Prova 1

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Matemática
Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias - MTM 125 - 2012/2 - Turma 82
Prof. Fabiana Fernandes
Prova 1 � Valor: 3,1 pontos � 06/02/2013 � 10:20 às 12:00
Instruções: Cada questão deve ser resolvida de maneira organizada, clara e objetiva, explicitando, em cada passo,
os recursos utilizados, tais como fórmulas, cálculos, desenhos, etc. A interpretação das questões faz parte da
resolução da prova. Não é permitido o uso de calculadoras programáveis. Não é permitido consulta a qualquer tipo
de formulário.
Respostas sem justificativa não serão consideradas.
Questão 1.(0,6) Classifique, sem resolver, cada equação diferencial dada como separável, linear,
exata, homogênea, de Bernoulli ou de Ricatti.
(a) (x3 − y)dx+ xdy = 0
(b) (2y2 + 4x2)dx− xydy = 0
(c) y′ =
x2 − 2 cos(2x+ y)
cos(2x+ y) + ey
(d) xy
dy
dx
− 2y2 = 1
Questão 2.(1,5) Resolva os problemas de valor inicial a seguir. Nos ítens (a) e (b), determine o
maior intervalo no qual a solução esteja definida.
(a)
{
y′ + 2(t+ 1)y2 = 0
y(0) = −1
8
(b)
{
(x− y − 1)dx+ dy = 0
y(0) = 1
(c)
{
(2xy − sec2 x)dx+ (x2 + 2y)dy = 0
y(0) = y0
, em que y0 é o último dígito de sua matrícula.
Questão 3.(1,0) Considere a equação autônoma y′ = y(1− y2).
(a) Determine as soluções de equilíbrio e classifique-as como assintoticamente estáveis, semi-
estáveis ou instáveis.
(b) Determine os intervalos nos quais as soluções tem concavidade para cima ou para baixo.
(c) Faça um esboço das soluções, destacando o comportamento assintótico das soluções de equi-
líbrio.
Boa prova!
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