Aula 6 - Estabilidade

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Universidade Federal do ABC
Primeiro Quadrimestre de 2013 Prof. Andre´ Lu´ıs da Silva
Aula 6
Dia 16 de maio de 2013
Estabilidade
1 Introduc¸a˜o
Nas aulas anteriores, foi estudada a soluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais escritas na forma de espac¸o
de estados. Uma soluc¸a˜o geral foi desenvolvida na aula 4, para sistemas lineares invariantes no
tempo. Alguns exemplos foram calculados, nos quais a soluc¸a˜o geral foi aplicada. Na aula 5, a
soluc¸a˜o da equac¸a˜o de segunda ordem foi estudada com mais detalhes, todas as possibilidades de
comportamento foram avaliadas.
Um ponto comum entre os exemplos da aula 4 e o desenvolvimento da aula 5 e´ a existeˆncia de
func¸o˜es exponenciais decrescentes. Estas exponenciais decrescentes sa˜o sempre verificadas quando
estuda-se o circuito RLC ou o sistema massa mola amortecedor, dada a natureza f´ısica destes
sistemas a traduc¸a˜o deles para as equac¸o˜es diferenciais. No entanto, note que, na aula 5, fez-se
a exigeˆncia de que ζ fosse positivo para que as exponenciais fossem descrescentes no modelo de
segunda ordem na forma padra˜o. Caso isso na˜o fosse satisfeito, as soluc¸o˜es seriam divergentes.
Existe um conceito geral e de alta relevaˆncia por tra´s desta discussa˜o acerca de convergeˆncia
das func¸o˜es exponencias. Este conceito geral e´ a estabilidade. A seguir, uma discussa˜o conceitual
acerca do tema e´ realizada. Feito isso, algumas definic¸o˜es sa˜o lanc¸adas e propriedades e condic¸o˜es
matema´ticas apresentadas.
Considere a ilustrac¸a˜o na figura 1. Representa-se uma esfera sobre treˆs tipos de superf´ıcie:
coˆncava (a), plana (b) e convexa (c). Em todas as situac¸o˜es, ilustra-se o caso de equil´ıbrio e uma
situac¸a˜o de perturbac¸a˜o com respeito ao equil´ıbrio. Na perturbac¸a˜o, considera-se que a esfera
foi colocada estaciona´ria na posic¸a˜o indicada. No caso (a), a posic¸a˜o de perturbac¸a˜o e´ tal que a
esfera inicia um movimento com a tendeˆncia de retornar ao equil´ıbrio. No caso (b), a posic¸a˜o de
perturbac¸a˜o e´ tal que esfera permanece no mesmo lugar e na˜o retorna ao equil´ıbrio. No caso (c),
a posic¸a˜o de perturbac¸a˜o e´ tal que a esfera inicia um movimento que a afasta do equil´ıbrio.
(a) (b) (c)
equilíbrio
equilíbrio
equilíbrio
perturbaçãoperturbaçãoperturbação
Fig. 1: Ilustrac¸a˜o de estabilidade.
Este exemplo simples ilustra de modo conceitual o conceito de estabilidade:
a : Estabilidade: apo´s uma perturbac¸a˜o com respeito ao equil´ıbrio, o estado tende a retornar
para o equil´ıbrio;
1 Introduc¸a˜o 2
b : Estabilidade marginal: apo´s uma perturbac¸a˜o com respeito ao equ´ılibrio, o estado se
comporta de modo indiferente, ou oscila permanentemente ao redor do equil´ıbrio.;
c : Instabilidade: apo´s uma perturbac¸a˜o com respeito ao equil´ıbrio, o estado tende a se
afastar ainda mais do equil´ıbrio.
Na verdade, a definic¸a˜o de estabilidade e´ variada e depende do tipo de aplicac¸a˜o. A definic¸a˜o
acima trata do conceito de estabilidade com respeito ao retorno ao equil´ıbrio. Existe outro
crite´rio que diz respeito a sistemas com entradas forc¸antes externas. Este crite´rio e´ muito usado
para avaliar o comportamento do sistema quando submetido a uma entrada limitada. A definic¸a˜o
matema´tica de “limitada” depende do conceito matema´tico adotado. No entanto, de modo geral,
este crite´rio pode ser escrito simplesmente conforme segue. O nome do mesmo e´ crite´rio de
entrada limitada sa´ıda limitada (ELSL, BIBO em ingleˆs - bounded input bounded output):
• Um sistema e´ BIBO esta´vel se e somente se, para qualquer entrada limitada, a sa´ıda tambe´m
e´ limitada;
• Um sistema e´ BIBO insta´vel se para alguma entrada limitada, a sa´ıda e´ ilimitada.
