001 LISTA INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA

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Universidade Federal de Vic¸osa - Campus Florestal
Matema´tica Fundamental
Professora Ceili Marcolino Moreira
1. Resolva as seguintes equac¸o˜es/inequac¸o˜es:
(a) 2x− 5 < 0;
(b) (x− 2)(x + 3) > 0;
(c) (2x− 1)(x− 7) > 0;
(d) x2 − 5x + 6 ≤ 0;
(e) (x2 + x− 2)(x + 1) < 0;
(f) (x− 3)2(x2 − 1) > 0;
(g) |2x|+ x2 ≥= 0;
(h) |x|2 − 10|x|+ 24 = 0;
(i) 3(4x− 9)− 2(x + 2) < −4;
(j)
∣∣∣x− 2x− 1 ∣∣∣ < 3;
(k) |x2 − 5x| > 6;
(l) |x− 1| < 1 + 3x;
(m) |x− 1| = |2x− 1|;
(n) (5− 2x)2 < 0;
(o)
(
4x
5 − 1
)200
> 0;
(p) (3x− 6)7 > 0;
(q) (x2 + x)247 > 0;
(r) x4 + x2 − 20 > 0;
(s) |x2 − 5x + 5| = 1;
(t) |x2 − 8x + 13| = 1;
(u)
∣∣∣5x− 14 ∣∣∣ = 5x− 14 ;
(v) |x2| − 10|x|+ 24 = 0;
(w) |2x− 1| = |3x− 8|;
(x)
∣∣∣2x− 62 ∣∣∣ ≥ 4;
(y) |x− 1| > 2x− 1;
(z)
∣∣∣x− 4x− 2 ∣∣∣ < 3.
2. Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es reais:
(a) f(x) = xx− 4 ;
(b) f(x) = x
x2 − 4 ;
(c) f(x) =
√
3x− 2 +√x− 4;
(d) f(x) =
√
x2 − 12x + 7;
(e) f(x) =
√
x2 − 6x + 8
x− 5 ;
(f) f(x) =
√−x;
(g) f(x) =
√
x
x2 − 5x + 6;
(h) f(x) =
√
x− 2 + x− 1x + 3.
3. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = x2 − 1;
(b) f(x) = 2x− 1;
(c) f(x) = x2 − 5x + 6.
4. Fac¸a o esboc¸o do gra´fico de g(x) = f(x− 1) e de h(x) = f(x+ 1) em que f representa as func¸o˜es do ı´tem
anterior.
5. Sabemos que o gra´fico de f(x) = ax2 + bx+ c tem concavidade para cima se a > 0 e para baixo se a < 0.
Deste modo, determine o valor de m para que f(x) = (4m + 1)x2 + (m3 − m2 + 2m − 1)x + 6 tenha
concavidade para cima.
6. Se o ve´rtice da func¸a˜o f(x) = x2 + px + q e´ V = (2,−16), quem e´ p e q?
7. Para que valor de x a func¸a˜o y = x2 − 14x + 24 tem seu valor mı´nimo? Que valor mı´nimo e´ esse?
8. Determine m de modo que o menor valor de f(x) = (m− 1)x2 + (m + 6)x + m seja 9.
9. A proprieta´ria de um supermercado acha que pode vender 980 galo˜es de leite por semana a R$ 1,69/gala˜o
e 1220 galo˜es de leite por semana a R$ 1,49/gala˜o. Admitindo uma relac¸a˜o linear entre o prec¸o e as
vendas, quantos galo˜es ela espera vender semanalmente a R$ 1,56/gala˜o.
10. Uma caixa da´gua de 1000 litros tem um furo por onde escoa a´gua a uma vaza˜o constante. Ao meio dia
de certo dia 08 de maio ela foi cheia, e a`s seis da tarde (deste mesmo dia), so´ tinha 850 litros. Em que
dia e hora ficara´ pela metade?
11. Um supermercado esta´ fazendo uma promoc¸a˜o na venda de alcatra: um desconto de 10% e´ dado nas
compras de 3 quilos ou mais. Sabendo que o prec¸o do quilo de alcatra e´ de R$ 4,00 pede-se:
(a) Determine uma func¸a˜o que nos fornece o total pago em func¸a˜o da quantidade comprada;
(b) O gra´fico da func¸a˜o do ı´tem anterior;
(c) Um cliente vai ao ac¸ougue e compra 2 quilos e novecentos gramas de alcatra. Quanto ele pagou? Ele
fez uma boa compra?
