Capitulo 12 Gujarati Resumo

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Econometria – Semestre 2010.01 121
P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 
CAPÍTULO 12 ‐ AUTOCORRELAÇÃO 
12.1. A NATUREZA DO PROBLEMA 
O  objetivo  deste  capítulo  é  examinar  as  conseqüências  da  violação  de  uma  das  hipóteses 
fundamentais  do  modelo  linear  clássico,  a  hipótese  de  que  os  erros  do  modelo  não  são 
correlacionados. 
 
Este  tipo  de  problema  ocorre  na  prática  quando  fazemos  regressão  de  séries  temporais,  e  no 
restante do capítulo usaremos o subscrito t (ao invés de i) para explicitar a dependência dos dados 
no  tempo.  Também,  por  razões  que  deverão  ficar  claras  ao  longo  do  texto,  os  erros 
(correlacionados)  serão  denotados  por  u,  enquanto  os  erros  não  correlacionados  continuarão, 
como nos capítulos anteriores, a ser denotados por ε. 
 
Em primeiro lugar, é preciso definir o que entendemos por autocorrelação (ou correlação serial). 
A autocorrelação é a correlação que existe entre valores de uma série temporal observados em 
diferentes  instantes  de  tempo.  A  autocorrelação  pode  também  se  referir  a  observações  em 
diferentes  pontos  no  espaço  (correlação  espacial),  e  o  tratamento  dado  ao  problema  é 
basicamente  o mesmo  apresentado  aqui,  por  isso  nosso  foco  será  apresentar  o  problema  no 
contexto de séries temporais. 
 
No modelo clássico, uma das premissas é a inexistência de correlação entre os erros em instantes 
distintos. Isto é, supõe‐se que: E(ui.uj) = 0 para i ≠ j. Note que esta hipótese implica em Cov(ui, uj) = 
0 para  i ≠ j pois a média do erro é zero por hipótese. 
 
Em que situação esta premissa costuma ser violada? Considere, por exemplo, um modelo para a 
venda mensal de TVs no varejo. No passado recente, houve a redução de imposto sobre produtos 
industrializados para combater a recessão, e  isso  incrementou as vendas. Também, em 2009, as 
 
 
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Econometria – Semestre 2010.01 122
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taxas de  juros ao consumidor caíram. Agora, em 2010, estamos a um passo da Copa do Mundo 
que, sabidamente,  tem um  impacto positivo sobre as vendas de TVs. E os erros de um modelo, 
como  ficam? Muito provavelmente, o erro do modelo num mês  terá uma expressiva correlação 
com  o  erro  do modelo  em meses  adjacentes. Ou  seja,  a  hipótese  de  que  erros  em  instantes 
diferentes  são descorrelatados  é  falsa, ou  seja,  existe  autocorrelação entre os erros.  Isso quer 
dizer que as perturbações que ocorrem num instante de tempo afetam as que ocorrem em outro 
instante. 
 
Antes de descobrir por que existe autocorrelação, é essencial esclarecer algumas questões sobre 
nomenclatura. É prática comum tratar a autocorrelação e a correlação serial como sinônimos, mas 
alguns  autores  preferem  distinguir  os  dois  termos.  Nós  não  faremos  isso  aqui  –  para  nós, 
autocorrelação e correlação serial significam a mesma coisa. 
 
A  Figura  12.1.  a  seguir  exibe  alguns  padrões  plausíveis  para  a  presença  e  ausência  de 
autocorrelação. Nela são plotados os erros (ou, na prática, os resíduos) contra o eixo dos tempos. 
A Figura 12.1a mostra um padrão cíclico. A Figura 12.1b  sugere uma  tendência ascendente nos 
erros, enquanto a Figura 12.1.c mostra um padrão linear descendente linear nos distúrbios. 12.1d 
mostra termos de tendência  linear e quadrática nos distúrbios. Apenas a Figura 12.1.e não exibe 
um padrão sistemático, apoiando a hipótese de autocorrelação nula dos erros, que é a premissa 
do modelo clássico de regressão. 
FIGURA 12.1 
 
 
 
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A pergunta natural é: Por que a correlação serial ocorre? Há diversas razões, algumas mostradas a 
seguir. 
 Inércia 
Séries temporais econômicas apresentam inércia ou lentidão. O PIB, índices de preços, produção, 
emprego e desemprego apresentam ciclos. A partir do fundo da recessão, começa a recuperação 
econômica e a maioria destas séries começar a se mover para cima. Neste movimento, o valor de 
uma série num ponto no tempo é maior do que seu valor anterior. Assim, há uma dinâmica que 
continua  até que  algo  aconteça  (por exemplo, o aumento na  taxa de  juros ou os  impostos, ou 
ambos)  para  atrasá‐los.  Por  isso,  nas  regressões  envolvendo  séries  temporais,  observações  
sucessivas tendem a ser interdependentes. 
Viés de Especificação – variáveis excluídas 
Na prática o pesquisador muitas vezes começa com um modelo de  regressão plausível que não 
podem ser o mais "perfeito''. Após a análise de regressão, o pesquisador examina os resultados 
 
 
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para descobrir  se eles estão de acordo  com as expectativas a priori e as premissas básicas dos 
modelos de mínimos quadrados. Por exemplo, o pesquisador pode plotar os  resíduos obtidos a 
partir da  regressão ajustada e observar padrões  como os mostrados na Figura 12.1a a d. Esses 
resíduos  podem  sugerir  que  algumas  variáveis  que  foram  originalmente  candidatas,  mas  não 
foram incluídas no modelo, devem ser incluídas. Este é o caso do viés de especificação da variável 
excluída. Muitas vezes, a inclusão dessas variáveis remove o padrão de correlação observado nos 
resíduos. Por exemplo, suponha que temos o modelo de demanda: 
 
