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Logica Matemática20171

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LÓGICA MATEMÁTICA 
Definições Básicas 
Na linguagem escrita utilizam-se símbolos elementares (algarismos, letras, sinais de 
operações, etc), os quais sozinhos carecem de significado, mas que ao serem agrupados 
formam expressões que podem ter ou não significado. Para que tenham significado, 
usualmente, devem obedecer a certa grámatica. 
Exemplo: 
Simbolos: 
,5(,,2),,,x
 não tem significado 
Expressoes: 
 25  x
 , x +y=10 já tem significado 
As duas principais expressões com significado são: 
Terminologia Básica 
 Designações, nomes ou termos - representam o ser existente, por exemplo: 
32
; Matemática; 
 4,3,2,1
 e 
532 
 
 Sentença: Frase, expressão que encerra um sentido geral. As sentenças podem 
ser declarativas, interrogativas, exclamativas e mperativas, Numa Linguagem 
de programação, uma senteça equivale a uma intrução ou uma parte dela. No 
caso das instruções condicionais, deve ser necessariamente declarativa. 
 Proposições Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou 
símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo 
contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso. 
Somente as sentenças declarativas podem-se atribuir valores de verdadeiro ou 
falso, o que ocorre quando a sentença é, respectivamente, confirmada ou negada. 
 
Quando uma proposição é verdadeira, atribuímos-lhe o valor lógico V; quando 
ela é falsa, atribuímos-lhe o valor lógico F. Em Álgebra de Boole, usa-se os 
valores 1 e 0, para indicar Verdadeiro ou falso. 
Exemplo: 
p: 
923 
; 
q: A Matemática é uma ciência; 
 r: 
 4,3,2,12
; 
 s: 
25532 
 
Observe que cada uma das proposições foi identificada com as letras p, q, r e s. 
As proposições verificam as regras fundamentais da lógica, as quais estão expressas nos 
dois princípios seguintes: 
 Princípio da unicidade uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa. 
 Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser simultaneamente 
verdadeira e falsa; 
 Princípio do terceiro excluído: uma proposição é verdadeira ou falsa (verifica-
se sempre uma destas situações e não uma terceira). 
 Assim, a cada proposição é possível atribuir um e um só dos valores lógicos: verdade (V 
ou 1) ou falsidade (F ou 0). 
 O universo dos valores lógicos é 
 ℒ 
 FV ,
 
 As proposições podem ser simples ou compostas. São simples se envolvem um único fato. 
São compostas se envolvem mais de uma declaração, nesse caso, as declarações são 
conetadas pelas expressões, ou, e, não, dentre outras que aprederemos a seguir. 
 
1.1 Equivalência de designações e proposições: 
 Duas designações são equivalentes ou sinónimas se representam o mesmo ser. 
Para indicar que dois termos são equivalentes escreve-se entre eles o sinal = . 
Por exemplo, 
 
3654 
, porque 
54 
 e 
36 
 representam o mesmo número 9. 
Duas proposições dizem-se equivalentes se têm o mesmo valor lógico. 
Exemplo, 
a) 
 F
72/104 
 é equivalente a 
 F
3
2
1
5  
 
 b) 
 V
IN3
 é equivalente a 
 V
422 
 
2 Linguagem proposicional e tabelas de verdade 
2.1 Linguagem Proposicional 
Conforme foi visto, na seção anteriror as proposições serão denotadas por uma letra, 
usualmente p, q, r, s,.... 
Para dizer que tem o mesmo valor de verdade(equivalentes), simplesmente usaremos o 
simbolo =. 
Assim, p = V então p F. Se p = q então q = V. 
Outra forma de representar os valores de verdade de uma proposição é V(p) = F. Isso quer 
dizer que o valor de verdade da proposição p é igual a F. 
A seguir veremos Tabelas de Verdade e Conetores lógicos. As tabelas servirão para 
identificar todos os valores possíveis de uma proposição composta; Os conectores nos 
permitirão representar essas proposições compostas. 
 