Os conceitos de BIBO-esta´vel e BIBO-insta´vel sa˜o ilustrados na figura 2. Note que um teste
experimental de estabilidade BIBO pode ser bem dif´ıcil de executar, dada a necessidade de se testar
um grande nu´mero de entradas. Por outro lado, veja que, para verificar a instabilidade pelo crite´rio
BIBO, bastaria encontrar uma entrada limitada para a qual a sa´ıda divergisse. Perceba o porqueˆ de
se utilizar entradas limitadas para testar a estabilidade: se entradas de amplitude ilimitada fossem
usadas, seria dif´ıcil saber se uma divergeˆncia da sa´ıda seria provocada pela amplitude elevada da
entrada, ou por caracter´ıstica de instabilidade do sistema.
Um exemplo pra´tico de sistema BIBO insta´vel e´ um circuito ele´trico do tipo curto circuito, ou
seja, um fio de resisteˆncia muito baixa. Caso uma tensa˜o de amplitude constante e´ aplicada, na
medida que a resisteˆncia tende a zero, a corrente (sa´ıda) tende ao infinito.
Sistema
Qualquer entrada
limitada possível Todas as saídaslimitadas
(BIBO-Estável)
Sistema
(BIBO-Instável)
Pelo menos uma
entrada limitada
Uma saída ilimitada
Fig. 2: Ilustrac¸a˜o de estabilidade pelo crite´rio BIBO.
2 Quantificac¸a˜o da Estabilidade para Sistemas Lineares Invariantes no Tempo 3
2 Quantificac¸a˜o da Estabilidade para Sistemas Lineares Invariantes no
Tempo
Sistemas lineares invariantes no tempo podem ter sua estabilidade avaliada a partir da equac¸a˜o da
resposta completa:
x(t) = eAtx(0) +
∫ t
0
eA(t−τ)Bu(τ)dτ (1)
Lembrando que no modelo de espac¸o de estados a equac¸a˜o de dinaˆmica e´ dada por:
x˙ = Ax + Bu(t), x(0) = x0 (2)
onde x ∈ Rn e´ o vetor de estado, n e´ o nu´mero de varia´veis de estado, u[0, ∞)→ Rm e´ um vetor
com m func¸o˜es forc¸antes de entrada, An×n e´ a matriz de dinaˆmica, B ∈ Rn×m e´ a matriz de ganhos
das entradas e x0 e´ a condic¸a˜o inicial.
E a equac¸a˜o de sa´ıda e´ dada por:
y = Cx + Du (3)
onde y ∈ Rp e´ o vetor de sa´ıda, p e´ o nu´mero de varia´veis de sa´ıda, C ∈ Cp×n e´ a matriz de sa´ıda,
D ∈ Rp×m e´ a matriz de transmissa˜o direta.
