Aula 5 - Parâmetros Elementares de Desempenho

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Universidade Federal do ABC
Primeiro Quadrimestre de 2013 Prof. Andre´ Lu´ıs da Silva
Aula 5
Dia 14 de maio de 2013
Respostas de Sistemas de Segunda Ordem e Paraˆmetros
Elementares de Desempenho
1 Introduc¸a˜o
Na aula anterior, foi desenvolvida uma expressa˜o fechada para a soluc¸a˜o completa de uma equac¸a˜o
diferencial linear de ordem n, a qual foi representada na forma de um modelo de espac¸o de estados.
A soluc¸a˜o completa envolve a soma da resposta para a condic¸a˜o inicial e a resposta forc¸ada devido
a uma entrada externa.
A aula de agora trata do estudo espec´ıfico dos sistemas de primeira e de segunda ordem, na
resposta para uma entrada externa do tipo degrau unita´rio. Sa˜o apresentadas as expresso˜es gerais
destas respostas, va´lidas para sistemas lineares invariantes no tempo (LIT) de primeira e segunda
ordem quaisquer.
As condic¸o˜es iniciais na˜o sa˜o tratadas, nem outros tipos de entrada. A func¸a˜o degrau unita´rio e´
adotada pois ela serve para ressaltar comportamentos gerais dos sistemas de primeira e de segunda
ordem, no que dizem respeito a` velocidade de resposta, oscilac¸o˜es, amortecimento e erro de re-
gime permanente. Tais paraˆmetros sa˜o ditos paraˆmetros de desempenho e servem para especificar
comportamentos desejados para um sistema de controle.
2 Respostas de Sistemas de Segunda Ordem Lineares Invariantes no
Tempo
Considere um sistema de segunda ordem na forma padra˜o:
d2y
dt2
+ 2ζωn
dy
dt
+ ω2ny = bu(t) (1)
Na equac¸a˜o 1 y e´ uma varia´vel de interesse do sistema, u(t) e´ uma func¸a˜o forc¸ante, que e´
assumida ser um degrau unita´rio, b e´ uma constante, que e´ o ganho da entrada. ζ e ωn sa˜o
constantes que sera˜o devidamente interpretadas a` seguir.
A forma padra˜o da equac¸a˜o diz respeito a` escreveˆ-la segundo as constantes ζ e ωn. Note que
uma equac¸a˜o diferencial qualquer envolvendo y e u pode ser escrita como:
a2
d2y
dt2
+ a1
dy
dt
+ a0y = ku(t) (2)
Comparando as equac¸o˜es 1 e 2, verifica-se que a equac¸a˜o geral sempre pode ser escrita segundo
a forma padra˜o, adotando:
ω2n =
a0
a2
, ζ =
a1
2a2ωn
, b =
k
a2
(3)
Conforme sera´ visto a seguir, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o 1 ou 2 tera´ sentido para qualquer ζ e somente
para ωn > 0.
2 Respostas de Sistemas de Segunda Ordem Lineares Invariantes no Tempo 2
A soluc¸a˜o sera´ apresentada para o caso da forma padra˜o em 1, para isso, primeiro, determina-se
um model de espac¸o de estados, com as definic¸o˜es:
x1 = y (4)
x2 = y˙ (5)
conforme visto nos exemplos 2 e 3 da u´ltima aula, a escolha de varia´veis de estado acima chama-se
varia´veis de fase.
Das definic¸o˜es em 4 e 5, determina-se a equac¸a˜o de estado:
x˙1 = y˙ = x2
x˙2 = y¨ = −2ζωndy
dt
− ω2ny + bu(t)[
x˙1
x˙2
]
=
[
0 1
−ω2n −2ζωn
] [
x1
x2
]
+
[
0
b
]
u(t) (6)
Ou:
x˙ = Ax + Bu(t) (7)
A =
[
0 1
−ω2n −2ζωn
]
(8)
B =
[
0
b
]
(9)
Os autovalores da matriz A sa˜o dados por:
det (λI−A) = 0 (10)∣∣∣∣ λ −1ω2n λ+ 2ζωn
∣∣∣∣ = 0 (11)
A condic¸a˜o 11 leva ao seguinte ca´lculo de raiz de polinoˆmio:
λ2 + 2ζωnλ+ ω
2
n = 0 (12)
Aplicando a fo´rmula de Bhaskara, tem-se que os autovalores sa˜o dados por:
λ =
−2ζωn ±
√
4ζ2ω2n − 4ω2n
2
λ =
−2ζωn ±
√
4ω2n (ζ
2 − 1)
2
λ = −ζωn ± ωn
√
ζ2 − 1 (13)
Na equac¸a˜o 13, quatro possibilidades sa˜o fact´ıveis, as primeiras duas dizem respeito ao sinal de
ζ. Como e´ visto a seguir, ωn e´ uma frequeˆncia e na˜o pode ser negativa. Enta˜o, o sinal de −ζωn
depende do sinal de ζ. Para ζ < 0, −ζωn > 0 e ambos os autovalores determinados pela equac¸a˜o
13 sa˜o positivos, pois ωn
√
ζ2 − 1 < ζωn. Enta˜o, para ζ < 0, os autovalores determinam respostas
temporais divergentes ou insta´veis. Ja´ para ζ > 0 a resposta temporal e´ sempre convergente ou
esta´vel , e os treˆs casos seguintes podem ocorrer.
