MA13   Geometria 2011
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MA13 Geometria 2011


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MA13 - Unidade 1
Conceitos Geométricos Básicos I
Semana 08/08/2011 a 14/08/2011
1 Introdução
O leitor certamente tem uma boa ideia, a partir da experiência diária, do que
vem a ser um ponto, uma reta ou um plano. Portanto, vamos assumir essas
noções como conhecidas.
A
B
r s
Figura 1: pontos e retas no plano.
Na \ufffdgura 1 temos os pontos A e B e as retas r e s (em geral, denotare-
mos pontos por letras latinas maiúsculas e retas por letras latinas minúsculas).
Grosso modo, podemos dizer que a geometria Euclidiana plana estuda proprie-
dades relativas aos pontos e retas de um plano.
Dados no plano um ponto P e uma reta r, só há duas possibilidades: ou o
1
2 MA13 - Unidade 1
ponto P pertence à reta r ou não; no primeiro caso escrevemos P \u2208 r (lê-se P
pertence a r) e no segundo escrevemos P /\u2208 r (lê-se P não pertence a r). Na
\ufffdgura 2 temos A \u2208 r e B /\u2208 r.
r
A
B
Figura 2: posições relativas de ponto e reta.
Neste momento, é natural nos perguntarmos sobre quantas retas podem ser
traçadas por dois pontos dados. Assumiremos que podemos traçar exatamente
uma tal reta. Em resumo, por dois pontos distintos A e B do plano podemos
traçar uma única reta (veja a \ufffdgura 3). Nesse caso, sendo r a reta determinada
por tais pontos, denotamos alternativamente r =
\u2190\u2192
AB.
r
A
B
Figura 3: dois pontos determinam uma única reta.
Um ponto A, situado sobre uma reta r, a divide em dois pedaços, quais
sejam, as semirretas de origem A. Escolhendo pontos B e C sobre r, um em
cada um de tais pedaços, podemos denotar as semirretas de origem A por
\u2212\u2192
AB
e
\u2212\u2192
AC. Na \ufffdgura 4 mostramos a porção da reta r correspondente à semirreta
\u2212\u2192
AB (a porção correspondente à semirreta
\u2212\u2192
AC foi apagada).
Dados pontos A e B sobre uma reta r, o segmento AB é a porção da reta
r situada de A a B. Escrevemos AB para denotar o comprimento do segmento
AB (que, a menos que se diga o contrário, será medido em centímetros). Para
decidir se dois segmentos dados no plano são iguais (i.e., se têm comprimentos
iguais) ou, caso contrário, qual deles é o maior, podemos usar um compasso,
transportando um dos segmentos para a reta determinada pelo outro:
Conceitos Geométricos Básicos 3
r
A
B
Figura 4: semirreta
\u2212\u2192
AB de origem A.
Exemplo 1. Com o uso de um compasso, transporte o segmento AB para a
reta
\u2190\u2192
CD e decida se AB > CD ou vice-versa.
Solução.
B
A
C
D
Também podemos usar um compasso para adicionar segmentos, ou para
multiplicar um segmento por um natural, conforme o seguinte
Exemplo 2. Dados no plano os segmentos AB e CD como abaixo, construa
com régua e compasso segmentos EF e GH tais que EF = AB + CD e
GH = 3AB.
Solução.
B
A D
C
4 MA13 - Unidade 1
Uma última observação sobre segmentos: dados pontos A e B no plano,
de\ufffdnimos a distância d(A,B) entre os mesmos como o comprimento AB do
segmento AB:
d(A,B) = AB.
Além de pontos, retas, semirretas e segmentos, círculos serão objetos de
grande importância em nosso estudo de geometria Euclidiana plana. Precisa-
mente, dados um ponto O e um real r > 0 (que deve ser pensado como o
comprimento de um segmento), o círculo de centro O e raio r é o conjunto
dos pontos P do plano que estão à distância r de O, i.e., tais que OP = r:
O
P
r
Figura 5: o círculo de centro O e raio r.
De uma maneira mais concreta, o círculo de centro O e raio r é a curva plana
obtida quando posicionamos a ponta de um compasso no ponto O e \ufffdxamos sua
abertura como igual ao comprimento r. O complemento de um círculo no plano
consiste de duas regiões, uma limitada, que denominamos seu interior e a outra
ilimitada, denominada o exterior do círculo. Alternativamente, o interior do
círculo de centro O e raio r é o conjunto dos pontos P do plano cuja distância
ao centro O é menor que r, i.e., tais que OP < r (\ufffdgura 6); analogamente, o
exterior do círculo é o conjunto dos pontos P do plano cuja distância ao centro
O é maior que r, i.e., tais que OP > r.
