Trigonometria_respostas

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Tecnologias no Ensino de Matemática – Prof. Rodolfo Eduardo Vertuan 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR 
 
I 
 
ATIVIDADE 01 - CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO 
INVESTIGANDO AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS VIA A CONSTRUÇÃO E A INTERPRETAÇÃO DA 
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA 
CONSTRUINDO A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA NO GEOGEBRA 
 Utilize o eixo cartesiano, considerando o eixo das abscissas como a reta r e o eixo das ordenadas como a 
reta s, perpendicular a r – troque os nomes das retas de x para r e de y para s; 
 Crie e nomeie O, o ponto de interseção de r e s; 
 Traçar uma circunferência com centro em O e de raio medindo 1 [circunferência dados o centro e o 
raio]; 
 Ampliar a construção se necessário [ampliar]; 
 Marcar os pontos A e B, respectivamente, onde a circunferência intercepta a reta r e a reta s no 
primeiro quadrante; 
 Traçar um ponto T qualquer, na circunferência, entre A e B – no primeiro quadrante; 
 Traçar uma reta definida por dois pontos (O e T); 
 Encontrar o ponto médio M do segmento OT; 
 Construir uma circunferência de centro M e de raio MO e com traçado de linha estilo pontilhado; 
 Criar e nomear SEN o ponto de intersecção da circunferência com o eixo das ordenadas; 
 Criar e nomear COS o ponto de intersecção da circunferência com o eixo das abscissas; 
 Esconder o ponto M; 
 Construir uma reta t, perpendicular a r, passando pelo ponto A; 
 Criar e denominar TG o ponto de intersecção da reta t com a reta suporte do diâmetro da circunferência; 
 Criar vetor OSEN alterando sua espessura (6) e sua cor (vermelho); 
 Meça a distância entre O e SEN; 
 Criar vetor OCOS alterando sua espessura (6) e sua cor (azul); 
 Meça a distância entre O e COS; 
 Criar vetor ATG alterando sua espessura (6) e sua cor (rosa); 
 Meça a distância entre A e TG; 
 Construir setor circular definido pelo centro e por dois pontos do arco, respectivamente, na ordem OAT; 
 Marcar ângulo AOT; 
 Clicar com o botão direito do mouse e acionar a ferramenta [animar] no ponto T – sentido anti-horário; 
 Observar o que acontece com os valores de seno, cosseno e tangente de acordo com os ângulos 
compreendidos entre 0º e 360º. 
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2 
 
Considerando os quatro primeiros quadrantes e tomando A como ponto de origem de medida dos ângulos, 
responda: 
1. Em quais quadrantes os valores de seno, cosseno e tangente são positivos? 
Seno: 1º e 2º. 
Cosseno: 1º e 4º. 
Tangente: 1º e 3º. 
2. Em quais quadrantes os valores de seno, cosseno e tangente são negativos? 
Seno: 3º e 4º. 
 Cosseno: 2º e 3º. 
 Tangente: 2º e 4º. 
3. Em quais quadrantes, os valores para o seno são crescentes e em quais são decrescentes 
conforme as medidas de ângulos aumentam? 
Os valores são crescentes no 1º e 3º quadrantes 
e decrescente no 2º e 4º quadrantes. 
4. Em quais quadrantes, os valores para o cosseno são crescentes e em quais são decrescentes 
conforme as medidas de ângulos aumentam? 
Os valores são crescentes no 2º e 4º quadrantes 
e decrescente no 1º e 3º quadrantes. 
5. Em quais quadrantes, os valores para a tangente são crescentes e em quais são decrescentes 
conforme as medidas de ângulos aumentam? 
Os valores são crescentes no 1º e 3º quadrantes 
e decrescente no 2º e 4º quadrantes. 
6. Quais os valores máximo e mínimo que seno assume? 
O valor máximo é um e o mínimo é um negativo. 
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3 
7. Quais os valores máximo e mínimo que cosseno assume? 
 O valor máximo é um e o mínimo é menos um. 
8. Quais os valores máximo e mínimo que tangente assume? 
 O valor máximo é infinito e o mínimo é menos infinito. 
 