Onde Y = quantidade demandada de  carne de boi, X2 = preço da  carne de boi, X3 =  renda do 
consumidor, X4 = preço da carne de porco e t = tempo. No entanto, por alguma razão, ajustamos a 
regressão que se segue: 
 
Agora, se (12.1.2) é o modelo verdadeiro, mas ajustamos (12.1.3), isso equivale a fazer vt = β4.X4t + 
ut.  E  na medida  que  o  preço  da  carne  suína  afeta  o  consumo  de  carne,  o  termo  de  erro  ou 
distúrbio v irá refletir um padrão sistemático, criando assim uma (falsa) autocorrelação. Um teste 
simples disso seria executar os dois modelos (12.1.2) e (12.1.3) e ver se autocorrelação, observada 
no  modelo  (12.1.3)  desaparece  quando  (12.1.2)  é  ajustado.  A  mecânica  de  detecção  de 
autocorrelação será discutida na seção 12.6.  
 
Viés de Especificação – Forma Funcional Incorreta 
Suponha que o modelo verdadeiro é: 
 
Mas em vez deste, ajustamos o seguinte modelo: 
 
Ou  seja, ajustamos uma  forma  funcional errada para a  função  custo marginal, que é a variável 
dependente no modelo. As curvas de custo marginal correspondentes ao modelo "verdadeiro'' e “ 
incorreto” são mostradas na Figura 12.2. 
 
 
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Econometria – Semestre 2010.01 125
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FIGURA 12.2. 
 
Como a Figura 12.2 mostra, entre os pontos A e B a curva de custo marginal linear estará sempre 
acima  do  verdadeiro  custo marginal,  enquanto  que  fora  deste  intervalo  o  oposto  ocorre.  Este 
resultado é esperado, pois o  termo de erro vi   em  (12.1.5, o modelo errado) é, de  fato,  igual a 
Output2 + ui  e, portanto, vai pegar o efeito sistemático do termo Output
2 no custo marginal. Neste 
caso, vi exibirá autocorrelação por causa da utilização de uma forma funcional errada. No capítulo 
13, vamos considerar vários métodos para detectar o viés de especificação. 
 
Fenômeno Cobweb (Teia de Aranha)  
O fornecimento de muitos produtos agrícolas reflete o fenômeno chamado “teia de aranha”, onde 
a oferta  reage ao preço  com uma defasagem de um período de  tempo, porque as decisões de 
oferta levam um certo tempo para serem implementadas (o período de gestação). Assim, no início 
do plantio da safra deste ano, os agricultores são influenciados pelo preço vigente no ano passado,e sua função de oferta é: 
 
Suponha que no final do período t, o preço Pt é inferior ao preço do amo passado, Pt‐1. No período 
t + 1 os agricultores podem decidir produzir menos do que eles fizeram no período t. Obviamente, 
nesta situação os distúrbios não  deverão ser aleatórios, pois se os agricultores produzem demais 
no ano t, devem reduzir sua produção em t + 1, e assim por diante, levando a um padrão de teia 
de aranha. 
 
 
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Defasagens 
Em  uma  regressão  de  séries  temporais  das  despesas  de  consumo  sobre  a  renda,  é  comum 
observar que a despesa de consumo do período atual período depende, entre outras coisas, das 
despesas de consumo dos períodos anteriores.  Por exemplo: 
 
Um  modelo  de  regressão  como  (12.1.7)  é  conhecido  como  auto‐regressivo  porque  uma  das 
variáveis explicativas é o valor defasado da variável dependente. (Estes modelos serão novamente 
estudados  no  capítulo  17.)  A  justificativa  para  um  modelo  como  (12.1.7)  é  simples.  Os 
consumidores  não  mudam  seus  hábitos  de  consumo  facilmente  por  motivos  psicológicos, 
tecnológicos  ou  institucionais.  Agora,  se  nós  negligenciarmos  o  termo  defasado  em  (12.1.7),  o 
termo  de  erro  resultante  refletirá  um  padrão  sistemático  devido  à  influência  do  consumo 
defasado sobre o consumo atual.  
 
Manipulação de dados 
Na  análise  empírica,  os  dados  brutos  são  frequentemente  "Manipulados''.  Por  exemplo,  em 
regressões envolvendo séries trimestrais, os dados são às vezes obtidos a partir dos dados mensais 
simplesmente adicionando três observações mensais e dividindo a soma por 3. Esta média suaviza 
as flutuações do dados mensais, e o gráfico dos dados trimestrais parece muito mais suave do que 
o dos dados mensais, e essa mesma regularidade pode gerar um padrão sistemático nos termos 
de erro, introduzindo assim autocorrelação.  
Outra  fonte de manipulação é  interpolação ou extrapolação de dados. Por exemplo, o Censo de 
População é realizado a cada 10 anos. Se existe uma necessidade de obter dados para alguns anos 
no período intercensitários 1990‐2000 ou 2000‐2010, a prática comum é a interpolação com base 
em  algum  pressuposto  “ad‐hoc”.  Estas  técnicas  de  “massagem”  dos  dados  podem  impor  aos 
dados um padrão sistemático que pode não existir nos dados originais. 
 
