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Tabela Derivadas e Integrais, Relac¸o˜es Trigonome´tricas, etc. v1.0 Saloma˜o Luiz de Araujo Neto 03/2017 1 —————————————————————————————— O Alfabeto Grego —————————————————————————————— α Alfa ι Iota ρ ro β Beta κ Kapa σ Sigma γ Gama λ Lambda τ Tau δ Delta µ Mi υ Ipsilon � Epsilon ν Ni φ Fi ζ Zeta ξ Csi χ Qui η Eta o Omicron ψ Psi θ Teta pi Pi ω Omega —————————————————————————————— Fo´rmulas de Geometria —————————————————————————————— Os seguintes s´ımbolos sa˜o usados para a medida: r: raio h: Altura b: Base a: base C: Circunfereˆncia A: A´rea s: Superf´ıcie da A´rea B: Base da A´rea V: Volume C´ırculo: A = pir2 ; C = 2pir Triaˆngulo: A = 12bh Retaˆngulo e paralelogramo: A = bh Trape´zio: A = 12 (a+ b)h Cilindro Circular Reto: V = pir2h ; S = 2pirh Cone Circular Reto: V = 13pir 2h ; S = pir √ r2 + h2 Esfera: V = 43pir 3 ; S = 4pir2 Prisma (com bases paralelas): V = Bh Piraˆmide: V = 13Bh —————————————————————————————— Fo´rmulas de Trigonometria —————————————————————————————— As Oito Identidades Trigonome´tricas Fundamentais ——————————————————————————– 1. sinx. cscx = 1 2. cosx. secx = 1 3. tanx. cotx = 1 4. tanx = sin xcos x 5. cotx = cos xsin x 6. sin2 x+ cos2 x = 1 7. 1 + tan2 x = sec2 x− 1 + cot2 x = csc2 x− 1 2 —————————————————————————————— Identidades Sobre Soma e Diferenc¸a ———————————————————- 1. sin (u+ v) = sinu cos v + cosu sin v 2. sin (u− v) = sinu cos v − cosu sin v 3. cos (u+ v) = cosu cos v − sinu sin v 4. cos (u− v) = cosu cos v + sinu sin v 5. tan (u+ v) = tanu+tan v1−tanu tan v 6. tan (u− v) = tanu−tan v1+tanu tan v —————————————————————————————— Identidades Sobre Medidas Mu´ltiplas ——————————————————— 1. sin 2u = 2 sinu cosu 2. cos 2u = cos2 u− sin2 u 3. cos 2u = 1− 2 sin2 u 4. cos 2u = 2 cos2 u− 1 5. tan 2u = 2 tanu1−tan2 u 6. sin2 u = 1−cos 2u2 7. cos2 u = 1+cos 2u2 8. tan2 u = 1−cos 2u1+cos 2u 9. sin2 12 t = 1−cos t 2 10. cos2 12 t = 1+cos t 2 11. tan 12 t = 1−cos t sin t 12. tan 12 t = sin t 1+cos t —————————————————————————————— Identidades para o Produto, Soma e Diferenc¸a de Senos e Cossenos ————————————————————————————————- 1. sinu cos v = 12 [sin(u+ v) + sin(u− v)] 2. cosu cosv = 12 [cos(u+ v) + cos(u− v)] 3. sin s+ sin t = 2 sin ( s+t 2 ) cos ( s−t 2 ) 4. cos s+ cos t = 2 cos ( s+t 2 ) cos ( s−t 2 ) 5. cosu