Provas anteriores de G.A. Renato Klippert

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Universidade Federal de Itajuba´
MAT-011 Geometria Anal´ıtica – 1o semestre – 1a prova
06/Abril/2015 - Durac¸a˜o: 2 horas - T2 (EHD/EPR) - Prof. Renato Klippert
1. Considere dados, em cordenadas Cartesianas, os seguintes pontos do espac¸o: A(1, 1, 2), B(3, 2, 3),
C(1, 1, 3) e D(3, 3, 3). Seja α o plano que conte´m os pontos B, C e D.
(a)(25 pontos) Sejam r a reta que conte´m os pontos A e B, e s a reta contida no plano α tal que s
conte´m o ponto C e e´ perpendicular ao vetor
−→
BD. Calcule a distaˆncia entre estas duas
retas r e s.
(b)(25 pontos) Seja β o plano que conte´m os pontos B, C e A. Calcule o cosseno cos(α, β) do aˆngulo
(α, β) entre o plano α (definido acima) e este plano β.
2.(25 pontos) Considere dado um paralelogramo arbitra´rio. Demonstre que as diagonais deste paralelogramo
se interceptam no ponto me´dio de ambas.
3.(25 pontos) Sejam dados ~a, ~b, ~c treˆs vetores arbitra´rios. Demonstre que o produto misto [~a, ~b, ~c ] = ~a·(~b×~c )
desses vetores apresenta a simetria c´ıclica, isto e´, que [~a, ~b, ~c ] = [~b, ~c, ~a ].
(a1~i+ a2~j + a3~k)× (b1~i+ b2~j + b3~k) = (a2b3 − a3b2)~i+ (a3b1 − a1b3)~j + (a1b2 − a2b1)~k
(a1~i+ a2~j + a3~k) · (b1~i+ b2~j + b3~k) = a1b1 + a2b2 + a3b3
d(A, {B, ~v }) = |
−→
AB ·~v |
||~v || d(A, {B, ~v }) =
|| −→AB ×~v ||
||~v ||
d({A, ~a }, {B, ~b }) = |
−→
AB · (~a×~b )|
||~a×~b ||