CALCULANDO O SENO, O COSSENO E A TANGENTE PARA DIFERENTES VALORES DE ÂNGULOS COMPREENDIDOS ENTRE 0º E 
360º 
Usando a circunferência trigonométrica acima (de raio unitário), preencha a tabela a seguir com os 
valores de seno, cosseno e tangente dos diferentes ângulos: 
 
 
 
 0 
6

 
4

 
3

 
2

 
2
3

 
3
4

 
5
6

 

 
Seno 0 0,5 0,71 0,87 1 0,86 0,71 0,49 0 
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4 
cosseno 1 0,8 0,71 0,5 0 0,5 0,71 -0,87 -1 
tangente 0 0,58 1 1,75 ∄ 1,73 -1 -0,57 0 
 
 

 
7
6

 
5
4

 
4
3

 
3
2

 
5
3

 
7
4

 
11
6

 
2
 
seno 0 -0,5 -0,71 -0,87 -1 -0,86 -0,71 -0,49 0 
cosseno -1 -0,86 -0,7 -0,5 0 0,51 0,71 0,87 1 
tangente 0 0,58 1,01 1,75 ∄ -1,70 -1 -0,56 0 
 
CONSTRUINDO AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO, COSSENO E TANGENTE 
VIA A INTERPRETAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA E 
DOS DIFERENTES VALORES JÁ CALCULADOS. 
Utilizando os planos cartesianos abaixo, construa os gráficos que relacionem os ângulos dados em 
radianos com os valores: Os gráficos estão nos arquivos: 002, 003 e 004. 
 
 
 dos senos destes ângulos. 
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5 
f: R R
x sen (x)


 
 
 dos cossenos destes ângulos. 
f: R R
 x cos (x)


 
 
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6 
 das tangentes destes ângulos. 
f: R R
 x tg (x)


 
 
 
 
 
ATIVIDADE 02 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
INVESTIGANDO OS PARÂMETROS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS VIA A CONSTRUÇÃO E A 
INTERPRETAÇÃO DE REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS 
 
INVESTIGANDO OS PARÂMETROS DA FUNÇÃO SENO 
Inicialmente, consideremos a função seno dada por: 
f(x) = A + B . sen (C.x + D)
 
Pergunta-se: Qual a influência de cada um dos parâmetros (A, B, C e D) nos gráficos desta função? 
1) Comecemos pela análise do parâmetro A e considerando como referência a função 
f(x) = sen (x)
. 
a) Construa, no mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções a seguir: 
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7 
f(x) sen x
g(x) 1 sen x
h(x) 2 sen x
p(x) 2 sen x
t(x) 1 sen x

 
 
  
  
 
b) Nomeie cada um dos gráficos e atribua-lhe uma cor diferente; 
c) Escreva o domínio, a imagem e o período de cada uma das funções 
Função/ 
Componentes 
Feiúra Gato Horrores Prisão Tédio 
Domínio Reais Reais Reais Reais Reais 
Imagem −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 
−3 ≤ 𝑥
≤ −1 
−2 ≤ 𝑥
≤ 0 
Período 2𝜋 2𝜋 2𝜋 2𝜋 2𝜋 
d) Qual a influência do parâmetro A no gráfico da função seno? 
Determina o deslocamento da função em relação ao eixo das abscissas; esse deslocamento é 
justamente o valor do parâmetro A. 
Função/ 
Parâmetro 
A 
Feiúra Gato Horrores Prisão Tédio 
A = 0 
Passa pela 
origem 
 