 
 
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Econometria – Semestre 2010.01 127
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Transformação de dados 
Considere o seguinte modelo: 
 
Onde, por exemplo, Y = despesa de  consumo e X =  renda. Como  (12.1.8) é válido em  todos os 
períodos de  tempo, ele é  válido  também no período  anterior  (t  ‐ 1). Assim, podemos escrever 
(12.1.8) como: 
 
Yt‐1, Xt‐1, e ut‐1 são conhecidos como os valores defasados de Y, X, e U respectivamente. Neste caso 
a defasagem é de um período. Subtraindo (12.1.9) de (12.1.8), obtemos: 
 
Onde Δ é conhecido como o operador de primeira diferença.  
Assim, ΔYt = (Yt ‐ Yt‐1), ΔXt = (Xt ‐ Xt‐1) e  ΔUt = (Ut ‐ Ut‐1). Podemos escrever (12.1.10) como: 
 
A equação (12.1.9) é conhecida como forma de nível e a equação (12.1.10) é conhecida como a 
forma  de  primeira  diferença.  Ambas  as  formas  são  frequentemente  utilizadas  em  pesquisas 
empíricas. Por exemplo, se em (12.1.9) Y e X representam os logaritmos das despesas de consumo 
e  renda,  então  em  (12.1.10)  ΔY  e  ΔX  representam  variações  nos  logaritmos  das  despesas  de 
consumo e renda. Mas, uma variação no logaritmo é uma mudança relativa (percentual), se ela for 
multiplicada  por  100. Assim,  em  vez  de  estudar  relações  entre  as  variáveis  na  forma  de  nível, 
podemos estar interessados em suas relações na forma de crescimento.  
Se o  termo de erro em  (12.1.8) satisfaz as hipóteses‐padrão MQO, especialmente a hipótese de 
não autocorrelação, pode‐se mostrar que o erro vt em (12.1.11) é autocorrelacionado. (A prova é 
dada no apêndice 12A, Seção 12A.1.)  
 
 
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Modelos como (12.1.11) são conhecidos como modelos de regressão dinâmica, ou seja, modelos 
que envolvem regressandos defasados. Eles serão estudados em profundidade no Capítulo 17. O 
que  interessa  no  exemplo  anterior  é  que  às  vezes  a  autocorrelação  pode  ser  induzida  como 
resultado da transformação do modelo original. 
 
Não‐estacionariedade 
Lembre‐se  que  uma  série  temporal  é  estacionária  se  suas  características  (por  exemplo, média, 
variância e covariância) são invariantes no tempo, ou seja, eles não mudam ao longo do tempo. Se 
isso não acontecer, a série  temporal é dita não estacionária. Como veremos na Parte V, em um 
modelo  de  regressão  na  forma  do  nível  como  (12.1.8)  é  possível  que  tanto  Y  e  X  sejam  não‐
estacionárias e, portanto, o erro u também seja não‐estacionário, e irá exibir autocorrelação. 
 
Em  resumo, existem diversas  razões pelas quais o  termo de erro em um modelo de  regressão 
pode ser autocorrelacionado. No restante do capítulo, investigamos os problemas decorrentes da 
autocorrelação e que pode ser feito sobre isso.  
A  autocorrelação  pode  ser  positiva  (Figura  12.3a)  ou  negativa,  embora  a  maioria  das  séries 
temporais  econômica  geralmente  apresente  autocorrelação  positiva.  Isso  acontece  porque  a 
maioria  delas  move‐se  para  cima  ou  para  baixo  durante  longos  períodos  de  tempo  e  não 
apresenta um movimento constante para cima e para baixo como o mostrado na Figura 12.3b. 
FIGURA 12.3. – AUTOCORRELAÇÃO POSITIVA (a) E NEGATIVA (b) 
 
 
 
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12.2. ESTIMATIVA MQO NA PRESENÇA DE  AUTOCORRELAÇÃO 
 
O que acontece com os estimadores de MQO e suas variâncias se os erros do modelo apresentam 
autocorrelação? 
Suponha agora que E (ut.ut + s) ≠ 0 para s ≠ 0 e que todas as outras hipóteses do modelo clássico 
são mantidas. 
Considere o modelo de regressão com duas variáveis: Yt = β1 + β2.Xt + ut.  
Suponha que os ruídos deste modelo têm agora a seguinte estrutura: 
 
Onde ρ  (a letra grega rô) é o coeficiente de autocorrelação e εt é o erro estocástico que satisfaz as 
hipóteses usuais do modelo de mínimos quadrados, a saber: 
 
 
 
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Na literatura de engenharia, um termo de erro com as propriedades (12.2.2) é chamado de “ruído 
branco”. O que (12.2.1) postula é que a valor do termo de erro no período t é igual a ρ vezes o seu 
valor no período anterior, acrescido de um termo de erro puramente aleatório.  
O esquema (12.2.1) é conhecido como esquema autoregressivo de primeira ordem de Markov, ou 
simplesmente  regime auto‐regressivo de primeira ordem, geralmente denotado como AR  (1). O 
nome autoregressivo é apropriado porque (12.2.1) pode ser interpretado como a regressão de ut 
em sim mesmo defasado em um período. Diz‐se que é de primeira ordem porque ut e seu valor 
imediatamente anterior estão envolvidos, ou seja, o máximo atraso é 1. Se o modelo for ut = ρ1ut‐1 
+ ρ2 ut‐2  + εt, seria um AR (2), um modelo autoregressivo de segunda ordem.  
 
Pode‐se provar que, na situação de ruídos AR(1): 
 
Onde    cov(ut,ut  +  s)  indica  a  covariância  entre  os  termos  de  erro  separados  por  s  instantes  e 
cor(ut,ut + s) a correlação entre estes mesmos termos de erro. Note que cor(ut,ut) = 1 sempre, pois 
a correlação de uma variável com si mesma é sempre um. Por causa da propriedadede simetria de 
covariâncias e correlações,  cov(ut,ut + s) = cov(ut,ut ‐ s) e o mesmo ocorre com as correlações. 
O coeficiente ρ é uma constante entre ‐1 e +1 e então (12.2.3) mostra que, sob o esquema AR (1), 
a variância de ut  é ainda constante (ut é  homocedástico), mas ut está correlacionado não só com 
o  seu  valor  imediatamente  anterior,  mas  também  com  seus  valores  em  outros  instantes  do 
passado.  
É fundamental observar que |ρ|< 1, ou seja, o valor absoluto de ρ é menor que um. Se ρ = 1, as 
variâncias e  covariâncias acima não estão definidas. Se |ρ| <1, dizemos que o processo AR  (1) 
dado em (12.2.1) é estacionário, ou seja, sua média, variância e covariância não mudam ao longo 
do  tempo. Se |ρ| é menor que um, então a covariância diminuirá à medida que avançamos no 
passado distante, ou seja, à medida que a diferença entre as defasagens (“lags”) aumenta.  Se |ρ| 
 
