Estabilidade de Sistemas Lineares

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Universidade Federal do ABC
BC 1507 – Instrumentação e Controle
Professor André Luís da Silva
Primeiro Quadrimestre de 2013
Quinta lista de exercícios
Assunto: Estabilidade 
1) Seja um sistema linear de segunda ordem na forma padrão:
d2 y
dt 2
2n
d y
dt
n
2 y=but 
Prove que:
a) Para 0 o sistema é estável;
b) Para =0 o sistema é marginalmente estável;
c) Para 0 o sistema é instável.
2) Avalie a estabilidade dos sistemas cujas equações de estado são dadas abaixo. Ou seja, 
calcule os autovalores e depois determine o tipo do sistema quanto à estabilidade.
2.1 x˙= 1 1−4 −3xBu 2.2 x˙= 2 9−1 −2xBu
2.3 x˙=1 −18 −4 xBu 2.4 x˙=−2 17 −4 xBu
2.5 
x˙=0 2/2 00 −1 20 −2 −1xBu 2.6) x˙=−1 2 0−2 −1 2 /20 0 −3  xBu
2.7) 
x˙=1 2/2 00 −1 20 −2 −1xBu 2.8) x˙=
−1 1 0
0 1 1
0 0 −3xBu
Dicas: em 2.6, -3 é raiz do polinômio característico. Em 2.7, 1 é raiz do polinômio característico. 
Em 2.8, -1 é raiz do polinômio característico.
3) Avalie a estabilidade dos sistemas cujas equações diferenciais são dadas abaixo. Ou seja, 
calcule as raízes do polinômio característico, que são os autovalores do modelo de espaço de 
estado. E depois diga o tipo do sistema quanto à estabilidade.
3.1 d
2 y
dt 2
12 d y
dt
400y=200ut  3.5) d
3 y
dt 3
4 d
2 y
dt 2
20 d y
dt
=u t 
3.2 d
2 y
dt 2
90 d y
dt
900y=900ut  3.6) d
3 y
dt 3
5 d
2 y
dt 2
12 d y
dt
8y=u t 
3.3 d
2 y
dt 2
30 d y
dt
225y=300u t 3.7) d
3 y
dt 3
2 d
2 y
dt 2
−3 d y
dt
−10y=2u t 
 3.4 d
2 y
dt 2
625y=500u t  3.8) d
3 y
dt 3
2 d
2 y
dt 2
−1 d y
dt
−2y=3u t 
Dicas: -1 é raiz do polinômio característico em 3.6. 2 é raiz do polinômio característico em 3.7. -1 é 
raiz do polinômio característico em 3.8.