A = 1 
Uma 
unidade 
acima da 
origem 
 
A = 2 
Duas 
unidades 
acima da 
origem 
 
A = -2 
Duas 
unidades 
abaixo da 
origem 
 
A = -1 
Uma 
unidade 
abaixo da 
origem 
Quando o parâmetro A é positivo, ocorre deslocamento para cima do eixo x. 
Quando o parâmetro A é negativo, ocorre deslocamento para baixo do eixo x. 
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8 
e) Faça o mesmo teste para a função cosseno e verifique se a influênciadeste parâmetro é a 
mesma para esta função trigonométrica. 
Função/ 
Componentes 
Cólera Náusea Ódio Polícia Triste 
Domínio Reais Reais Reais Reais Reais 
Imagem −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 
−3 ≤ 𝑥
≤ −1 
−2 ≤ 𝑥
≤ 0 
Período 2𝜋 2𝜋 2𝜋 2𝜋 2𝜋 
Determina o deslocamento da função em relação ao eixo das abscissas acrescentando uma 
unidade ao parâmetro A. 
Função/ 
Parâmetro 
A 
Cólera Náusea Ódio Polícia Triste 
A = 0 
Uma 
unidade 
acima da 
origem 
 
A = 1 
Duas 
unidades 
acima da 
origem 
 
A = 2 
Três 
unidades 
acima da 
origem 
 
A = -2 
Uma 
unidade 
abaixo da 
origem 
 
A = -1 
Passa pela 
origem 
Quando o parâmetro A é positivo, ocorre deslocamento para cima do eixo x. 
Quando o parâmetro A é negativo, ocorre deslocamento para baixo do eixo x. 
f) Faça o mesmo teste para a função tangente e verifique se a influência deste parâmetro é a 
mesma para esta função trigonométrica. 
Função/ 
Componentes 
Tenso Ridículo Hipocrisia Ponto Teimar 
Domínio Reais 
Reais 
exceto 
Reais 
Reais 
exceto 
Reais 
exceto 
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9 
exceto 
𝜋
2
+
𝑘𝜋 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 exceto 
𝜋
2
+
𝑘𝜋 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 
Imagem Reais Reais Reais Reais Reais 
Período 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 
Determina o deslocamento da função em relação ao eixo das abscissas; esse deslocamento é 
justamente o valor do parâmetro A. 
Função/ 
Parâmetro 
A 
Tenso Ridículo Hipocrisia Ponto Teimar 
A = 0 
Passa pela 
origem 
 
A = 1 
Uma 
unidade 
acima da 
origem 
 
A = 2 
Duas 
unidades 
acima da 
origem 
 
A = -2 
Duas 
unidades 
abaixo da 
origem 
 
A = -1 
Uma 
unidade 
abaixo da 
origem 
Quando o parâmetro A é positivo, ocorre deslocamento para cima do eixo x. 
Quando o parâmetro A é negativo, ocorre deslocamento para baixo do eixo x. 
 
 
2) Investiguemos agora o parâmetro B. 
a) Construa, no mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções a seguir: 
f(x) sen x
g(x) 2.sen x
h(x) 3.sen x
p(x) 2.sen x
t(x) sen x



 
 
 
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b) Nomeie cada um dos gráficos e atribua-lhe uma cor diferente; 
c) Escreva o domínio, a imagem e o período de cada uma das funções. 
Função/ 
Componentes 
Feiúra Gato Horrores Prisão Tédio 
Domínio Reais Reais Reais Reais Reais 
Imagem −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 
−2 ≤ 𝑥
≤ 2 
−3 ≤ 𝑥
≤ 3 
−2 ≤ 𝑥
≤ 2 
−1 ≤ 𝑥
≤ 1 
Período 2𝜋 2𝜋 2𝜋 2𝜋 2𝜋 
 
d) Qual a influência do parâmetro B no gráfico da função seno? 
Distância do eixo das abscissas até o ponto em que passa uma reta tangente paralela a esse eixo. 
Função/ 
Parâmetro 
B 
Feiúra Gato Horrores Prisão Tédio 
B = 0 
Distância: 
uma 
unidade 
 
