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R ESISTÊNC IA DO S M ATER IA IS P rof . M est . M á rcio L uiz d e M o u ra D ep a rta m e nto d e E ng e nh a ria M ecâ nica F ac uld ad e Pitág o ras C o nteúd o b ase ad o n o livro d e R e sistê n cia d o s M ate riais / R .C . Hibb ele r – 5 º Ediçã o , P re ntic e H all TENSÃO Introd ução � A resistên cia d o s m ateriais é u m ram o d a m ecân ica q u e estu d a as relaçõ es en tre as ca rg a s e x te rn a s ap licad as a u m co rp o d efo rm ável e a in ten sid ad e d as ca rg a s in te rn a s q u e agem n o in terio r d o co rp o . � E sse assu n to tam b ém en vo lve o cálcu lo d as d e fo rm a çõ e s d o co rp o e p ro p o rcio n a o estu d o d e su a e sta b ilid a d e q u an d o su jeito a fo rças extern as. Eq uilíb rio d e u m co rp o d efo rm á vel C a rg a s e x te rn a s 1. F o rças d e su p erfície: cau sad as p elo co n tato d ireto d e u m co rp o co m a su p erfície d e o u tro . 2. F o rça d e co rp o : D e se n volvid a q u a nd o u m co rp o e xe rce u m a fo rça sob re o utro , se m co ntato físico direto e ntre ele s. R e a çõ e s � F o rças d e su p erfície d esen vo lvid as n o s ap o io s o u p o n to s d e co n tato en tre co rp o s. E q u a çõ e s d e e q u ilíb rio � O eq u ilíb rio d e u m co rp o exige u m e q u ilíb rio d e fo rça s e u m e q u ilíb rio d e m o m e n to s. � S e estip u larm o s u m sistem a d e co o rd en ad as x, y, z co m o rigem n o p o n to O , � A m e lh o r m a n e ira d e le v a r e m co n ta e ssa s fo rça s é d e se n h a r o d ia g ra m a d e co rp o liv re d o co rp o . 0 M 0 F = = ∑ ∑ O 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 = = = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ z y x z y x M M M F F F C a rg a s re su lta n te s in te rn a s � O o b jetivo d o d iag ram a d e co rp o livre é d eterm in ar a fo rça e o m o m en to resu ltan tes q u e agem n o in terio r d e u m co rp o . � E m geral, h á q u atro tip o s d iferen tes d e carg as resu ltan tes: a) F o rça n o rm al, N b ) F o rça d e cisalh am en to , V c) M o m en to d e to rção o u to rq u e, T d ) M o m en to fleto r, M E xe m plo 1 .1 D ete rm in e a s ca rg a s inte rn a s re sulta nte s q u e ag e m n a seçã o tra n sve rsal e m C . S olução : D iag ra m a d e co rp o livre m N 180 9 270 6 = ⇒ = w w A inte n sid ad e d a ca rg a distrib uíd a e m C é d ete rm in ad a p o r p rop o rçã o , O valo r d a re sulta nte d a ca rg a distrib uíd a é ( )() N 540 6 180 2 1 = = F q u e ag e a d e C . () m 2 6 3 1 = E q u açõ es d e eq u ilíb rio () (R esp o sta) m N 0 08 . 