Lista 4

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4ª Lista de Exercícios – 2o semestre 2013 
 
 
XVI) Domínio de Funções de Duas Variáveis 
 
Determine o domínio “mais amplo” da função e esboce esse domínio: 
193) z = f(x,y) = 
 
 
 
194) z = f(x,y) = 
195) z = f(x,y) = 
196) z = f(x,y) = 
 
 
 
197) z = f(x,y) = 
 
 
 
198) z = f(x,y) = arcsen(x+y) 
199) z = f(x,y) = 
 
 
 
 
 
 
200) z = f(x,y) = 
201) z = f(x,y) = 
202) z = f(x,y) = 
 
XVII) Derivadas Parciais 
 
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função: 
 
203) f(x,y) = Resp: 
 
 
 
 
 
 
204) f(x,y) = Resp: 
 
 
 = 
 
 
 = 
205) 
 
 
 Resp. 
 
 
 
 
 
 
206) f(x,y) = 
 
 
 Resp: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
207) 
 Resp: = −2x 
 = −2y 
 
208) f(x,y) = x Resp: 
 
 
 = (xy+1) 
 
 
 = 
209) z = f(x,y) = , Resp. 
 
 
 
 
 
 
MA 2121 NA 2121 
16 
 
210) z = f(x,y) = 
 
 
 Resp.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
211) , Resp.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
212) 
Resp. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
213) 
 
 
 
Resp. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
214) f(x,y,z)=x Resp 
 
 
 
215) f(x,y,z) = x. Resp: = (1+2x) 
 ; = xz 
 ; = xy 
 
 
216) Considere a função dada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
217) Considere a função dada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos exercícios 218 e 219, calcule as derivadas parciais de 2ª ordem da função: 
 
218) f(x,y) = 5 Resp: 
 = 
 ; 
 = 
 
219) f(x,y) = Resp: = 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
220) Dada a função , calcular . 
 Resp. 
 
221) Dada a função , calcule 
 
 
. 
Resp. 
 
 
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XVIII) Plano Tangente e Reta Normal 
 
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado: 
 
222) f(x,y) = x. ; =(1,1,f(1,1) ) e =(1,0,f(1,0) ) Resp. 
 
 2ex + ey  z  e = 0 
223) 
   
2 2
, ; (0,0,1)
x y
f x y e P
 

 Resp. z – 1 = 0 
224) 
   , ln( ) ; 3,1, (3,1)xf x y e y P f
 Resp. 
225) 
226) z ; P = (1,-1,f(1,-1)) ; Resp. x  2y + z = 4 
227) z ; Resp z = y 
 
 
228) Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de f(x,y)= arctg(x-2y) no ponto 
P= 
 
 
 
 
 
 
 Resp. 4z= 2x-4y + 
 X = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; t R 
 
229) Sendo z=2x+y a equação do plano tangente ao gráfico de f(x,y) no ponto (1,1,3), calcule os valores 
de 
 
 
 
 
 
 . 
 Resp. 
 
 
 
 
 
 
 
 
230) Sendo 4x + y – 4z = 0 a equação do plano tangente ao gráfico de f(x,y) no ponto P = 
 
 
 
 
 , calcule os 
valores de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
 Resp. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
231) Determinar um plano que seja paralelo ao plano β: 5x + 2y – 2z + 1 = 0 e tangente ao gráfico da função 
a z = f(x,y) = . 
 
Resp.: 5x + 2y – 2z – 3 = 0 
 
 
 
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XIX) Regra da Cadeia ( caso I ) 
 
Use a regra da cadeia para determinar 
 
 
 ou 
 
 
. 
 
232) z = f(x,y) = onde 
 
 
 Resp: 2 
 
233) z = f(x,y) = arctg 
 
 
 onde 
 
 
 Resp: 
 
 
 
 
 
234) w = f(x,y,z) = x. 
 
 onde 
 
 
 
 Resp: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
235) w = f(x,y,z) = onde 
 
 
 
 Resp: 
 
 
 
 
 
Use a regra da cadeia para determinar o valor de 
 
 
 para o valor especificado de t: 
236) f(x,y) = sendo 
 
 
 ; t = 1 Resp: 32 
 
 
237) f(x,y,z) = xz sendo 
 
 
 
 ; t = 4 Resp: 153 
 
 
238) A temperatura em um ponto (x,y) é dada por T(x,y) = , medida em graus Celsius. Um inseto rasteja 
de modo que sua posição depois de t segundos seja dada por x = , y = 2t – 4, onde x e y são medidas em 
centímetros. Calcular a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo depois de 3 segundos. 
Resp.: 
 
 
 
 
 
XX) Derivada Direcional 
 
Determine a derivada direcional da função f no ponto dado e na direção e sentido do vetor : 
 
239) f(x,y) = sen( x + ) P = ( 0 , 0 ) = ( 1, 1 ) Resp: 
 
 
 
240) f(x,y,z) = P = ( 0 , 1, 1 ) = ( 0, 1, 1 ) Resp: 
241) f(x,y,z) = 
 
 
 P = ( 0 , 1, 2 ) = ( 1, 2, 2 ) Resp: 
 
 
 
 
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Calcule a derivada direcional de f no ponto P, na direção e sentido dado pelo vetor = f ( 
 
242) f(x,y) = ln( 3x ) P = ( 1, 1 ) resp: 
 
 
 