2.1 Crite´rio do Retorno ao Equil´ıbrio
Para avaliar a estabilidade segundo o crite´rio do retorno ao equil´ıbrio, e´ necessa´rio verificar qual e´
o ponto de equil´ıbrio do sistema. Um ponto de equil´ıbrio e´ definido como sendo aquele no qual a
derivada do estado e´ nula. Como o crite´rio e´ avaliado para entrada nula, faz-se u = 0 na equac¸a˜o
2:
x˙ = Ax (4)
Igualando a equac¸a˜o acima a zero, obte´m-se:
x˙ = Ax = 0 (5)
Note que, para escolhas gerais da matriz A, a u´nica maneira da equac¸a˜o acima ser satisfeita
e´ para o estado x = 0. Ou seja, x = 0 e´ o ponto de equil´ıbrio de um sistema linear com entrada
nula. Logo, para avaliar a estabilidade pelo crite´rio de retorno ao equil´ıbrio, pode-se considerar
que x0 na equac¸a˜o 1 e´ a perturbac¸a˜o. Fazendo a entrada nula nesta equac¸a˜o, enta˜o se obte´m a
expressa˜o para o comportamento do estado apo´s uma perturbac¸a˜o x0 com respeito ao equil´ıbrio:
x(t) = eAtx(0) (6)
A pergunta crucial a ser respondida e´: em que condic¸o˜es o estado na equac¸a˜o 6 retorna ao
equil´ıbrio x = 0, apo´s um certo per´ıodo de tempo, uma vez ocorrida a perturbac¸a˜o x0? A resposta
e´ dada lembrando da estrutura da matriz de transic¸a˜o de estado:
Φ(t) = Vdiag
(
eλ1t eλ2t . . . eλnt
)
V−1 (7)
onde λ1, λ2, λn sa˜o os autovalores da matriz A e V e´ a matriz formada pelo autovetores unita´rios
associados aos autovalores. Este formato espec´ıfico de matriz e´ va´lido para o caso de autovalores
distintos. Nesta situac¸a˜o, lembre que:
2 Quantificac¸a˜o da Estabilidade para Sistemas Lineares Invariantes no Tempo 4
• Um elemento espec´ıfico da matriz eAt e´ uma combinac¸a˜o linear de exponenciais reais para o
caso de autovalores reais, por exemplo: k1e
λ1t + k2e
λ2t, onde λ1 e λ2 sa˜o dois autovalores da
matriz A;
• Um elemento espec´ıfico da matriz eAt e´ uma combinac¸a˜o linear de exponenciais complexas
para o caso de autovalores complexos conjugados. Isto e´ reduzido a uma combinac¸a˜o linear
de exponenciais multiplicadas por senos com defasagem, por exemplo: Ae<(λ)t sin(ωd + φ),
onde <(λ) e´ a parte real do autovalorcomplexo λ e ωd e φ sa˜o a frequeˆncia natural amortecida
e a fase, as quais dependem das partes real e imagina´ria do autovalor complexo.
Generalizando para o caso de autovalor repetido, um elemento espec´ıfico da matriz eAt associado
aos autovalores repetidos tera´ a forma: k1e
λt + k2te
λt, onde λ e´ um autovalor de multiplicidade 2.
Expresso˜es ana´logas valem para o caso de multiplicidade 3.
No geral, para o caso de qualquer combinac¸a˜o de autovalores, incluindo autovalores repetidos,
um elemento gene´rico da matriz de transic¸a˜o de estado e´ dado por:
eAt =
 φ1,1(t) φ1,2(t) . . . φ1,n(t)... ... ... ...
φn,1(t) φn,2(t) . . . φn,n(t)

φi,j = e
<(λ1)tf i,j1 (t) + e
<(λ2)tf i,j2 (t) + . . . e
<(λn)tf i,jn (t) (8)
onde i, j denota um elemento na linha i e coluna j da matriz eAt. Veja que, para o caso de
ra´ızes reais e distintas, a func¸a˜o f i,jk (t) associada ao autovalor k sera´ simplesmente uma constante,
tambe´m, a parte real <(λk) sera´ igual ao pro´prio autovalor, visto que a parte imagina´ria e´ zero.
Para o caso de autovalores complexos, a func¸a˜o f i,jk (t) associada ao autovalor k sera´ uma seno´ide
com defasagem. Para o caso de ra´ızes reais e repetidas, a func¸a˜o f i,jk (t) associada ao autovalor k
sera´ simplesmente uma constante, ou uma constante multiplicada pelo tempo, tambe´m, a parte
real <(λk) sera´ igual ao pro´prio autovalor, visto que a parte imagina´ria e´ zero.
Em todos os casos acima, veja que o elemento φi,j(t) vai tender a zero sempre que a parte
real de todos os autovalores for menor que zero, pois, neste caso as exponencias tendem a zero.
Isso e´ verdade ate´ mesmo para o caso de ra´ızes repetidas, visto que, no elemento k1e
λt + k2te
λt a
exponencial tende a zero numa taxa maior do que aquela em que o tempo aumenta, desde que λ seja
negativo. Se pelo menos uma parte real for negativa, em qualquer um desses casos, a exponencial
associada vai divergir e o estado na˜o retornara´ ao equil´ıbrio.
