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Tabela Integral e Derivadas

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Tabela Derivadas e Integrais, Relac¸o˜es
Trigonome´tricas, etc.
v1.0
Saloma˜o Luiz de Araujo Neto
03/2017
1
——————————————————————————————
O Alfabeto Grego
——————————————————————————————
α Alfa ι Iota ρ ro
β Beta κ Kapa σ Sigma
γ Gama λ Lambda τ Tau
δ Delta µ Mi υ Ipsilon
� Epsilon ν Ni φ Fi
ζ Zeta ξ Csi χ Qui
η Eta o Omicron ψ Psi
θ Teta pi Pi ω Omega
——————————————————————————————
Fo´rmulas de Geometria
——————————————————————————————
Os seguintes s´ımbolos sa˜o usados para a medida:
r: raio h: Altura b: Base a: base C: Circunfereˆncia A: A´rea
s: Superf´ıcie da A´rea B: Base da A´rea V: Volume
C´ırculo: A = pir2 ; C = 2pir
Triaˆngulo: A = 12bh
Retaˆngulo e paralelogramo: A = bh
Trape´zio: A = 12 (a+ b)h
Cilindro Circular Reto: V = pir2h ; S = 2pirh
Cone Circular Reto: V = 13pir
2h ; S = pir
√
r2 + h2
Esfera: V = 43pir
3 ; S = 4pir2
Prisma (com bases paralelas): V = Bh
Piraˆmide: V = 13Bh
——————————————————————————————
Fo´rmulas de Trigonometria
——————————————————————————————
As Oito Identidades Trigonome´tricas Fundamentais
——————————————————————————–
1. sinx. cscx = 1
2. cosx. secx = 1
3. tanx. cotx = 1
4. tanx = sin xcos x
5. cotx = cos xsin x
6. sin2 x+ cos2 x = 1
7. 1 + tan2 x = sec2 x− 1 + cot2 x = csc2 x− 1
2
——————————————————————————————
Identidades Sobre Soma e Diferenc¸a
———————————————————-
1. sin (u+ v) = sinu cos v + cosu sin v
2. sin (u− v) = sinu cos v − cosu sin v
3. cos (u+ v) = cosu cos v − sinu sin v
4. cos (u− v) = cosu cos v + sinu sin v
5. tan (u+ v) = tanu+tan v1−tanu tan v
6. tan (u− v) = tanu−tan v1+tanu tan v
——————————————————————————————
Identidades Sobre Medidas Mu´ltiplas
———————————————————
1. sin 2u = 2 sinu cosu
2. cos 2u = cos2 u− sin2 u
3. cos 2u = 1− 2 sin2 u
4. cos 2u = 2 cos2 u− 1
5. tan 2u = 2 tanu1−tan2 u
6. sin2 u = 1−cos 2u2
7. cos2 u = 1+cos 2u2
8. tan2 u = 1−cos 2u1+cos 2u
9. sin2 12 t =
1−cos t
2
10. cos2 12 t =
1+cos t
2
11. tan 12 t =
1−cos t
sin t
12. tan 12 t =
sin t
1+cos t
——————————————————————————————
Identidades para o Produto, Soma e Diferenc¸a de Senos e Cossenos
————————————————————————————————-
1. sinu cos v = 12 [sin(u+ v) + sin(u− v)]
2. cosu cosv = 12 [cos(u+ v) + cos(u− v)]
3. sin s+ sin t = 2 sin
(
s+t
2
)
cos
(
s−t
2
)
4. cos s+ cos t = 2 cos
(
s+t
2
)
cos
(
s−t
2
)
5. cosu sin v = 12 [sin(u+ v)− sin(u− v)]
6. sinu sin v = 12 [cos(u− v)− cos(u+ v)]
7. sin s− sin t = 2 cos ( s+t2 ) sin ( s−t2 )
8. cos s− cos t = −2 sin ( s+t2 ) sin ( s−t2 )
——————————————————————————————
Algumas Fo´rmulas de Reduc¸a˜o
———————————————————
1. sin(−x) = − sinx
2. sin( 12pi − x) = cosx
3. sin( 12pi + x) = cosx
4. sin(pi − x) = sinx
5. cos(−x) = cosx
6. cos( 12pi − x) = sinx
7. cos( 12pi + x) = − sinx
8. cos(pi − x) = − cosx
9. tan(−x) = − tanx
10. tan( 12pi − x) = cotx
11. tan( 12pi + x) = − cotx
12. tan(pi − x) = − tanx
——————————————————————————————
Lei dos Senos e dos Cossenos
—————————————————–
a,b e c representam as medidas dos lados de um triaˆngulo: α,β e γ representam
as medidas dos aˆngulos opostos aos lados de medidas a,b e c, respectivamente.