2.2 Tabelas de Verdade 
As tabelas de verdade são tabelas que servem para representar todos os casos possíveis 
quando ligamos duas ou mais proposições. Uma Tabela de Verdade é formada por, pelo 
menos, “n+1” colunas. Usualmente as “n” primeiras colunas são para cada uma das 
proposiçoes envolvidas. As restantes para os resultados que desejamos calcular. Além disso 
teremos 2
n
 linhas. No caso o número “n” refere-se ao total de proposições. 
As Tabelas de Verdade serão inicialmente usadas para a verificação da equivalência de 
proposições compostas. 
2.2.1 Preenchimento da Tabela. 
Primeiro preenchemos as colunas das proposições, de esquerda à direita. A primeira coluna 
é preenchida, primeira metadae V e segunda metade F. Na seguinte coluna, divide os V´s e 
os F´s duas metades, cada metade é preenchida com V´s e F´s. Dessa forma, na última 
coluna das proposições terá V e F de modo alternado. Observe-se que no final estarão 
representadas todas as combinações dos valores possíveis das proposições envolvidas, sem 
repetição. 
n=1 n=2 n=3 
P Resultado 
V 
F 
 
p q Resultado 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
p q r Resultado 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
 
 
 
As tabeklas de verdade serão úteis para verificar as propriedades dos conectores lógicos. 
Via de regra, encontraremos formas alternatuivas de avaliar uma expressão lógica. Se elas 
de fato são equivalentes, produzem colunas iguais. 
Quando o resultado, uma coluna, de uma Tabela de Verdade é totalmente V, se diz, que 
essa operação produz uma tautologia. Quando, ao contrário, o resultado, sempre é F, se diz 
que essa operação é uma contradição. Se não ocorre, nenhum desses casos, 
simplemesmente, se diz que se trata de uma contigência. 
2.3 Conetores 
Também chamados operadores lógico. Através do uso deles será possível juntar duas ou 
mais proposições. As proposições resultantes dessa ligação serão denominadas proposições 
compostas. O desafio será, a partir dos valores das proposições simples, obter o valor de 
verdade da nova proposição. Para tanto, será necessário saber como funcionam e quando 
poderemos usar cda uma delas. Dominada essa técnica, poderemos ligar qualquer tipo de 
proposição, inclusive duas ou mais compostas. Isso será de extrema importãncia, pois na 
medida que a complexidade aumente, não serão as proposições simples, as que consigam 
representá-los. 
2.3.1 Negação 
A negação de uma proposição p é uma nova proposição que se obtém da anterior 
antepondo-lhe as palavras “não é verdade que.. 
A negação de p representa-se por 
p
 ou ~ p ou 
p
ou 
p
. 
O perador negação troca o valor de verdade da prosição, assim, se p é verdadeira então ~p 
será falsa e vice-versa. 
Exemplos: 
a) p: Pitágoras era grego 
p
: Não é verdade que Pitágoras era grego 
 Como p:= V então 
p
:= F 
 Linguagem corrente: Pitágoras não era grego. 
 
b) p: 5 é par. 
 
p
: Não (5 é par) 
 Como p:= F então 
p
:=V 
 Linguagem corrente: 5 não é par. . 
 
As tabelas seguintes, chamadas tabelas de verdade, dão o valor lógico da negação de uma 
proposição a partir do valor lógico desta. 
P 
p
 
V F 
F V 
Propriedade: 
pp 
 
2.3.2 Conjunção 
Conjunção de duas proposições, p e q, é outra proposição que resulta de ligar p e q pelo 
símbolo 

 (lê-se e); esta nova proposição é verdadeira quando p e q são simultaneamente 
verdadeiras. Nos demais casos é Falsa. 
A conjunção de p e q representa-se por 
qp 
 
Exemplo: 
 p: 11 é número primo 
 q: 11 é númeroímpar 
 
qp 
: 11 é um número primo e 11 é um número ímpar 
 Neste caso, como p e q são proposições verdadeiras, também 
qp 
 também será V. 
A tabela de verdade associada à operação é: . 
 
