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MA13   Geometria 2011

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MA13 - Unidade 1
Conceitos Geométricos Básicos I
Semana 08/08/2011 a 14/08/2011
1 Introdução
O leitor certamente tem uma boa ideia, a partir da experiência diária, do que
vem a ser um ponto, uma reta ou um plano. Portanto, vamos assumir essas
noções como conhecidas.
A
B
r s
Figura 1: pontos e retas no plano.
Na �gura 1 temos os pontos A e B e as retas r e s (em geral, denotare-
mos pontos por letras latinas maiúsculas e retas por letras latinas minúsculas).
Grosso modo, podemos dizer que a geometria Euclidiana plana estuda proprie-
dades relativas aos pontos e retas de um plano.
Dados no plano um ponto P e uma reta r, só há duas possibilidades: ou o
1
2 MA13 - Unidade 1
ponto P pertence à reta r ou não; no primeiro caso escrevemos P ∈ r (lê-se P
pertence a r) e no segundo escrevemos P /∈ r (lê-se P não pertence a r). Na
�gura 2 temos A ∈ r e B /∈ r.
r
A
B
Figura 2: posições relativas de ponto e reta.
Neste momento, é natural nos perguntarmos sobre quantas retas podem ser
traçadas por dois pontos dados. Assumiremos que podemos traçar exatamente
uma tal reta. Em resumo, por dois pontos distintos A e B do plano podemos
traçar uma única reta (veja a �gura 3). Nesse caso, sendo r a reta determinada
por tais pontos, denotamos alternativamente r =
←→
AB.
r
A
B
Figura 3: dois pontos determinam uma única reta.
Um ponto A, situado sobre uma reta r, a divide em dois pedaços, quais
sejam, as semirretas de origem A. Escolhendo pontos B e C sobre r, um em
cada um de tais pedaços, podemos denotar as semirretas de origem A por
−→
AB
e
−→
AC. Na �gura 4 mostramos a porção da reta r correspondente à semirreta
−→
AB (a porção correspondente à semirreta
−→
AC foi apagada).
Dados pontos A e B sobre uma reta r, o segmento AB é a porção da reta
r situada de A a B. Escrevemos AB para denotar o comprimento do segmento
AB (que, a menos que se diga o contrário, será medido em centímetros). Para
decidir se dois segmentos dados no plano são iguais (i.e., se têm comprimentos
iguais) ou, caso contrário, qual deles é o maior, podemos usar um compasso,
transportando um dos segmentos para a reta determinada pelo outro:
Conceitos Geométricos Básicos 3
r
A
B
Figura 4: semirreta
−→
AB de origem A.
Exemplo 1. Com o uso de um compasso, transporte o segmento AB para a
reta
←→
CD e decida se AB > CD ou vice-versa.
Solução.
B
A
C
D
Também podemos usar um compasso para adicionar segmentos, ou para
multiplicar um segmento por um natural, conforme o seguinte
Exemplo 2. Dados no plano os segmentos AB e CD como abaixo, construa
com régua e compasso segmentos EF e GH tais que EF = AB + CD e
GH = 3AB.
Solução.
B
A D
C
4 MA13 - Unidade 1
Uma última observação sobre segmentos: dados pontos A e B no plano,
de�nimos a distância d(A,B) entre os mesmos como o comprimento AB do
segmento AB:
d(A,B) = AB.
Além de pontos, retas, semirretas e segmentos, círculos serão objetos de
grande importância em nosso estudo de geometria Euclidiana plana. Precisa-
mente, dados um ponto O e um real r > 0 (que deve ser pensado como o
comprimento de um segmento), o círculo de centro O e raio r é o conjunto
dos pontos P do plano que estão à distância r de O, i.e., tais que OP = r:
O
P
r
Figura 5: o círculo de centro O e raio r.
De uma maneira mais concreta, o círculo de centro O e raio r é a curva plana
obtida quando posicionamos a ponta de um compasso no ponto O e �xamos sua
abertura como igual ao comprimento r. O complemento de um círculo no plano
consiste de duas regiões, uma limitada, que denominamos seu interior e a outra
ilimitada, denominada o exterior do círculo. Alternativamente, o interior do
círculo de centro O e raio r é o conjunto dos pontos P do plano cuja distância
ao centro O é menor que r, i.e., tais que OP < r (�gura 6); analogamente, o
exterior do círculo é o conjunto dos pontos P do plano cuja distância ao centro
O é maior que r, i.e., tais que OP > r.