a
sinα =
b
sin β =
c
sin γ c
2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
3
——————————————————————————————
Regras Ba´sicas de Derivac¸a˜o e Integrac¸a˜o
——————————————————————————————
Regra da Cadeia
———————————–
A Regra da Cadeia afirma que:
(f ◦ g)′(x) = f(g(x))′ = f ′(g(x)).g′(x)
Em notac¸a˜o de Leibniz temos:
df
dx
=
df
dg
.
dg
dx
Por exemplo:
f(x) = (x2 + 1)3 temos que g(x) = x2 + 1
g′(x) = 2x
f ′(g(x)) = 3.g(x)2
f ′(x) = 3.g(x)2.2x
f ′(x) = 6.(x2 + 1)2.x
——————————————————————————————
Derivadas Parciais
————————————
A ideia da derivada parcial e´ derivar toda uma func¸a˜o f(x1, x2, x3, ..., xn) em
relac¸a˜o a x1, x2, x3, ..., xn individualmente. Tendo como notac¸a˜o:
∂f
∂x1
,
∂f
∂x2
,
∂f
∂x3
, ...,
∂f
∂xn
Por exemplo:
Sendo f(x, y) = xy3 + 3x2y + exy, a derivada parcial em relac¸a˜o a x e´:
∂f
∂x
= y3 + 6xy + yexy
ja´ em relac¸a˜o a y e´:
∂f
∂y
= 3xy2 + 3x2 + xexy
4
——————————————————————————————
Integral por Partes
————————————
A integrac¸a˜o por partes e´ uma forma para realizar algumas integrac¸o˜es. Sendo
ela da forma: ∫
u = uv −
∫
v du
onde u = f(x) e du = f ′(x)
e v = g(x) e dv = g′(x)
Uma dica para qual func¸a˜o escolher para ser u e´ usar o LIATE.
L = Logaritmicas
I = Inversas Trigonome´tricas
A = Aritme´ticas ou Alge´bricas
T = Trigonome´tricas
E = Exponenciais
Seu u sera´ o primeiro a aparecer da sequencia.
Por Exemplo: ∫
xex dx
u = x
du = dx
dv = ex
v = ex
uv −
∫
v dv
xex −
∫
ex dx
xex − ex = ex(x− 1)
5
——————————————————————————————
Tabela de Derivadas
——————————————————————————————
1. Dx(u
n) = nun−1Dxu
2. Dx(u+ v) = Dxu+Dxv
3. Dx(uv) = uDxv + vDxu
4. Dx(
u
v ) =
vDxu−uDxv
v2
5. Dx(e
u) = euDxu
6. Dx(a
u) = au ln aDxu
7. Dx(lnu) =
1
uDxu
8. Dx(sinu) = cosuDxu
9. Dx(cosu) = − sinuDxu
10. Dx(tanu) = sec
2 uDxu
11. Dx(cotu) = − csc2 uDxu
12. Dx(secu) = secu tanuDxu
13. Dx(cscu) = − cscu cotuDxu
14. Dx(sin
−1 u) = 1√
1−u2Dxu
15. Dx(cos
−1 u) = −1√
1−u2Dxu
16. Dx(tan
−1 u) = 11+u2Dxu
17. Dx(cot
−1 u) = −11+u2Dxu
18. Dx(sec
−1 u) = 1
u
√
u2−1Dxu
19. Dx(csc
−1 u) = −1
u
√
u2−1Dxu
20. Dx(sinhu) = coshuDxu
21. Dx(coshu) = sinhuDxu
22. Dx(tanhu) = sech
2 uDxu
23. Dx(cothu) = −csch2 uDxu
24. Dx(sechu) = −sechu tanhuDxu
25. Dx(cschu) = −cschu cothuDxu
——————————————————————————————
Tabela de Integrais
——————————————————————————————
Algumas Formas Elementares
————————————————
1.
