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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Primeira Avaliação Presencial de Álgebra Linear I - 22/09/2012 Gabarito 1ª Questão. ( )0,2 Seja −−= 42 31 52 A e seja − = 101 131 C . a) Verifique que .2ICA = b) A é inversível? Justifique. Solução. a) −101 131 = −− 10 01 42 31 52 . b) Se A fosse inversível, a equação 2ICA = implicaria 121 −− = AICAA e 1− = AC e, neste caso, AC seria 3I . Isso não é verdade, pois − −− − = 266 234 367 AC . 2ª Questão. ( )0,2 Usando operações elementares, classifique e resolva o sistema linear =−+ =+− −=−+ 2z4y3x5 7z2yx3 1z3y2x Solução. − − −− − − −− − − −− +−←+−← 71170 101170 1321 2435 101170 1321 2435 7213 1321 3L1L53L2L1L32L Assim, obtemos o seguinte sistema equivalente: =+− =+− −=−+ 7117 10117 132 zy zy zyx As segunda e terceira equações mostram que o sistema é incompatível. 3ª Questão. ( )5,2 Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso verdadeiras justifique, caso contrário dê um contra-exemplo. (a) O conjunto S = { }( , , ) /x y z x y z= = é um subespaço vetorial de 3ℜ . (b) [ ] 2(1, 2), ( 1, 2), ( 1, 2) .− − − = ℜ (c) { }(1, 2), (0,0) é uma base do 2ℜ . (d) { }(1, 1, 2), ( 1,1, 2), (1, 2, 3)− − − é uma base do 3ℜ . Solução. (a) Verdadeira. S é diferente do vazio pois, por exemplo ( ) S0,0,0 ∈ . e verifica as propriedades: (i) Se ),,( xxxu = e ),,( yyyv = são elementos de S, ),,( yxyxyxvu +++=+ é um elemento de S. (ii) Se ),,( xxxu = é um elemento de S e α um real, ),,( xxxu αααα = é um elemento de S. (b) Verdadeira. Note que 2 2( , ) ( )(1,2) ( )( 1,2) (0)( 1, 2). 4 4 x y x y x y + − += + − + − − (c) Falsa. Este conjunto contém o vetor nulo, logo é LD. (d) Falsa. Este conjunto é LD, o vetor ( )2,1,1 −− é múltiplo escalar do vetor ( ).2,1,1− 4ª Questão. ( )5,1 Considere o vetor ( )1,3,2−=u . Determine: a) A norma de u. b) O valor de m de modo que 2),( =vud , para ( )1,,0 mv = . c) O valor de n de modo que w seja ortogonal à u, para ( )3,1,nw = . Solução. a) 14194 =++=u b) 13m6m)m3(4)0,m3,2(vu)v,u(d 22 +−=−+=−−=−= 2),( =vud ⇒ .49m6m2 =+− Daí, m = 3. c) u e w são ortogonais 〉〈⇔ w,u = 0. Mas, 332, ++−=〉〈 nwu . Logo, n = 3. 5ª Questão. ( )0,2 Considere o subespaço ( ) ( )[ ]0,1,2,1,1,0,1,1U −−= de dimensão 2 do 4ℜ . Determine U ⊥ e uma base de U ⊥ . Solução. Um vetor ),,,( tzyxv = ∈ U ⊥ se: ( , , , ),(1,1,0, 1) 0x y z t − = e ( , , , ),(1, 2,1,0) 0x y z t − = . Daí, =+− =−+ 02 0 zyx tyx , − − → − − 1130 1011 0121 1011 A forma escalonada acima indica que o sistema homogêneo é indeterminado. Como são 4 variáveis e 2 linhas não nulas na matriz, há 2 variáveis livres. Escolhendo x e y para variáveis livres, teremos }y,x|)yx,y2x,y,x{(U ℜ∈++−=⊥ . Como )1,2,1,0()1,1,0,1(),2,,( yxyxyxyx +−=++− e os geradores ( )1,1,0,1 − e ( )1,2,1,0 são LI, uma base de ⊥U é ( ) ( ){ }.1,2,1,0,1,1,0,1B −=
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