AP2-ALI-2012-2-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Segunda Avaliação Presencial de Álgebra Linear I - 24/11/2012 
GABARITO 
 
Nome: ____________________________________________________________ 
Pólo: _____________________________________________________________ 
 
1ª Questão. ( )5,2 Considere a transformação linear 23: ℜ→ℜT , tal que 
( ) ( ),0,10,0,1 =T ( ) ( )1,00,1,0 =T e ( ) ( ).0,11,0,0 =T 
 
a) T é injetora? Justifique. 
b) Determine ( )zyxT ,, . 
c) Determine o núcleo de T. 
d) Determine a imagem de T. 
Solução. 
a) Como ( ) ( ),0,1)1,0,0(0,0,1 == TT T não pode ser injetora. 
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⇒++=⇒++= 0,11,00,1,,1,0,00,1,00,0,1,, zyxzyxTzyxzyx 
( ) ( ).,,, yzxzyxT += 
c) ( ) ( )0,0,, =zyxT ( ) ( ){ }ℜ∈−=⇒






=
−=
⇒
=
=+
⇒ xxxTN
y
xz
y
zx
;,0,
00
0
. 
d) Pelo teorema do núcleo e da imagem ( ) ( ) ( ) .213ImdimImdimdimdim 3 =−=⇒+=ℜ TTTN 
Daí, ( ) 2Im ℜ=T . 
 
2ª Questão. ( )5,2 Considere o operador linear 22: ℜ→ℜT definida por ( ) ( ).,, xyyxT = . 
(a) Verifique se o operador T é inversível. Caso seja encontre uma fórmula para seu inverso. 
(b) Determine a matriz associada a T em relação às bases ( ) ( ){ }1,1,0,1−=A e ( ) ( ){ }1,2,2,1 −=B . 
(c) Determine a matriz de mudança de base A para a base B: BAI ,][ . 
Solução. 
(a) A matriz canônica de T é 





=
01
10][T , 01det ≠−=T . Logo, T é inversível. 
⇒







10
01
01
10
⇒







01
10
10
01 ( ) ( ) ( ).,,,1 xyyxTyxT ==− 
 
(b) ( ) ( ) ( ) ( )1,11,1;1,00,1 =−=− TT . 
Como ( ) ( )( ) ( )( )1,25/12,15/21,0 −−+−=− e ( ) ( )( ) ( )( )1,25/12,15/31,1 −−+= , então 
 ( )








−
−
=−
5
1
5
2
]0,1[ BT e ( ) .
5
1
5
3
]1,1[








−
=BT Logo, 








−−
−
=
5
1
5
1
5
3
5
2
][
,BAT . 
(c) Como ( ) ( )( ) ( )( )1,25/22,15/10,1 −+−=− e ( ) ( )( ) ( )( )1,25/12,15/31,1 −−+= , a matriz mudança 
de base é a matriz 








−
−
=
5
1
5
2
5
3
5
1
][
,BAI . 
 
3ª Questão. ( )0,2 Considere as seguintes transformações lineares planas: 
:R reflexão no eixo x; 
:S uma rotação de 45º no sentido anti-horário. 
Determine a matriz da transformação composta .RST o= 
Solução. A matriz da transformação linear, R , que representa uma reflexão no eixo x é dada por 






−
=
10
01][R . 
A matriz da transformação linear, 2T , que representa uma rotação de 45º é dada por 
.][
2
2
2
2
2
2
2
2








=
−
S 
A matriz de T é dada por [ ] .
2
2
2
2
2
2
2
2








=
−
T =





−10
01








− 2
2
2
2
2
2
2
2
. 
 
4ª Questão. ( )0,3 Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso verdadeiras 
justifique, caso contrário dê um contra-exemplo. 
a) Se 22: ℜ→ℜT é a translação definida por )3,12(),( +−= yxyxT , então T é uma 
transformação linear. 
b) Se nnT ℜ→ℜ: é uma transformação linear injetora, então 0)( =vT tem apenas a solução 
trivial, isto é, 0=v . 
c) Se 33: ℜ→ℜT é um operador linear e se o núcleo de T é um plano que passa pela origem, 
então a imagem de T também é um plano que passa pela origem. 
Solução. 
a) Falsa. T(0,0) = (-1,3) ≠ (0,0). 
b) Verdadeira. Seja v tal que T(v)= 0. Como T(0) = 0 e T é injetora, v = 0. 
c) Falsa. 
Como 3dim 3 =ℜ e, sendo o núcleo um plano passando pela origem, 2)(dim =TN , pelo Teorema 
do Núcleo e da Imagem, 1)Im(dim =T . 
Assim, o objeto geométrico que representa a imagem é uma reta passando pela origem.