B = 2 
Distância: 
duas 
unidades 
 
B = 3 
Distância: 
três 
unidades 
 
B = -2 
Distância: 
duas 
unidades 
 
B = -1 
Distância: 
uma 
unidade 
Não sei como generalizar: 
Quando o parâmetro B é positivo, de 0 a 𝜋, a função é positiva, e de 𝜋 a 2𝜋, é negativa. Ou 
seja, a metade do período é positivo (início ao meio), a outra é negativa (meio ao fim). 
Quando o parâmetro B é negativo, de 0 a 𝜋, a função é negativa, e de 𝜋 a 2𝜋, é positiva. 
 
 
e) Faça o mesmo teste para a função cosseno e verifique se a influência deste parâmetro é a 
mesma para esta função trigonométrica. 
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Função/ 
Componentes 
Cólera Náusea Ódio Polícia Triste 
Domínio Reais Reais Reais Reais Reais 
Imagem −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 
−2 ≤ 𝑥
≤ 2 
−3 ≤ 𝑥
≤ 3 
−2 ≤ 𝑥
≤ 2 
−1 ≤ 𝑥
≤ 1 
Período 2𝜋 2𝜋 2𝜋 2𝜋 2𝜋 
Distância do eixo das abscissas até o ponto em que passa uma reta tangente paralela a esse eixo. 
Função/ 
Parâmetro 
B 
Cólera Náusea Ódio Polícia Triste 
B = 0 
Distância: 
uma 
unidade 
 
B = 2 
Distância: 
duas 
unidades 
 
B = 3 
Distância: 
três 
unidades 
 
B = -2 
Distância: 
duas 
unidades 
 
B = -1 
Distância: 
uma 
unidade 
Não sei como generalizar: 
Quando o parâmetro B é positivo, de 0 a 
𝜋
2
, a função é positiva, e de 
𝜋
2
 𝑎 
3𝜋
2
, a função é 
negativa, e de 
3𝜋
2
 a 2𝜋, é positiva. 
Ou seja, o primeiro e o último quarto do período são positivos, a outra metade é negativa. 
Quando o parâmetro B é negativo, ocorre o contrário de quando B é positivo. 
 
f) Faça o mesmo teste para a função tangente e verifique se a influência deste parâmetro é a 
mesma para esta função trigonométrica. 
Função/ 
Componentes 
Fácil Gosto Hoje Pirulito Tudo 
Domínio 
Reais 
exceto 
𝜋
2
+
Reais 
exceto 
Reais 
exceto 
𝜋
2
+
Reais 
exceto 
Reais 
exceto 
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12 
𝑘𝜋 𝜋
2
+ 𝑘𝜋 𝑘𝜋 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 
Imagem Reais Reais Reais Reais Reais 
Período 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 
Distância do eixo das ordenadas até a função muda. 
Considerando o parâmetro B positivo: 
 Quanto maior o valor de B mais a função se afasta do eixo y, e percebe-se melhor a curva, 
pois quanto mais próximo do eixo, a função parece uma reta, embora não seja. 
 A imagem é positiva para valores positivos; e a imagem é negativa para valores negativos. 
Considerando o parâmetro B negativo: 
 Quanto menor o valor de B mais a função se aproxima do eixo y, aparentando ser uma reta; 
e quanto maior o valor de B a função se afasta do eixo em questão apresentando uma curva 
mais acentuada. 
 A imagem é positiva para valores negativos; e a imagem é negativa para valores positivos. 
3) Investiguemos agora o parâmetro C. 
a) Construa, no mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções a seguir: 
f ( x ) s e n x
g ( x ) s e n 2 x
h ( x ) s e n 4 x
1
p ( x ) s e n x
2
1
t ( x ) s e n x
4