2 Respostas de Sistemas de Segunda Ordem Lineares Invariantes no Tempo 3
Para ζ > 1, tem-se autovalores reais e distintos:
λ1 = −ζωn + ωn
√
ζ2 − 1, λ2 = −ζωn − ωn
√
ζ2 − 1 (14)
neste caso, a resposta natural (resposta a`s condic¸o˜es iniciais) e´ a soma de duas exponencais de-
crescentes e o sistema e´ dito super-amortecido. A resposta ao degrau unita´rio, para condic¸o˜es
nulas e´ dada na equac¸a˜o 16. Esta equac¸a˜o e´ demonstrada na sec¸a˜o 5.1.
M =
ωn
2
√
ζ2 − 1 (15)
y(t) =
b
ω2n
(
1 +
M
λ1
eλ1t − M
λ2
eλ2t
)
(16)
Para ζ = 1, tem-se autovalores reais e iguais:
λ1 = λ2 = −ζωn (17)
neste caso, a resposta natural e´ uma func¸a˜o linear no tempo multiplicada por uma exponencial
decrescente, somada a` pro´pria func¸a˜o exponencial, e o sistema e´ dito criticamente amortecido.
A resposta ao degrau unita´rio, para condic¸o˜es inicias nulas, e´ dada na equac¸a˜o 18. A tarefa de
obter a demonstrac¸a˜o desta equac¸a˜o e´ deixada como exerc´ıcio, ela pode ser encontrada em livros
de equac¸o˜es diferenciais.
y(t) =
b
ω2n
(
1− (1 + ωnt) e−ωnt
)
(18)
Para 0 ≤ ζ < 1, tem-se autovalores complexos e conjugados:
λ = −ζωn ± ωn
√
ζ2 − 1
λ = −ζωn ± ωn
√
−1(1− ζ2)
λ = −ζωn ± jωn
√
1− ζ2 (19)
onde j =
√−1 e´ a unidade imagina´ria.
A resposta natural e´ constitu´ıda de seno´ides e cosseno´ides amortecidas, ou seja, multiplicadas
por exponenciais decrescentes. neste caso, o sistema e´ dito sub-amortecido. A resposta ao degrau
unita´rio, para condic¸o˜es iniciais nulas, e´ dada na equac¸a˜o 20. A demonstrac¸a˜o desta equac¸a˜o e´
apresentada na sec¸a˜o 5.2.
y(t) =
b
ω2n
(
1− 1√
1− ζ2 e
−t/τ sin(ωdt+ φ)
)
(20)
ωd = ωn
√
1− ζ2 (21)
τ =
1
ζωn
(22)
φ = cos−1 ζ (23)
Note que a resposta e´ uma seno´ide amortecida com fase φ. A fase prove´m de uma combinac¸a˜o
de senos e cossenos. Tambe´m existe uma constante somada, que corresponde ao valor de regime
permanente.
2 Respostas de Sistemas de Segunda Ordem Lineares Invariantes no Tempo 4
Agora, e´ poss´ıvel discutir o significado dos paraˆmetros ζ e ωn, bem como justificar os nomes
das respostas temporais delineadas acima.
Nas equac¸o˜es 16 e 20, ζ esta´ associado ao amortecimento introduzido pelas exponenciais, ou
seja, o qua˜o ra´pido o regime transito´rio e´ dissipado, convergindo para o regime permanente. Essa
constante ζ, por sua natureza, recebe o nome de raza˜o de amortecimento.
Na equac¸a˜o 20, esta´ bem claro que ωd e´ uma frequeˆncia angular. Ela recebe o nome de frequeˆn-
cia natural amortecida, pois e´ determinada pela influeˆncia da raza˜o de amortecimento, via a
equac¸a˜o 21. A constante ωn, por sua vez, e´ chamada de frequeˆncia natural na˜o amortecida, pois
e´ a frequeˆncia angular de oscilac¸a˜o para o caso ζ = 0, ou seja, sem amortecimento. Perceba que
nesse caso as oscilac¸o˜es senoidais possuem amplitude constante.
Em um sistema esta´vel ωn e´ uma frequeˆncia, logo, a mesma na˜o pode ser negativa, justificando
a hipo´tese colocada no in´ıcio da discussa˜o.