Se a parte real e´ zero, por outro lado, no caso de ra´ızes reais e distintas, um elemento gene´rico
sera´ ke0×t = ke0 = k, ou seja, uma constante. Para o caso de ra´ızes complexas conjugadas, um
elemento gene´rico sera´ Ae0×t sin(ωdt+ φ) = A sin(ωdt+ φ), ou seja, uma oscilac¸a˜o com amplitude
constante. Para o caso de ra´ızes repetidas reais e iguais a zero, a resposta sera´ do tipo kte0×t = kt,
ou seja, uma func¸a˜o linear divergente, para 3 ra´ızes nulas e iguais, haveria uma func¸a˜o quadra´tica
do tempo, e assim por diante, todas divergentes. Ou seja, o caso de ra´ızes repetidas na origem
define integradores da condic¸a˜o inicial.
A discussa˜o acima mostra qual e´ a u´nica situac¸a˜o na qual o estado na equac¸a˜o 6 tende a zero
(retorna ao equil´ıbrio) apo´s uma perturbac¸a˜o. Isto ocorre se e somente se a matriz eAt tende a
zero na medida que t tende ao infinito. Mas, isso so´ e´ poss´ıvel no caso de todos os autovalores
possu´ırem parte real negativa. Tal conclusa˜o e´ resumida na seguinte se´rie de resultados.
E1 Um sistema linear invariante no tempo e´ esta´vel com respeito ao retorno ao equil´ıbrio se e
somente se todos os autovalores da matriz de dinaˆmica A possu´ırem parte real negativa;
2 Quantificac¸a˜o da Estabilidade para Sistemas Lineares Invariantes no Tempo 5
E2 Um sistema linear invariante no tempo e´ marginalmente esta´vel com respeito ao retorno
ao equil´ıbrio sempre que a condic¸a˜o E1 e´ va´lida, a menos de alguns autovalores que possuam
parte real igual a zero. Na˜o se consideram autovalores repetidos na origem;
E3 Um sistema linear invariante no tempo e´ insta´vel se pelo menos um autovalor da matriz A
possuir parte real positiva . Ou existirem autovalores repetidos na origem.
A partir de agora, a estabilidade com respeito ao retorno ao equil´ıbrio sera´ chamada apenas de
estabilidade, indicac¸a˜o contra´ria so´ sera´ feita quando se considerar a estabilidade BIBO.
As concluso˜es acima sa˜o resumidas na figura 3. Esta figura representa o plano complexo, onde
cada autovalor e´ representado por um X. Se todos os autovalores esta˜o no semiplano esquerdo, o
sistema e´ esta´vel. Se pelo menos um par de autovalores reais esta´ sobre o eixo imagina´rio, ou um
u´nico esta´ na origem, o sistema e´ marginalmente esta´vel. Se pelo menos um autovalor estiver no
semiplano direito, ou mais de um estiver na origem, o sistema e´ insta´vel.
Plano complexo, onde os autovalores da
matriz de dinâmica A são representados
eixo imaginário
eixo real
Semi-Plano esquerdo:
Estabilidade
Eixo imaginário:
Estabilidade Marginal
Semi-Plano direito:
Instabilidade
autovalor duplo na origem:
instabilidade
Fig. 3: Representac¸a˜o de estabilidade no plano complexo.
2.1.1 Exemplo 1: sistema de primeira ordem.
Seja o sistema de primeira ordem sem entrada externa:
x˙ = ax, x(0) = x0 (9)
A soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial e´:
x(t) = x0e
at (10)
Se a = 0: x(t) = x0e
0×t = x0e0 = x0. Assim, apo´s uma perturbac¸a˜o, o sistema permanecera´
constantemente na mesma posic¸a˜o perturbada, sem retornar ao equil´ıbrio, mas permanecendo a
uma distaˆncia constante da origem. Logo, ele sera´ marginalmente esta´vel.
2 Quantificac¸a˜o da Estabilidade para Sistemas Lineares Invariantes no Tempo 6
Se a > 0: x(t) = x0e
a×t e´ uma func¸a˜o crescente. Logo, a exponencial diverge em func¸a˜o do
tempo. Assim, apo´s uma perturbac¸a˜o, o sistema ira´ se afastar ainda mais da posic¸a˜o perturbada,
sem retornar ao equil´ıbrio. Logo, ele sera´ insta´vel.