O
P
r
Figura 6: interior do círculo de centro O e raio r.
Conceitos Geométricos Básicos 5
Via de regra, denotaremos círculos por letras gregas maiúsculas. Por exem-
plo, denotamos o círculo da \ufffdgura 7 a seguir por \u393 (lê-se gama), e podemos
mesmo escrever \u393(O; r), caso queiramos enfatizar que o centro de \u393 é O e o raio
é r.
Dado um círculo \u393 de centro O e raio r (\ufffdgura 7), também denominamos
raio do mesmo a todo segmento que une o centro O a um de seus pontos;
por exemplo, OA,OB e OP são raios do círculo \u393. Uma corda de \u393 é um
segmento que une dois pontos quaisquer do círculo; um diâmetro de \u393 é uma
corda que passa por seu centro. Nas notações da \ufffdgura 7, AB e CD são cordas
de \u393, sendo AB um diâmetro. Todo diâmetro de um círculo o divide em duas
partes iguais, denominadas semicírculos; reciprocamente, se uma corda de um
círculo o divide em duas partes iguais, então tal corda deve necessariamente ser
um diâmetro do círculo.
\u393
O
AB
P
r
C
D
Figura 7: elementos de um círculo.
Ainda em relação à \ufffdgura 7, o leitor deve ter notado que uma porção do
círculo \u393 aparece em negrito. Tal porção corresponde a um arco de círculo,
i.e., a uma porção de um círculo delimitada por dois de seus pontos. Note que
há uma certa ambiguidade nessa de\ufffdnição, devida ao fato de que dois pontos
sobre um círculo determinam dois arcos. Em geral, resolveremos essa situação
nos referindo ao arco menor ou ao arco maior
_
CD. Desse modo, diremos
que a porção do círculo \u393 em negrito na \ufffdgura 7 é o arco menor
_
CD. Outra
possibilidade é escolhermos mais um ponto sobre o arco a que desejamos nos
referir, denotando o arco com o auxílio desse ponto extra; na \ufffdgura 7, por
exemplo, poderíamos escrever
_
CPD para denotar o arco maior
_
CD.
Exemplo 3. Construa com um compasso o círculo de centro O e passando pelo
ponto A. Em seguida, marque sobre o mesmo todos os possíveis pontos B para
os quais a corda AB tenha o comprimento l dado.
6 MA13 - Unidade 1
Solução.
O
A
l
Problemas \ufffd Seção 1
1. Sejam A, B, C e D pontos sobre uma reta r. Quantas são as semirretas
contidas na reta r e tendo por origem um de tais pontos?
2. Os pontos A, B e C estão todos situados sobre uma mesma reta r, com
C \u2208 AB. Se AB = 10 cm e AC = 4BC, calcule AC.
3. Sejam A, B, C e D pontos de uma reta r. Se AC = BD, prove que
AB = CD.
4. Sobre uma reta r estão marcados três pontos A, B e C, tais que B está
entre A e C, AB = 3 cm e AC = 5, 5 cm. Usando somente um compasso,
marque sobre r um ponto D entre A e B, tal que AD = BC.
5. Marque no plano, com o auxílio de uma régua e compasso, três pontos A,
B e C tais que AB = 5 cm, AC = 6 cm e BC = 4 cm.
2 Ângulos
Comecemos esta seção com nossa primeira de\ufffdnição formal, que encontrará
utilidade em outras situações.
De\ufffdnição 4. Uma região R do plano é convexa quando, para todos os pontos
A,B \u2208 R, tivermos AB \u2282 R. Caso contrário, diremos que R é uma região
não-convexa.
Conceitos Geométricos Básicos 7
A
B
A B
Figura 8: regiões convexa (esq.) e não-convexa (dir.).
De acordo com a de\ufffdnição acima, para uma região R ser não-convexa basta
que existam pontos A,B \u2208 R tais que pelo menos um ponto do segmento AB
não pertença a R.
Uma reta r de um plano o divide em duas regiões convexas, os semiplanos
delimitados por r. Dados pontos A e B, um em cada um dos semiplanos em
que r divide o plano, tem-se sempre AB \u2229 r 6= \u2205 (\ufffdgura 9).
r
A B
Figura 9: semiplanos determinados por uma reta.
De\ufffdnição 5. Dadas no plano duas semirretas
\u2212\u2192
OA e
\u2212\u2192
OB, um ângulo (ou
região angular) de vértice O e lados
\u2212\u2192
OA e
\u2212\u2192
OB é uma das duas regiões do
plano limitadas pelas semirretas
\u2212\u2192
OA
Fábio
Fábio fez um comentário
arquivo mostra apenas as pagina 1 2 dois depois pula pra 316 e não mostra nada
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