12. O lucro de uma empresa e´ dado por L = −30x2 + 360x− 600, em que x e´ o nu´mero de unidades vendidas.
Para que valor de x e´ obtido o maior lucro poss´ıvel? Que lucro e´ este?
13. Imagine que voceˆ seja um fazendeiro rico (e pa˜o duro a ponto de na˜o querer pagar ningue´m para fazer
um servic¸o para voceˆ) e que precise fazer um cercado para alguns animais. Digamos que voceˆ tenha 100
metros de tela e que circunde uma a´rea retangular junto a um rio.
Quais devem ser as medidas do retaˆngulo para que a a´rea cercada seja a maior poss´ıvel?
14. Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a 12 reais o quilo. Uma pesquisa de opinia˜o
revelou que, por cada real de aumento no prec¸o, o restaurante perderia 10 clientes, com um consumo
me´dio de 500 g cada. Qual deve ser o valor do quilo de comida para que o restaurante tenha a maior
receita poss´ıvel? (Resp: R$ 16,00)
15. Os alunos de uma turma fizeram uma coleta para juntar R$ 405,00, custo de uma excursa˜o. Todos
contribuiram igualmente. Na u´ltima hora, dois alunos desistiram. com isso, a parte de cada um sofreu
um aumento de um real e vinte centavos. Quantos alunos tem a turma? (Resp.: 27)
16. Determine a func¸a˜o inversa das seguintes func¸o˜es:
(a) g(x) = 2x− 1x− 2 , x 6= 2;
(b) y = 1 + x3;
(c) f(x) =
5x− 2
2x− 1 , x 6=
1
2
;
(d) f(x) = 3
√
2x + 3.
2
17. Dadas as func¸o˜es f(x) = 8x− 4, g(x) = −2x2 + 5 e h(x) = 2x , calcule
(a) f(−2);
(b) g
(
−12
)
;
(c) h(2);
(d) f−1(x);
(e) f ◦ g(x);
(f) g(f(2));
(g) f ◦ f(x);
(h) f(x) + g(x);
(i) g(x)h(x).
18. Sendo f(x) = 9− 4x e g(x) = 2x2 − 11x + 5, determine x de modo que se tenha:
(a) f(x) = 0;
(b) g(x) = 0;
(c) f−1(x) = 1;
(d) g(x) = −10.
A func¸a˜o g tem inversa?
19. Dadas as func¸o˜es f(x) = x− 4 e f(g(x)) = 2x + 3, determine g(x).
20. Sejam f e g func¸o˜es reais de varia´vel real, tais que f(x) = 2x − 5 e f(g(x)) = x. Determine o valor de
g(33).
21. Dadas as func¸o˜es f(x) =
√
5− x e g(x) = x2 − 1, deˆ o valor de (g ◦ f)(4).
22. Sabendo-se que g(f(x)) =
2x− 2
2x + 2
e g−1(x) =
2x + 1
1− x , determine f(5) + g
(
−72
)
.
23. Dada f : R→ R definida por f(x) = 3x + 5, determine f−1(5) e f−1(0).
24. Sa˜o dadas as func¸o˜es f e g, de R em R, definidas por f(x) = 2x+ k e g(x) = 3x− 1. Para que valor de k
se tem f(g(x)) = g(f(x))?
25. Seja f uma func¸a˜o rela tal que f(x + 1) = (f(x))2 e f(0) = 10. Verifique que f(4) = 1016.
26. Dadas f(x) = x + 3 e g(x) = x2 + 1, encontre f ◦ g(x), f ◦ f(x) e g ◦ g(x).
27. Se f(x) = 3x + 7 e f(g(x)) = 6x + 10 quem e´ g(x)?
28. Se g(x) = 3x− 5 e f(g(x)) = 12x− 22, detemine f(x).
29. Sabendo que f(x + 5) = 15x− 8, calcule f(6).
30. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) =
{
x− 2 se x < 1,
x2 − 5x + 6 se x ≥ 1.
(b) f(x) =
{
x2 + 3x se x < 0,
4x2 − 3x se x ≥ 0.
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