvo em repouso 
 Neste caso, 
,022  ii pv
 
 
(5.45) 
o que elimina os últimos termos do 2o 
membro em (5.42) e (5.43). Nesta 
situação, têm-se dois casos extremos: 
a) 
21 mm 
 
 As equações (5.43) dão, neste caso, 







.2
,
11
2
1
2
11
iif
ff
vv
m
m
v
vv
 
 
 
(5.46) 
Logo, quando uma partícula muito leve 
colide com outra muito pesada em 
repouso, a partícula leve é praticamente 
refletida para trás com velocidade igual 
e contrária à incidente, ao passo que a 
partícula pesada sofre um recuo com 
velocidade muito pequena (tanto menor 
quanto menor a razão das massas). Um 
exemplo é a colisão elástica de uma bola 
com a superfície da Terra: o recuo 
sofrido pela Terra é desprezível. 
 
b) 
21 mm 
 
 Neste caso, as equações (5.43) dão: 






.2
,
12
11
if
if
vv
vv
 
 
 
(5.47) 
Logo, na colisão elástica de uma 
partícula muito pesada com outra muito 
leve em repouso, a partícula pesada 
quase não é freada (“ignora” a presença 
da outra partícula), mas a leve é lançada 
para frente com o dobro da velocidade 
da partícula incidente. Um exemplo é o 
que ocorre quando uma bola bate num 
dos pinos no jogo de boliche 
(NUSSENZVEIG, 2002). 
 
5.8 Colisões unidimensionais totalmente inelásticas 
 Numa colisão totalmente inelástica 
entre duas partículas a energia cinética 
final não se anula, mas assume o menor 
valor possível, que é o valor da energia 
cinética associada ao movimento do 
centro de massa (CM). Com efeito, as 
forças que atuam na colisãosendo forças 
internas, o CM tem de permanecer em 
movimento retilíneo e uniforme, e o 
valor mínimo da energia cinética é 
aquele correspondente a esse 
movimento. 
 A conservação do momento linear 
dá agora: 
  ,212211 ffiii PvmmvmvmP 
 
 
(5.48) 
o que determina 
:fv
 
.
21
2211
CM
ii
f v
mm
vmvm
v 



 
 
 
(5.49) 
 Logo, a conservação do momento 
linear basta para determinar a 
configuração final de uma colisão 
totalmente inelástica (NUSSENZVEIG, 
2002). 
 
5.9 Colisões elásticas bidimensionais 
 O tratamento de colisões em mais 
de uma dimensão será restringido ao 
caso em que o alvo está em repouso, já 
que este é o caso mais frequente na 
prática. Além disso, se 
iv2

 é a 
velocidade do alvo antes da colisão, 
basta passar para um referencial em 
movimento com essa velocidade (que é 
também inercial) para reduzir a situação 
à anterior, de forma que ela não envolve 
restrição de generalidade. 
 Para fixar as ideias, seja o caso, 
ilustrado na Figura 5.2, da colisão entre 
duas bolas de sinuca, com o alvo (massa 
2m
) inicialmente em repouso e a 
partícula incidente (massa 
1m
) tendo 
uma velocidade inicial 
.1iv

 O momento 
linear do sistema na configuração inicial 
é então: 
.111 iii vmpP


 
(5.50) 
Entretanto, para caracterizar a 
configuração inicial, os dados acima não 
são mais suficientes. É preciso ainda a 
que distância a partícula incidente 
passaria da outra se não houvesse 
colisão. Essa distância 
b
 chama-se o 
parâmetro de impacto. Na Figura 5.2, é 
a distância entre a linha de movimento 
inicial do centro da partícula incidente e 
o centro 
O
 do alvo. O resultado da 
colisão é muito diferente conforme o 
valor de 
.b
 Por exemplo, para 
,0b
 
tem-se uma colisão frontal, que é 
essencialmente unidimensional; se o 
parâmetro de impacto 
b
 é maior que a 
soma dos raios das duas bolas, não há 
colisão.
 