243) f(x,y,z) = x.cos(yz) P = ( 1, 1, π ) resp: 1 
 
244) A temperatura em um ponto (x,y,z) é dada por T(x,y,z) = 200 
 , onde T é medido em C e x, y, z em 
metros. Determine a taxa de variação [ derivada ] da temperatura no ponto P = ( 2, 1, 2 ) na direção do vetor 
 , sendo Q = ( 3, 3, 3 ). 
resp: 
 
 
 C/m 
 
245) Em quais direções a derivada de f(x,y) = em P = ( 3, 2 ) é igual a zero ? 
resp.: 
 
 
 
 
 
 
 
246) A derivada de f(x,y) em P = ( 1, 2 ) na direção de é e na direção de é . Qual é a 
derivada de f na direção de ? 
resp.: 
 
 
 
 
XXI) Valores Máximos e Mínimos Locais e Pontos de Sela 
 
Determine os valores máximos e mínimos locais/relativos e pontos de sela da função: 
 
247) Resp. valor mínimo local f( 1,1) = 4 
248) Resp. valor máx. local f(8,16) = 74 
249) Resp. valor mín. relativo f(1,2) = 1 
250) Resp. valor mín. relativo f(0,0)= 2 
251) Resp. valor mín. local 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
252) Resp. valor mínimo local ; 
pontos de sela e ; valor máx. local =8 
253) Resp: f(0,0) = 4 é valor máximo local 
 = 0 é valor mínimo local; ( 1, 1, 2 ) e ( 1, −1, 2 ) são pontos de sela 
20 
 
254) Resp. ,n inteiro, são pontos sela 
 
255) Determine a distância mais curta entre o ponto e o plano 
Resp. 
XXII) Multiplicadores de Lagrange: otimização com restrições. 
 
256) Ache os valores máximo e o mínimo da função com a restrição 
Resp. Valor máximo é 4, sendo atingido em . O valor mínimo é –4 sendo atingido em 
 
 
257) Determine os valores máximo e mínimo da função f(x,y,z) = 8x – 4z com a restrição +10 +  5 = 0 
Resp: f(2,0,1) = 20 é valor mínimo de f; f( 2, 0, 1 ) = 20 é valor máximo de f 
 
 
258) Estude com relação a máximos e mínimos a função com a restrição 
 Resp. é ponto de mínimo 
 
 
259) Determine os valores máximo e mínimo da função sujeitos à restrição . 
Resp. ; 
 
 
260) Determine o ponto da parábola mais próximo de Resp. 
 
 
261) Determine o ponto do plano mais próximo da origem. 
 Resp. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
262) Estude com relação a máximos e mínimos a função com os vínculos e 
 
 Resp. é valor máximo de f 
 
 
263) Determine os valores extremos da função com os vínculos e 
 Resp. 
 
 
 é valor máximo 
 
264) O plano intecepta a parabolóide numa elipse. Determine os pontos desta elipse 
que estão mais próximo e mais afastados da origem. 
 Resp. Mais próximo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; Mais afastado 
21 
 
265) O departamento de estradas de rodagem está planejando construir uma área de descanso para motoristas à 
beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de 7 200 metros quadrados, e 
ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor comprimento de cerca necessário para a obra? 
Resposta: 120 + 60 + 60 = 240 metros 
 
 
 
 
266) Determine as dimensões de uma caixa retangular, sem tampa, com volume de 4 e com área de superfície 
mínima. 
Resp: 2 m ; 2m ; 1 m 
 
XXIII) Integral Dupla 
 
267) 
 
 
 Resp. 60 
268) 
 
 
 Resp. 
 
 
 
269) 
 
 
 é a região triangular com vértices Resp. 
 
 
 
270) 
 
 
 é limitada pelo círculo de centro na origem e raio 2 Resp. 0 
 
Calcule 
 
 
 sendo dados: 
271) 
 
 e D é o retângulo Resp. 
 
 
 
272) e D é a região compreendida entre os gráficos das funções com 
 Resp. 
 
 
 
273) e D é o conjunto de todos os pares tais que 
 Resp. 
 
 
 
274) e D é o retângulo Resp. 
 
 
 
 
275) Calcule 
 
 
 onde D é a região limitada por e . 
 Resp. 
y y 
x 
22 
 
 
276) 
 
 
 e D é a região limitada por Resp. 
 
 
 
 
277) 
 
 
 e D é o setor de um círculo no primeiro quadrante limitado por 3x −4y = 0 e 
y = 0 Resp. 
 
278) 
 
 
 e D é a região limitada pelo semi-círculo Resp. 4π 
 
 
Determine o volume dos sólido: 
279) Limitado pelo cilindro e pelos planos no primeiro octante. 
 Resp. 
 
 
 
280) Abaixo do parabolóide e acima da região limitada por 
 Resp. 
 
 
 
281) No primeiro octante, delimitado pelos cilindros e 
 Resp. 
 
 
 
282) Limitado pelos planos 
 Resp. 
 
 
 
283) Abaixo do plano e acima da região limitada por e 
 Resp. 
 
 
 
284) Abaixo da superfície e acima do triângulo com vértices em e ( 1, 2 ). 
 Resp. 
 
 
 
285) O sólido delimitado pelos cilindros parabólicos e pelos planos x + y + z = 2 e 
 
 Resp. 
 
 
 
23 
 
 
Calcule o volume do conjunto dado: 
286) Resp. 
 
 
 
287) Resp. 
288) Resp. 
 
 
 
289) 
 
 Resp. 
 
 
 
290) Calcule o volume do sólido abaixo: Resp: 
 
 
 u.v. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x = 1 
y = x 
1 
1 
y x 
z