∫
du = u+ C
2.
∫
a du = au+ C
3.
∫
[f(u) + g(u)] du =
∫
f(u) du+
∫
g(u) du
4.
∫
un du = u
n+1
n+1 + C (n 6= −1)
5.
∫
du
u = ln |u|+ C
6
——————————————————————————————
Formas Contendo Func¸o˜es Trigonome´tricas
——————————————————————
1.
∫
sinu du = − cosu+ C
2.
∫
cosu du = sinu+ C
3.
∫
tanu du = ln | secu|+ C
4.
∫
cotu du = ln | sinu|+ C
5.
∫
secu du = ln | secu+ tanu|+ C = ln | tan 14pi + 12u+ C
6.
∫
cscu du = ln | cscu− cotu+ C = ln | tan 12u|+ C
7.
∫
sec2 u du = tanu+ C
8.
∫
csc2 u du = − cotu+ C
9.
∫
secu tanu du = secu+ C
10.
∫
cscu+ cotu du = − cscu+ C
11.
∫
sin2 u du = 12u− 14 sin 2u+ C
12.
∫
cos2 u du = 12u− 14 sin 2u+ C
13.
∫
tan2 u du = tanu− u+ C
14.
∫
cot2 u du = − cotu− u+ C
15.
∫
sinn u du = − 1n sinn−1 u cosu+ n−1n
∫
sinn−2 u du
16.
∫
cosn u du = 1n cos
n−1 u sinu+ n−1n
∫
cosn−2 u du
17.
∫
tann u du = 1n−1 tan
n−1 u− ∫ tann−2 u du
18.
∫
cotn u du = − 1n−1 cotn−1 u−
∫
cotn−2 u du
19.
∫
secn u du = 1n−1 sec
n−2 u tanu+ n−2n−1
∫
secn−2 u du
20.
∫
cscn u du = − 1n−1 cscn−2 u cotu+ n−2n−1
∫
cscn−2 u du
21.
∫
sinmu sinnu du = − sin(m−n)u2(m+n) + sin(m−n)u2m−n + C
22.
∫
cosmu cosnu du = sin(m−n)u2(m+n) +
sin(m−n)u
2m−n + C
23.
∫
sinmu cosnu du = − cos(m+n)u2(m+n) − cos(m−n)u2(m−n) + C
24.
∫
u sinu du = sinu− u cosu+ C
25.
∫
u cosu du = cosu+ u sinu+ C
26.
∫
u2 sinu du = 2u sinu+ (2− u2) cosu+ C
27.
∫
u2 cosu du = 2u cosu+ (u2 − 2) sinu+ C
7
28.
∫
un sinu du = −un cosu+ n ∫ un−1 cosu du
29.
∫
un cosu du = un sin(u− n) ∫ un−1 sinu du
30.
∫
sinm u cosn u du = − sinm−1 u cosn+1 um+n +m−1m+n
∫
sinm−2 u cosn u du = sin
m+1 u cosn−1 u
m+n +
n−1
m+n
∫
sinm u cosn−2 u du
——————————————————————————————
Formas Racionais Contendo a+ bu
—————————————————–
1.
∫
u du
a+bu =
1
b2 [a+ bu− a ln |a+ bu|] + C
2.
∫
u2 du
a+bu =
1
b3 [
1
2 (a+ bu)
2 − 2a(a+ bu) + a2 ln |a+ bu|] + C
3.∫
u du
(a+bu)2 =
1
b2 [
a
a+bu + ln |a+ bu|] + C
4.
∫
u2
(a+bu)2 =
1
b3 [a+ bu− a
2
a+bu − 2a ln |a+ bu|] + C
5.