1 0 2 540 ;0 (R esp o sta) 540 0 540 ;0 (R esp o sta) 0 0 ;0 ⋅ − = = − − = + = = − = ↑+ = = − = → + ∑ ∑ ∑ C C C C C y C C x M M M V V F N N F A p lican d o as eq u açõ es d e eq u ilíb rio , tem o s E xe m plo 1 .5 D ete rm in e a s ca rg a s inte rn a s re sulta nte s q u e ag e m n a seçã o tra n sve rsal e m B d o ca n o . A m a ssa d o ca n o é d e 2 kg/m e ele e stá sujeito a u m a fo rça ve rtical d e 50 N e a u m m o m e nto d e 70 N ·m e m su a e xtre m id ad e a o fin al d e A . O tub o e stá p re so a u m a p a red e e m C . D iag ra m a co rp o livre ()( )( ) ()( )( ) N 525 , 24 81 , 9 25 , 1 2 N 81 , 9 81 , 9 5, 0 2 = = = = AD BD W W C alcula nd o o p e so d e cad a seg m e nto d o tub o , Aplica nd o a s seis eq u açõ e s e scala re s d e eq uilíb rio , ( ) ( ) ( ) ( ) (R esp o sta) N 3, 84 0 50 525 , 24 81 , 9 ;0 (R esp o sta) 0 ;0 (R esp o sta) 0 ;0 = = − − − = = = = = ∑ ∑ ∑ x B z B z y B y x B x F F F F F F F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (R esp o sta) 0 ;0 (R esp o sta) m N8 , 77 0 25 , 1 50 625 , 0 525 , 24 ;0 (R esp o sta) m N3 , 30 0 25 , 0 81 , 9 5, 0 525 , 24 5, 0 50 70 ;0 = = ⋅ − = = + + = ⋅ − = = − − − + = ∑ ∑ ∑ z B z B y B y B y B x B x B x B M M M M M M M M S olução : Te n são � A d istrib u içã o d e carg a in tern a é im p o rtan te n a resistên cia d o s m ateriais. � C o n sid erarem o s q u e o m aterial é co n tín uo . � A te n sã o d escreve a in ten sid a d e d a fo rça in tern a so b re u m p la n o esp ecífico (área) q u e p assa p o r u m p o n to . T e n sã o n o rm a l, σ � In ten sid ad e d a fo rça q u e age p erp en d icu larm en te à Δ A T e n sã o d e cisa lh a m e n to , τ � In ten sid ad e d a fo rça q u e age tan gen te à Δ A A F z A z ∆ ∆ = → ∆ 0 lim σ A F A F y A zy x A zx ∆ ∆ = ∆ ∆ = → ∆ → ∆ 0 0 lim lim τ τ Te n são n o rm al m édia e m u m a b a rra co m ca rg a a xial � Q u an d o a á re a d a se çã o tra n sv e rsa l d a b a rra está su b m etid a à fo rça axial p elo cen tro id e, ela está su b m etid a so m en te à ten são n o m in al. � S u p õ e-se q u e a ten são está acim a d a m éd ia d a área. D istrib u içã o d a te n sã o n o rm a l m é d ia � Q u an d o a b arra é su b m etid a a u m a d efo rm ação u n ifo rm e, E q u ilíb rio � A s d u as co m p o n en tes d a ten são n o rm al n o elem en to têm valo res ig u ais m as d ireçõ es o p o stas. A P A P dA dF A = = = ∫ ∫ σ σ σ σ = te n sã o n o rm al m édia P = fo rça n o rm al inte rn a re sulta nte A = á re a d a seçã o tra n sve rsal d a b a rra E xe m plo 1 .6 A b a rra te m la rg u ra co n sta nte d e 35 m m e e sp e ssu ra d e 10 m m . D ete rm in e a te n sã o n o rm al m édia m á xim a n a b a rra q u a nd o ela é sub m etid a à ca rg a m o strad a . S olução : P o r in sp eçã o , a s fo rça s inte rn a s a xiais sã o co n sta nte s , m a s tê m valo re s dife re nte s . G rafica m e nte , o diag ra m a d a fo rça n o rm al é co m o m o strad o ab aixo : P o r in sp eçã o , a m aio r ca rg a é n a regiã o BC , o nd e kN . 