 
b) Nomeie cada um dos gráficos e atribua-lhe uma cor diferente; 
c) Escreva o domínio, a imagem e o período de cada uma das funções. 
Função/ 
Componentes 
Fuja Quero Hui Putz Tetris 
Domínio Reais Reais Reais Reais Reais 
Imagem −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 
−1 ≤ 𝑥
≤ 1 
−1 ≤ 𝑥
≤ 1 
−1 ≤ 𝑥
≤ 1 
−1 ≤ 𝑥
≤ 1 
Período 2𝜋 𝜋 𝜋/2 4𝜋 8𝜋 
A metade do argumento aumenta o período duas vezes; é uma relação diretamente 
proporcional. 
O dobro do argumento diminui o período; é uma relação inversamente proporcional na razão 
de ½ para os múltiplos de 2. 
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d) Qual a influência do parâmetro C no gráfico da função seno? 
Determina o valor do período da função. 
Se o argumento for multiplicado por valores maiores que um, o período diminui. 
Se o argumento for multiplicado por valores entre 1 e 0, o período aumenta. 
No caso do argumento ser multiplicado por zero, de imediato tem-se que a imagem é zero, 
logo, teremos uma reta constante. 
E se for multiplicado por valores negativos, o período é o mesmo da função positiva, ou seja, 
se o argumento for multiplicado por valores maiores/igual a um ou por valores menores/igual a 
menos um, tem-se o mesmo período. Considerando que o argumento seja o mesmoe o C também, 
ora negativo, ora positivo. 
Da mesma forma, se o mesmo argumento for multiplicado por valores entre zero e um e por 
valores entre zero e menos um, ter-se-á o mesmo período. 
Não me recordo se é correto dizer que é o inverso da função, pelo que li inverso é só o arco 
seno da função. Ainda não me sinto preparada para usar o termo inverso de alguma função 
trigonométrica. Assim, a partir de agora usarei o termo “contrário” para mostra que: 
 Se multiplicar o argumento da função seno por um positivo temos: 
Valores positivos para seno no intervalo de 0 a 𝜋. 
 Se multiplicar o argumento da função seno por um negativo temos: 
Valores negativos para seno no intervalo de 0 a 𝜋. 
Portanto, as funções não têm o mesmo comportamento no mesmo intervalo. 
e) Faça o mesmo teste para a função cosseno e verifique se a influência deste parâmetro é a 
mesma para esta função trigonométrica. 
Função/ 
Componentes 
Fato Galera Herói Parabéns 
Tempera
tura 
Domínio Reais Reais Reais Reais Reais 
Imagem −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 
−1 ≤ 𝑥
≤ 1 
−1 ≤ 𝑥
≤ 1 
−1 ≤ 𝑥
≤ 1 
−1 ≤ 𝑥
≤ 1 
Período 2𝜋 𝜋 𝜋/2 4𝜋 8𝜋 
 
Como na função seno: 
A metade do argumento aumenta o período duas vezes; é uma relação diretamente 
proporcional. 
O dobro do argumento diminui o período; é uma relação inversamente proporcional na razão 
de ½ para os múltiplos de 2. 
O parâmetro C determina o valor do período da função. 
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Se o argumento for multiplicado por valores maiores que um, o período diminui. 
Se o argumento for multiplicado por valores entre 1 e 0, o período aumenta. 
No caso do argumento ser multiplicado por zero, de imediato tem-se que a imagem é um, 
logo, teremos uma reta constante com imagem igual a um. 
E se for multiplicado por valores negativos, o período é o mesmo da função positiva, ou seja, 
se o argumento for multiplicado por valores maiores/igual a um ou por valores menores/igual a 
menos um, tem-se o mesmo período. Considerando que o argumento seja o mesmo e o C também, 
ora negativo, ora positivo. 
Da mesma forma, se o mesmo argumento for multiplicado por valores entre zero e um e por 
valores entre zero e menos um, ter-se-á o mesmo período. 
O que muda é o comportamento da função cosseno em relação a seno. Pois: 
 Se multiplicar o argumento da função cosseno por um positivo temos: 
Valores positivos para cosseno no intervalo de 0 a 𝜋/2. 
 Se multiplicar o argumento da função cosseno por um negativo temos: 
Valores positivos para cosseno no intervalo de 0 a 𝜋/2. 
Portanto, o comportamento das funções é o mesmo no intervalo considerado. 
f) Faça o mesmo teste para a função tangente e verifique se a influência deste parâmetro é a 
mesma para esta função trigonométrica. 
Função/ 
Componentes 
Feliz Guri Hera Peru Toalha 
Domínio 
Reais 
exceto 
𝜋
2
+
𝑘𝜋 
Reais 
exceto 
𝜋
4
+
𝑘𝜋
2
 
