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Objetivos da aprendizagem 61 UNIDADE DESCONTOS SIMPLES v Reconhecer e distinguir os títulos de créditos mais utilizados em operações financeiras ; v Distinguir desconto comercial de desconto nacional; v Resolver problemas que envolvam esses tipos de descontos; v Calcular a taxa de juro efetiva; v Relacionar taxa de juro simples e taxa de desconto simples; v Fazer a equivalência de capitais diferidos; e v Calcular o valor atual de um título de crédito. 3 62 Universidade da Amazônia – UNAMA MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA Você nunca ficou curioso em saber se duas formas de pagamentos são equivalentes? Se é mais vantajoso pagar uma conta à vista ou parcelar o pagamento dessa conta, aplicando o resto do dinheiro para render juro? Como calcular a diferença existente entre taxa de juro e taxa de desconto? Essas e outras questões estão relacionadas as operações de desconto que serão discutidas nessa unidade. Antes de mais nada, dirija-se ao livro texto e estude o Capítulo 9. Nesse capítulo há um estudo detalhado sobre desconto simples. Então, vamos reforçar alguns conceitos. No mundo econômico-financeiro, as diferentes transações de compra e venda que ocorrem entre os empresários ou entre empresários e consumidores, podem ser feitas à vista ou a prazo. Quando a transação comercial é feita à vista, quem paga, ao receber o serviço ou a mercadoria, tem direito a um abatimento. Agora, quando a transação comercial é feita a prazo, quem compra, assume a obrigação de pagá-la no futuro. Nesse caso, a mercadoria ou o serviço foi comprado a crédito. O crédito é, por conseguinte, o ato de confiança pelo qual quem tem dinheiro para emprestar, ou mercadorias e serviços para vender, o faz a outrem em troca de uma promessa de pagamento futuro. É natural então, que quem comprou ou emprestou para pagar no futuro, entregue ao credor um comprovante dessa dívida, em que ele, o comprador, reconhece a dívida e assina, para resgatá-la posteriormente. Os documentos que comprovam dívidas a serem pagas no futuro são denominados de Títulos de Crédito. Os títulos de crédito mais utilizados são: a nota promissória, a duplicata e a letra de câmbio. UNIDADE 3 – Descontos Simples 63 Núcleo de Educação a Distância – NEAD Na nota promissória devem constar: valor nominal, data de vencimento, nome e assinatura do devedor e nome do credor. Na duplicata deve constar: aceite do cliente, valor nominal, data de vencimento, nome do devedor, nome do credor. Uma duplicata só tem valor legal, se for feita tendo por base uma nota fiscal. Na letra de câmbio deve constar: valor de resgate, data de vencimento e quem deve pagar. Já sabemos, que se uma pessoa paga à vista, ela tem direito a um abatimento. Da mesma forma, uma pessoa que contraiu dívidas para pagar no futuro, caso deseje antecipar o pagamento dessa dívida, também tem direito a um abatimento sobre o valor da mesma. Esse benefício, obtido de comum acordo, que quem paga à vista ou quem antecipa um pagamento tem direito, recebe o nome de Desconto. O desconto também ocorre, quando o titular de um documento de crédito, cujo vencimento ocorrerá dentro de um certo prazo, necessite de seu dinheiro antes da data de vencimento. Nesse caso, ele pode negociar o titulo de crédito com um terceiro, que pagará ao proprietário do título uma quantia menor que aquela fixada no titulo de crédito; caracterizando assim uma operação de desconto. Se