Pre Calculo Aula 1 E 2

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Começando do Zero 
Pré - Calculo 
Bruno Villar 
professorbrunovillar@yahoo.com.br 
 
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Dicas de cálculos 
 
Números decimais! 
 
Soma ou subtração. 
Dica: Vírgula em baixo de vírgula. 
 
Exemplo: 3,2 + 1, 45 
 
 3,2 
+ 1,45 
 4,65 
 
Não confunda na soma de 32 + 145 , temos: 
 
 145 
+ 32 
 177 
Nesse caso é unidade com unidade, dezena com 
dezena e assim sucessivamente! 
 
Multiplicação! 
 
 
Divisão 
 
Dica: Transformar uma dizima periódica em uma 
fração. 
 
A) Dizima periódica simples. 
Nesse caso para cada algarismo do número que se 
repete embaixo colocamos um 9. 
 
a) 0,444 ... 
Essa dizima temos apenas um algarismo que se 
repete, que é o algarismo 4. 
0, 444... = 9
4
 
 
b) 0, 243243243243... 
 
Essa dizima temos três algarismos que se repetem 
. 
 
0, 243243243243... = 999
243
 
 
B) Dizima periódica composta. 
 
Nesse caso devemos usar a fórmula : 
pnppp
pnpnúmero
09

 
 
PNP: parte não periódica, ou seja, não se repete. 
PP : parte periódica , isto é , se repete. 
Para cada algarismo que se repetir colocamos um 
9 e para cada algarismo que não se repetir 
colocamos um 0. 
 
Exemplos: 
 
a) 0,45555... 
0 algarismo que se repete é 5 ; parando no 
primeiro algarismo ,temos o número formado 45. 
1 PP e 1 PNP 
 
90
445 
 = 90
41
 
 
 
b) 0,2434343.... 
 
O número que se repetem é 43, logo o número 
formado é 243. 
2 PP e 1 PNP 
 
990
2243
 = 990
241
 
 
c) 0,21424242.... 
 
O número que se repete é o 42 , logo o número 
formado é 2142. 
2 PP e 2 PNP 
9900
212142 
 = 9900
2121
 
 
 
Capitulo 1- Revisão de Ginásio 
Nesse capitulo teremos uma revisão dos 
principais pontos da matemática do ginásio. 
Critérios de Divisibilidade 
 
Começando do Zero 
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É possível estabelecer algumas regras que 
permitem verificar se um número natural qualquer 
é divisível por outro. Estas regras são chamadas 
de critérios de divisibilidade. 
Esse critérios serve de auxilio na parte de 
simplicação de fração. 
Simplificar é dividir os termos de uma fração por 
um mesmo número. 
 
Exemplo: 8
10
2:
2:
 = 4
5
 
 
 Somente é premitido simplificar em dupla, sendo 
um o número de cima com o número de baixo 
.Exemplo: 
 6
10.14
 = 6
1014
2:
2:
 = 3
10.7
 como escolhemos o 
14 e 6 para simplificar o número 10 deve ser 
mantindo , pois ele não tem um outro número para 
simplificar. 
 
• Divisibilidade por 2 
Um número é divisível por 2 quando o algarismo 
das unidades for 0; 2; 4; 6 ou 8. Os números que 
são divisíveis por 2 são denominados números 
pares. 
Exemplo: 22, 1540 , 1908764.... 
 
• Divisibilidade por 3 
Um número é divisível por 3 quando a soma dos 
valores absolutos de seus algarismos for divisível 
por 3. 
Exemplo: 123 é divisivel por 3 , pois 1+2+3 = 6 
é divisível por 3. 
 
• Divisibilidade por 4: 
Um número é divisível por 4 se o número formado 
pelos dois algarismos da direita for divisível por 4 
ou terminar em 00. 
Exemplo: 124 , termina em 24 e 24 é divisível por 
4. 
 