O
P
r
Figura 6: interior do círculo de centro O e raio r.
Conceitos Geométricos Básicos 5
Via de regra, denotaremos círculos por letras gregas maiúsculas. Por exem-
plo, denotamos o círculo da �gura 7 a seguir por Γ (lê-se gama), e podemos
mesmo escrever Γ(O; r), caso queiramos enfatizar que o centro de Γ é O e o raio
é r.
Dado um círculo Γ de centro O e raio r (�gura 7), também denominamos
raio do mesmo a todo segmento que une o centro O a um de seus pontos;
por exemplo, OA,OB e OP são raios do círculo Γ. Uma corda de Γ é um
segmento que une dois pontos quaisquer do círculo; um diâmetro de Γ é uma
corda que passa por seu centro. Nas notações da �gura 7, AB e CD são cordas
de Γ, sendo AB um diâmetro. Todo diâmetro de um círculo o divide em duas
partes iguais, denominadas semicírculos; reciprocamente, se uma corda de um
círculo o divide em duas partes iguais, então tal corda deve necessariamente ser
um diâmetro do círculo.
Γ
O
AB
P
r
C
D
Figura 7: elementos de um círculo.
Ainda em relação à �gura 7, o leitor deve ter notado que uma porção do
círculo Γ aparece em negrito. Tal porção corresponde a um arco de círculo,
i.e., a uma porção de um círculo delimitada por dois de seus pontos. Note que
há uma certa ambiguidade nessa de�nição, devida ao fato de que dois pontos
sobre um círculo determinam dois arcos. Em geral, resolveremos essa situação
nos referindo ao arco menor ou ao arco maior
_
CD. Desse modo, diremos
que a porção do círculo Γ em negrito na �gura 7 é o arco menor
_
CD. Outra
possibilidade é escolhermos mais um ponto sobre o arco a que desejamos nos
referir, denotando o arco com o auxílio desse ponto extra; na �gura 7, por
exemplo, poderíamos escrever
_
CPD para denotar o arco maior
_
CD.
Exemplo 3. Construa com um compasso o círculo de centro O e passando pelo
ponto A. Em seguida, marque sobre o mesmo todos os possíveis pontos B para
os quais a corda AB tenha o comprimento l dado.
6 MA13 - Unidade 1
Solução.
O
A
l
Problemas � Seção 1
1. Sejam A, B, C e D pontos sobre uma reta r. Quantas são as semirretas
contidas na reta r e tendo por origem um de tais pontos?
2. Os pontos A, B e C estão todos situados sobre uma mesma reta r, com
C ∈ AB. Se AB = 10 cm e AC = 4BC, calcule AC.
3. Sejam A, B, C e D pontos de uma reta r. Se AC = BD, prove que
AB = CD.
4. Sobre uma reta r estão marcados três pontos A, B e C, tais que B está
entre A e C, AB = 3 cm e AC = 5, 5 cm. Usando somente um compasso,
marque sobre r um ponto D entre A e B, tal que AD = BC.
5. Marque no plano, com o auxílio de uma régua e compasso, três pontos A,
B e C tais que AB = 5 cm, AC = 6 cm e BC = 4 cm.
2 Ângulos
Comecemos esta seção com nossa primeira de�nição formal, que encontrará
utilidade em outras situações.
De�nição 4. Uma região R do plano é convexa quando, para todos os pontos
A,B ∈ R, tivermos AB ⊂ R. Caso contrário, diremos que R é uma região
não-convexa.
Conceitos Geométricos Básicos 7
A
B
A B
Figura 8: regiões convexa (esq.) e não-convexa (dir.).
De acordo com a de�nição acima, para uma região R ser não-convexa basta
que existam pontos A,B ∈ R tais que pelo menos um ponto do segmento AB
não pertença a R.
Uma reta r de um plano o divide em duas regiões convexas, os semiplanos
delimitados por r. Dados pontos A e B, um em cada um dos semiplanos em
que r divide o plano, tem-se sempre AB ∩ r 6= ∅ (�gura 9).
r
A B
Figura 9: semiplanos determinados por uma reta.
De�nição 5. Dadas no plano duas semirretas
−→
OA e
−→
OB, um ângulo (ou
região angular) de vértice O e lados
−→
OA e
−→
OB é uma das duas regiões do
plano limitadas pelas semirretas
−→
OA

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