Na equac¸a˜o 20, note a diferenc¸a entre 1/τ e ωd. A primeira frequeˆncia e´ o inverso da constante
de tempo τ e esta´ associada a um decaimento exponencial. A segunda esta´ associada a`s oscilac¸o˜es
senoidais.
Agora, quanto ao nome das respostas temporais, perceba que o maior amortecimento esta´
presente na resposta da equac¸a˜o 16. Por outro lado, o menor esta´ associado a` equac¸a˜o 20, a
qual descreve, inclusive, oscilac¸o˜es. Por tal raza˜o, essas respostas recebem o nome de super e sub
amortecidas, respectivamente. O caso criticamente amortecido tem esse nome justamente por ser
uma condic¸a˜o crucial entre estes dois comportamentos.
A figura 1 mostra as respostas determinadas para o caso super-amortecido e tambe´m para a
situac¸a˜o limı´trofe de criticamente amortecido. O tempo foi adimensionalizado por ωn, de modo que
o u´nico paraˆmetro da simulac¸a˜o fosse a raza˜o de amortecimento ζ. Os resultados tambe´mforam
determinados para o caso b = ω2n, o que determina um valor de regime permanente sempre unita´rio.
Note que o efeito de aumentar ζ e´ o de tornar a resposta da varia´vel y mais lenta. O efeito do
paraˆmetro ωn, por sua vez, e´ alterar a escala de tempo do sistema, por exemplo, ωn = 1rad/s faria
o tempo estender-se de 0 a 10 segundos na figura 1; enquanto omegan = 10rad/s faria o tempo
estender-se desde zero ate´ 1 segundo. ζ e´ uma frac¸a˜o de amortecimento pois o seu efeito temporal
e´ sempre dependente de ωn. Isso pode ser interpretado como uma formatac¸a˜o de curvas inserida
por ζ para uma mesma frequeˆncia ωn.
A figura 2 mostra respostas sub amortecidas determinados para diversos valores de ζ. Nova-
mente, assume-se b = ω2n e o tempo e´ adimensionalizado por ωn. Note que o efeito de aumentar
ζ e´ a reduc¸a˜o das oscilac¸o˜es e a diminuic¸a˜o do tempo de convergeˆncia. No entanto, note que isso
provoca uma reduc¸a˜o do tempo em que o primeiro ma´ximo ocorre.
2 Respostas de Sistemas de Segunda Ordem Lineares Invariantes no Tempo 5
0 5 10 15 20
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
y
tω
n
 
 
ζ=1
ζ=1.5
ζ=2
ζ=3
ζ=5
Fig. 1: Respostas determinadas para o caso super amortecido, com tempo adimensionalizado por
ωn. O caso limı´trofe criticamente amortecido tambe´m e´ mostrado.
2 Respostas de Sistemas de Segunda Ordem Lineares Invariantes no Tempo 6
0 5 10 15 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
y
tω
n
 
 
ζ=0.1
ζ=0.2
ζ=0.4
ζ=0.7
ζ=1
Fig. 2: Respostas determinadas para o caso sub amortecido, com tempo adimensionalizado por
ωn. O caso limı´trofe criticamente amortecido tambe´m e´ mostrado.
3 Paraˆmetros de Desempenho Elementares 7
3 Paraˆmetros de Desempenho Elementares
As respostas apresentadas nas figuras 1 e 2 podem ser representadas segundo paraˆmetros quan-
titativos. Para tanto, uma resposta sub amortecida geralmente e´ adotada, por ser aquela que
pronuncia o maior nu´mero de comportamentos. Uma resposta deste tipo e´ apresentada na figura
3.
Fig. 3: Resposta de um sistema de segunda ordem e definic¸a˜o de paraˆmetros de desempenho
elementares.
A figura 3 define os seguintes paraˆmetros:
• Valor final (VF ): Valor para o qual tende, assintoticamente, a resposta;
• Tempo de subida (tr): Tempo que a resposta leva entre a primeira vez que cruza um
determinado limite inferior e a primeira vez que cruza um determinado limite superior. Estes
limites sa˜o geralmente definidos em percentagem do valor final. E´ usual usarem-se os tempos
de subida 10%− 90%, 5%− 95% e 0− 100%;
• Sobressinal (S): Diferenc¸a entre o valor ma´ximo e o valor final da resposta, geralmente
medida como percentagem ou frac¸a˜o do valor final;
• Tempo de pico (tp): Tempo que a resposta leva para atingir o seu valor ma´ximo;
• Frequeˆncia (ωd ou fd) e per´ıodo das oscilac¸o˜es amortecidas (Td): Frequeˆncia (angular
ou linear) e per´ıodo das oscilac¸o˜es amortecidas que a resposta apresenta em torno do valor
final. Estes paraˆmetros so´ ocorrem na resposta sub-amortecida;
• Tempo de estabelecimento (ts): Tempo ao fim do qual a resposta se encontra definiti-
vamente dentro de uma determinada margem em torno do valor final. E´ habitual definir-se
3 Paraˆmetros de Desempenho Elementares 8
a largura dessa margem em percentagem do valor final, e e´ frequente a utilizac¸a˜o de uma
margem de ±5%. Este tempo pode ser indicado como ts(±5%), mas por vezes usa-se sim-
plesmente a forma ts(5%).