 
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é  MAIOR  que  um,  o  processo  é  não  estacionário  e  tem  um  comportamento  claramente 
“explosivo”. Gere uma sequência de erros iid {et} no Excel e ajuste o modelo ut = 1,2ut‐1 + et para 
verificar que isso acontece. Utilize qualquer valor inicial para u0. Se ρ = 1, o processo é descrito por 
ut = ut‐1 + et, e é um processo NÃO ESTACIONÁRIO bastante  importante na prática, chamado de 
“random walk”, ou passeio aleatório. O fato interessante é que a primeira diferença de um passeio 
aleatório é um processo estacionário, pois ut ‐ ut‐1 = et, ou seja, Δut = et onde Δ é o operador 1a. 
diferença. 
Uma razão para usar o modelo AR (1) não é apenas por sua simplicidade em relação aos modelos 
AR de ordem superior, mas também porque, mostrou ser útil em aplicações práticas. 
 Considere novamente o modelo de regressão de duas variáveis: Yt = β1 + β2.Xt + ut.  No capítulo 3 
vimos que o estimador MQO do coeficiente angular é: 
 
Cuja variância é dada por: 
 
Onde a  letra minúscula  indica que a variável é calculada como um desvio em relação à média. 
Sob a hipótese AR(1), pode‐se mostrar que a variância deste estimador é: 
 
Onde Var(β^2)AR1  indica a variância do estimador sob a hipótese de erros AR(1). 
A comparação de (12.2.8) e (12.2.7) mostra que a variância sob o esquema AR(1) tem uma coleção 
de termos adicionais (em relação à variância sob a hipótese de erros não correlacionados). Estes 
termos adicionais dependem de ρ e também das autocorrelações amostrais da variável explicativa 
X em vários períodos anteriores. 
 
 
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Econometria – Semestre 2010.01 132
P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 
Além disso, em geral não podemos prever se a variância dada por (12.2.7) será maior ou menor 
que a dada por (12.2.8). É claro que se ρ = 0, as duas fórmulas coincidirão. Mas, como princípio 
geral, as duas variâncias não serão iguais. 
Para dar uma idéia da diferença entre as variâncias (12.2.7) e (12.2.8), suponha que o regressor X 
também  siga um processo AR(1) com um coeficiente de autocorrelação  r. Pode‐se mostrar que 
(12.2.8) se reduz a: 
 
Se, por exemplo, r = 0,6 e ρ = 0,8, utilizando (12.2.9) segue que Var(β^2)AR1 = 2,8461 Var(β^2)MQO. 
Dito de outra forma, Var(β^2)MQO = (1/ 2,8461) Var(β^2)AR1 = 0,3513 Var(β^2)AR1. Ou seja, a fórmula 
usual de MQO [(12.2.7)] subestimará a variância de β2 sob o esquema AR(1) por cerca de 65%.  
Em  resumo: uma aplicação cega das  fórmulas MQO usuais para calcular os desvios e os erros 
padrão dos estimadores MQO estimadores pode levar a resultados totalmente enganosos. 
  
Suponha que  a  gente  insista em  continuar usando o estimador MQO de  β2 e que  corrigimos a 
variância  levando em conta a estrutura AR(1) para o erro. Quais as propriedades de β^2 ? Ele é 
ainda linear e não tendencioso, mas não é BLUE (ou seja, não é eficiente). Já tínhamos chegado a 
conclusões  semelhantes  quanto  estudamos  o  problema  da  heterocedasticidade,  e  vimos  que 
naquelas condições era possível encontrar um estimador eficiente através de mínimos quadrados 
generalizados. Na próxima seção veremos quais os passos necessários para encontrar estimadores 
BLUE sob a hipótese de erros AR(1). 
 
12.3. O ESTIMADOR BLUE NA PRESENÇA DE AUTOCORRELAÇÃO 
Considere ainda o modelo de regressão com duas variáveis e suponha a existência de erros AR(1) 
como na seção anterior. Pode‐se mostrar que o estimador BLUE do coeficiente angular é dado por: 
 
 
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Econometria – Semestre 2010.01 133
P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 
 
Onde C é um fator de correção que pode ser ignorado na prática. Note que em (12.3.1) o subscrito 
t vai de 2 até n (pois o estimador depende de y e x defasados em um instante). A variância deste 
estimador é dada por: 
 
Onde D é um outro fator de correção, que também pode ser ignorado na prática. 
O  estimador  β^2GLS  ,  como  o  expoente  sugere,  é  obtido  pelo método  de mínimos  quadrados 
generalizados. Como observado no Capítulo 11, o método de mínimos quadrados generalizados 
quer  incorporar  quaisquer  informações  adicionais  disponíveis  (por  exemplo,  a  natureza  da 
heterocedasticidade  ou  a  autocorrelação)  diretamente  no  processo  de  estimação  através  da 
transformação das variáveis, enquanto que os mínimos quadrados ordinários esta informação não 
é diretamente levada em consideração.  
 
A  fórmula  do  estimador  de  mínimos  quadrados  generalizados  dado  em  (12.3.1)  depende 
explicitamente do parâmetro de autocorrelação ρ enquanto o estimador MQO dado por (12.2.6) 
ignora esta informação. 
 
