SOLUÇÃO PROVA - calculo AI

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
PROFESSOR: Adriano Regis
ALUNO:
SOLUC¸A˜O III V.A. - Ca´lculo A I DATA: 03/12/2010
1. Encontre, se existir, o limite. Caso na˜o exista, explique por queˆ.
(a) lim
x→0
√
x+ 1− 1
x
(b) lim
x→2
|x− 2|
x− 2
2. Determine as ass´ıntotas horizontal e vertical do gra´fico da func¸a˜o f(x) =
3x2 + 2
x2 − 1 .
Soluc¸a˜o
Ass´ıntotas verticais:
Os valores de x que sa˜o candidatos a` ass´ıntotas verticais sa˜o: x = 1 e x = −1, pois sa˜o os pontos para os quais
a func¸a˜o e´ descont´ınua (na˜o esta´ definida). Devemos enta˜o verificar se algum dos limites laterais nesses pontos
resulta em +∞ ou −∞.
De fato,
lim
x→1+
3x2 + 2
x2 − 1 = +∞,
pois o numerador se aproxima de 5 e o denominador tende a zero, mas e´ positivo.
Pelo mesmo motivo,
lim
x→−1−
3x2 + 2
x2 − 1 = +∞.
Portanto, x = 1 e x = −1 sa˜o as ass´ıntotas verticais de f(x).
Ass´ıntotas horizontais:
Para saber se existem ass´ıntotas horizontais, devemos calcular os limites no infinito, ou seja, verificar se existem
os limites quando x tende a +∞ e +∞.
Neste caso particular a func¸a˜o e´ par, logo se existirem os limites no infinito eles devem ser iguais.
lim
x→+∞
3x2 + 2
x2 − 1 = limx→+∞
3 + 2x2
1− 1x2
= 3.
Analogamente,
lim
x→−∞
3x2 + 2
x2 − 1 = 3.
Sendo assim, y = 3 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal de f(x).
3. Verifique se as func¸o˜es a seguir sa˜o cont´ınuas nos pontos x = a indicado. Justifique sua resposta.
1
(a) f(x) =

x2 − 4
x(x− 2) , se x 6= 2
2, se x = 2
em a = 2
(b) g(x) =
{ √
1− x, se x ≤ 1
x2 − 2x, se x > 1 em a = 1
Soluc¸a˜o:
(a) Observe que f(2) = 2. Por outro lado,
lim
x→3
f(x) = lim
x→3
x2 − 4
x(x− 2) = limx→3
(x+ 2)(x− 2)
x(x− 2) = limx→3
(x+ 2)
x
=
2 + 2
2
= 2.
Como lim
x→2
f(x) = f(2), segue-se que f(x) e´ cont´ınua em x = 2.
(b) lim
x→1−
g(x) = lim
x→1−
√
1− x = √1− 1 = 0;
lim
x→1+
g(x) = lim
x→1+
x2 − 2x = 1− 2 = −1;
Como lim
x→1
g(x) na˜o existe, g(x) na˜o e´ cont´ınua em x = 1.
4. (2,0 pontos)
(a) A curva y =
|x|√
2− x2 , e´ chamada curva ponta de bala. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a essa no
ponto (1,1).
soluc¸a˜o
Para calcular a inclinac¸a˜o da reta tangente a essa curva no ponto x = 1, devemos calcular f ′(1), onde
f(x) =
x√
2− x2 , (omitimos o mo´dulo pelo fato de x = 1 ser positivo.)
Pela regra do quociente, temos
f ′(x) =
√
2− x2 − x −2x
2
√
2− x2
(
√
2− x2)2 =
√
2− x2 + x
2
√
2− x2
2− x2 =
2− x2 + x2
(
√
2− x2)(2− x2) =
2√
(2− x2)3
Portanto f ′(1) = 2, e uma equac¸a˜o de reta e´ dada por
y − 1 = 2(x− 1) ⇔ y = 2x− 1.
(b) Encontre a derivada das func¸o˜es f(x) = 3
√
1− x2 e g(x) = arcsinx. ln(cosx)
soluc¸a˜o
f ′(x) =
1
3
(1− x2)−2/3(−2x) = − 2x
3 3
√
(1− x)2
2
g′(x) =
1√
1− x2 . ln(cos(x)) + arcsin(x).
1
cosx
.(− senx) = ln(cos(x))√
1− x2 − arcsin(x) tgx
5. (3,0 pontos) Considere a func¸a˜o f(x) = x3 − 3x2 + 1.
(a) Encontre os valores de ma´ximos e mı´nimos locais e os pontos de inflexa˜o (JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA).
(b) Determine os valores ma´ximo e mı´nimos globais no intervalo fechado [−1, 1].
(c) Esboce o gra´fico de f.
Soluc¸a˜o
(a) f ′(x) = 3x2 − 6x = 3x(x− 2)
0 2
Logo, pelo teste da primeira derivada, x = 0 e´ ponto de ma´ximo local e x = 2 de mı´nimo local.
f ′′(x) = 6x− 6
1
Pela mudanc¸a de concavidade, x = 1 e´ o u´nico ponto de inflexa˜o.
3
(b) f(x) = x3 − 3x2 + 1.
No intervalo [-1,1] temos apenas um ponto cr´ıtico x = 0 com f(0) = 2.
Para os extremos do intervalo, temos: f(−1) = −3 e f(1) = −1.
Logo pelo me´todo do intervalo fechado, y = 2 e y = −3 sa˜o respectivamente, os valores ma´ximo e mı´nimo
globais em [-1,1].
(c) Gra´fico:
−2 −1 0 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
4