• Divisibilidade por 5: 
Um número é divisível por 5 se o algarismo da 
unidade( o último algarismo) for 0 ou 5. 
Exemplo: 15, 125 1050... 
 
• Divisibilidade por 6: 
 
Um número é divisível por 6 quando for divisível 
por 2 e 3 ao mesmo tempo. 
Exemplo: 180 é divisível por 2 e por 3 , logo 
também por 6. 
 
* Divisibilidade por 7 : 
Para descobri se um número é divisivel por 7 
devemos realizar o seguinte processo. 
Retira o algarismo da direita e subtrair o dobro do 
algarismo da direita pelo número restante; se o 
resultado obtido for divisivel por 7 , então o 
número é divisivel por 7 
Exemplo: 
245 
O último algarismo da direita é o cinco. 
24 – 2.5 = 24 – 10 = 14 , 14 é divisivel por 7 . 
 Não esqueça dobrar é multiplicar por 2. 
 
• Divisibilidade por 9 
Um número é divisível por 9 quando a soma dos 
valores absolutos de seus algarismos for divisível 
por 9. 
Exemplo: 135 é divisivel por 9 , pois 1+3+5 = 9 
é divisível por 3. 
 
 
• Divisibilidade por 10: 
 
Um número é divisível por 10 se o algarismo da 
unidade( o último algarismo) for 0 . 
Exemplo: 120, 1450. 
 
 
• Divisibilidade por 11: 
 
Para descobri se um número é divisivel por 11 
devemos realizar o seguinte processo. 
Retira o algarismo da direita e subtrair o 
algarismo da direita pelo número restante; se o 
resultado obtido for divisivel por 11 , então o 
número é divisivel por 11. 
Exemplo: 
 
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a) 121 
 12 – 1 = 11 . 
 
b) 1331 
133 – 1= 132 
Se você não conseguir ter certeza pode repetir o 
processo com o resultado obtido. 
132 
13 – 2 = 11. 
 
• Divisibilidade por 13: 
 
Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 
vezes) do último algarismo, somado ao número 
sem o último algarismo, resultar um número 
divisível por 13. Se o número obtido ainda for 
grande, repete-se o processo até que se possa 
verificar a divisão por 13. Este critério é 
semelhante àquele dado antes para a divisibilidade 
por 7, apenas que no presente caso utilizamos a 
soma ao invés de subtração. 
Exemplo: 117 
 
11 + 4.7 = 11 +28 = 39 . 
39 é divisível por 13 , logo 117 é divisível por 13. 
 
 
• Divisibilidade por 15: 
 
Um número é divisível por 15 quando for 
divisível por 3 e 5 ao mesmo tempo. 
Exemplo: 180 é divisível por 3 e por 5 , logo 
também por 15. 
 
 
 
Números primos 
 
São números que possuem apenas dois divisores, 
sendo esses divisores a unidade 1 e o próprio 
número. 
 
Exemplos de números primos: 
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37 ... 
 
Se ligue! 
O número 2 é único número primo par. 
O número 1 não é primo. 
 
Reconhecimento de número primo. 
 
Esse método permite uma garantia se o número é 
primo ou não. 
 
Exemplo: 
 
O número 103 é primo? 
 
Vamos aprender o processo de reconhecer se um 
número é primo. 
 
1º Passo calcular a raiz quadrada do número. 
 
103 10 
O número 103 não possui raiz quadrada exata , 
logo passou pela primeira etapa. 
 
2º Passo: Dividir o número 103 pelos números 
primos menores que 10 ( resultado da raiz). 
2,3,5e 7 = são os números primos menores que 
10. 
 
103: 2 = Não. 
O número 103 termina em 3 , logo não é divisível 
por 2. 
 
103 : 3 = Não. 
A soma dos algarismos de 103 é 1+ 0 + 3 = 4 e 4 
não é divisível por 3. 
 
103: 5 = 
O número 103 termina em 3 , logo não é divisível 
por 5. 
 