 
Figura 5.3 – Colisão elástica bidimensional. Fonte: Nussenzveig, 2002, p.176. 
 
Se 
fp1

 e 
fp2

 são os momentos lineares 
finais das duas partículas, o momento 
linear do sistema na configuração final 
é: 
.211 ffi ppp


 
(5.51) 
Esta relação mostra que os três vetores 
pertencem ao mesmo plano, que se 
chama plano de colisão. 
 A equação (5.51) equivale a duas 
equações escalares para os componentes 
x
 e 
y
 dos vetores: 






0sensen
coscos
2211
12211


ff
iff
pp
ppp
 
 
 
(5.52) 
 As energias cinéticas inicial e final 
são dadas por: 
,
2 1
2
1
m
p
K ii  
 
 
(5.53) 
.
22 2
2
2
1
2
1
m
p
m
p
K
ff
f  
 
 
(5.54) 
 Como a colisão é elástica, 
,fi KK 
ou seja: 
 
.
222 2
2
2
1
2
1
1
2
1
m
p
m
p
m
p ffi 
 
 
 
(5.55) 
 Na realidade, o sistema formado 
pelas duas equações (5.52) e por (5.55) 
representam três equações escalares nas 
quatro incógnitas 
,1 fp
 
,2 fp
 
1
 e 
.2
 Isto 
significa que não é possível, em geral, 
determinar a configuração final sem 
fornecer mais um dado (isto foi possível 
no caso unidimensional porque 
01 
 ou 

 e 
02 
 neste caso). O dado extra 
pode ser o parâmetro de impacto 
,b
 se 
as forças de interação são conhecidas, 
pois isto permite, em princípio, calcular 
as trajetórias. 
 Considerando primeiro o caso 
particular de uma colisão elástica entre 
partículas de mesma massa. 
a) Massas iguais 
 Seja 
.21 mmm 
 Neste caso, (5.55) 
dá então: 
 
.22
2
1
2
1 ffi ppp 
 
(5.56) 
 Elevando ao quadrado ambos os 
membros de (5.51) (ou seja, tomando o 
produto escalar dos vetores por eles 
mesmos), obtemos: 
    ,2 212221212121 ffffffffi ppppppppp


 
(5.57) 
o que representa a lei dos cossenos 
aplicada ao triângulo formado pelos 
vetores 
,1ip

 
fp1

 e 
.2 fp

 
 Comparando as equações (5.56) e 
(5.57), conclui-se que: 
.
2
0 2121
  ff pp

 
 
 
(5.58) 
 O resultado expresso em (5.58) 
indica que as direções de movimento de 
duas partículas de massas iguais, após 
uma colisão elástica bidimensional com 
uma inicialmente em repouso, são 
perpendiculares. 
b) Caso geral 
 No caso geral em que 
1m
 e 
2m
 são 
diferentes, (5.55) se escreve como: 
 ,212122 fif ppp  
 
(5.59) 
onde, 
.
1
2
m
m

 
 
 
(5.60) 
 Por outro lado, (5.51) dá: 
 
  ,cos2 1112121
2
11
2
2 fififif ppppppp  
 
(5.61) 
que também representa a lei dos cossenos aplicada ao triângulo formado pelos vetores 
,1ip

 
fp1

 e 
.2 fp

 Igualando (5.59) e (5.61), obtém-se: 
    .01cos21 21111
2
1  ifif pppp 
 
(5.62) 
que é uma equação do 2o grau na incógnita 
,1 fp
 cujas raízes são: 
  .1coscos
1
2
1
2
1
1
1  
i
f
p
p
 
 
(5.63) 
Para que as raízes em (5.63) sejam reais 
deve-se ter: 
  ,01cos 212  
 
(5.64) 
ou seja, 
  .0sen1cos 122212  
 
(5.65) 
i) 
12 mm 
 
 Neste caso, 
,1
 de maneira que 
(5.65) é sempre satisfeita, qualquer que 
seja 
,1
 
.0 1  
 Por outro lado, o 
radical em (5.63) é sempre 
1cos
 para 
,1
 de modo que só é aceitável a 
solução com sinal positivo. 
ii) 
12 mm 
 