 
p q pq 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
Propriedades: 
1. pp = pp = p 
2. pV = p 
3. pF = F 
4. pq = qp 
Observações 
1. Se fizermos a conjunção de p com ele mesmo, se p é V, então pp = V, pois ambos 
são V e se p = F, então pp =F, pois não temos nenhum verdadeiro, logo, o 
resultado é o mesmo valor de verdade de p. 
2. Neste caso, tendo já um V, o resultado da conjunção só depende de P, Se p e´V, será 
V, se p é F, será F. 
3. Nesse caso, como temos um F na conjunção, independente do valor de p, o 
resultado será F. 
4. Observe-se que a ordem das proposições p e q não altera o resultado final, pois esse 
apenas depende das duas ser Verdadeiras, para ser verdadeira. 
2.3.3 Disjunção 
Utiliza-se a palavra “ou” para obter a disjunção de duas proposições. O resultado desse 
conetor é verdadeiro, se pelo menos uma das proposições é Verdaeirso, senão o 
resultado é falso. 
 p: 11 é número primo 
 
 q: 9 é número ímpar 
 
qp
: 11 é um número primo ou 9 é um número ímpar 
Tabela de verdade associda à operação é: 
p q p v q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
Propriedades: 
1. pp = pp = p 
2. pV = V 
3. pF = p 
4. pq = qp 
Observações 
1. Se fizermos a disjunção de p com ele mesmo, se p é V, então pp = V, pois temos, 
pelo menos um V, se p = F, então pp =F, pois não temos nenhum verdadeiro, logo, 
o resultado é o mesmo valor de verdade de p. 
2. Neste caso, tendo já um V, o resultado da disjunção será sempre V, independente do 
valor de p, pois já temos um V. 
3. Nesse caso, precisamos que p seja V, para que o resultado seja V, se p é igual a F, o 
resultado seria F, pois não teríamos nenhum V. Então, o resultado da disjunção vai 
coincidir com o valor de p.. 
4. Observe-se que a ordem das proposições p e q não altera o resultado final, pois esse 
apenas depende das duas ser pelo menos uma delas verdadeira,. Verdadeira. 
A seguir são listadas as propriedades das operações vistas na seção anterior. 
 
 
2.3.4 Propriedades 
Propriedades Conjunção Disjunção 
1 Idempotência 
ppp 
 
ppp 
 
2 Comutativa 
pqqp 
 
pqqp 
 
3 Associativa 
   rqprqp 
 
   rqprqp 
 
4 Elemento neutro 
pVppV 
 
pFppF 
 
5 Elemento absorvente 
pVppV 
 
FFppF 
 
pFppF 
 
VVppV 
 
6 Distributiva 
     rpqprqp 
 
     prpqprq 
 
7 Negação 
(lei de Morgan) 
  qpqp 
 
  qpqp 
 
 
Todas estas propriedades podem ser verificadas de forma relativamente simples, basta 
construir a tabela de verdade de cada uma das expressões que estão colocadas como 
iguais. Devem produzir a mesma coluna. 
Exemplo; 
Vamos verificar a lei de Morgan 
p q p q pq (pq) pq pq (pq) pq 
V V F F V F F V F F 
V F F V F V V V F F 
F V V F F V V V F F 
F F V V F V V F V V 
 
 
No caso, as colunas que correspondem a cada lado da igualdade são iguais. Sempre que 
isso ocorra, podemos dizer que as expressões são equivalentes. 
Observe que as operações, quando apresentadas, foram feitas na forma de operação 
binária. As propriedades 3, 6 e 7, nos permite fazer duas operações simultaneamente. 
No caso da propriedade 3, associatividade, ela me indica, que a operação, pode ser 
realizada, por pares, de esquerda à direita ou de esquerda à direita, que o resultado será 
o mesmo. A propriedade 7 é chamada a Lei de Morgan. 
Fica como exercício, verificar, usando tabelas de verdade, a validade delas. Para tanto, 
construa, uma coluna para cada lado da igualdade, ambas as colunas devem dar o 
mesmo resultado. 
Essas propriedades devem ser vistas sob o ponto de vista algébrico, isso quer dizer, que 
essas proposições p, q e r poderão ser sibstituídos por outras proposções, as quais 
podem ser simples ou compostas. Quando sejam compostas, devem ser usados 
parêntese, para evitar ambiguidades. 
2.3.5 Implicação ou Condicional 
Dadas duas proposições, p e q, a proposição de implicação corresponde a dizer “se p 
então q” ou “p implica q”, e denota-se por 
qp 
, em que p (antecedente) é a 
condição suficiente de 
qp 
 e q (consequente) é a condição necessária. A proposição 
qp 
 é falsa se p verdadeira e q falsa, e verdadeira nos restantes casos é verdadeira. 
O resultado deste operador não é tão direto como foram os operadores anteriores, 
vamos tentar interpretá-lo, através de um exemplo corriqueiro. 
Se João estuda, então será aprovado.Nossas proposições seriam p: João estuda e q: João 
foi aprovado. 
Vejamos, as quatro possibilidades. 
1. João estuda é verdadeiro e João foi aprovado. Nossa implicância é verdadeira. 
2. João estuda e João e João não é aprovado. Nossa implicância tornou-se Falsa. O 
antecedente não garantiu o consequente; 
 