sin v = 12 [sin(u+ v)− sin(u− v)] 6. sinu sin v = 12 [cos(u− v)− cos(u+ v)] 7. sin s− sin t = 2 cos ( s+t2 ) sin ( s−t2 ) 8. cos s− cos t = −2 sin ( s+t2 ) sin ( s−t2 ) —————————————————————————————— Algumas Fo´rmulas de Reduc¸a˜o ——————————————————— 1. sin(−x) = − sinx 2. sin( 12pi − x) = cosx 3. sin( 12pi + x) = cosx 4. sin(pi − x) = sinx 5. cos(−x) = cosx 6. cos( 12pi − x) = sinx 7. cos( 12pi + x) = − sinx 8. cos(pi − x) = − cosx 9. tan(−x) = − tanx 10. tan( 12pi − x) = cotx 11. tan( 12pi + x) = − cotx 12. tan(pi − x) = − tanx —————————————————————————————— Lei dos Senos e dos Cossenos —————————————————– a,b e c representam as medidas dos lados de um triaˆngulo: α,β e γ representam as medidas dos aˆngulos opostos aos lados de medidas a,b e c, respectivamente. a sinα = b sin β = c sin γ c 2 = a2 + b2 − 2ab cos γ 3 —————————————————————————————— Regras Ba´sicas de Derivac¸a˜o e Integrac¸a˜o —————————————————————————————— Regra da Cadeia ———————————– A Regra da Cadeia afirma que: (f ◦ g)′(x) = f(g(x))′ = f ′(g(x)).g′(x) Em notac¸a˜o de Leibniz temos: df dx = df dg . dg dx Por exemplo: f(x) = (x2 + 1)3 temos que g(x) = x2 + 1 g′(x) = 2x f ′(g(x)) = 3.g(x)2 f ′(x) = 3.g(x)2.2x f ′(x) = 6.(x2 + 1)2.x —————————————————————————————— Derivadas Parciais ———————————— A ideia da derivada parcial e´ derivar toda uma func¸a˜o f(x1, x2, x3, ..., xn) em relac¸a˜o a x1, x2, x3, ..., xn individualmente. Tendo como notac¸a˜o: ∂f ∂x1 , ∂f ∂x2 , ∂f ∂x3 , ..., ∂f ∂xn Por exemplo: Sendo f(x, y) = xy3 + 3x2y + exy, a derivada parcial em relac¸a˜o a x e´: ∂f ∂x = y3 + 6xy + yexy ja´ em relac¸a˜o a y e´: ∂f ∂y = 3xy2 + 3x2 + xexy 4 —————————————————————————————— Integral por Partes ———————————— A integrac¸a˜o por partes e´ uma forma para realizar algumas integrac¸o˜es. Sendo ela da forma: ∫ u = uv − ∫ v du onde u = f(x) e du = f ′(x) e v = g(x) e dv = g′(x) Uma dica para qual func¸a˜o escolher para ser u e´ usar o LIATE. L = Logaritmicas I = Inversas Trigonome´tricas A = Aritme´ticas ou Alge´bricas T = Trigonome´tricas E = Exponenciais Seu u sera´ o primeiro a aparecer da sequencia. Por Exemplo: ∫ xex dx u = x du = dx dv = ex v = ex uv − ∫ v dv xex − ∫ ex dx xex − ex = ex(x− 1) 5 —————————————————————————————— Tabela de Derivadas —————————————————————————————— 1. Dx(u n) = nun−1Dxu 2. Dx(u+ v) = Dxu+Dxv 3. Dx(uv) = uDxv + vDxu 4. Dx( u v ) = vDxu−uDxv v2 5. Dx(e u) = euDxu 6. Dx(a u) = au ln aDxu 7. Dx(lnu) = 1 uDxu 8. Dx(sinu) = cosuDxu 9. Dx(cosu) = − sinuDxu 10. Dx(tanu) = sec 2 uDxu 11. Dx(cotu) = − csc2 uDxu 12. Dx(secu) = secu tanuDxu 13. Dx(cscu) = − cscu cotuDxu 14. Dx(sin −1 u) = 1√ 1−u2Dxu 15. Dx(cos −1 u) = −1√ 1−u2Dxu 16. Dx(tan −1 u) = 11+u2Dxu 17. Dx(cot −1 u) = −11+u2Dxu 18. Dx(sec −1 u) = 1 u √ u2−1Dxu 19. Dx(csc −1 u) = −1 u √ u2−1Dxu 20. Dx(sinhu) = coshuDxu 21. Dx(coshu) = sinhuDxu 22. Dx(tanhu) = sech 2 uDxu 23. Dx(cothu) = −csch2 uDxu 24. Dx(sechu) = −sechu tanhuDxu 25. Dx(cschu) = −cschu cothuDxu —————————————————————————————— Tabela de Integrais —————————————————————————————— Algumas Formas Elementares ———————————————— 1. ∫ du = u+ C 2. ∫ a du = au+ C 3. ∫ [f(u) + g(u)] du = ∫ f(u) du+ ∫ g(u) du 4. ∫ un du = u n+1 n+1 + C (n 6= −1) 5. ∫ du u = ln |u|+ C 6 —————————————————————————————— Formas Contendo Func¸o˜es Trigonome´tricas —————————————————————— 1. ∫ sinu du = − cosu+ C 2. ∫ cosu du = sinu+ C 3. ∫ tanu du = ln | secu|+ C 4. ∫ cotu du = ln | sinu|+ C 5. ∫ secu du = ln | secu+ tanu|+ C = ln | tan 14pi + 12u+ C 6. ∫ cscu du = ln | cscu− cotu+ C = ln | tan 12u|+ C 7. ∫ sec2 u du = tanu+ C 8. ∫ csc2 u du = − cotu+ C 9. ∫ secu tanu du = secu+ C 10. ∫ cscu+ cotu du = − cscu+ C 11. ∫ sin2 u du = 12u− 14 sin 2u+ C 12. ∫ cos2 u du = 12u− 14 sin 2u+ C 13. ∫ tan2 u du = tanu− u+ C 14. ∫ cot2 u du = − cotu− u+ C 15. ∫ sinn u du = − 1n sinn−1 u cosu+ n−1n ∫ sinn−2 u du 16. ∫ cosn u du = 1n cos n−1 u sinu+ n−1n ∫ cosn−2 u du 17. ∫ tann u du = 1n−1 tan n−1 u− ∫ tann−2 u du 18. ∫ cotn u du = − 1n−1 cotn−1 u− ∫ cotn−2 u du 19. ∫ secn u du = 1n−1 sec n−2 u tanu+ n−2n−1 ∫ secn−2 u du 20. ∫ cscn u du = − 1n−1 cscn−2 u cotu+ n−2n−1 ∫ cscn−2 u du 21. ∫ sinmu sinnu du = − sin(m−n)u2(m+n) + sin(m−n)u2m−n + C 22. ∫ cosmu cosnu du = sin(m−n)u2(m+n) + sin(m−n)u 2m−n + C 23. ∫ sinmu cosnu du = − cos(m+n)u2(m+n) − cos(m−n)u2(m−n) + C 24. ∫ u sinu du = sinu− u cosu+ C 25. ∫ u cosu du = cosu+ u sinu+ C 26. ∫ u2 sinu du = 2u sinu+ (2− u2) cosu+ C 27. ∫ u2 cosu du = 2u cosu+ (u2 − 2) sinu+ C 7 28. ∫ un sinu du = −un cosu+ n ∫ un−1 cosu du 29. ∫ un cosu du = un sin(u− n) ∫ un−1 sinu du 30. ∫ sinm u cosn u du = − sinm−1 u cosn+1 um+n +m−1m+n ∫ sinm−2 u cosn u du = sin m+1 u cosn−1 u m+n + n−1 m+n ∫ sinm u cosn−2 u du —————————————————————————————— Formas Racionais Contendo a+ bu —————————————————– 1. ∫ u du a+bu = 1 b2 [a+ bu− a ln |a+ bu|] + C 2. ∫ u2 du a+bu = 1 b3 [ 1 2 (a+ bu) 2 − 2a(a+ bu) + a2 ln |a+ bu|] + C 3.