GEOMETRIA ANALÍTICA

Prévia do material em texto

GEOMETRIA ANALITICA
RESUMO
1. Geometria Analitica: “ Tem como objetivo estudar como as retas se relacionam com
outras relas, pianos ou pontos no piano cartesiano” ;
2. Grandezas Escalares: sao aquelas que ficam perfeitamente caracterizados por um
numero e sua correspondente unidadc. Exemplos: tempo, posi<;ao, volume temperatura,
area;
3. Grandezas Vetoriais: sao aquelas que so ficam perfeitamente determinadas quando
conhecemos seu modulo, sua dire9ao e sentido. Exemplo: for9a, a velocidade, a
acelera9&o, o peso;
4. Vetores: elemento matematico caracterizado por modulo (intensidade), dire9ao e
sentido. Representa-se um vetor por um segmento orientado.
5. Graficamente, o modulo de um vetor e representado por uma escala;
6. Para a dire9ao de um vetor temos: horizontal, vertical ou inclinado;
7. Para o sentido de um vetor temos: da esquerda para a direita, direita para esquerda, de
cima para baixo, de baixo para cima, etc.
8. Adi9ao Vetorial: Regra do poligono - transportamos os vetores de modo que a origem
de um coincida com a extremidade do outro, mantendo seus modulos, dire9oes e
sentidos. Regra do paralelogramo - transportamos os vetores de modo que suas origens
coincidam, mantendo seus modulos, dire9oes e sentidos.
9. Subtra9§o Vetorial: e a diferen9a entre dois vetores e representa-se por u+(-v).
10. Vetor Oposto: e o vetor -V que possui o mesmo modulo, a mesma dire9ao e sentido
oposto ao de V .
11. Vetores Coplanares: sao vetores nao nulos pertencentes a um mesmo piano;
12. Vetores Colineares: sao vetores pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas com
a mesma dire9&o;
13. Condi9ao de Paralelismo: duas ou mais retas sao paralelas quando possuem o mesmo
coeficiente angular (a), graficamente apresentam a mesma inclina9ao;
14. Condi9ao de Perpendicularidade: quando o coeficiente angular (a) de uma reta em
rela9ao a outra reta (ai) seguem a condi9ao de a2 = (— V)/ ar .
15. Modulo de um Vetor: Teorema de Pitagoras: |v| = Va2 + b2.
DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS
a) Em R 2, sendo A (xi, X2) e B (yi, y2)
d (A, B) = \ A B I = 7(yi “ *1)2 + (y2 ~ *2Y
b ) Em R3, sendo A (xi, x2, x3) e B (yi, y2f y3)
d (A, B) = I AS | = V(y1 - x x )2 + (y2 - x2 )2 + (y3 - x3 )2
Exemplo:
Calcule a distancia entre os pontos: A (1, 2, 1) e B (5, 2, 4)
Solucao:
d (A, B) = V (5 - l )2 + (2 - 2 )2 + (4 - l )2 = V16 + 0 + 9 = 5
VETOR UNITARY
Se U e um vetor cuja norma e igual a 1, diz-se que f/ e u m vetor unitario.
Exemplo:
" = (;• ;) PI -JS+I-1
Para determinarmos um vetor unitario, de mesma diregao e sentido que um vetor x 0, usamos
a formula:
U = 1^*1
Exemplo:
x = (-4, 3)
Jj _ _ (-4, 3) _ /-4 3\
|*| \/l6+9 V 5 ' 5 J
OBS: 0 vetor U e tambem chamado versor do vetor x.
i
ANGULO ENTRE VETORES
A interpretagao geometrica do produto escalar nos permite chegar a uma segunda formula para o
calculo do mesmo:
x .y = |x| . |y| .cos 0.
Na formula acima, 0 e o angulo formado pelos dois vetores.
Sendo x * 0 e y t 0, podemos escrever:
cos 0 = * '1*1 • lyl
(R2 ou R3)
Exemplo:
Calcule o angulo entre os vetores x = (2,1,1) e y = (1, -2,1)
Solucao:
2.1+1.(—2)+l.1
COS 0 : V4+1+1 . Vl+4+1
1
’
6
Logo: 0 = arc cos-
6
VETORES ORTOGONAIS
Sejam x e y vetores do R2 ou do R3. Diz-se que x e y sao ortogonais se e somente se x . y = 0.
Exemplo:
x = (l,3, 2) ey = (2,4,-7) sao ortogonais, pois x .y =1.2 + 3.4 + 2. (-7) = 0. //
a
COMPONENTE DO VETOR X SOBRE UM VETOR Y_
X . y
Comp $ x =
(y * 3)
Ao desenvolvermos o lado direito da igualdade, temos:
Comp p x — ^ =
Comp y x = 13T| . cos 0
Exemplo:
Sendo x = (1,2) e y = (3,0), calcule Comp $ x .
Solucao
Comp $ x = — 3 + 2 o
_ 3
/9+0 “ 3 1
PROJECAO DE UM VETOR X SOBRE UM VETOR Y
Proj fx = (Comp y x ) .^
Onde e o versor y.
Exemplo:
Sendo x = (2, — 3,6) e y = (1,2,2), determine a projegao de x sobre y.
Solucao:
Notamos que enquanto a componente e urn numero, a projegao e urn vetor.
3