Exercícios de Sistemas de Segunda Ordem

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Universidade Federal do ABC
BC 1507 – Instrumentação e Controle
Professor André Luís da Silva
Primeiro Quadrimestre de 2013
Quarta lista de exercícios
Assunto: Respostas de Sistemas de Segunda Ordem e Parâmetros Elementares de 
Desempenho
1) Seja um sistema massa mola amortecedor de segunda ordem:
De modo análago ao exemplo apresentado na aula 5 para o circuito RLC, obtenha 
expressões algébricas para:
a) Razão de amortecimento, frequência natural não amortecida e ganho da entrada;
b) Indique as condições, em função de relações entre os parâmetros, para as quais o sistema 
é sub, super e criticamente amortecido;
c) Para o caso de sistema sub amortecido, determine expressões para: constante de tempo e 
frequência natural amortecida;
d) Para o caso de sistema sub amortecido, encontre expressões para o sobressinal na resposta 
ao degrau unitário e valor de regime permanente para entrada degrau de amplitude F;
e) Comente a importância dos parâmetros K, B e M sobre as propriedades do itens a), b) c) e 
d). Discuta fisicamente os resultados.
2) Seja um sistema massa mola amortecedor com os seguintes parâmetros: m = 5 Kg, k = 125 
N/m e b = 20 Ns/m.
a) Determine se o sistema é sub, super ou criticamente amortecido;
b) Apresente a equação x(t) do deslocamento em função do tempo para uma entrada de força 
igual a 100N;
c) Determine a razão de amortecimento e a frequência natural não amortecida. Determine 
também a constante de tempo (da forma adequada para o tipo de sistema) e a frequência 
natural amortecida, quando for o caso;
d) Determine os seguintes parâmetros de desempenho, quando forem definidos: tempo de 
subida, sobressinal, tempo de regime permanente, valor de regime permanente;
e) Usando os parâmetros determinados anteriormente e a equação x(t), esboce o 
comportamento temporal do deslocamento. Evidencie no seu esboço todos os parâmetros de 
desempenho determinados.
3) Determine as expressões da razão de amortecimento  e da frequência natural não 
amortecida n para um sistema de segunda ordem escrito na forma de espaço de estados.
x˙=a11 a12a21 ass xBu
2) Para os sistemas descritos pelas equações diferenciais abaixo, desenvolva os seguintes itens. 
Considere unidades SI.
a) Determine a razão de amortecimento  e da frequência natural não amortecida n ;
b) Diga se a resposta ao degrau unitário é super amortecida, criticamente amortecida, ou sub 
amortecida;
c) Esboce a resposta temporal ao degrau unitário;
d) Determine o valor dos parâmetros de desempenho da resposta ao degrau unitário, quando 
factíveis: V F , t r , S , t p , d , f d , T d e t s .
2.1 d
2 y
dt 2
12 d y
dt
400y=200ut 
2.2 d
2 y
dt 2
90 d y
dt
900y=900ut 
2.3 d
2 y
dt 2
30 d y
dt
225y=300u t
2.4 d
2 y
dt 2
625y=500u t 
3) Desenvolva os itens a seguir para as equações de estado dadas. Considere unidades SI. Note 
que não é necessário determinar a resposta temporal, nem o valor final. Mas isso seria 
possível usando a integral de convolução e especificando a matriz B a saída y.
a) Determine a razão de amortecimento  e da frequência natural não amortecida n ;
b) Diga se a resposta ao degrau unitário é super amortecida, criticamente amortecida, ou sub 
amortecida;
c) Determine o valor dos parâmetros de desempenho da resposta ao degrau unitário, quando 
factíveis: t r , S , t p , d , f d , T d e t s .
3.1 x˙= 1 1−4 −3xBu 3.2 x˙= 2 9−1 −2xBu
 3.3 x˙=1 −18 −4 xBu 3.4 x˙=−2 17 −4 xBu