TEORIA DE CONJUNTOS - SISTEMAS DE INFORMAÇÃO-aula21-05-13

Prévia do material em texto

1 
 
SISTEMAS DE INFORMAÇÃO – FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS- 1º/13 
 
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS: 
O conceito de número foi evoluindo ao longo dos tempos, tendo-se criado novos números para 
responder a problemas entretanto surgidos. 
 
Conjunto Numéricos: são conjuntos cujos elementos são números que guardam entre si uma 
característica comum. Tais conjuntos possuem elementos muito bem caracterizados. Os principais 
conjuntos numéricos que estudaremos serão: 
 : conjunto dos números naturais; 
 : conjunto dos números inteiros; 
 : conjunto dos números racionais; 
 : conjunto dos números irracionais; 
 : conjunto dos números reais; 
 
a) O conjunto dos números naturais ( ): é formado pelos números que aparecem naturalmente ao 
longo de um processo de contagem 0,1,2,... 
 
 = { 0,1,2,3,...} 
b) O conjunto dos números inteiros ( ): é formado pelos números naturais acrescido dos seus 
respectivos números opostos - 1,-2,-3,... . 
 
 = { .....,-3,-2,-1,0,1,2,3,....} 
 
c) O conjunto dos números racionais ( ): é formado pelos números na forma 
 
 
 , onde a e b são 
inteiros com b¹ 0. 
São os números que podem ser expressos sob a forma de fração 
 
 = { .....,-3,-2,-1, 
 
 
 , 0, 
 
 
 1,2,3,....} 
 
Utilizando o elemento genérico, podemos escrever, de modo mais simples: 
 
 
 
 
 
 
d) O conjunto dos números irracionais (I): é formado pelos números cuja representação decimal 
infinita não é periódica. Ex.: 
 = 1,4142136... 
 
 
 
 
São os números decimais não exatos e não periódicos. 
 
 
e) Conjunto dos números reais ( ): É a reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto 
dos números irracionais. 
 = ∪ I , sendo 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Símbolos 
 
: pertence : existe 
: não pertence : não existe 
: está contido : para todo (ou qualquer que seja) 
: não está contido : conjunto vazio 
: contém N: conjunto dos números naturais 
: não contém Z : conjunto dos números inteiros 
/ : tal que Q: conjunto dos números racionais 
: implica que 
Q'= I: conjunto dos números irracionais 
: se, e somente se 
R: conjunto dos números reais 
 
 
Símbolos das operações 
 
: A intersecção B 
: A união B 
a - b: diferença de A com B 
a < b: a menor que b 
: a menor ou igual a b 
a > b: a maior que b 
: a maior ou igual a b 
: a e b 
: a ou b 
 
 
3 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
2. Conjunto. Elemento. Pertinência 
 
Noções primitivas: 
 
Conjunto: (agrupamento, coleção): 
 
Exemplo: 
Conjunto das vogais 
 
Elemento: (membro, objeto) 
 
Exemplo: 
 
Pertinência: (pertencer, não pertencer) 
 
Exemplo: Os elementos a, e, i, o, u são vogais, portanto pertencem ao Conjunto das vogais 
 
Simbologia ( ): 
 a, e, i, o, u ao Conjunto das vogais 
 b, c, d, f ao Conjunto das vogais 
 
2.1 Descrição de um Conjunto 
 
a) Por extensão: Enumeram-se os elementos, escrevendo-os entre chaves e separando-os 
por vírgula. 
 Exemplos: 
Conjunto das vogais {a, e, i, o, u} 
 
 Conjunto dos números ímpares positivos: {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...} 
 
b) Por compreensão: O conjunto será descrito por uma propriedade que caracteriza os seus 
elementos. 
 Exemplo: A = {x | x é uma vogal} Lê-se: “A é o conjunto dos elementos x talque x é uma 
vogal”. 
 
 Em geral, indicamos um conjunto com letra maiúscula A, B, C,... e um elemento com letra 
minúscula a, b, c,... 
 