 Neste caso, 
,1
 e (5.65) leva a: 
,1sensen
1
2
max11 
m
m
 
 
 
(5.66) 
ou seja, existe um valor máximo do 
ângulo 
.: max111  
 
 Em particular, se 
,1
 também é 
,1max1 
 de modo que uma partícula 
pesada que colide elasticamente com 
uma partícula leve em repouso quase 
não sofre deflexão. 
 Para 
,1
 as duas raízes em (5.63) 
são aceitáveis (dão 
01 fp
); pode-se 
verificar que elas correspondem a 
valores diferentes de 
2
 (colisões com 
parâmetros de impacto diferentes). 
Exercício 5.1 
Sejam duas partículas separadas por uma distância 
.d
 Onde está localizado o 
centro de massa nas seguintes situações: (a) 
;21 mm 
 (b) 
221 mm 
 e (c) 
?2 21 mm 
 
Respostas: (a) 
;
2
d
xCM 
 (b) 
;
3
2d
xCM 
 (c) 
.
3
d
xCM 
 
Exercício 5.2 
Três bolas A, B e C, com massas de 
kgkg 0,1,0,3
 e 
,0,1 kg
 respectivamente, são 
conectadas por hastes de massas desprezíveis. As bolas estão localizadas como na figura 
a seguir. Quais são as coordenadas do centro de massa? 
 
Resposta: 
.4,1;0,2 mymx CMCM 
 
Exercício 5.3 
Uma pedra é deixada cair em 
.0t
 Uma segunda pedra, com massa duas vezes 
maior, é deixada cair do mesmo ponto em 
.100mst 
 (a) Supondo que as pedras ainda 
não tenham atingido o solo em 
,300mst 
 a que distância do ponto inicial de queda está 
o centro de massa das duas pedras? (b) Qual é a velocidade do centro de massa das duas 
pedras nesse instante? 
Respostas: (a) 
myCM 28,0
 (b) 
smvCM 3,2
 
Exercício 5.4 
Um projétil é lançado a 
,20 sm
 fazendo um ângulo de 30o com o horizonte. 
Durante o seu movimento, explode, dividindo-se em duas partes, uma das quais sendo o 
dobro da massa da outra. Os dois fragmentos atingem o solo ao mesmo tempo. O 
fragmento mais leve bate num ponto a 
m20
 do lançamento, na direção do tiro inicial. 
Onde fica o ponto de impacto do outro fragmento? 
Resposta: 
m43
 
Exercício 5.5 
Um carro de 
kg1000
 está parado em um sinal de trânsito. No instante em que osinal abre, o carro começa a se movimentar com uma aceleração constante de 
.0,4 2sm
 
No mesmo instante, uma caminhonete de 
,2000kg
 movendo-se no mesmo sentido com 
velocidade constante de 
,0,8 sm
 ultrapassa o carro. (a) Qual é a velocidade entre o CM 
do sistema carro-caminhonete e o sinal de trânsito em 
?0,3 st 
 (b) Qual é a velocidade 
do CM nesse instante? 
Respostas: (a) 
mxCM 22
 (b) 
smvCM 3,9
 
 
 