3. João não estuda e João é aprovado. Nossa implicância continua sendo 
verdadeira, pois não afirma que o fato de não estudar, impedirá ao João aprovar. 
4. João não estuda e João não é aprovado. Nossa implicância continua sendo 
verdadeira. 
Exemplo: 
 p: A televisão funciona 
 
qp 
: Se a televisão funciona então há eletricidade 
 q: Há electricidade 
Tabela de verdade: 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
Propriedades: 
1 
qpqp 
 
2 
  qpqp 
 
3 
pqqp 
 
4 
   rprqqp 
é uma tautologia 
Vamos verificar, usando tabela de Verdade a 1 e usando a lei de Morgan a 2. 
p p q pq p  q 
V F V V V 
V F F F F 
F V V V V 
F V F V V 
Observe-se que as colunas de ambas as expressões são iguais, logo, as expressões são 
equivalentes. Agora vamos ver a 2. 
 
   qpqp 
 (Propriedade 1 ) 
  qpqp  )(
 (Lei de Morgan ) 
  qpqp 
 
Comentário: 
Logo, a negação da implicância equivale dizer que a proposição p e não são equivalentes. 
Em linguagem corriqueiro, isto se equivale a p, mas não q. 
No nosso primeiro exemplo, João estudou, mas não aprovou. 
4.3.5 Implicação dupla ou Bicondicional 
Dadas duas proposições, p e q, a proposição de equivalência ou implicaão dupla 
corresponde a dizer “p se e só se q”, e denota-se por 
qp 
. Outra interpretação, 
usada em Matemática é “p é condição necessária e suficiente para q”. A equivalência 
ou bi condicional entre p e q será verdadeira se as proposiçãoe p e q tem o mesmo 
valor de verdade. Quer dizer, ambas as proposições são verdadeiras ou ambas são 
falsas. Observe que isso equivale a dizer que 
 qp 
 e 
 pq 
são ambas 
verdadeiras. Logo, será falsa se um, exatamente, das duas proposções é falsa. 
Exemplo: 
 p: A televisão liga 
 q: Há electricidade 
 
qp 
: A televisão liga se e somente se há electricidade 
A Tabela de verdade associada a ela é a seguinte: 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
 
Propriedade Fundamental: 
qp 
 ou 
   pqqp 
 
   pqqpqp 
 
5 Fórmulas Bem Formadas 
Como visto anteriormente, novas proposições podem ser construídas através da 
combinação de símbolos, que representam proposições, e de conectivos lógicos. Essas 
proposições — bem como as proposições atômicas — são chamadas fórmulas bem 
formadas — wff (well-formed formula). 
Uma wff é definida recursivamente como segue: 
1. Um átomo é uma wff. 
2. Se  e são wff, então as seguintes também são wff. 
wff lida como 
 não  
    e  
    ou  
   Se  então  
 implica  
    se e somente se  
 é equivalente a  
 
Cada uma das expressões envolvendo  e  é chamada de forma sentencial. Uma forma 
sentencial é uma especificação abstrata da sintaxe de um número infinito de wff compostas 
de símbolos que representam proposições atômicas. Por exemplo, a wff: p  (q  r) é uma 
instância de substituição de qualquer uma das seguintes formas sentenciais: 
1.  onde  = p  (q  r) 
 