Para sistemas de primeira ordem, somente os paraˆmetros VF , tr e ts sa˜o definidos, visto que
os demais esta˜o associados a`s componentes oscilato´rias das respostas, que somente esta˜o presentes
nos sistemas de segunda ordem. Note tambe´m que estes paraˆmetros sa˜o os u´nicos presentes nas
respostas super e criticamente amortecidas dos sistemas de segunda ordem, visto que somente os
sub-amortecidos apresentam componentes oscilato´rias.
Sistemas de ordem superior a dois, podem ou na˜o apresentar todos os aspectos da figura 3,
dependendo da natureza de seus autovalores.
Para os sistemas de primeira ordem, existem fo´rmulas fechadas para os seus paraˆmetros mais
importantes, que sa˜o dadas na tabela 1.
Tab. 1: Primeira ordem
Tempos de subida
tr(10%− 90%) ≈ 2.2τ
tr(5%− 95%) ≈ 2.95τ
Tempo de estabelecimento
ts(±5%) ≈ 3τ
Valor de regime permanente para entrada degrau unita´rio
VF = bτ
Erro de regime permanente para entrada degrau unita´rio
e∞ = 1− VF = 1− bτ
Onde τ e´ a constante de tempo do sistema de primeira ordem. b e´ o ganho da entrada.
O tempo de subida (0%− 100%) e´, naturalmente, infinito.
Para os sistemas de segunda ordem sub-amortecidos, os principais paraˆmetros das respostas
sa˜o apresentadas na tabela 2.
Para determinar as expresso˜es dos principais paraˆmetros da resposta de segunda ordem super
amortecida, e´ realizada uma aproximac¸a˜o para ζ >> 1. Neste caso, considera-se que autovalor λ1
e´ dominante sobre o autovalor λ2, no sentido de que a constante de tempo associada a λ1 e´ muito
maior que aquela associada a λ2. Desta forma, assume-se, com o devido erro, que a constante
de tempo da resposta e´ somente τ = 1/λ1. Isso e´ equivalente a aproximar a resposta de segunda
ordem por uma de primeira. Neste caso, tem-se as relac¸o˜es na tabela 3.
Para os sistemas de segunda ordem criticamente amortecidos, as expresso˜es dos principais
paraˆmetros da resposta sa˜o apresentados na tabela 4.
3 Paraˆmetros de Desempenho Elementares 9
Tab. 2: Segunda ordem, sub-amortecido
Per´ıodo das oscilac¸o˜es amortecidas
Td =
2pi
ωd
Tempo de pico
tp =
Td
2
= pi
ωd
Sobressinal
S = e
−pi ζ√
1−ζ2 = e−pi cotφ
Tempo de subida
tr(0− 100%) = pi−φωd
Tempo de estabelecimento
ts(±5%) ≈ 3τ
Valor de regime permanente para entrada degrau unita´rio
VF = b/ω
2
n
Erro de regime permanente para entrada degrau unita´rio
e∞ = 1− VF = 1− b/ω2n
Tab. 3: Segunda ordem, super-amortecido, simplificac¸a˜o para ζ >> 1
Tempos de subida
tr(10%− 90%) ≈ 2.2τ
tr(5%− 95%) ≈ 2.95τ
Tempo de estabelecimento
ts(±5%) ≈ 3τ
Valor de regime permanente para entrada degrau unita´rio
VF = b/ω
2
n
Erro de regime permanente para entrada degrau unita´rio
e∞ = 1− VF = 1− b/ω2n
Tab. 4: Segunda ordem, criticamente amortecido
Tempos de subida
tr(10%− 90%) ≈ 3.4/ωn
tr(5%− 95%) ≈ 4.4/ωn
Tempo de estabelecimento
ts(±5%) ≈ 4.8/ωn
Valor de regime permanente para entrada degrau unita´rio
VF = b/ω
2
n
Erro de regime permanente para entrada degrau unita´rio
e∞ = 1− VF = 1− b/ω2n
4 Exemplos 10
4 Exemplos
Considere o circuito RLC na figura 4.
+
-v(t)
+ vR - + vL -
+
vC
- 
i R L C
Fig. 4: Circuito RLC se´rie.
Conforme visto no exemplo 2 da aula anterior, a equac¸a˜o diferencial deste circuito e´:
LC
d2vC
dt2
+RC
dvC
dt
+ vC = v(t) (24)
ou:
d2vC
dt2
+
R
L
dvC
dt
+
1
LC
vC =
1
LC
v(t) (25)
Comparando com a equac¸a˜o de segunda ordem na forma padra˜o (equac¸a˜o 1):
ω2n =
1
LC
, →, ωn = 1√
LC
(26)
2ζωn =
R
L
→ 2ζ 1√
LC
=
R
L
, → ζ = R
2L
√
LC, → ζ = R
2
√
C
L
(27)
Note que ωn e ζ sa˜o sempre positivos.