∫
u du
(a+bu)3 =
1
b2 [
a
2(a+bu)2 − 1a+bu ] + C
6.
∫
du
u(a+bu) =
1
a ln
∣∣∣ ua+bu ∣∣∣+ C
7.
∫
du
u2(a+bu) = − 1au + ba2 ln
∣∣a+bu
u
∣∣+ C
8.
∫
du
u(a+bu)2 =
1
a(a+bu) +
1
a2 ln
∣∣∣ ua+bu ∣∣∣+ C
——————————————————————————————
Formas Contendo
√
a+ bu
———————————————–
1.
∫
u
√
u+ bu du = 215b3 (3bu− 2a)(a+ bu)3/2 + C
2.
∫
u2
√
a+ bu du = 2105b3 (15b
2u2 − 12abu+ 8a2)(a+ bu)3/2 + C
3.
∫
un
√
a+ bu du = 2u
n(a+bu)3/2
b(2n+3) − 2anb(2n+3)
∫
un−1
√
a+ bu du
4.
∫
u du√
a+bu
= 23b2 (bu− 2a
√
a+ bu) + C
5.
∫
u2 du√
a+bu
= 215b3 (3b
2u2 − 4abu+ 8a2)√a+ bu+ C
6.
∫
un du√
a+bu
= 2u
n
√
a+bu
b(2n+1) − 2anb(2n+1)
∫
un−1√
a+bu
7.
∫
du
u
√
a+bu

1√
a
ln
∣∣∣√a+bu−√a√
a+bu+
√
a
∣∣∣+ C se a > 0
2√−a tan
−1
√
a+bu
−a + C se a < 0
8.
∫
du
un
√
a+bu
= −
√
a+bu
a(n−1)un−1 − a(2n−3)2a(n−1)
∫
du
un−1
√
a+bu
9.
∫ √
a+bu du
u = 2
√
a+ bu+ a
∫
du
u
√
a+bu
10.
∫ √
a+bu du
un = − (a+bu)
3/2
a(n−1)un−1 − b(2n−5)2a(n−1)
∫ √
a+bu du
un−1
8
——————————————————————————————
Formas Contendo u2 ± a2
——————————————–
1. dua2+u2 =
1
a tan
−1 u
a + C
2.
∫
du
a2−u2 =
1
2a ln
∣∣∣u+au−a ∣∣∣+ c =

1
a tanh
1 u
a + C |u| < a
1
a coth
−1 u
a + C |u| > a
3.
∫
du
u2−a2 =
1
2a ln
∣∣∣u−au+a ∣∣∣+ c =
 −
1
a tanh
1 u
a + C |u| < a
− 1a coth−1 ua + C |u| > a
——————————————————————————————
Formas Contendo
√
u2 ± a2
——————————————–
Nas Formulas 1 a` 9, pode-se substituir
ln(u+
√
u2 + a2) por sinh−1 ua
ln |u+√u2 + a2| por cosh−1 ua
ln
∣∣∣a+√u2+a2u ∣∣∣ por sinh−1 au
1.
∫
du√
u2±a2 = ln |u+
√
u2 ± a2|+ C
2.
∫ √
u2 ± a2 du = ua
√
u2 ± a2 ± a22 ln |u+
√
u2 ± a2|+ C
3.
∫
u2
√
u2 ± a2 du = u8 (2u2 ± a2)
√
u2 ± a2 − a48 ln |u+
√
u2 ± a2|+ C
4.
∫ √
u2+a2 du
u =
√
u2 + a2 − a ln
∣∣∣a+√u2+a2u ∣∣∣+ C
5.
∫ √
u2−a2 du
u =
√
u2 − a2 − a sec−1 ua + C
6.
∫
u2 du√
u2±a2 = −
√
u2±a2
u + ln |u+
√
u2 ± a2|+ C
7.
∫
du
u
√
u2+a2
= − 1a ln
∣∣∣a+√u2±a2u ∣∣∣+ C
8.
∫
du
u
√
u2−a2 =
1
a sec
−1 u
a + C
9.
∫
du
u2
√
u2±a2 = −
√
u2±a2
±a2u + C
10.