2.    onde  = p e  = q  r 
3.   (  ) onde  = p,  = q e  = r 
 
Exercícios 
1. Escreva ~p em linguagem corrente e indique seu valor lógico: 
a) p: A neve é branca 
b) p: Roma é a capital da França 
c) p: Realengo pertence à Zona Sul do Rio. 
2. Indique o valor lógico de p q considerando os seguintes enunciados: 
a) p: O enxofre é verde - q: 7 é um número primo 
b) p: A Lua é uma estrela - q: Saturno é um planeta 
c) p: Cabral descobriu o Brasil - q: Portugal é um continente 
3. Indique o valor lógico de pq considerando os seguintes enunciados 
a) p: O enxofre é verde - q: 7 é um número primo 
b) p: A Lua é uma estrela - q: Saturno é um planeta 
c) p: Cabral descobriu o Brasil - q: Portugal é um continente 
4. Indique o valor lógico de pq considerando os seguintes enunciados 
d) p: O enxofre é verde - q: 7 é um número primo 
e) p: A Lua é uma estrela - q: Saturno é um planeta 
f) p: Cabral descobriu o Brasil - q: Portugal é um continente 
5. Indique o valor lógico de pq considerando os seguintes enunciados 
g) p: O enxofre é verde - q: 7 é um número primo 
h) p: A Lua é uma estrela - q: Saturno é um planeta 
i) p: Cabral descobriu o Brasil - q: Portugal é um continente 
 
6. Considere as sentenças: 
p: Tales é filho de Wilson 
q: Tales é neto de Jonofon. 
Escreva, na forma simbólica, cada uma das sentenças seguintes: 
a) Tales não é filho de Wilson. 
b) Tales é filho de Wilson e neto de Jonofon 
c) Tales é filho de Wilson e não é neto de Jonofon 
7. Sejam as proposições p: Está frio e q: Está chovendo, traduzir pára a linguagem natural 
as seguintes proposições: 
a) p 
b) p  q 
c) p  q 
d) qp 
e) p  q 
f) p  q 
g) p  q 
h) p  q 
i) p  q  q 
8. Sejam as proposições: 
p: O rato entrou no buraco. 
Q: O gato seguiu o rato. 
Forme sentenças, na linguagem natural, que correspondam às proposições seguintes: ) p 
 
a) ~p  ~q 
b) p  q 
c) ~p 
9. Demonstre, utilizando tabelas-verdade, as seguintes relações de equivalência: 
a. p  ( p  q ) = p 
b. p  ( p  q ) = p 
c. ( p  q )  ( p  r )  p  p  r 
d. p  q  r = ( p  q )  ( p  r ) 
e. p  q  r  ( p  q )  ( p  r ) 
f. p  q = ( p  q )  ~( p  q ) 
g. p  q  r = p  ( q  r ) 
 
h. p  q  r = p  ( q  r ) 
Tente, usando as propriedades dos operadores provar as mesmas propriedades. 
10. Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são, respectivamente V e F, 
determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: 
a) p  q 
b) p  q 
c) p  q 
d) p  (p  q) 
e) p  q 
f) p  q 
11. Construir a tabela de verdade de cada uma das seguintes proposições: 
a) ~(p  q)  ~ (q  p) 
b) [p  (~q  r)]  [ q  (p  ~r)] 
c) [(p  q)  r]  [~p  (q  ~r)] 
 
12. Sabendo que os valores lógicos das proposições ‘p’ e ‘q’ são respectivamente, F e V, 
determinar o valor lógico (V ou F) da proposição: [p  (~q  q)]  ~[(p  ~q)  (q 
 ~p)] 
13. Determinar o valor lógico de ‘p’, isto é, v (p), sabendo que: 
a) v(q) = V e v( p  q ) = F 
b) v(q) = V e v( p  q) = V 
14. Determinar V(p) em cada um dos seguintes casos, sabendo: 
a) V(q) = F e V(p  q) = F 
b) V(q) = F e V(q  q) = V 
c) V(q) = F e V(p  q) = F 
d) V(q) = F e V(q  p) = V 
e) V(q) = V e V(p  q) = F 
f) V(q) = F e V(q  p) = V 
14. Determinar V(p) e V(q) em cada um dos seguintes casos, sabendo: 
a) V(p  q) = V e V(p  q) = F b) V(p  q) = V e V(p  q) = F 
 
c) V(p  q) = V e V(p  q) = V 
d) V(p  q) = V e V(p  q) = V 
e) V(p  q) = F e V(p  q) = V

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