2016 II L1

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A´LGEBRA LINEAR:
Matrizes e Sistemas lineares
14 de marc¸o de 2017 ∗ UENF ∗
Bacharelado em Engenharia: turma A ∗∗
†‡
1. Vamos considerar, para cada n ∈ IN , as matrizes An = (aij)n×n e
Bn = (aij)n×n definidas por
aij =
{
1 + (−1)i+j, se |i− j| ≤ 1
0, c.c.
e bij =
{
1− (−1)i−j, se |i− j| ≤ 1
0, c.c.
Calcular (i) An+Bn, (ii) An ·Bn, (iii) An ·Bn−Bn ·An, (iv) det(An−Bn).
2. Achar uma matriz na˜o singular P tal que P−1AP seja diagonal; onde
A = 1
6
(
2 3
4 3
)
. Encontrar uma fo´rmula para calcular An.
3. Sejam σ1 e σ2 o trac¸o e o determinante, respectivamente, de uma matriz
A de ordem 2× 2. Calcular A2 − σ1A+ σ2I
4. Resolver cada uma das seguintes equac¸o˜es ; onde A =
(
1 2
3 4
)
i) A(A+X) = A2 − A.
ii) A−1(X − A) = A+ A2.
iii) (A+X)(A−X) = A2 −X2.
5. Exibir (de ser poss´ıvel), em cada caso, duas matrizes 2× 2 tais que
i) (A+B)2 = A2 + 2AB +B2.
ii) (A+B)(A−B) = A2 −B2.
iii) A3 −B3 = (A−B)(A2 + AB +B2).
∗Universidade Estadual do Norte Fluminense/CCT. Av. Alberto Lamego, 2000. CEP:
28015-620, Campos dos Goytacazes, RJ. Brazil. e-mail: guillerm@uenf.br.
‡LCMAT-CCT-UENF.
1
A´LGEBRA LINEAR /sistemas lineares 2
6. Mostrar que se A =
(
a b
c d
)
, enta˜o
A−1 = 1
∆
(
d −b
−c a
)
; onde ∆ = det(A) = ad− bc.
7. Encontrar uma fo´rmula para a matriz inversa deA =
 a11 a12 a130 a22 a23
0 0 a33
.
8. Sejam A = (aij)n×n e B = (bij)n×n duas matrizes diagonais e seja I a
matriz identidade de ordem n× n. Mostrar que
AB = I ⇐⇒ aii · bii = 1 ∀i = 1, 2, 3, · · · , n.
9. Mostrar que o produto de uma matriz triangular superior por uma
matriz triangular inferior e´ uma matriz diagonal.
10. Seja A uma matriz de ordem 2× 2. Mostrar que
det(A− xI) = 0 ⇐⇒ x2 − σ1x+ σ2 = 0; onde
{
σ1 = trac¸o(A)
σ2 = det(A)
.
11. Seja A uma matriz de ordem 3× 3. Mostrar que
det(A−xI) = 0 ⇐⇒ x3−σ1x2+σ2x2−σ3 = 0;

σ1 = trac¸o(A)
σ2 =
∑
i<j | aii aijaji ajj |
σ3 = det(A)
.
12. Exibir (caso exista) uma matriz na˜o singular P tal que PAP−1 seja
uma matriz diagonal; onde A =
(
3 4
4 5
)
.
13. Seja A uma matriz quadrada qualquer. Mostrar que
i) A+ At e´ uma matriz sime´trica.
ii) A− At e´ uma matriz anti-sime´trica.
iii) existem B sime´trica e C antisime´trica, tais que A = B + C.
14. Estabelecer condic¸o˜es sobre os coeficientes dados para garantir que o
conjunto soluc¸a˜o do sistema
{
ax+ by = e
cx+ dy = f
seja ...
i) unita´rio, ii) infinito, iii) vazio.
Exibir, em cada um destes casos, um exemplo concreto de um tal sis-
tema. Ilustrar geometricamente no plano Cartesiano.
Provar que esse sistema tem alguma soluc¸a˜o see posto(A)=posto(A¯);
onde A =
(
a b
c d
)
e A¯ =
(
a b e
c d f
)
A´LGEBRA LINEAR /sistemas lineares 3
15. Achar o conjunto soluc¸a˜o de cada um dos seguintes sistemas:
(i)

x− y + 3z = 1
−3x+ 2y − z = 2
2z + y − 2x = 4
, (ii)

x− 2y + 3z = 1
−3x+ 2y − z = 2
2z − 2x = 3
,
(iii)

x− 2y + 3z = 1
−3x+ 6y − 9z = −3
2x− 4y + 6z = 2
, (iv)

x− 2y + 3z = 1
−3x+ 6y + 9z = 2
2x− 4y + 6z = 3
.
16. Existe a ∈ IR de modo que o conjunto soluc¸a˜o do sistema

x− 2y + 3z = 1
2x+ ay + 6z = 2
3x− 6y + az = 3
seja i) vazio? ii) unita´rio? iii) uma reta? iv) um plano?
17. Exibir, em cada caso, um sistema linear homogeˆneo 3×3 cujo conjunto
soluc¸a˜o seja i) unita´rio, ii) uma reta, iii) um plano.
18. Usar transformac¸o˜es elementares por linha, para achar a inversa da ma-
triz de coeficientes e o conjunto soluc¸a˜o do sistema

2x− y + 3z − 4w = 0
3x+ y + 6z − w = 1
x+ y + z + w = 2
x− y + z − w = 3
Calcular o determinante da matriz de coeficientes deste sistema.