103: 7 = Não. 
10 – 2.3 
10 - 6 = 4 e 4 não divisível por 7. 
 
Como o número 103 não foi divisível por nenhum 
dos números, então podemos garantir que o 
número 103 é primo. 
 
Decomposição em fatores primos. 
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Todo número natural, maior que 1, pode ser 
decomposto num produtode dois ou mais 
fatores. 
Exemplos de decomposição em fatores primos: 
A) 15 
5
3
1
5
15
 
15 = 3. 5 
 
B) 36 
3
3
2
2
1
3
9
18
36
 
36 = 2² . 3² 
 
C) 143 
13
11
1
13
143
 
143 = 11. 13 
 
A decomposição em fatores primos tem grande 
aplicabilidade na matemática. 
Vamos a um exemplo básico. 
A quantidade de divisores de um número 
natura. 
Considere o número natural N = a
x
 . b
y
 . c
z
 
A quantidade de divisores é obtida pela 
fórmula ( x+1)(y+1)(z+1) 
 
Aplicação. 
Determine a quantidade de divisores do 
número 120. 
1º passo: Decomposição do número 120 em 
fatores primos. 
5
3
2
2
2
1
5
15
30
60
120
 
120 = 2³ . 3¹. 5¹ 
2ª passo : aplicar a fórmula ( x+1)(y+1)(z+1) 
(3+ 1) ( 1+1)(1+1) = 4.2.2 = 16 divisores. 
Se ligue! 
A fórmula consiste em somar mais um aos 
expoentes das bases e depois multiplicar. 
Resposta: o número 120 possui 16 divisores. 
 
Potência 
A potência é utilizada na multiplicação de 
números iguais. Exemplo: 
 
2 . 2 . 2 = 8 → multiplicação de fatores iguais. 
 
Podemos representar a mesma multiplicação da 
seguinte forma: 
 
2 . 2 . 2 = 2
³
 = 8 
 ↓ 
Fatores iguais. 
 
Essa representação é conhecida como potenciação, 
portanto, sempre que tivermos fatores iguais, 
podemos montar uma potência. 
 
Representamos uma potência da seguinte forma: 
 
 
 
A base sempre será o valor do fator. 
O expoente é a quantidade de vezes que o fator 
repete. 
A potência é o resultado do produto 
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Propriedades da potência 
Produto de potência de mesma base 
Nesse caso, conserva a base e soma os 
expoentes. 
a
X
.a
Y 
=a
X+Y 
5². 5³ = 5
2+3
 =5
5 
Cuidado 
4² + 4³  4
5 
4² = 4.4 = 16 
4² = 4.4.4 = 64 
16 + 64 = 80 
A regra só pode ser aplicada quando 
multiplicamos bases iguais. 
Quocientes de potências de mesma base 
Nesse caso, conserva a base e subtrai os 
expoentes. 
a
X
 : 
 
a
Y 
=a
X-Y 
12
9
 : 12
3
 = 12
9-3
 = 12
6
 
8
5
:8
-2
 = 8
5-(-2)
 =8
5+2
=8
7 
Potência de Potência 
Nesse caso, devemos conservar a base e 
multiplicar os expoentes. 






a
mn
 = a
m.n 
Se ligue! 
Quadrado perfeito é um número que possui 
raiz quadrada exata. Exemplo: 
525  
A raiz quadrada do número 25 é 5 , logo o 
número 25 é um quadrado perfeito. 
 
Expressão numérica. 
As operações multiplicação ou divisão tem 
prioridade nas expressões numéricas. 
Exemplo: 
2 + 3.5 
Primeiro devemos realizar a multiplicação 3.5 
= 15 . 
2 + 15 = 17. 
 
Exemplo: Caso dos parênteses. 
5 + 3 ( 23 – 4) 
Primeiro resolvemos dentro do parêntese. 
5 + 3 ( 19) 
Agora, temos uma soma e uma multiplicação, 
ou seja, a multiplicação tem prioridade. 
5 + 57 = 62.