∫ u du (a+bu)2 = 1 b2 [ a a+bu + ln |a+ bu|] + C 4. ∫ u2 (a+bu)2 = 1 b3 [a+ bu− a 2 a+bu − 2a ln |a+ bu|] + C 5. ∫ u du (a+bu)3 = 1 b2 [ a 2(a+bu)2 − 1a+bu ] + C 6. ∫ du u(a+bu) = 1 a ln ∣∣∣ ua+bu ∣∣∣+ C 7. ∫ du u2(a+bu) = − 1au + ba2 ln ∣∣a+bu u ∣∣+ C 8. ∫ du u(a+bu)2 = 1 a(a+bu) + 1 a2 ln ∣∣∣ ua+bu ∣∣∣+ C —————————————————————————————— Formas Contendo √ a+ bu ———————————————– 1. ∫ u √ u+ bu du = 215b3 (3bu− 2a)(a+ bu)3/2 + C 2. ∫ u2 √ a+ bu du = 2105b3 (15b 2u2 − 12abu+ 8a2)(a+ bu)3/2 + C 3. ∫ un √ a+ bu du = 2u n(a+bu)3/2 b(2n+3) − 2anb(2n+3) ∫ un−1 √ a+ bu du 4. ∫ u du√ a+bu = 23b2 (bu− 2a √ a+ bu) + C 5. ∫ u2 du√ a+bu = 215b3 (3b 2u2 − 4abu+ 8a2)√a+ bu+ C 6. ∫ un du√ a+bu = 2u n √ a+bu b(2n+1) − 2anb(2n+1) ∫ un−1√ a+bu 7. ∫ du u √ a+bu 1√ a ln ∣∣∣√a+bu−√a√ a+bu+ √ a ∣∣∣+ C se a > 0 2√−a tan −1 √ a+bu −a + C se a < 0 8. ∫ du un √ a+bu = − √ a+bu a(n−1)un−1 − a(2n−3)2a(n−1) ∫ du un−1 √ a+bu 9. ∫ √ a+bu du u = 2 √ a+ bu+ a ∫ du u √ a+bu 10. ∫ √ a+bu du un = − (a+bu) 3/2 a(n−1)un−1 − b(2n−5)2a(n−1) ∫ √ a+bu du un−1 8 —————————————————————————————— Formas Contendo u2 ± a2 ——————————————– 1. dua2+u2 = 1 a tan −1 u a + C 2. ∫ du a2−u2 = 1 2a ln ∣∣∣u+au−a ∣∣∣+ c = 1 a tanh 1 u a + C |u| < a 1 a coth −1 u a + C |u| > a 3. ∫ du u2−a2 = 1 2a ln ∣∣∣u−au+a ∣∣∣+ c = − 1 a tanh 1 u a + C |u| < a − 1a coth−1 ua + C |u| > a —————————————————————————————— Formas Contendo √ u2 ± a2 ——————————————– Nas Formulas 1 a` 9, pode-se substituir ln(u+ √ u2 + a2) por sinh−1 ua ln |u+√u2 + a2| por cosh−1 ua ln ∣∣∣a+√u2+a2u ∣∣∣ por sinh−1 au 1. ∫ du√ u2±a2 = ln |u+ √ u2 ± a2|+ C 2. ∫ √ u2 ± a2 du = ua √ u2 ± a2 ± a22 ln |u+ √ u2 ± a2|+ C 3. ∫ u2 √ u2 ± a2 du = u8 (2u2 ± a2) √ u2 ± a2 − a48 ln |u+ √ u2 ± a2|+ C 4. ∫ √ u2+a2 du u = √ u2 + a2 − a ln ∣∣∣a+√u2+a2u ∣∣∣+ C 5. ∫ √ u2−a2 du u = √ u2 − a2 − a sec−1 ua + C 6. ∫ u2 du√ u2±a2 = − √ u2±a2 u + ln |u+ √ u2 ± a2|+ C 7. ∫ du u √ u2+a2 = − 1a ln ∣∣∣a+√u2±a2u ∣∣∣+ C 8. ∫ du u √ u2−a2 = 1 a sec −1 u a + C 9. ∫ du u2 √ u2±a2 = − √ u2±a2 ±a2u + C 10. ∫ (u2 ± a2)3/2 du = u8 (2u2 ± 5a2) √ u2 ± a2 + 3a48 ln ∣∣u+√u2 ± a2∣∣+ C 11. ∫ du (u2±a2)3/2 = u ±a2√u2±a2 + C 9 —————————————————————————————— Formas Contendo √ a2 − u2 ——————————————– 1. ∫ du√ a2−u2 = sin −1 u a + C 2. ∫ √ a2 − u2 du = u2 √ a2 − u2 + a22 sin−1 u1 + C 3. ∫ u2 √ a2 − u2 du = u8 (2u2 − a2) √ a2 − u2 + a48 sin−1 ua + C 4. ∫ √ a2−u2 du u = √ a2 − u2 − a ln ∣∣∣a+√a2−u2u ∣∣∣+ C 5. ∫ √ a2−u2 du u2 = − √ a2−u2 u − sin−1 ua + C 6. ∫ u2 du√ a2−u2 = −u2 √ a2 − u2 + a22 sin−1 ua + C 7. ∫ du u √ a2−u2 = − 1a ln ∣∣∣a+√a2−u2u ∣∣∣+ C = − 1a cosh−1 au + C 8. ∫ du u2 √ a2−u2 = − √ a2−u2 a2u + C 9. ∫ (a2 − u2)3/2 du = −u8 (2u2 − 5a2) √ a2 − u2 + 3a48 sin−1 ua + C 10. ∫ du (a2−u2)3/2 = u a2 √ a2−u2 + C —————————————————————————————— Formas Contendo 2au− u2 ————————————— 1. ∫ √ 2au− u2 du = u−a2 √ 2au− u2 + a22 cos−1 ( 1− ua ) + C 2. ∫ u √ 2au− u2 du = 2u2−au−3a26 √ 2au− u2 + a32 cos−1 ( 1− ua ) + C 3. ∫ √ 2au−u2dy u = √ 2au− u2 + a cos−1 (1− ua )+ C 4. ∫ √ 2au−u2 du u2 = − 2 √ 2au−u2 u − cos−1 ( 1− ua ) + C 5. ∫ du√ 2au−u2 = cos −1 (1− ua )+ C 6. ∫ u du√ 2au−u2 = − √ 2au− u2 + a cos−1 (1− ua )+ C 7. ∫ u2 du√ 2au−u2 = − (u+3a) 2 √ 2au− u2 + 3a22 cos−1 ( 1− ua ) + C 8. ∫ du u √ 2au−u2 = − √ 2au−u2 au + C 9. ∫ du (2au−u2)3/2 = u−a a2 √ 2au−u2 + C 10. ∫ u du (2au−u2)3/2 = u a √ 2au−u2 + C 10 —————————————————————————————— Formas Contendo Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas ————————————————————————— 1. ∫ sin−1 u du = u sin−1 u+ √ 1− u2 + C 2. ∫ cos−1 u du = u cos−1 u−√1− u2 + C 3. ∫ tan−1 u du = u tan−1 u− ln√1 + u2 + C 4. ∫ cot−1 u du = u cot−1 u+ ln √ 1 + u2 + C 5. ∫ sec−1 u du { = u sec−1 u− ln |u+√u2 − 1|+ C = u sec−1 u− cosh−1 u+ C 6. ∫ csc−1 u du = { = u csc−1 u+ ln |u+√u2 − 1|+ C = u csc−1 u+ cosh−1 u+ C —————————————————————————————— Formas Contendo Func¸o˜es Exponenciais e Logar´ıtmicas ————————————————————————— 1. ∫ eu du = eu + C 2. ∫ au du = a u ln a + C 3. ∫ ueu = eu(u− 1) + C 4. ∫ uneu = uneu − n ∫ un−1eu du+ C 5. ∫ unau du = u nau ln a − nln a ∫ un−1au du+ C 6. ∫ eu du un = − e u (n−1)un−1 + 1 n−1 ∫ eu du un−1 + C 7. ∫ au du un = − a u (n−1)un−1 + ln a n−1 ∫ au du un−1 + C 8. ∫ lnu du = u lnu− u+ C 9. ∫ un lnu du = u n+1 (n+1)2 [(n+ 1) lnu− 1] + C 10. ∫ du u lnu = ln | lnu|+ C 11. ∫ eau sinnu du = e au a2+n2 (a sinnu− n cosnu) + C 12. ∫ eau cosnu du = e au a2+n2 (a cosnu+ n sinnu) + C 11 —————————————————————————————— Formas Contendo Func¸o˜es Hiperbo´licas ————————————————————————— 