30 = BC P Visto q u e a á re a d a seçã o tra n sve rsal d a b a rra é co n sta nte , a m aio r te n sã o n o rm al m édia é ( ) ( )( ) (R esp o sta) M P a 7, 85 01 , 0 035 , 0 10 30 3 = = = A PBC BC σA p eça fu ndid a m o strad a é feita d e aço , cujo p e so e sp e cífico é . D ete rm in e a te n sã o d e co m p re ssã o m édia q u e ag e n o s p o nto s A e B . 3 aço kN /m 80 = γ E xe m plo 1 .8 S olução : D e se nh a nd o u m diag ra m a d e co rp o livre d o seg m e nto sup e rio r , a fo rça a xial inte rn a P n e sta seçã o é()( )( )kN 042 , 8 0 2, 0 8, 0 80 0 ;0 2 aço = = − = − = ↑+ ∑ P P W P F z pi A te n sã o d e co m p re e n sã o m édia to rn a -se : ( ) (R esp o sta) kN /m 0, 64 2, 0 042 , 8 2 2 = = = pi σ A P Te n são d e cisalh a m e nto m édia � A te n sã o d e c isa lh a m e n to d istrib u íd a so b re cad a área secio n ad a q u e d esen vo lve essa fo rça d e cisalh am en to é d efin id a p o r: D o is tip o s d iferen tes d e cisalh am en to : A V = m éd τ τ m éd = te n sã o d e cisalh a m e nto m édia V = fo rça d e cisalh a m e nto inte rn a re sulta nte A = á re a n a seçã o a) C isalh a m e nto sim ple s b) C isalh a m e nto d uplo E xe m plo 1 .12 O ele m e nto in clin ad o e stá sub m etid o a u m a fo rça d e co m p re ssã o d e 3 .000 N . D ete rm in e a te n sã o d e co m p re ssã o m édia a o lo ng o d a s á re a s d e co ntato lisa s d efinid a s p o r AB e BC e a te n sã o d e cisalh a m e nto m édia a o lo ng o d o pla n o h o rizo ntal d efinid o p o r ED B . S olução : A s fo rça s d e co m p re ssã o agind o n a s á re a s d e co ntato sã o ()() N 400 . 2 0 000 . 3 ;0 N 800 . 1 0 000 . 3 ;0 5 4 5 3 = ⇒ = − = ↑+ = ⇒ = − = → + ∑ ∑ BC BC y AB AB x F F F F F F A fo rça d e cisalh a m e nto agind o n o pla n o h o rizo ntal se cio n ad o ED B é N 800 . 1 ;0 = = → + ∑ V F x A s te n sõ e s d e co m p re ssã o m édia s a o lo ng o d o s pla n o s h o rizo ntal e ve rtical d o ele m e nto in clin ad o sã o ( )( ) ( )( ) (R esp o sta) N /m m 20 , 1 40 50 400 . 2 (R esp o sta) N /m m 80 , 1 40 25 800 . 1 2 2 = = = = BC AB σ σ ( )( ) (R esp o sta) N /m m 60 , 0 40 75 800 . 1 2 m éd = = τ A te n sã o d e cisalh a m e nto m édia q u e ag e n o pla n o h o rizo ntal d efinid o p o r BD é Te n são ad m issível � M u ito s fato res d esco n h ecid o s q u e in flu en ciam n a ten são real d e u m elem en to . � O fa to r d e seg u ra n ça é u m m éto d o p ara esp ecificação d a carg a ad m issível p ara o p ro jeto o u an álise d e u m elem en to . � O fa to r d e se g u ra n ça (F S ) é a razão en tre a carg a d e ru p tu ra e a carg a ad m issível. ad m rup FS F F = E xe m plo 1 .14 O b raço d eco ntrole e stá sub m etid o a o ca rreg a m e nto m o strad o n a fig u ra ab aixo . D ete rm in e , co m ap ro xim