Intuitivamente, essa é a razão pela qual o estimador de mínimos quadrados generalizados é BLUE 
e não o estimador MQO. O estimador de mínimos quadrados generalizados usa toda a informação 
disponível, o que não ocorre com o estimador MQO.  Se ρ = 0, não existem informações adicionais 
a  serem  consideradas,  e,  portanto,  os  estimadores  por  mínimos  quadrados  generalizados  e 
mínimos quadrados ordinários são idênticos. 
 
 
 
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Econometria – Semestre 2010.01 134
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Em resumo, sob autocorrelação, é o estimador de mínimos quadrados generalizados dado em 
(12.3.1) que é BLUE e a variância mínima é agora dada por (12.3.2) e não por (12.2.8) ou (12.2.7). 
Você  pode  reescrever  o  estimador  de  mínimos  quadrados  generalizados  de  uma  forma  mais 
parecida com o estimador usual MQO. Sejam: 
1
*
1
*
.
.
−
−
−=
−=
ttt
ttt
yyy
xxx
ρ
ρ
 
Então, a equação (12.3.1) torna‐se: 
C
x
yx
t
ttGLS += ∑
∑
2*
**
2βˆ , que tem praticamente a mesma forma que a do estimador MQO, mas agora 
aplicado  às  variáveis  ** e tt yx .  Também  é  importante  notar  que  em  (12.3.1)  e  em  (12.2.6)  os 
estimadores  estão  expressos  como  funções  das  variáveis  centradas  em  torno  das  suas médias 
(expressas por letras minúsculas). 
Nota técnica 
O Teorema de Markov fornece apenas uma condição suficiente para o estimador MQO ser BLUE. 
As condições necessárias e suficientes para que este estimador seja BLUE são dadas pelo teorema 
de Krushkal, mencionado no capítulo anterior. Logo, em alguns casos o estimador MQO pode se 
BLUE apesar da autocorrelação. Mas, estes casos não são comuns na prática. 
 
12.4 O QUE ACONTECE SE USAMOS MQO E EXISTE AUTOCORRELAÇÃO? 
Lembre‐se:  mesmo  quando  existe  autocorrelação,  os  estimadores  MQO  são  ainda  não 
tendenciosos e lineares, além de consistentes e assintoticamente Normais. Mas, eles não são mais 
estimadores de variância mínima (ou seja, não são BLUE)! 
Suponha que continuamos a usar os estimadores MQO. Levaremos em conta duas situações.1) Estimação MQO levando em conta a autocorrelação 
Suponha que usamos o estimador usual MQO, dado por: 
 
 
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Econometria – Semestre 2010.01 135
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Mas, agora decidimos empregar sua variância corrigida para a autocorrelação, isto é: 
 
Se empregarmos esta variância (12.2.8) na construção de intervalos de confiança, os IC tendem a 
ser mais largos que os obtidos a partir dos estimadores de mínimos quadrados generalizados, e 
isto  ocorre  mesmo  se  aumentarmos  indefinidamente  o  tamanho  da  amostra.  Ou  seja,  na 
situação de autocorrelação dos erros, o estimador MQO não é assintoticamente eficiente. 
Em resumo: não use estimadores MQO na presença de autocorrelação, pois você estará tirando 
conclusões erradas, e aumentar o tamanho da amostra não melhorará a situação. 
 
2) Estimação MQO sem levar em conta a autocorrelação 
A  situação  torna‐se  ainda  pior  se,  além  de  usarmos  o  estimador  MQO  na  presença  de 
autocorrelação,  deixarmos  de  corrigir  sua  variância,  isto  é,  continuamos  a  usar: 
 
Quais os problemas decorrentes desta decisão? 
ƒ A variância dos  resíduos, dada por: 
22
ˆ
ˆ
2
2
−=−=
∑
n
RSS
n
utσ  será provavelmente menor que a 
variância real  σ2. Isso nos leva a superestimar R2 e as estatísticas t. 
ƒ Mesmo que σ2 não seja subestimado, Var(β^2) poderá subestimar Var(β^2)AR1   dada pela 
equação  (12.2.8),  a  variância  do  estimador MQO  sob  a  premissa  de  autocorrelação dos 
resíduos  de  lag  1.  Assim,  os  testes  t  e  F  construídos  a  partir  de  Var(β^2)  levarão  a 
conclusões erradas sobre a significância dos parâmetros na regressão. 
 
 
136
Econometria – Semestre 2010.01 136
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ƒ Sob  a  premissa  do  modelo  clássico  (inexistência  de  autocorrelação  dos  resíduos),  o 
estimador da variância 
22
ˆ
ˆ
2
2
−=−=
∑
n
RSS
n
utσ  é não tendencioso para σ2, isto é:  ( ) 22ˆ σσ =E . 
Se  a  hipótese  de  inexistência  de  autocorrelação  for  violada  e  supormos  que  os  erros 
seguem uma estrutura AR(1) então pode‐se mostrar que: 
 
ƒ Onde  r  é  o  coeficiente  de  correlação  amostral  entre  valores  sucessivos  da  variável 
explicativa X, dado por:    
ƒ Suponha que ambos ρ e r são positivos, o que é usual no caso de séries econômicas. Então, 
de (12.4.1) segue que  ( ) 22ˆ σσ <E   , ou seja, o estimador usual da variância subestimará a 
variância verdadeira. 
ƒ Além disso, Var(β^2) é um estimador tendencioso de Var(β^2)AR1, o que pode ser observado 
comparando‐se  (12.2.7)  e  (12.2.8).    Se  ambos  ρ  e  r  são  positivos  segue  que Var(β^2)  < 
Var(β^2)AR1 e então a variância do estimador MQO subestima sua variância sob a premissa 
de erros AR(1). Então, ao usar o estimador MQO β^2 estamos supondo que ele tem uma 
precisão  maior  que  a  real  (isto  é,  estamos  subestimando  seu  erro  padrão).  Assim,  ao 
calcular a estatística t para β2 estaremos “inflando” o valor desta estatística, que parecerá 
maior do que é, na verdade.  Isso nos  leva a acreditar que o parâmetro β2 é significante, 
quando, não verdade, não o é. 
 