 É habitual representar um conjunto pelos pontos interiores a uma linha fechada e não 
entrelaçada. 
Exemplo: 
 
 
7 
 
 
Pelo Diagrama de Euler-Venn (*): (*) John Venn, 1834 – 1923 e Euler, 1707 – 1783. 
O conjunto será representado pelos pontos interiores a um círculo. 
 
 
 
 
2.2 Conjunto Unitário 
 
Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único 
elemento. 
 
Exemplos: 
 
Conjunto dos estados brasileiros que fazem fronteira com o Uruguai:  {Rio Grande do Sul} 
Conjunto das soluções da equação 3x + 1 = 10  {3} 
 
2.3 Conjunto Vazio 
 
Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento algum. 
Exemplos: 
 
 
2.4 Conjunto Universo (U) 
 
É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos utilizados em um determinado 
assunto. 
 
Exemplos: 
 
População humana: 
 
U = todos os habitantes da terra 
 
Soluções reais de uma equação: 
U = R Simbologia: U 
8 
 
Quando vamos descrever um conjunto A através de uma propriedade P, é essencial 
fixarmos o conjunto-universo U em que estamos trabalhando, escrevendo: 
 
 
 
2.5 Conjuntos Iguais 
 
Dois conjuntos são considerados iguais quando possuem os mesmos elementos. 
 
Em símbolos: 
 
 
Exemplos: 
 
 
2.6 Subconjunto 
 
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A 
pertencer também a B. 
 
Em símbolos: 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
Notações: 
 
A  B 
Lê-se: “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” 
 
Quando A  B, também podemos escrever B  A 
Lê-se: “B contém A” 
 
 
9 
 
Com a notação A  B negamos que A  B 
Lê-se: “A não está contido em B” 
 
 
 
2.7 Conjunto das Partes 
 
O conjunto das partes de A é aquele que é formado por todos os subconjuntos de A. 
Em símbolos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. UNIÃO DE CONJUNTOS 
 
 
 
12 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
4 - Intervalos 
Sejam a e b números reais tais que a < b. Chamam-se intervalos reais os subconjuntos de IR 
compreendidos entre os extremos a e b. Observe as representações abaixo: 
 
 
 
Observações 
 
* A bolinha cheia ( ) no extremo de um intervalo indica que o número associado a esse extremo pertence 
ao intervalo. 
* A bolinha vazia ( ) no extremo de um intervalo indica que o número associado a esse extremo não 
pertence ao intervalo. 
* No + ou - é usada sempre a denominação aberta 
 
 
 
 
 
17 
 
Exercícios: 
 
1) Escreva na forma de intervalo cada representação geométrica dada abaixo. 
a) 
 -2 3 
b) 
 4 
c) 
 -5 
d) 
 0 1 
2) Dados os conjuntos abaixo, expresse-os na forma de intervalo e na forma geométrica: 
 
a) 
 106/  xx
 
 
 
b) 
 / 1 5x x   
 
 
 
c) 
 / 4x x  
 
 
 
d) {x  / x < 1} 
 
 
3) Dados os intervalos abaixo, expresse-os na forma geométrica: 
 
a)[½ , +) 
 
 
b) (0, 7] 
 
 
c)(-, 3) 
 
 
d) [6, +) 
 
 
 
 
 
 
18 
 
4.1 Operações com Intervalos 
Os intervalos são conjuntos, portanto podemos efetuar com eles qualquer uma das operações entre 
conjuntos: união, intersecção e diferença. 
Exemplos de operações com intervalos: 
a) [ - 3 ; 2 ] ( 1 ; 5 ) = [ - 3 ; 5) 
 
 
 
 
 
b) [ - 3 ; 2 ] ( 1 ; 5 ) = ( 1 ; 2 ] 
 
 
 
c) [ - 3 ; 2 ] – ( 1 ; 5 ) = [ - 3 ; 1 ] 
 
 
 
19