∫
(u2 ± a2)3/2 du = u8 (2u2 ± 5a2)
√
u2 ± a2 + 3a48 ln
∣∣u+√u2 ± a2∣∣+ C
11.
∫
du
(u2±a2)3/2 =
u
±a2√u2±a2 + C
9
——————————————————————————————
Formas Contendo
√
a2 − u2
——————————————–
1.
∫
du√
a2−u2 = sin
−1 u
a + C
2.
∫ √
a2 − u2 du = u2
√
a2 − u2 + a22 sin−1 u1 + C
3.
∫
u2
√
a2 − u2 du = u8 (2u2 − a2)
√
a2 − u2 + a48 sin−1 ua + C
4.
∫ √
a2−u2 du
u =
√
a2 − u2 − a ln
∣∣∣a+√a2−u2u ∣∣∣+ C
5.
∫ √
a2−u2 du
u2 = −
√
a2−u2
u − sin−1 ua + C
6.
∫
u2 du√
a2−u2 = −u2
√
a2 − u2 + a22 sin−1 ua + C
7.
∫
du
u
√
a2−u2 = − 1a ln
∣∣∣a+√a2−u2u ∣∣∣+ C = − 1a cosh−1 au + C
8.
∫
du
u2
√
a2−u2 = −
√
a2−u2
a2u + C
9.
∫
(a2 − u2)3/2 du = −u8 (2u2 − 5a2)
√
a2 − u2 + 3a48 sin−1 ua + C
10.
∫
du
(a2−u2)3/2 =
u
a2
√
a2−u2 + C
——————————————————————————————
Formas Contendo 2au− u2
—————————————
1.
∫ √
2au− u2 du = u−a2
√
2au− u2 + a22 cos−1
(
1− ua
)
+ C
2.
∫
u
√
2au− u2 du = 2u2−au−3a26
√
2au− u2 + a32 cos−1
(
1− ua
)
+ C
3.
∫ √
2au−u2dy
u =
√
2au− u2 + a cos−1 (1− ua )+ C
4.
∫ √
2au−u2 du
u2 = − 2
√
2au−u2
u − cos−1
(
1− ua
)
+ C
5.
∫
du√
2au−u2 = cos
−1 (1− ua )+ C
6.
∫
u du√
2au−u2 = −
√
2au− u2 + a cos−1 (1− ua )+ C
7.
∫
u2 du√
2au−u2 = −
(u+3a)
2
√
2au− u2 + 3a22 cos−1
(
1− ua
)
+ C
8.
∫
du
u
√
2au−u2 = −
√
2au−u2
au + C
9.
∫
du
(2au−u2)3/2 =
u−a
a2
√
2au−u2 + C
10.
∫
u du
(2au−u2)3/2 =
u
a
√
2au−u2 + C
10
——————————————————————————————
Formas Contendo Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
—————————————————————————
1.
∫
sin−1 u du = u sin−1 u+
√
1− u2 + C
2.
∫
cos−1 u du = u cos−1 u−√1− u2 + C
3.
∫
tan−1 u du = u tan−1 u− ln√1 + u2 + C
4.
∫
cot−1 u du = u cot−1 u+ ln
√
1 + u2 + C
5.
∫
sec−1 u du
{
= u sec−1 u− ln |u+√u2 − 1|+ C
= u sec−1 u− cosh−1 u+ C
6.
∫
csc−1 u du =
{
= u csc−1 u+ ln |u+√u2 − 1|+ C
= u csc−1 u+ cosh−1 u+ C
——————————————————————————————
Formas Contendo Func¸o˜es Exponenciais e Logar´ıtmicas
—————————————————————————
1.
∫
eu du = eu + C
2.
∫
au du = a
u
ln a + C
3.
∫
ueu = eu(u− 1) + C
4.
∫
uneu = uneu − n ∫ un−1eu du+ C
5.
∫
unau du = u
nau
ln a − nln a
∫
un−1au du+ C
6.
∫
eu du
un = − e
u
(n−1)un−1 +
1
n−1
∫
eu du
un−1 + C
7.