Condic¸a˜o na qual o circuito e´ super-amortecido:
ζ > 1, → R
2
√
C
L
> 1, → R > 2
√
L
C
(28)
note que o amortecimento e´ introduzido pelo resistor. E o fato do circuito ser super amortecido
prove´m do fato do resistor possuir valor superior a um determinado limite.
Condic¸a˜o na qual o circuito e´ criticamente amortecido:
ζ = 1, → R
2
√
C
L
= 1, → R = 2
√
L
C
(29)
este e´ o valor cr´ıtico do resistor para o qual o circuito ainda na˜o apresenta oscilac¸o˜es.
Condic¸a˜o na qual o circuito e´ sub amortecido:
ζ < 1, → R
2
√
C
L
< 1, → R < 2
√
L
C
(30)
para resisteˆncias suficientementepequenas, o circuito e´ oscilato´rio.
Para o caso de circuito sub amortecido:
4 Exemplos 11
Constante de tempo:
τ =
1
ζωn
=
1
R
2
√
C
L
1√
LC
=
1
R
2
√
C√
L
1√
L
√
C
, → τ = 2L
R
(31)
Frequeˆncia natural amortecida:
ωd = ωn
√
1− ζ2 = 1√
LC
√√√√1−(R
2
√
C
L
)2
=
1√
LC
√
1− R
2
4
C
L
=
1√
LC
√
4L−R2C
4L
=
1√
LC2
√
L
√
4L−R2C = 1
2L
√
4L−R2C
C
=
1
2L
√
4L
C
−R2
(32)
note que e equac¸a˜o acima evidencia a necessidade de R ser suficientemente pequeno para a a
frequeˆncia de oscilac¸o˜es existir.
Para o exemplo 2 da aula anterior, R = 25Ω, L = 1H, C = 10−2C, assim:
ωn =
1√
1× 10−2 = 20rad/s
ζ =
25
2
√
10−2
1
=
2, 5
2
= 1.25
b =
1
LC
=
1
1× 10−2 = 100rad/s
2 (33)
como ζ > 1, fica claro que a resposta e´ super-amortecida, como foi visto no exemplo, devido a`
soma de duas exponenciais.
Como ζ na˜o e´ muito maior que um, a expressa˜o anal´ıtica da tabela 3 na˜o e´ suficientemente
va´lida, mesmo assim, usando equac¸o˜es, a constante de tempo dominante e´:
λ1 = −ζωn +
√
ζ2 − 1 = 1, 25× 10 + 10
√
1, 252 − 1 = −5, → τ1 = 1/(−λ1) = 1/5 = 0.2s (34)
assim, pela tabela 3, uma estimativa, na˜o muito apurada, para o tempo de regime permanente,
pelo crite´rio de 5%, e´:
ts(±5%) ≈ 3τ1 = 0, 6s
Da tabela 3 o valor de regime permanente para entrada degrau e´:
VF =
b
ω2n
=
100
102
= 1volt (35)
assim, o erro de regime permanente e´ nulo e a tensa˜o estaciona´ria do capacitor e´ igual a` da fonte.
Isso esta´ coerente com o gra´fico apresentado no exemplo 2 da aula passada.
Para o exemplo 3 da aula anterior, R = 4Ω, L = 1H, C = 10−2C, assim:
ωn =
1√
1× 10−2 = 20rad/s
ζ =
4
2
√
10−2
1
= 0, 2
4 Exemplos 12
como ζ < 1, fica claro que a resposta e´ sub-amortecida, como foi visto no exemplo, devido a`
existeˆncia de uma seno´ide defasada amortecida.
Constante de tempo:
τ =
1
ζωn
=
1
0, 2× 10 = 0, 5s (36)
Frequeˆncia natural amortecida:
ωd = ωn
√
1− ζ2 = 10
√
1− 0, 22 ≈ 9.80rad/s
A tabela 2 fornece as expresso˜es anal´ıticas dos paraˆmetros de desempenho da resposta para
este caso.
Per´ıodo das oscilac¸o˜es amortecidas:
Td =
2pi
ωd
=
2pi
9.80
≈ 0, 64s
Tempo de pico:
tp =
Td
2
≈ 0, 64
2
= 0, 32s
veja que este valor e´ ideˆntico a`quele verificado graficamente no exemplo 3 da aula anterior.
Sobressinal:
S = e
−pi ζ√
1−ζ2 = e
−pi 0,2√
1−0,22 ≈ 0, 527
veja que este valor e´ ideˆntico a`quele verificado graficamente no exemplo 3 da aula anterior.