esse terceiro for um banco, o proprietário do título receberá como pagamento o valor nominal do título, diminuído de um valor, assim constituído: · Um juro a ser abatido do valor do título, como pagamento pelo adiantamento do capital, que é o desconto propriamente dito; e · Uma parte relativa a taxas e comissões cobradas pelo banco com a finalidade de garantir as despesas e riscos decorrentes da operação. Dessa forma, desconto é a quantia que deve ser abatida do valor nominal do título de crédito, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual do título. Há dois tipos de descontos: o desconto comercial e o desconto racional. O desconto comercial é calculado sobre o valor nominal do título. O desconto racional é calculado sobre o valor atual do título. 64 Universidade da Amazônia – UNAMA MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA Após esses comentários, retorne ao livro texto e reveja os conceitos de: desconto racional, desconto comercial, valor nominal, valor atual, dia de vencimento, tempo ou prazo, taxa de juro efetiva e equivalência de capitais. Agora que você já reviu todos esses conceitos, vamos resolver alguns problemas sobre operações de desconto, lembrando que: 1) Valor do desconto comercial: niNd ××= VALOR DO DESCONTO COMERCIAL VALOR NOMINAL DO TÍTULO TAXA DE DESCONTO TEMPO OU PRAZO DE ANTECIPAÇÃO ANd -= VALOR DO DECONTO COMERCIAL VALOR NOMINAL DO TÍTULO VALOR ATUAL DO TÍTULO 2 ) Taxa de juro efetiva: nA d if * = TAXA DE JURO EFETIVA VALOR ATUAL COMERCIAL DO TÍTULO TEMPO OU PRAZO DE ANTECIPAÇÃO VALOR DO DESCONTO COMERCIAL 3 ) Valor atual comercial: ( )niNA ×-×= 1 VALOR ATUAL DO TÍTULO VALOR NOMINAL DO TÍTULO TAXA DE DESCONTO TEMPO OU PRAZO DE ANTECIPAÇÃO UNIDADE 3 – Descontos Simples 65 Núcleo de Educação a Distância – NEAD 4 ) Valor do desconto racional: VALOR DO DESCONTO RACIONAL VALOR ATUAL RACIONAL TAXA DE DESCONTO TEMPO OU PRAZO DE ANTECIPAÇÃO niArdr ××= 5 ) Valor do desconto racional em função do valor nominal: VALOR DO DESCONTO RACIONAL TAXA DE DESCONTO TEMPO OU PRAZO DE ANTECIPAÇÃO VALOR NOMINAL DO TÍTULO ni niN dr ×+ ×× = 1 6 ) Valor do desconto racional em função do desconto comercial: VALOR DO DESCONTO RACIONAL TAXA DE DESCONTO TEMPO OU PRAZO DE ANTECIPAÇÃO DESCONTO COMERCIAL ni d dr ×+ = 1 7 ) Valor atual racional: VALOR ATUAL RACIONAL TAXA DE DESCONTO TEMPO OU PRAZO DE ANTECIPAÇÃO VALOR NOMINAL DO TÍTULO ni N Ar ×+ = 1 66 Universidade da Amazônia – UNAMA MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 8 ) Relação entre taxa de desconto e taxa de juro simples e vice-versa: 8.1 TAXA DE JURO SIMPLES TAXA DE DESCONTO SIMPLES TEMPO OU PRAZO nid id i ×- = 1 8.2 TAXA DE DESCONTO SIMPLES TAXA DE JURO SIMPLES TEMPO OU PRAZO ni i id ×+ = 1 Veja alguns exemplos: Exemplo 1: Uma nota promissória de R$ 12.000,00 vai ser descontada a taxa de 3,6% ao mês, faltando 73 dias para o seu vencimento. Calcule: a) O valor do desconto comercial; b) O valor do desconto racional; c) O valor atual comercial; d) O valor atual racional; e) A taxa de juro efetiva. UNIDADE 3 – Descontos Simples 67 Núcleo de Educação a Distância – NEAD Solução: Procedemos da seguinte maneira: 1º Passo: Destacamos todos os dados do problema: · Valor da promissória : R$ 12.000,00 Þ N = 12000 · Taxa de desconto : 3,6% a.m Þ i = 3,6% a.m. · Tempo de antecipação : 73 dias Þ n = 73 2º Passo: Solução do item a: É imediata. É só aplicar a fórmula do desconto comercial nos dados do problema, tendo apenas o cuidado de colocar a taxa e o tempo na mesma unidade referencial. i = 3,6% a.m ¸ 30 = 0,12% a.d. = 0,0012 a.d d = N . i . n d = 12000 . 