Reais 
exceto 
𝜋
8
+
𝑘𝜋
4
 
Reais 
exceto 
𝜋 + 2𝑘𝜋 
Reais 
exceto 
2𝜋 + 4𝑘𝜋 
Imagem Reais Reais Reais Reais Reais 
Período 𝜋 𝜋/2 𝜋/4 2𝜋 4𝜋 
Como na função seno e cosseno: 
A metade do argumento aumenta o período duas vezes; é uma relação diretamente 
proporcional. 
O dobro do argumento diminui o período; é uma relação inversamente proporcional na razão 
de ½ para os múltiplos de 2. 
O parâmetro C determina o valor do período da função. 
Se o argumento for multiplicado por valores maiores que um, o período diminui. 
Se o argumento for multiplicado por valores entre 1 e 0, o período aumenta. 
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No caso do argumento ser multiplicado por zero, de imediato tem-se que a imagem é zero, 
logo, teremos uma reta constante com imagem igual a zero. 
E se for multiplicado por valores negativos, o período é o mesmo da função positiva, ou seja, 
se o argumento for multiplicado por valores maiores/igual a um ou por valores menores/igual a 
menos um, tem-se o mesmo período. Considerando que o argumento seja o mesmo e o C também, 
ora negativo, ora positivo. 
Da mesma forma, se o mesmo argumento for multiplicado por valores entre zero e um e por 
valores entre zero e menos um, ter-se-á o mesmo período. 
O que muda é o comportamento da função tangente em relação a cosseno, mas que por sua 
vez é idêntica a do seno (não em relação ao intervalo, mas sim em relação a função “contrária”). 
Pois: 
 Se multiplicar o argumento da função tangente por um positivo temos: 
Valores positivos para tangente no intervalo de 0 a 𝜋/2. 
 Se multiplicar o argumento da função tangente por um negativo temos: 
Valores negativos para tangente no intervalo de 0 a 𝜋/2. 
Portanto, o comportamento das funções é contrário no intervalo considerado. 
 
4) Investiguemos, finalmente, o parâmetro D. 
a) Construa, 
f(x ) sen 
g (x ) se n (x - )
2
h (x ) sen (x - )
p (x ) sen (x )
2
t(x ) se n (x )
x







 
 
 
 
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b) Nomeie cada um dos gráficos e atribua-lhe uma cor diferente; 
c) Escreva o domínio, a imagem e o período de cada uma das funções. 
Função/ 
Componentes 
Fofo Gugu Haha Pipi Titi 
Domínio Reais Reais Reais Reais Reais 
Imagem −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 
−1 ≤ 𝑥
≤ 1 
−1 ≤ 𝑥
≤ 1 
−1 ≤ 𝑥
≤ 1 
−1 ≤ 𝑥
≤ 1 
Período 2𝜋 2𝜋 2𝜋 2𝜋 2𝜋 
 
d) Qual a influência do parâmetro D no gráfico da função seno? 
Determina o deslocamento da função em relação ao eixo das ordenadas. 
Função/ 
Parâmetro 
D 
Fofo Gugu Haha Pipi Titi 
D = 0 
Passa pela 
origem de 
Y 
 
D = −
𝝅
𝟐
 
Distância 
do eixo Y é 
𝜋
2
 pra 
direita 
 
D = −𝝅 
Passa pela 
origem 
 
D = 
𝝅
𝟐
 
Distância 
do eixo Y é 
𝜋
2
 pra 
esquerda 
 
D = 𝝅 
Passa pela 
origem 
Tomando como base a função f(x) = sen x. Se acrescentar ou subtrair 𝜋 do argumento a 
função passa pela origem e é “contrária” a função base. 
Agora se o parâmetro D for um valor menor que 𝜋 ocorre que: 
 Se for negativo a função desloca-se para a direita; 
 Se for positivo a função desloca-se para a esquerda. 
Em relação ao eixo das ordenadas. 
 