Tempo de subida:
φ = cos−1(ζ) = cos−1(0.2) ≈ 1.369radtr(0− 100%) = pi − φ
ωd
=
pi − 1.369
9.8
≈ 0.181s
veja que este valor e´ ideˆntico a`quele verificado graficamente no exemplo 3 da aula anterior.
Tempo de estabelecimento:
ts(±5%) ≈ 3τ = 3× 0, 5 = 1, 5s
este valor na˜o e´ ideˆntico a`quele verificado graficamente no exemplo 3 da aula anterior (1,375s),
mas e´ uma aproximac¸a˜o conservadora, ou seja, pessimista, supondo um tempo maior que o real.
Valor de regime permanente para entrada degrau unita´rio:
VF =
b
ω2n
=
100
102
= 1volt
assim, o erro de regime permanente e´ nulo e a tensa˜o estaciona´ria do capacitor e´ igual a` da fonte.
Isso esta´ coerente com o gra´fico apresentado no exemplo 3 da aula passada.
5 Demonstrac¸a˜o das Respostas ao Degrau Unita´rio Gerais 13
5 Demonstrac¸a˜o das Respostas ao Degrau Unita´rio Gerais
Na sec¸a˜o 2, foram apresentadas as soluc¸o˜es temporais para a varia´vel de sa´ıda de um sistema de
segunda ordem escrito na forma padra˜o, quando submetido a uma entrada degrau unita´rio. Foram
apresentados os casos super-amortecido, criticamente amortecido e sub-amortecido. A seguir, sa˜o
demonstradas as soluc¸o˜es dos casos super-amortecido e sub-amortecido, a partir da integral de
convoluc¸a˜o da matriz de transic¸a˜o de estado com a entrada Bu(t).
Lembrando que resposta completa de um sistema LIT e´ dada por:
x(t) = eAtx0 +
∫ t
0
eA(t−τ)Bu(τ)dτ (37)
Para condic¸a˜o inicial nula e entrada degrau unita´rio:
x(t) =
∫ t
0
eA(t−τ)Bdτ (38)
Para o caso da sec¸a˜o 2, as matrizes A e B sa˜o:
A =
[
0 1
−ω2n −2ζωn
]
(39)
B =
[
0
b
]
(40)
O primeiro passo do problema e´ determinar a matriz de transic¸a˜o de estado. Lembre que, no
exemplo 3 da aula anterior, foi determinada uma expressa˜o geral para a matriz de transic¸a˜o de
estado, para o caso de um sistema de segunda ordem, com autovalores distintos λ1 e λ2. No caso do
exemplo 3, foram tratados autovalores complexos, mas lembre que o caso real e´ uma particularidade
do complexo. Esta matriz e´ dada por:
eAt =
1
λ2 − λ1
 λ2eλ1t − λ1eλ2t −eλ1t + eλ2t
λ1λ2e
λ1t − λ1λ2eλ2t −λ1eλ1t + λ2eλ2t
 (41)
Da equac¸a˜o 38, a resposta ao degrau unita´rio do estado e´ enta˜o:
x(t) =
∫ t
0
1
λ2 − λ1
 λ2eλ1(t−τ) − λ1eλ2(t−τ) −eλ1(t−τ) + eλ2(t−τ)
λ1λ2e
λ1(t−τ) − λ1λ2eλ2(t−τ) −λ1eλ1(t−τ) + λ2eλ2(t−τ)
[ 0
b
]
dτ
x(t) =
∫ t
0
1
λ2 − λ1
 b (−eλ1(t−τ) + eλ2(t−τ))
b
(−λ1eλ1(t−τ) + λ2eλ2(t−τ))
 dτ (42)
Como somente a resposta da varia´vel y e´ buscada neste caso (na˜o se esta´ interessado na resposta
do estado completo), somente a primeira linha do vetor na equac¸a˜o 42 interessa, pois a primeira
linha e´ a varia´vel x1(t) e, por definic¸a˜o (equac¸a˜o 4), x1 = y. Enta˜o, extraindo a primeira linha na
equac¸a˜o 42:
y(t) =
b
λ2 − λ1
∫ t
0
(−eλ1(t−τ) + eλ2(t−τ)) dτ (43)
5 Demonstrac¸a˜o das Respostas ao Degrau Unita´rio Gerais 14
A integral acima pode ser desenvolvida algebricamente tanto para o caso real, quanto complexo,
visto que a integral da func¸a˜o exponencial complexa se comporta como a da real. Isto e´ feito a
seguir.