açã o d e 5 m m , o diâ m etro e xigid o p a ra o pin o d e aço e m C se a te n sã o d e cisalh a m e nto ad m issível p a ra o aço fo r . N ote n a fig u ra q u e o pin o e stá sujeito a cisalh a m e nto d uplo . M P a 55 ad m = τ S olução : P a ra eq uilíb rio , te m o s: ( ) ( ) ()( ) ()() kN 30 0 25 15 ;0 kN 5 0 25 15 ;0 kN 15 0 125 , 0 25 075 , 0 15 2, 0 ;0 5 3 5 4 5 3 = ⇒ = − − = + ↑ = ⇒ = + − − = + → = ⇒ = − = = +∑ ∑ ∑ y y y x x x AB AB C C C F C C F F F M O pin o e m C re siste à fo rça re sulta nte e m C . P o rta nto , () ( ) kN 41 , 30 30 5 2 2 = − = C F m m 8, 18 m m 45 , 246 2 m 10 45 , 276 10 55 205 , 15 2 2 6 3 ad m 2 = = × = × = = − d d V A pi τ O pin o e stá sujeito a cisalh a m e nto d uplo , u m a fo rça d e cisalh a m e nto d e 15 ,205 kN ag e sob re su a á re a d a seçã o tra n sve rsal e ntre o b raço e cad a o relh a d e ap oio d o pin o . A á re a e xigid a é U se u m pin o co m u m diâ m etro d = 20 m m . (R e sp o sta) E xe m plo 1 .17 A b a rra rígid a AB é su ste ntad a p o r u m a h a ste d e aço AC co m 20 m m d e diâ m etro e u m blo co d e alu m ínio co m á re a d e seçã o tra n sve rsal d e 1 .800 m m 2 . O s pin o s d e 18 m m d e diâ m etro e m A e C e stã o sub m etid o s a cisalh a m e nto sim ple s . S e a te n sã o d e ruptu ra d o aço e d o alu m ínio fo re m e , re sp e ctiva m e nte , e a te n sã o falh a p a ra cad a pin o fo r d e , d ete rm in e a m aio r ca rg a P q u e p od e se r aplicad a à b a rra . Apliq u e u m fato r d e seg u ra nça FS = 2 . ( ) M P a 680 rup aço = σ ( ) M P a 70 rup al = σ M P a 900 rup = τ S olução : A s te nçõ e s ad m issíveis sã o : ( ) ( ) ( ) ( ) M P a 450 2 900 FS M P a 35 2 70 FS M P a 340 2 680 FS rup ad m rup al ad m al rup aço ad m aço = = = = = = = = = τ τ σ σ σ σ Há trê s in cóg nita s e nó s aplica re m o s a s eq u açõ e s d e eq uilíb rio ( ) () () ( ) (2) 0 75 , 0 2 ;0 (1) 0 2 25 , 1 ;0 = − = + = − = +∑ ∑ P F M F P M B A AC B Ag o ra , d ete rm in a re m o s cad a valo r d e P q u e crie a te n sã o ad m issível n a h a ste , n o blo co e n o s pin o s, re sp e ctiva m e nte . A h a ste AC e xig e ( ) ( ) ( )( ) [ ] kN 8, 106 01 , 0 10 340 2 6 ad m aço = = = pi σ AC AC A F U sa nd o a Eq u açã o 1 , ( )() kN 171 25 , 1 2 8, 106 = = P P a ra blo co B , ( ) ( ) ( ) [ ] kN 0, 63 10 800 . 1 10 35 6 6 ad m al = = = − B B A F σ U sa nd o a Eq u açã o 2 , ( )() kN 168 75 , 0 2 0, 63 = = P P a ra o pin o A o u C , ( )( ) [ ] kN 5, 114 009 , 0 10 450 2 6 ad m = = = = pi τ A F V AC U sa nd o a Eq u açã o 1 , ( )() kN 183 25 , 1 2 5, 114 = = P Q u a nd o P alca nça se u m e n o r valo r (168 kN) , d e se n volve a te n sã o n o rm al ad m issível n o blo co d e alu m ínio . P o r co n seq uê n cia , (R esp o sta) kN 168 = P
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