Exercício 5.6 
(a) Vimos que o centro de massa comporta-se como se toda a massa estivesse 
concentrada nesse único ponto e todas as forças externas que atuam no corpo 
estivessem aplicadas nesse ponto. É, então, necessário existir massa no centro 
de massa? 
(b) Imagine a situação de uma pessoa em pé na popa de uma canoa parada num 
lago de águas calmas e sem vento. Em dado momento, a pessoa caminha em 
direção à proa e observa que a canoa recua em direção contrária. Explique 
este fato com base no princípio de conservação do momento linear. 
(c) Com base na lei de conservação do momento linear, explique por que toda 
arma recua após disparar. 
Exercício 5.7 
 Uma pessoa de massa 
kgm 80
 se agarra a uma escada de corda 
pendurada na parte de baixo de um balão de massa 
kgM 320
 (incluindo 
o passageiro na cesta). O balão está inicialmente em repouso em relação 
ao solo. (a) Se essa pessoa começar a subir a escada com velocidade 
smv 50,0
 (em relação à escada), em que direção e com que velocidade 
(em relação ao solo) o balão se moverá? (b) Qual a velocidade escalar do 
balão depois que a pessoa para de subir a escada? 
Respostas: (a) Para baixo com velocidade 
smu 10,0
 (b) O balão ficará estacionário. 
Exercício 5.8 
Um estudante em férias decide fazer um passeio de canoa num lago tranquilo. 
Durante o passeio decide parar num bar que fica numa plataforma flutuante para tomar 
um refrigerante. Ao encostar a proa da canoa na plataforma flutuante para sair percebe 
um problema. Quando caminha da popa para a proa, a canoa se move em sentido 
contrário afastando-se do flutuante, dificultando sua saída. Desprezando o atrito entre a 
canoa e a água, e supondo que o estudante, com 
kg70
 de massa, tenha caminhado 
m00,3
 da popa para a proa da canoa que possui 
kg100
 de massa, qual será o 
afastamento (em metros) da canoa em relação ao flutuante? 
Resposta: 
m10,2
 
Exercício 5.9 
Uma metralhadora atira balas de 
g50
 com velocidade de 
.1000 sm
 O atirador, 
segurando a metralhadora com suas mãos, pode exercer uma força de 
,180N
 sobre a 
arma. Determine o número máximo de balas que ele pode atirar por minuto. 
Resposta: 216. 
Exercício 5.10 
 Considere um foguete que está no espaço sideral e em repouso em relação a um 
referencial inercial. O motor do foguete é acionado por certo intervalo de tempo. 
Determine a razão de massa do foguete (razão entre as massas inicial e final) neste 
intervalo para que a velocidade original do foguete em relação ao referencial inercial 
seja igual (a) à velocidade de exaustão dos gases (em relação ao foguete) e (b) duas 
vezes à velocidade de exaustão? 
Respostas: (a) 
7,2fi mm
 (b) 
4,7fi mm
 
 
Exercício 5.11 
Um foguete, situado no espaço longínquo e inicialmente em repouso em relação a 
um sistema inercial, tem uma massa de 
,1055,2 5 kg
 da qual 
kg51081,1 
 é de 
combustível. O motor do foguete fica então ligado por 
,250 s
 durante os quais se 
consome combustível a uma taxa de 
.400 skg
 A velocidade dos produtos de exaustão em 
relação ao foguete é de 
.27,3 skm
 (a) Qual o empuxo do foguete após estar ligado por 
?250 s
 (b) Qual a massa e a velocidade escalar do foguete? 
Resposta: (a) 
.1031,1 6NE 
 (b) 
kgM f
51000,1 
 e 
.1004,3 3 smv f 
 
 
Exercício 5.12 
Um jogador de futebol chuta uma bola com massa de 
g450
 que se encontra em 
repouso. O pé do jogador fica em contato com a bola por 
ms0,3
 e a força do chute é 
dada por 
,])100,2()100,6[()( 296 NtttF 
 para 
,100,30 3st 
 onde 
t
 está em 
segundos. Determine a intensidade (a) do impulso sobre a bola devido ao chute, (b) da 
força média do pé do jogador sobre a bola durante o contato, (c) da força máxima 
exercida pelo pé do jogador sobre a bola durante o contato e (d) da velocidade da bola 
imediatamente após perder o contato com o pé do jogador. 
Respostas: (a) 
sNJ  0,9
 (b) 
NF 3100,3 
 (c) 
NFmáx
3105,4 
 (d) 
.20 smv 
 
 
Exercício 5.13 
O bloco A (com massa de 
kg6,1
) desliza em direção ao bloco B (com massa de 
kg4,2
) ao longo de uma superfície sem atrito. Os sentidos das velocidades antes (i) e 
depois (f) da colisão estão indicados na figura a seguir. As velocidades são: 
;5,5 smv
iA

 
smv
iB
5,2
 e 
.9,4 smv
fB

 Determine: (a) o módulo e (b) o sentido da velocidade do 
bloco A após a colisão. (c) A colisão é elástica? 
 