y(t) =
b
λ2 − λ1
∫ t
0
(−eλ1(t−τ) + eλ2(t−τ)) dτ = b
λ2 − λ1
∫ t
0
−eλ1te−λ1τ + eλ2te−λ2τdτ
=
b
λ2 − λ1
(
−eλ1t
∫ t
0
e−λ1τdτ + eλ2t
∫ t
0
e−λ2τdτ
)
=
b
λ2 − λ1
(
−eλ1t
[
1
−λ1 e
−λ1τ
]t
0
+ eλ2t
[
1
−λ2 e
−λ2τ
]t
0
)
=
b
λ2 − λ1
(
eλ1t
λ1
[
e−λ1t − e0]− eλ2t
λ2
[
e−λ2t − e0])
=
b
λ2 − λ1
(
1
λ1
[
1− eλ1t]− 1
λ2
[
1− eλ2t]) = b
λ2 − λ1
(
1
λ1
− 1
λ1
eλ1t − 1
λ2
+
1
λ2
eλ2t
)
y(t) =
b
λ2 − λ1
(
λ2 − λ1
λ1λ2
− 1
λ1
eλ1t +
1
λ2
eλ2t
)
(44)
Quando λ1 e λ2 reais e distintos da equac¸a˜o 14 sa˜o substitu´ıdos na equac¸a˜o 44, tem-se a resposta
super-amortecida da equac¸a˜o 16. Isto e´ desenvolvido na sec¸a˜o 5.1. Por outro lado, Quanto λ1 e
λ2 complexos conjugados da equac¸a˜o 19 sa˜o substitu´ıdos na equac¸a˜o 44, tem-se a resposta sub-
amortecida da equac¸a˜o 20. Isto e´ desenvolvido na sec¸a˜o 5.2.
5.1 Resposta do Sistema Super-Amortecido
Para o caso super-amortecido, da equac¸a˜o 14 λ1 e λ2 sa˜o dados por:
λ1 = −ζωn + ωn
√
ζ2 − 1, λ2 = −ζωn − ωn
√
ζ2 − 1 (45)
Os termos λ2 − λ1 e λ1λ2 no lado direito da equac¸a˜o 44 sa˜o enta˜o:
λ2 − λ1 = −ζωn − ωn
√
ζ2 − 1−
(
−ζωn + ωn
√
ζ2 − 1
)
= −2ωn
√
ζ2 − 1 (46)
λ1λ2 = (−ζωn + ωn
√
ζ2 − 1)(−ζωn − ωn
√
ζ2 − 1)
λ1λ2 = (−ζωn)2 − (ωn
√
ζ2 − 1)2 = ζ2ω2n − (ω2n(ζ2 − 1)) = ζ2ω2n − (ω2nζ2 − ω2n) = ω2n (47)
Substituindo os resultados acima na equac¸a˜o 44, tem-se:
5 Demonstrac¸a˜o das Respostas ao Degrau Unita´rio Gerais 15
y(t) =
b
−2ωn
√
ζ2 − 1
(
−2ωn
√
ζ2 − 1
ω2n
− 1
λ1
eλ1t +
1
λ2
eλ2t
)
y(t) =
b
1
(
−2ωn
√
ζ2 − 1
−2ωn
√
ζ2 − 1ω2n
− 1−2ωn
√
ζ2 − 1λ1
eλ1t +
1
−2ωn
√
ζ2 − 1λ2
eλ2t
)
y(t) =
b
1
(
1
ω2n
− 1−2ωn
√
ζ2 − 1λ1
eλ1t +
1
−2ωn
√
ζ2 − 1λ2
eλ2t
)
y(t) =
b
ω2n
(
1
1
− ω
2
n
−2ωn
√
ζ2 − 1λ1
eλ1t +
ω2n
−2ωn
√
ζ2− 1λ2
eλ2t
)
y(t) =
b
ω2n
(
1 +
ωn
2
√
ζ2 − 1λ1
eλ1t − ωn
2
√
ζ2 − 1λ2
eλ2t
)
(48)
Define-se a constante M :
M =
ωn
2
√
ζ2 − 1 (49)
A equac¸a˜o 48 e´ enta˜o escrita como:
y(t) =
b
ω2n
(
1 +
M
λ1
eλ1t − M
λ2
eλ2t
)
(50)
Veja que a soluc¸a˜o super-amortecida y(t) dada pelas equac¸o˜es 49 e 50 e´ ideˆntica a`quela apre-
sentada nas equac¸o˜es 15 e 16. Assim, a demonstrac¸a˜o esta´ completa.