0,0012 . 73 Þ d = 1051,2 logo, o desconto comercial será de R$ 1.051,20 3º Passo: Solução do item b: Também é imediata. Vamos aplicar os dados que nós já conhecemos na fórmula para o cálculo do desconto racional. ni niN dr ×+ ×× = 1 730012,01 730012,012000 ×+ ××=dr 0876,01 20,1051 + =dr 0876,1 20,1051=dr 53,966=Þ dr Logo, o valor do desconto racional seráR$ 966,53. 68 Universidade da Amazônia – UNAMA MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA Observação: Note como o valor do desconto racional é menor que o valor do desconto comercial, calculada no item a deste problema. Você poderia calcular o desconto racional também fazendo uso da fórmula : ni d dr ×+ = 1 4º Passo: Solução do item c: Também é imediata. Vamos aplicar os dados do problema já conhecidos na fórmula do valor atual comercial. ( )niNA ×-×= 1 ( )730012,0112000 ×-×=A ( )0876,0112000 -×=A 80,948.109124,012000 =Þ×= AA Logo, o valor atual comercial será R$ 10.948,80. Observação: Você também poderia calcular o valor atual comercial usando a fórmula: ANd -= dNA -=Þ 5º Passo: Solução do item d: Também tem solução imediata. Basta aplicar os dados conhecidos do problema na fórmula do valor atual racional. ni N Ar ×+ = 1 730012,01 12000 ×+ =Ar 0876,01 12000 + =Ar 0876,1 12000=Ar 47,033.11=Þ Ar Logo, o valor atual racional será R$ 11.033,47. UNIDADE 3 – Descontos Simples 69 Núcleo de Educação a Distância – NEAD Observação: Note que o valor atual comercial é menor que o valor atual racional. Isso se deve ao fato de que, o desconto comercial é maior que o desconto racional. O valor atual racional, poderia também ser calculado pelo uso da expressão : 6º Passo: Solução do item e: Este item também tem solução imediata, já que todas as incógnitas da fórmula são conhecidas, temos: nA d if × = 7380,10948 20,1051 × =if 40,799262 20,1051=if daif .001315212,0= ..0394,0 maif = ou maif .%94,3= Observação: Note que a taxa de juro efetiva é maior que a taxa de juro de desconto; isso acontece, para que haja igualdade entre o capital empregado e o valor atual do título. Exemplo 2: Um empresário deseja substituir três títulos, um de R$ 8.000,00 para 60 dias, outro de R$ 20.000,00 para 90 dias e outro de R$ 32.000,00 para 120 dias, por dois outros títulos de valores nominais iguais, com vencimento para 45 e 90 dias, respectivamente. Qual o valor nominal comum dos novos títulos, sabendo que taxa de desconto comercial da transação é de 3% ao mês ? Solução: Procedemos da seguinte maneira: ArNdr -= drNAr -= 1º Passo: Esse é um problema de equivalência de capitais . Primeiro, destacamos todos os dados do problema, colocando juntos aqueles dados que se correspondem: I1 = i2 = i3 = i4 = i5 = 3% a.m = 0,03 a.m 70 Universidade da Amazônia – UNAMA MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 2º Passo: Calculamos os valores atuais comerciais de cada título: Título1: A1 = N1.(1 – i1.n1) = 8000.(1 – 0,03 . 2) = 8000.0,94 = 7520 Título2: A2 = N2.(1 – i2.n2) = 20000.(1 – 0,03.3) = 20000.0,91 = 18200 Título3: A3 = N3.(1 – i3.n3) = 32000.(1 – 0,03.4) = 32000.0,88 = 28160 Título4: A4 = N4.(1 – i4.n4) = X . (1 – 0,03.2,5) = X . 0,925 = 0,925X Título5: A5 = N5 . (1 – i5.n5) = X . (1 – 0,03.3) = X . 