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AP1-ALI-2012-2-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de 
Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Primeira Avaliação Presencial de Álgebra Linear I - 22/09/2012 
Gabarito 
 
1ª Questão. ( )0,2 Seja 










−−=
42
31
52
A e seja 





−
=
101
131
C . 
a) Verifique que .2ICA = 
b) A é inversível? Justifique. 
Solução. 
a) 





−101
131






=










−−
10
01
42
31
52
. 
b) Se A fosse inversível, a equação 2ICA = implicaria 121 −− = AICAA e 
1−
= AC e, neste caso, AC seria 3I . 
Isso não é verdade, pois 










−
−−
−
=
266
234
367
AC . 
2ª Questão. ( )0,2 Usando operações elementares, classifique e resolva o sistema linear 





=−+
=+−
−=−+
2z4y3x5
7z2yx3
1z3y2x
 
Solução. 










−
−
−−










−
−
−−










−
−
−−
+−←+−←
71170
101170
1321
2435
101170
1321
2435
7213
1321
3L1L53L2L1L32L
 
Assim, obtemos o seguinte sistema equivalente: 





=+−
=+−
−=−+
7117
10117
132
zy
zy
zyx
 
As segunda e terceira equações mostram que o sistema é incompatível. 
3ª Questão. ( )5,2 Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso 
verdadeiras justifique, caso contrário dê um contra-exemplo. 
(a) O conjunto S = { }( , , ) /x y z x y z= = é um subespaço vetorial de 3ℜ . 
(b) [ ] 2(1, 2), ( 1, 2), ( 1, 2) .− − − = ℜ 
(c) { }(1, 2), (0,0) é uma base do 2ℜ . 
(d) { }(1, 1, 2), ( 1,1, 2), (1, 2, 3)− − − é uma base do 3ℜ . 
Solução. 
(a) Verdadeira. S é diferente do vazio pois, por exemplo ( ) S0,0,0 ∈ . 
e verifica as propriedades: 
(i) Se ),,( xxxu = e ),,( yyyv = são elementos de S, ),,( yxyxyxvu +++=+ é 
um elemento de S. 
(ii) Se ),,( xxxu = é um elemento de S e α um real, ),,( xxxu αααα = é um 
elemento de S. 
(b) Verdadeira. 
Note que 2 2( , ) ( )(1,2) ( )( 1,2) (0)( 1, 2).
4 4
x y x y
x y + − += + − + − − 
(c) Falsa. Este conjunto contém o vetor nulo, logo é LD. 
(d) Falsa. Este conjunto é LD, o vetor ( )2,1,1 −− é múltiplo escalar do vetor ( ).2,1,1− 
4ª Questão. ( )5,1 Considere o vetor ( )1,3,2−=u . Determine: 
a) A norma de u. 
b) O valor de m de modo que 2),( =vud , para ( )1,,0 mv = . 
c) O valor de n de modo que w seja ortogonal à u, para ( )3,1,nw = . 
Solução. 
a) 14194 =++=u 
b) 13m6m)m3(4)0,m3,2(vu)v,u(d 22 +−=−+=−−=−= 2),( =vud
⇒ .49m6m2 =+− Daí, m = 3. 
c) u e w são ortogonais 〉〈⇔ w,u = 0. Mas, 332, ++−=〉〈 nwu . Logo, n = 3. 
 
5ª Questão. ( )0,2 Considere o subespaço ( ) ( )[ ]0,1,2,1,1,0,1,1U −−= de dimensão 2 do 
4ℜ . Determine U ⊥ e uma base de U ⊥ . 
Solução. Um vetor ),,,( tzyxv = ∈ U ⊥ se: ( , , , ),(1,1,0, 1) 0x y z t − = e 
( , , , ),(1, 2,1,0) 0x y z t − = . 
Daí, 



=+−
=−+
02
0
zyx
tyx
, 





−
−
→





−
−
1130
1011
0121
1011
 
A forma escalonada acima indica que o sistema homogêneo é indeterminado. 
Como são 4 variáveis e 2 linhas não nulas na matriz, há 2 variáveis livres. Escolhendo x 
e y para variáveis livres, teremos }y,x|)yx,y2x,y,x{(U ℜ∈++−=⊥ . 
Como )1,2,1,0()1,1,0,1(),2,,( yxyxyxyx +−=++− e os geradores ( )1,1,0,1 − e ( )1,2,1,0 
são LI, uma base de ⊥U é ( ) ( ){ }.1,2,1,0,1,1,0,1B −=

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