 
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17 
e) Faça o mesmo teste para a função cosseno e verifique se a influência deste parâmetro é a 
mesma para esta função trigonométrica. 
 
Função/ 
Componentes 
Foca Geleia Hilário Plural Terere 
Domínio Reais Reais Reais Reais Reais 
Imagem −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 
−1 ≤ 𝑥
≤ 1 
−1 ≤ 𝑥
≤ 1 
−1 ≤ 𝑥
≤ 1 
−1 ≤ 𝑥
≤ 1 
Período 2𝜋 2𝜋 2𝜋 2𝜋 2𝜋 
O parâmetro D determina o deslocamento da função em relação ao eixo das ordenadas. 
Em relação ao eixo das ordenadas 
Função/ 
Parâmetro 
D 
Foca Geleia Hilário Plural Terere 
D = 0 Passa por 1 
D = −
𝝅
𝟐
 
Distância 
da função 
cos é 
𝜋
2
 pra 
direita 
 
D = −𝝅 Passa por 1 
D = 
𝝅
𝟐
 
Distância 
da função 
cos é 
𝜋
2
 pra 
esquerda 
 
D = 𝝅 Passa por 1 
Tomando como base a função f(x) = cos x. Se acrescentar ou subtrair 𝜋 do argumento a 
função é “contrária” a função base e passa por y=-1. 
Agora se o parâmetro D for um valor menor que 𝜋, passa pela origem e, ocorre que: 
 Se fornegativo a função desloca-se para a direita; 
 Se for positivo a função desloca-se para a esquerda. 
Em relação ao eixo das ordenadas. 
f) Faça o mesmo teste para a função tangente e verifique se a influência deste parâmetro é a 
mesma para esta função trigonométrica. 
Função/ 
Componentes 
Ficar Gelada Hooooo Pedaço Tela 
Tecnologias no Ensino de Matemática – Prof. Rodolfo Eduardo Vertuan 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR 
18 
Domínio 
Reais 
exceto 
𝜋
2
+
𝑘𝜋 
Reais 
exceto 
𝜋 + 𝑘𝜋 
Reais 
exceto 
𝜋
2
+
𝑘𝜋 
Reais 
exceto 
𝜋 + 𝑘𝜋 
Reais 
exceto 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 
Imagem Reais Reais Reais Reais Reais 
Período 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 
O parâmetro D determina o deslocamento da função em relação ao eixo das ordenadas. 
Em relação ao eixo das ordenadas 
Função/ 
Parâmetro 
D 
Ficar Gelada Hooooo Pedaço Tela 
D = 0 
Passa pela 
origem de 
Y 
 
D = −
𝝅
𝟐
 
Distância 
do eixo Y é 
𝜋
2
 
 
D = −𝝅 
Passa pela 
origem 
 
D = 
𝝅
𝟐
 
Distância 
do eixo Y é 
𝜋
2
 
 
D = 𝝅 
Passa pela 
origem 
Tomando como base a função f(x) = tan x. Se acrescentar ou subtrair 𝜋 do argumento a 
função passa pela origem e possui o mesmo comportamento que a função base. 
Agora se o parâmetro D for um valor menor que 𝜋 ocorre que, se for negativo ou positivo, a 
função desloca-se exatamente o valor de D em relação ao eixo das ordenadas. 
 
 
 
 
5) Sem construir o gráfico da função 
f(x) 23.sen (4.x )
2

 
, determine o seu período, sua 
imagem e seu domínio. Em seguida, construa o gráfico da função para confirmar ou não os 
resultados encontrados. 
Período 
𝜋
2
. 
Tecnologias no Ensino de Matemática – Prof. Rodolfo Eduardo Vertuan 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR 
19 
Imagem −5 ≤ 𝑥 ≥ 1. 
 Domínio todos os reais. 
 
 
6) Construir um mapa conceitual sobre os parâmetros investigados da função trigonométrica.