1. ∫ sinhu du = coshu+ C 2. ∫ coshu du = sinu+ C 3. ∫ tanhu du = ln | cosh |+ C 4. ∫ cothu du = ln | sinhu|+ C 5. ∫ sechu du = tan−1(sinhu) + C 6. ∫ cschu du = ln | tanh 12u|+ C 7. ∫ sech2 u du = tanhu+ C 8. ∫ csch2u tanhu du = − cothu+ C 9. ∫ cschu cothu du = −cschu+ C 10. ∫ sinh2 u du = 14 sinh 2u− 12u+ C 11. ∫ cosh2 u du = 14 sinh 2u+ 1 2u+ C 12. ∫ tanh2 u du = u− tanh +C 13. ∫ coth2 u du = u− cothu+ C 14. ∫ u sinhu du = u coshu− sinhu+ C 15. ∫ u coshu du = u sinhu− coshu+ C 16. ∫ enu sinhnu du = e au a2−n2 (a sinhnu− n coshnu) + C 17. ∫ eau coshnu du = e nu a2−n2 (a coshnu− n sinhnu) + C 12 —————————————————————————————— Tabelas do Sistema Internacional de Medias (SI) —————————————————————————————— —————————————————————————————— Principais prefixos das Unidades SI ——————————————————— Nome S´ımbolos Fator de Multiplicac¸a˜o da Unidade Yotta Y 1024 Zetta Z 10121 Exa E 1018 Peta P 1015 Tera T 1012 = 1.000.000.000.000 Giga G 109 = 1.000.000.000 Mega M 105 = 1.000.000 Quilo k 103 = 1.000 Hecto h 102 = 100 Deca da 101 = 10 - - 100 = 1 Deci d 10−1 = 0, 1 Centi c 10−2 = 0, 01 Mili m 10−3 = 0, 001 Micro µ 10−5 = 0, 000.001 Nano n 10−9 = 0, 000.000.001 Pico p 10−12 = 0, 000.000.000.001 Femto f 10−15 Atto a 10−18 Zepto z 10−21 Yocto y 10−24 13 —————————————————————————————— Grandezas Ba´sicas ou Fundamentais do SI ——————————————— Grandeza Nome S´ımbolo Comprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Corrente Ele´trica ampe`re A Temperatura Termodinaˆmica kelvin K Quantidade de Substaˆncia mol mol Intensidade Luminosa candela cd —————————————————————————————— Unidades Secundarias do SI ——————————————— Grandeza Nome Equac¸a˜o S´ımbolo A´rea Metro Quadrado m2 m2 Volume Metro Cu´bico m3 m3 Frequeˆncia Hertz s−1 Hz Velocidade Metro por Segundo m/s m/s Acelerac¸a˜o Metro por Segundo por Segundo m/s2 m/s2 Massa Especifica Quilograma por Metro Cu´bico kg/m3 kg/m3 Vaza˜o Metro Cu´bico por Segundo m3/s m3/s Forc¸a Newton kg.m/s2 N Pressa˜o Pascal N/m2 Pa Trabalho Joule N.m J Poteˆncia Watt J/s W Carga Ele´trica Coulomb A.s C Tensa˜o Ele´trica Volt W/A V Resisteˆncia Ele´trica Ohm V/A Ω Condutaˆncia Siemens A/V S Capacitaˆncia Farad C/V F Temperatura Celsius Grau Celsius K − 273 oC Fluxo Magne´tico Weber V.s Wb Indutaˆncia Henry Wb/A H 14
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