0,91 = 0,91X. 3º Passo: Somamos os valores atuais dos títulos que o empresário deseja substituir (t1,t2,t3), e igualamos a soma dos valores atuais dos títulos que ele está se propondo pagar (t4,t5). Assim: A4 + A5 = A1 + A2 + A3 0,925X + 0,91X = 7520+18200+28160 1,835X = 53880 X = 53880 Þ X = 29362,40 1,835 Logo, o valor nominal do título 4 e do título 5 será R$ 29.362,40, cada. Exemplo 3: Se a taxa de desconto comercial for de 5% ao mês, e o prazo de vencimento de uma duplicata for de 3 meses, qual a taxa mensal de juro simples da operação? Título 1 N1 = 8000 n1 = 60d = 2m Título 2 N2 = 20000 n2 = 90d = 3m Título 3 N3 = 32000 n3 = 120d = 4m Título 4 N4 = X n4 = 45d = 2,5m Título 5 N5 = X n5 = 90d = 3m UNIDADE 3 – Descontos Simples 71 Núcleo de Educação a Distância – NEAD Solução: Procedemos da seguinte maneira: 1º Passo: Destacamos todos os dados do problema: · Taxa de desconto comercial : 5% a.m Þ id = 5% = 0,05 · Tempo de vencimento : 3 meses Þ n = 3 2º Passo: Agora pegamos a fórmula que relaciona taxa de juro com taxa de desconto simples e fazemos as devidas substituições: nid id i ×- = 1 305,01 05,0 ×- =i 15,01 05,0 - =i 85,0 05,0=i 0588,0=Þ i ou ma.%88,5 Logo, a taxa mensal de juro simples é 5,88% a.m. Exemplo 4: Uma duplicata com prazo de vencimento de 5 meses foi descontada em num banco, proporcionando-lhe uma taxa de juros simples igual a 4,5% ao mês. Qual a taxa de desconto utilizada? Solução: Procedemos da seguinte maneira: 1º Passo: Vamos primeiro destacar todos os dados do problema: · Prazo de vencimento da duplicata : 5 meses Þ n = 5 · Taxa de juro simples : 4,5% a.m. Þ i = 4,5% = 0,045 2º Passo: Agora aplicamos esses dados na fórmula que relaciona taxa de desconto com taxa de juro simples: 72 Universidade da Amazônia – UNAMA MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA ni i id ×+ = 1 5045,01 045,0 ×+ =di 225,01 045,0 + =di 225,1 045,0=di 0367,0=Þ id ou ma.%67,3 logo, a taxa de desconto será 3,67% a.m. Agora que nós já revisamos os conceitos propostos nessa unidade e resolvemos alguns problemas com as respectivas aplicações de fórmulas, retorne ao livro texto e reveja minuciosamente, os exercícios resolvidos nas páginas 100,101,102,104,105 e 107. Só os exercícios resolvidos. Estamos concluindo os estudos de mais uma unidade. É hora de colocar em prática os seus conhecimentos. Vá a ferramenta ATIVIDADES, Atividade 9 - Aprimorando Meus Conhecimentos Sobre Desconto Simples, e reforce os seus conhecimentos resolvendo alguns problemas. Ah! Junte-se a mais um colega de turma. UNIDADE 3 – Descontos Simples 73 Núcleo de Educação a Distância – NEAD SÍNTESE DA UNIDADE Principais Títulos de Crédito: Nota promissória, duplicata e letra de câmbio. Desconto: É a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual. Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora: É aquele calculado sobre o valor nominal do título. Fórmula para o Cálculo do Desconto Comercial: d = N . i. n Fórmula para o Cálculo do Valor Atual Comercial: A = N . (1 – i. n) Fórmula para o Cálculo da Taxa de Juro Efetiva: nA d if . = Equivalência de Capitais Diferidos: Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais. Desconto Racional ou por Dentro: É aquele calculado sobre o valor atual de um título. Fórmula para o Cálculo do Desconto Racional: dr = A . i . n Fórmula para o Cálculo do Desconto Racional em Função do valor Nominal: dr= ni niN .1 .. + Fórmula para o Cálculo do Valor Atual Racional: Ar = ni N .1+ Fórmula para o Cálculo do Desconto Racional em Função do Desconto Comercial: dr = ni d .1+
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