Exemplo – simulação de Monte Carlo 
O objetivo deste exemplo é mostrar como o uso do estimador MQO na situação de erros AR(1)  
tende a subestimar σ2 e Var(β^2). Suponha que o modelo real é conhecido e dado por: 
ttt
ttt
uu
uXY
ε+=
++=
−17,0
8,01
          (12.4.3  e 12.4.5) 
Onde os εt são um ruído branco com média zero e variância 1. 
 
 
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Econometria – Semestre 2010.01 137
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Os  εt  ´s  serão  gerados  aleatoriamente  da  distribuição N(0,1)  (usando  o  Excel),  e  usamos  como 
valor inicial ε0 = 0. Note que, a partir da geração dos εt ´s e de um valor inicial para u, por exemplo 
u0  =5,  podemos  usar  a  equação  (12.4.5)  para  gerar  uma  sequência  de  ut  que  apresentam 
correlação serial de lag 1. 
Na tabela abaixo estão os εt ´s gerados aleatoriamente da distribuição N(0,1). 
instante (t) e(t) instante (t) e(t) instante (t) e(t) instante (t) e(t) instante (t) e(t)
0 0 11 -0,690 22 -0,370 33 0,539 44 -0,363
1 -0,300 12 -1,690 23 1,343 34 0,902 45 -0,032
2 -1,278 13 -1,847 24 -0,085 35 1,919 46 0,028
3 0,244 14 -0,978 25 -0,186 36 -0,085 47 -0,323
4 1,276 15 -0,774 26 -0,513 37 -0,524 48 2,195
5 1,198 16 -2,118 27 1,972 38 0,675 49 -1,742
6 1,733 17 -0,568 28 0,866 39 -0,381 50 -0,736
7 -2,184 18 -0,404 29 2,376 40 0,758
8 -0,234 19 0,135 30 -0,655 41 -1,444
9 1,095 20 -0,365 31 1,661 42 -0,847
10 -1,087 21 -0,327 32 -1,612 43 -1,522  
A partir desta tabela podemos gerar os ut de acordo com a equação (12.4.5) e a condição inicial u0 
= 5. Por exemplo: 
u1 = 0,7.u0 +ε1 = 0,7(5) + (‐0,300) = 3,200 
u2 = 0,7.u1 +ε2 = 0,7(3,200) + (‐1,278) = 0,962  etc... 
A próxima figura mostra a evolução dos ut´s ao longo do tempo. 
u(t) = 0,7*u(t-1)+e(t)
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
 
 
 
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Econometria – Semestre 2010.01 138
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Suponha  agora  que  os  valores  de  X  são  1,  2,  ...,  50.  A  partir  deles  e  dos  u´s  gerados  acima 
podemos, a partir da equação (12.4.3), obter os Yt. Então, Yt = 1 + 0,8.Xt + ut para t = 1,2, ..., 50.  
Específicamente,  
Y1 = 1 + 0,8 + u1 = 1,8 + u1 = 1,8 + 3,2 = 5 
Y2 = 1 + 0,8(2) + u2 = 2,6 + u2 = 2,6 + 0,962 = 3,562, etc... 
A próxima tabela fornece os valores de  ut e Yt para t = 1,2,...10. 
instante (t) e(t) u(t) = 0,7*u(t-1)+e(t) Y(t) = 1 + 0,8*t +u(t)
0 0 5
1 -0,300 3,200 5,000
2 -1,278 0,962 3,562
3 0,244 0,918 4,318
4 1,276 1,919 6,119
5 1,198 2,542 7,542
6 1,733 3,512 9,312
7 -2,184 0,275 6,875
8 -0,234 -0,042 7,358
9 1,095 1,066 9,266
10 -1,087 -0,341 8,659  
O gráfico de Yt  é mostrado a seguir (para t =1, 2,..., 50): 
Y(t) = 1 + 0,8*t +u(t)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
 
No  próximo  passo  ajustamos  uma  regressão  aos  primeiros  25  pares  (Xt,Yt).  Veremos  que  o 
resultado desta regressão não lembra nem um pouco a equação verdadeira E(Yt | Xt) = 1 + 0,8*Xt. 
 
 
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Econometria – Semestre 2010.01 139
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O resultado da regressão linear no Excel é: 
ANOVA
gl SQ MQ F F de significação
Regressão 1 521,03 521,03 148,91 0,00
Resíduo 23 80,48 3,50
Total 24 601,50  
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores
Interseção 2,5160 0,7712 3,2623 0,0034 0,9206 4,1115
X 0,6331 0,0519 12,2029 0,0000 0,5258 0,7404  
O  R2  desta  regressão  é  86,6%.    Note  que  a  variância  estimada  2σˆ é  3,50  (igual  à  RSS/(n‐2)  = 
80,48/23 =3,50), um valor MUITO diferente do real. 
Da  tabela  acima  nota‐se  que  a  equação  estimada  usando  os  primeiros  25  pares  é: 
tt XY *633,0516,2ˆ +=   e ambos os coeficientes angular e linear são significantes, de acordo com 
as estatísticas t correspondentes. 
A próxima  figura mostra os  valores de Yt e as  retas  real  (1 + 0,8Xt) e ajustada pelo modelo de 
regressão nos 25 primeiros pontos (2,516 + 0,633Xt). 
Valor Real de Y, reta estimada por MQO e reta verdadeira
0
4
8
12
16
20
24
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Y real Reta verdadeira (1 +0,8*X) Y Previsto MQO  
A figura anterior justifica porque o procedimento de MQO tende a subestimar a variância se existe 
autocorrelação dosresíduos. Note que os resíduos computados em relação à reta vermelha (reta 
MQO) tendem a ser menores que os resíduos calculados em relação à reta real (reta azul). Para 
verificar  isso,  basta  selecionar  um  ponto  Y  qualquer  e  traçar  a  linha  vertical  entre  Y  e  a  reta 
 