Respostas: (a) 
smv
fA
9,1
 (b) Continua movendo-se para a direita. (c) Sim. 
Exercício 5.14 
 Uma bala de 
g10
 que se move verticalmente para cima a 
sm1000
 se choca com um bloco de 
kg0,5
 inicialmente em repouso, 
passando pelo seu centro de massa. A bala deixa o bloco movendo-se 
verticalmente para cima a 
.400 sm
 Que altura máxima o bloco atinge 
em relação à posição inicial? 
 
Resposta: 
cm3,7
 
Exercício 5.15 
Um bloco de madeira de 
kg00,1
 está ligado a uma mola de constante elástica 
mN200
 e repousa sobre uma superfície lisa. Uma bala de 
g0,20
 atinge o bloco e 
comprime a mola de 
.3,13 cm
 (a) Calcular a velocidade da bala antes da colisão. (b) Que 
fração da energia mecânica inicial se perde na colisão? 
Respostas: (a) 
.95 smv 
 (b) 98,1%. 
Exercício 5.16 
Uma bola de aço de 
g500
 está presa a uma corda de 
cm0,70
 de comprimento e é 
solta quando a corda está horizontal. Na parte inferior de sua trajetória choca-se contra 
um bloco de metal de 
kg50,2
 que está inicialmente em repouso em uma superfície 
horizontal sem atrito. A colisão é elástica. Encontre a velocidade da bola e do bloco, 
imediatamente após o impacto. 
Resposta: 
;47,2 smvbola 
 
.23,1 smvbloco 
 
Exercício 5.17 
O bloco 1 de massa 
1m
 desliza, a partir do repouso, ao longo de uma rampa sem 
atrito de uma altura 
mh 50,2
 e colide com o bloco 2 de massa 
,2 12 mm 
 Inicialmente 
em repouso. Após a colisão, o bloco 2 desliza em uma região onde o coeficiente de 
atrito cinético vale 
500,0
 e para depois de percorrer uma distância 
d
 nessa região. Qual 
o valor da distância 
d
 se a colisão é (a) elástica e (b) perfeitamente inelástica? 
 
Resposta: (a) 
md 22,2
 (b) 
md 556,0
 
Exercício 5.19 
O próton 1, com uma velocidade de 
sm500
 colide com o próton 2, inicialmente 
em repouso. Depois do choque, os dois prótons se movem em trajetórias 
perpendiculares, com a trajetória do próton 1 fazendo 60º com a direção inicial. Após a 
colisão, quais são as velocidades escalares (a) do próton 1 e (b) do próton 2? 
Resposta: (a) 
smv f 4331 
 (b) 
smv f 2502 
 
Exercício 5.19 
Um objeto com 
kg12
 de massa, que está inicialmente se movendo para leste, com 
velocidade de 
,8 sm
 colide com outro corpo cuja massa é de 
,20kg
 e cuja velocidade 
inicial é de 
sm12
 para o norte. A colisão é elástica. Depois do impacto, o primeiro 
objeto move-se para o nordeste, e seu vetor velocidade forma um ângulo de 45o com o 
eixo 
x
 positivo (suposto apontar para o leste). Ache o módulo, a direção e o sentido de 
ambos os vetores velocidade depois da colisão. 
Resposta: 
smv 8,151 
 
o451 smv 61,52 
 
.1092
o
 
Exercício 5.20 
A bola B, que se move no sentido positivo do eixo 
x
 com velocidade 
,v
 colide com 
a bola A, inicialmente em repouso na origem. As duas bolas têm massas diferentes. 
Após a colisão, a bola B se move no sentido negativo do eixo 
y
 com velocidade escalar 
de 
.2v
 (a) Qual é a orientação da bola A após a colisão? (b) Mostre que a velocidade da 
bola A não pode ser determinada a partir das informações fornecidas. 
Resposta: (a) 
o27