Se a < 0: x(t) = x0e
a×t e´ uma func¸a˜o decrescente. Logo, a exponencial tende a zero na
medida que o tempo tende ao infinito. Assim, apo´s uma perturbac¸a˜o, o sistema ira´ progredir
monotonicamente para zero, retornando ao equil´ıbrio no regime permanente. Logo, ele sera´ esta´vel.
2.1.2 Exemplo 2: Sistema de segunda ordem insta´vel
Seja o seguinte modelo de espac¸o de estados:
x˙ = Ax + Bu (11)
A =
[
1 1
0 −1
]
, B =
[
0
1
]
, C =
[
1 0
]
, D = 0 (12)
Os autovalores da matriz A sa˜o λ1 = 1, λ2 = −1. Como um dos autovalores e´ positivo, o
sistema e´ insta´vel. Isto e´ evidenciado na matriz de transic¸a˜o de estado:
eAt =
[
et 1
2
et − 1
2
e−t
0 e−t
]
(13)
A resposta para uma condic¸a˜o inicial x0 = [1 1]
T e´ enta˜o:
x(t) = eAtx0 =
[
et 1
2
et − 1
2
e−t
0 e−t
] [
1
1
]
=
[
3
2
et − 1
2
e−t
e−t
]
(14)
O termo de exponencial crescente na equac¸a˜o acima torna bem claro que o estado aumenta
na medida que o tempo tende ao infinito, afastando-se ainda mais da origem. A figura 4 mostra
este comportamento. Note que a resposta da primeira varia´vel de estado (x1), a qual conte´m o
termo de exponencial crescente, se afasta monotonicamente de zero. Por outro lado, a resposta
da varia´vel de estado x2, que esta´ associada somente a uma exponencial decrescente, converge
monotonicamente para zero. No entanto, devido a divergeˆncia da primeira varia´vel de estado, o
vetor de estado como um todo se afasta do ponto de equil´ıbrio (origem do espac¸o de estados).
2.2 Crite´rio da Entrada Limitada Sa´ıda Limitada (BIBO)
Para avaliar a estabilidade segundo o crite´rio da entrada limitada sa´ıda limitada (BIBO), na
equac¸a˜o 1, faz-se a condic¸a˜o inicial igual a zero:
x(t) =
∫ t
0
eA(t−τ)Bu(τ)dτ (15)
Como se esta´ interessado no comportamento da sa´ıda, e´ necessa´rio substuir x(t) da equac¸a˜o 15
na equac¸a˜o 3, obtendo:
y(t) = C
∫ t
0
eA(t−τ)Bu(τ)dτ + Du(t) (16)
Como se esta´ considerado numa entrada limitada, sera´ adotada a seguinte convenc¸a˜o:
|u(t)| ≤M, ∀t (17)
M = [M1 M2 . . .Mm]
T Mi > 0, Mi <∞, i = 1, 2, . . .m
2 Quantificac¸a˜o da Estabilidade para Sistemas Lineares Invariantes no Tempo 7
0 0.5 1 1.5 2
2
4
6
8
10
tempo − s
v
a
r
ia
ve
l 
x 1
0 0.5 1 1.5 2
0.2
0.4
0.6
0.81
tempo − s
v
a
r
ia
ve
l 
x 2
Fig. 4: Resposta insta´vel de um sistema de segunda ordem. Na˜o ocorre retorno ao equil´ıbrio.
onde |u| = [|u1|, |u2|, . . . |um|]T .
O mo´dulo de cada elemento do vetor u, em qualquer instante de tempo, e´, no ma´ximo, igual
a cada constante positiva e finita contida no vetor M. Ou seja, inferiormente cada func¸a˜o esta´
limitada por −M e, superiormente, por M.