 
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Econometria – Semestre 2010.01 140
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ajustada  MQO  (ou  entre  Y  e  a  linha  verdadeira  –  linha  azul).  Assim,  os  resíduos  MQO  não 
fornecem uma boa estimativa dos erros ui. 
Considere  um  outro  experimento  de Monte  Carlo,  usando  os mesmos  dados  que  antes, mas 
suponha que ρ = 0 na equação  (12.4.5), e não mais 0,7  como  suposto na experiência anterior. 
Então os ut são agora descorrelatados, u1 = ε1 = ‐0,300, u2 = ε2 = ‐1,278, etc... 
Daí: 
Y1 = 1 + 0,8 + u1 = 1,8 + u1 = 1,8 – 0,3 = 1,5 
Y2 = 1 + 0,8(2) + u2 = 2,6 + u2 = 2,6 – 1,278 = 1,322  etc... 
A seguir ajustamos a reta por MQO para os primeiros 25 pares (Xt,Yt). Note que agora a hipótese 
de erros descorrelatados é válida e assim a reta ajustada deve se aproximar da reta verdadeira 1 + 
0,8Xt. Os 25 valores de X e Y são mostrados na próxima tabela: 
X Y X Y
1 1,50 14 11,22
2 1,32 15 12,23
3 3,64 16 11,68
4 5,48 17 14,03
5 6,20 18 15,00
6 7,53 19 16,33
7 4,42 20 16,63
8 7,17 21 17,47
9 9,30 22 18,23
10 7,91 23 20,74
11 9,11 24 20,11
12 8,91 25 20,81
13 9,55  
A equação estimada usando os primeiros 25 pares é:  tt XY *790,0785,0ˆ +=    
Note que o coeficiente linear da regressão não é significante (a 5%). O R2 desta regressão é 96,7%  
(no  caso  anterior  era  86,6%).  A  variância  estimada  2σˆ é  1,20  (vide  tabela  ANOVA),  bem mais 
próxima do valor verdadeiro (1). 
 
 
 
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Econometria – Semestre 2010.01 141
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Modelo Simulado SEM Autocorrelação dos Resíduos - valores reais, reta teórica e 
reta ajustada por MQO
0
5
10
15
20
25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Y Reta verdadeira (1 +0,8*X) Y Previsto MQO
RESUMO DOS RESULTADOS
Estatística de regressão
R múltiplo 0,9834
R-Quadrado 0,9672
R-quadrado ajustad 0,9657
Erro padrão 1,0951
Observações 25
ANOVA
gl SQ MQ F F de significação
Regressão 1 812,31 812,31 677,31 0,00
Resíduo 23 27,58 1,20
Total 24 839,89
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores
Interseção 0,785 0,452 1,739 0,095 -0,149 1,719
X 0,790 0,030 26,025 0,000 0,728 0,853  
O gráfico a seguir apresenta os pares (X, Y) e as retas real e ajustada por MQO. 
 
12.5. EXEMPLO ‐ RELAÇÃO ENTRE SALÁRIOS E PRODUTIVIDADE NOS EUA 
Os dados da  tabela 12.4 apresentam  índices de  remuneração  real por hora  (Y) e produção por 
hora (X) em empresas dos EUA no período entre 1959 e 1998. 
A figura a seguir mostra estes dados. 
 
 
 
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Econometria – Semestre 2010.01 142
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Gujarati ajusta dois modelos, um linear e outro log‐linear, com os resultados mostrados a seguir. 
1) Modelo linear 
 
Ode d é a estatística de Durbin‐Watson, que será discutida a seguir e  se(.) indica o erro padrão do 
estimador. 
2) Modelo log‐linear 
 
As questões que se colocam na prática são: 
ƒ Os modelos exibem resultados parecidos.  
ƒ Os coeficientes estimados, avaliados pelas estatísticas t, parecem altamente significantes. 
Mas, até que ponto os resultados das regressões (12.5.1) e (12.5.2) são confiáveis?  
ƒ A autocorrelação deve ser um problema aqui, pois ambas as séries evoluem no tempo, e 
nesta situação não podemos confiar nos erros padrão (e assim as estatísticas t produzidas 
também não são confiáveis). 
 
 
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Econometria – Semestre 2010.01 143
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Então a questão principal é: COMO DETECTAR A AUTOCORRELAÇÃO? 
12.6. DETECTANDO A AUTOCORRELAÇÃO 
 
Lembre‐se que a ausência de autocorrelação é uma premissa feita sobre os erros do modelo, que 
não  são  observáveis  –  o melhor  que  temos  para  “inferir”  sobre  os  erros  são  os  resíduos  do 
modelo, que podem ser calculados. Então o melhor que podemos  fazer é usar os  resíduos para 
verificar  se  a  premissa  de  correlação  zero  dos  erros  está  sendo  violada  (usamos  este mesmo 
raciocínio para inferir sobre a heterocedasticidade, lembra‐se?). 
1) Método Gráfico 
O gráfico dos resíduos (ou do quadrado dos resíduos) pode revelar a existência de autocorrelação. 
SE NÃO EXISTE AUTOCORRELAÇÃO, o gráfico dos resíduos ao longo do tempo deve ser puramente 
aleatório, com o seguinte aspecto: 
 
Volte ao exemplo da seção 12.5. e considere o modelo  linear  (12.5.1). O gráfico dos resíduos  (e 
dos resíduos padronizados, i.e., divididos pelo erro padrão da regressão σˆ ) é mostrado a seguir: 
 
