Prova 2 de E. Produção -Klippert

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Universidade Federal de Itajuba´
MAT-011 Geometria Anal´ıtica – 1o semestre – 2a prova
11/Maio/2015 - Durac¸a˜o: 2 horas - T2 (EHD/EPR) - Prof. Renato Klippert
1. Construa a equac¸a˜o dos seguintes espac¸os geome´tricos:
(a)(15 pontos) Uma elipse no plano z = 2, cujos focos sa˜o F1(0, −c, 2) e F2(0, c, 2) e cuja soma dos
raios focais vale 2a, onde a > 0, c > 0 sa˜o constantes fixas.
(b)(15 pontos) Uma circunfereˆncia de raio r com centro Q(a, b, c) que esteja contida no plano
x + 2y + 3z = a + 2b + 3c,
onde r > 0 e a, b, c sa˜o constantes fixas.
(c)(15 pontos) Uma hipe´rbole no plano z = 0, cujos focos sa˜o F1(−1, −1, 0) e F2(1, 1, 0), e cuja diferenc¸a
dos raios focais e´ igual a 2.
(d)(15 pontos) Um cone circular (reto), obtido pela revoluc¸a˜o da reta {y = 2x, z = 0} em torno da reta
{x = 1, z = 0}.
2. Identifique as superf´ıcies qua´dricas caracterizadas pelas seguintes equac¸o˜es:
(a)(15 pontos) x2 − y2 + z2 = 0.
(b)(15 pontos) x2 − y2 + z2 = 1.
(c)(15 pontos) 4x2 + y2 + 4z2 − 8x− 2y − 24z + 41 = 1.
3.(15 pontos) Sejam a, b, c constantes reais positivas dadas, e considere a superf´ıcie do hiperbolo´ide de uma
folha caracterizada pela equac¸a˜o
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1.
Seja Po(xo, yo, zo) um ponto fixo arbitra´rio desse hiperbolo´ide. Determine as equac¸o˜es de duas
retas distintas, r e s, ambas completamente contidas na superf´ıcie do hiperbolo´ide, e tais que
se r e s se interceptam em Po.