Usando a mesma definic¸a˜o de mo´dulo e aplicando na equac¸a˜o 16, tem-se:
|y(t)| =
∣∣∣∣C ∫ t
0
eA(t−τ)Bu(τ)dτ + Du(t)
∣∣∣∣ (18)
Usando a desigualdade triangular:
|y(t)| ≤
∣∣∣∣C∫ t
0
eA(t−τ)Bu(τ)dτ
∣∣∣∣+ |Du(t)| = |C| ∣∣∣∣∫ t
0
eA(t−τ)Bu(τ)dτ
∣∣∣∣+ |Du(t)|
≤ |C|
∫ t
0
∣∣eA(t−τ)Bu(τ)∣∣ dτ + |Du(t)| = |C|∫ t
0
∣∣eA(t−τ) ||Bu(τ)∣∣ dτ + |Du(t)|
= |C|
∫ t
0
∣∣eA(t−τ) ||B∣∣ |u(τ)| dτ + |D| |u(t)| (19)
Usando a considerac¸a˜o da equac¸a˜o 17:
|y(t)| ≤ |C|
∫ t
0
∣∣eA(t−τ)∣∣ |B| |u(τ)| dτ + |D| |u(t)|
≤ |C|
∫ t
0
∣∣eA(t−τ)∣∣ |B|Mdτ + |D|M = |C|∫ t
0
∣∣eA(t−τ)∣∣ dτ |B|M + |D|M (20)
2 Quantificac¸a˜o da Estabilidade para Sistemas Lineares Invariantes no Tempo 8
Na equac¸a˜o acima, se garante que y(t) e´ limitada para qualquer t, se |y(t)| ≤ N, onde N e´
um vetor de constantes positivas finitas. Note que isto esta´ relacionado a` integral presente em tal
equac¸a˜o, visto que os outros termos ja´ sa˜o finitos por definic¸a˜o. Esta integral e´ avaliada abaixo∫ t
0
∣∣eA(t−τ)∣∣ dτ = ∫ t
0
∣∣eAte−Aτ ∣∣ dτ = ∣∣∣[eAt (−e−AτA−1)]t
0
∣∣∣ = ∣∣−eAt ((e−At − e−A×0)A−1)∣∣
=
∣∣−eAt ((e−At − I)A−1)∣∣ = ∣∣(−eAte−At + eAtI)A−1∣∣ = ∣∣(eAt − I)A−1∣∣ (21)
Note que a equac¸a˜o acima so´ vale quando a matriz A e´ invers´ıvel, ou seja, quando seu determi-
nante e´ diferente de zero. Como o determinante de uma matriz e´ o produto dos seus autovalores,
tal equac¸a˜o so´ vale para o caso de na˜o existeˆncia de autovalores na origem. Tendo isso em mente
e substituindo o resultado na equac¸a˜o 20, obte´m-se:
|y(t)| ≤ |C|
∫ t
0
∣∣eA(t−τ)∣∣ dτ |B|M + |D|M = |C| ∣∣(eAt − I)A−1∣∣ |B|M + |D|M (22)
Na sec¸a˜o 2.1, verificou-se que, quando a matriz de dinaˆmica A possui somente autovalores
com parte real negativa, a matriz de transic¸a˜o de estado eAt tende a zero na medida que o tempo
tende ao infinito, sendo limitada, por conseguinte, por um valor ma´ximo, que pode ser seu valor
no instante t = 0. Por outro lado, quando esta matriz possui pelo menos um autovalor com parte
real positiva, ao menos uma exponencial no interior da matriz sera´ divergente, por conseguinte, a
matriz vai divergir para tempos suficientemente longos. Sendo assim, na equac¸a˜o 22, se garante que
y(t) e´ limitada para qualquer t, quando todos os autovalores possuem parte real negativa. Caso
contra´rio, a resposta da sa´ıda pode divergir. O caso de autovalores sobre o eixo imagina´rio (parte
real nula) e´ um caso degenerado e pode levar a sa´ıda a divergir ou na˜o. Embora esta discussa˜o na˜o
seja uma demonstrac¸a˜o completa para o conceito, pode-se apresentar as seguintes propriedades,
va´lidas para qualquer sistema linear invariante no tempo:
BIBO1 Um sistema linear invariante no tempo e´ esta´vel pelo crite´rio BIBO se e somente se todos os
autovalores da matriz de dinaˆmica A possu´ırem parte real negativa;
BIBO2 Um sistema linear invariante no tempo e´ insta´vel se pelo menos um autovalor da matriz de
dinaˆmica A possuir parte real positiva;
BIBO3 O caso de autovalores sobre o eixo imagina´rio e´ degenerado: para algumas entradas, a sa´ıda e´
limitada, para outras, a sa´ıda e´ ilimitada. Devido a isso, autovalores sobre o eixo imagina´rio
tambe´m definem um sistema BIBO insta´vel.