 
 
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Econometria – Semestre 2010.01 144
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Note que ambos os resíduos (“puro” e padronizado) exibem um padrão parecido com o da figura 
abaixo: 
 
Ou  seja,  os  resíduos  parecem  seguir  o  padrão:  uma  sequência  de  valores  negativos,  uma 
sequência de valores positivos e uma sequência de valores negativos. Este padrão sugere que os 
resíduos não são puramente aleatórios, ou seja, há uma indicação de correlação entre os resíduos 
de diferentes instantes. 
Uma forma de tentar verificar  isso é fazer o gráfico do resíduo no  instante t contra o resíduo no 
instante anterior. Se este gráfico apresenta um padrão claramente não aleatório, há evidência de 
que o  resíduo no  instante  t dependa do  resíduo no  instante  anterior, ou  seja, há evidência de 
autocorrelação de  lag 1. O gráfico a seguir mostra os resíduos nos  instantes t e t‐1 da regressão 
linear (12.5.1). 
 
O  gráfico mostra  um  padrão  linear  bastante  claro  entre  u^(t)  e  u^(t‐1).  Isso  indica  uma  forte 
correlação positiva entre os  resíduos, e portanto há evidência de autocorrelação nos erros  (não 
observáveis). 
 
 
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Econometria – Semestre 2010.01 145
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2) O teste das carreiras (“runs test”) 
Nas páginas  anteriores mostramos  algumas maneiras de  tentar detectar  a  autocorrelação   nos 
erros  a  partir  de  gráficos  dos  resíduos.  O  problema  é  que  estas  análises,  embora  muito 
importantes,  são  bastante  empíricas  e  subjetivas,  não  há  uma  “receita”  infalível  para  dizer 
inequivocamente que a autocorrelação existe ou não. 
O teste das carreiras (também conhecido com teste de Geary ou teste de Wald‐Wolfowitz) é um 
teste de aleatoriedade, e será aplicado aos resíduos do modelo. Ele se baseia no sinal dos resíduos 
da regressão. Lembre‐se que os resíduos têm média zero, e assim o que o teste verifica é se os 
padrões de resíduos acima e abaixo da média (zero) são aleatórios.  O teste pode ser estendido a 
séries com médias diferentes de zero, basta aplicar o teste à série com a média subtraída. 
No caso da regressão (12.5.1) existem 40 resíduos, que apresentam o seguinte padrão: 
ƒ 9 resíduos negativos 
ƒ 21 resíduos positivos 
ƒ 10 resíduos negativos 
Definição (“carreira”) 
Uma carreira (“run”) é uma sequência ininterrupta de resultados com o mesmo sinal. A extensão 
da carreira é o número de elementos que a compõem. No caso dos resíduos da regressão (12.5.1) 
existem 3 carreiras, a primeira de extensão (comprimento) 9, a segunda de comprimento 21 e a 
terceira de comprimento 10. Será que estas 3 carreiras se comportam mais ou menos da mesma 
forma que uma sequência de 3 carreiras de 40 observações aleatórias? 
Sejam: 
N = número total de observações = N1 + N2 
N1 = número de sinais positivos 
N2 = númerode sinais negativos 
R = número de carreiras 
 
 
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Econometria – Semestre 2010.01 146
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Considere  a  hipótese  nula  de  que  os  resultados  sucessivos  são  independentes.  Suponha  que 
AMBOS N1  e N2 > 10. Nestas condições, o número de carreiras ® é assintoticamente Normal com 
média e variância: 
 
 Sob a hipótese nula de aleatoriedade e usando um intervalo de confiança 95% então: 
{ } 95,0.96,1)(.96,1)(Pr =+≤≤− RR RERRE σσ           (12.6.3) 
Ou  seja,  R  está  no  intervalo  descrito  acima  com  95%  de  probabilidade.  Logo,  REJEITA‐SE   A 
HIPÓTESE DE ALEATORIEDADE DAS CARREIRAS (COM NÍVEL 5%) SE O INTERVALO DESCRITO EM 
(12.6.3) NÃO CONTÉM R. 
 
No s resíduos da regressão (12.5.1), N1 = 21, N2 = 19, N = 21  19 = 40 e R = 3. Então: 
95,201
40
)19)(21(2)( =+== REμ   (ATENÇÃO – CORRIGIR O VALOR NO GUJARATI) 
( )( )( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 3,11349,6936
62400
604884
3940
40)19)(21(219212 ===−=rσ  
Logo, o IC 95% para R é: 
(20,95 – 1,96*3,11,  20,95 + 1,96*3,11)  = (14,85,  27,05)  que obviamente não inclui R = 3. 
Logo, rejeitamos a hipótese de que os resíduos da regressão (12.5.1) são aleatórios, ou sejam, eles 
apresentam algum tipo de comportamento sistemático. 
Nota 
O teste apresentado é válido quando ambos N1  e N2 > 10.  Swed e Eisenhart elaboraram tabelas 
para valores menores que estes. As tabelas estão no apêndice D.6 de Gujarati e são reproduzidas a 
seguir. As tabelas D.6A e D.6B fornecem o número crítico n de carreiras. Se n é menor que o valor 
 
 
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Econometria – Semestre 2010.01 147
P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 
em  D.6A  ou  maior  que  o  valor  em  D.6B,  rejeita‐se  a  hipótese  de  aleatoriedade  ao  nível 
5%.
 
 
Por exemplo, suponha que existem N = 30 observações, das quais N1=20 são positivas e N2=10 
são  negativas.  Então,  se  olharmos  para  as  tabelas  anteriores,  rejeita‐se  a  hipótese  de 
aleatoriedade se R <= 9 (tabela D.6A) ou R => 20 (tabela D.6B).