∫
au du
un = − a
u
(n−1)un−1 +
ln a
n−1
∫
au du
un−1 + C
8.
∫
lnu du = u lnu− u+ C
9.
∫
un lnu du = u
n+1
(n+1)2 [(n+ 1) lnu− 1] + C
10.
∫
du
u lnu = ln | lnu|+ C
11.
∫
eau sinnu du = e
au
a2+n2 (a sinnu− n cosnu) + C
12.
∫
eau cosnu du = e
au
a2+n2 (a cosnu+ n sinnu) + C
11
——————————————————————————————
Formas Contendo Func¸o˜es Hiperbo´licas
—————————————————————————
1.
∫
sinhu du = coshu+ C
2.
∫
coshu du = sinu+ C
3.
∫
tanhu du = ln | cosh |+ C
4.
∫
cothu du = ln | sinhu|+ C
5.
∫
sechu du = tan−1(sinhu) + C
6.
∫
cschu du = ln | tanh 12u|+ C
7.
∫
sech2 u du = tanhu+ C
8.
∫
csch2u tanhu du = − cothu+ C
9.
∫
cschu cothu du = −cschu+ C
10.
∫
sinh2 u du = 14 sinh 2u− 12u+ C
11.
∫
cosh2 u du = 14 sinh 2u+
1
2u+ C
12.
∫
tanh2 u du = u− tanh +C
13.
∫
coth2 u du = u− cothu+ C
14.
∫
u sinhu du = u coshu− sinhu+ C
15.
∫
u coshu du = u sinhu− coshu+ C
16.
∫
enu sinhnu du = e
au
a2−n2 (a sinhnu− n coshnu) + C
17.
∫
eau coshnu du = e
nu
a2−n2 (a coshnu− n sinhnu) + C
12
——————————————————————————————
Tabelas do Sistema Internacional de Medias (SI)
——————————————————————————————
——————————————————————————————
Principais prefixos das Unidades SI
———————————————————
Nome S´ımbolos Fator de Multiplicac¸a˜o da Unidade
Yotta Y 1024
Zetta Z 10121
Exa E 1018
Peta P 1015
Tera T 1012 = 1.000.000.000.000
Giga G 109 = 1.000.000.000
Mega M 105 = 1.000.000
Quilo k 103 = 1.000
Hecto h 102 = 100
Deca da 101 = 10
- - 100 = 1
Deci d 10−1 = 0, 1
Centi c 10−2 = 0, 01
Mili m 10−3 = 0, 001
Micro µ 10−5 = 0, 000.001
Nano n 10−9 = 0, 000.000.001
Pico p 10−12 = 0, 000.000.000.001
Femto f 10−15
Atto a 10−18
Zepto z 10−21
Yocto y 10−24
13
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Grandezas Ba´sicas ou Fundamentais do SI
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Grandeza Nome S´ımbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Corrente Ele´trica ampe`re A
Temperatura Termodinaˆmica kelvin K
Quantidade de Substaˆncia mol mol
Intensidade Luminosa candela cd
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Unidades Secundarias do SI
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Grandeza Nome Equac¸a˜o S´ımbolo
A´rea Metro Quadrado m2 m2
Volume Metro Cu´bico m3 m3
Frequeˆncia Hertz s−1 Hz
Velocidade Metro por Segundo m/s m/s
Acelerac¸a˜o Metro por Segundo por Segundo m/s2 m/s2
Massa Especifica Quilograma por Metro Cu´bico kg/m3 kg/m3
Vaza˜o Metro Cu´bico por Segundo m3/s m3/s
Forc¸a Newton kg.m/s2 N
Pressa˜o Pascal N/m2 Pa
Trabalho Joule N.m J
Poteˆncia Watt J/s W
Carga Ele´trica Coulomb A.s C
Tensa˜o Ele´trica Volt W/A V
Resisteˆncia Ele´trica Ohm V/A Ω
Condutaˆncia Siemens A/V S
Capacitaˆncia Farad C/V F
Temperatura Celsius Grau Celsius K − 273 oC
Fluxo Magne´tico Weber V.s Wb
Indutaˆncia Henry Wb/A H
14

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