5.2 Resposta do Sistema Sub-Amortecido
Para o caso sub-amortecido, da equac¸a˜o 19, λ1 e λ2 sa˜o dados por:
λ = −ζωn ± jωn
√
1− ζ2 (51)
Das definic¸o˜es de τ = 1/(ζωn) (constante de tempo) e ωd = ωn
√
1− ζ2 (frequeˆncia natural
amortecida), os autovalores complexos conjugados sa˜o dados por:
λ = −1/τ ± jωd, λ1 = −1/τ + jωd, λ2 = −1/τ − jωd (52)
Os termos λ2 − λ1 e λ1λ2 no lado direito da equac¸a˜o 44 sa˜o enta˜o:
λ2 − λ1 = −1/τ − jωd − (−1/τ + jωd) = −2jωd (53)
λ1λ2 = (−1/τ + jωd)(−1/τ − jωd) = (−1/τ)2 − (jωd)2 = 1/τ 2 − (−1ω2d) = (1/τ)2 + ω2d
λ1λ2 = (ζωn)
2 + (ωn
√
1− ζ2)2 = ζ2ω2n + ω2n(1− ζ2) = ζ2ω2n + ω2n − ζ2ω2n = ω2n (54)
5 Demonstrac¸a˜o das Respostas ao Degrau Unita´rio Gerais 16
As exponenciais complexas sa˜o calculadas abaixo:
eλ1t = e(−1/τ+jωd)t = e−t/τej(ωdt) = e−t/τ (cos(ωdt) + j sin(ωdt))
1
λ1
eλ1t =
e−t/τ
λ1
(cos(ωdt) + j sin(ωdt)) =
e−t/τλ2
λ1λ2
(cos(ωdt) + j sin(ωdt))
=
e−t/τλ2
ω2n
(cos(ωdt) + j sin(ωdt)) =
e−t/τ
ω2n
λ2(cos(ωdt) + j sin(ωdt))
=
e−t/τ
ω2n
(−1/τ − jωd)(cos(ωdt) + j sin(ωdt))
=
e−t/τ
ω2n
(−(1/τ) cos(ωdt)− jωd cos(ωdt)− j(1/τ) sin(ωdt)− jωdj sin(ωdt))
1
λ1
eλ1t =
e−t/τ
ω2n
(−(1/τ) cos(ωdt)− jωd cos(ωdt)− j(1/τ) sin(ωdt) + ωd sin(ωdt)) (55)
Segunda exponencial:
eλ2t = e(−1/τ−jωd)t = e−t/τej(−ωdt) = e−t/τ (cos(−ωdt) + j sin(−ωdt))
eλ2t = e(−1/τ−jωd)t = e−t/τej(−ωdt) = e−t/τ (cos(ωdt)− j sin(ωdt))
1
λ2
eλ2t =
e−t/τ
λ2
(cos(ωdt)− j sin(ωdt)) = e
−t/τλ1
λ1λ2
(cos(ωdt)− j sin(ωdt))
=
e−t/τλ1
ω2n
(cos(ωdt)− j sin(ωdt)) = e
−t/τ
ω2n
λ1(cos(ωdt)− j sin(ωdt))
=
e−t/τ
ω2n
(−1/τ + jωd)(cos(ωdt)− j sin(ωdt))
=
e−t/τ
ω2n
(−(1/τ) cos(ωdt) + jωd cos(ωdt) + j(1/τ) sin(ωdt)− jωdj sin(ωdt))
1
λ2
eλ2t =
e−t/τ
ω2n
(−(1/τ) cos(ωdt) + jωd cos(ωdt) + j(1/τ) sin(ωdt) + ωd sin(ωdt)) (56)
5 Demonstrac¸a˜o das Respostas ao Degrau Unita´rio Gerais 17
Substituindo os resultados anteriores na equac¸a˜o 44 obte´m-se
y(t) =
b
λ2 − λ1
(
λ2 − λ1
λ1λ2
− 1
λ1
eλ1t +
1
λ2
eλ2t
)
=
b
−2jωd
[−2jωd
ω2n
− e
−t/τ
ω2n
(−(1/τ) cos(ωdt)− jωd cos(ωdt)− j(1/τ) sin(ωdt) + ωd sin(ωdt))+
e−t/τ
ω2n
(−(1/τ) cos(ωdt) + jωd cos(ωdt) + j(1/τ) sin(ωdt) + ωd sin(ωdt))
]
=
b
−2jωd
[−2jωd
ω2n
+
e−t/τ
ω2n
((1/τ) cos(ωdt) + jωd cos(ωdt) + j(1/τ) sin(ωdt)− ωd sin(ωdt)
−(1/τ) cos(ωdt) + jωd cos(ωdt) + j(1/τ) sin(ωdt) + ωd sin(ωdt))]
=
b
−2jωd
[−2jωd
ω2n
+
e−t/τ
ω2n
(2jωd cos(ωdt) + 2j(1/τ) sin(ωdt))
]
=
b
1
[ −2jωd
−2jωd(ω2n)
+
e−t/τ
ω2n
1
−2jωd (2jωd cos(ωdt) + 2j(1/τ) sin(ωdt))
]
=
b
1
[
1
ω2n
− e
−t/τ
ω2n
1
ωd
(ωd cos(ωdt) + (1/τ) sin(ωdt))
]
=
b
ω2n
[
1− e
−t/τ
ωd
(ωd cos(ωdt) + (1/τ) sin(ωdt))
]
(57)
Enta˜o, a resposta ao degrau unita´rio da varia´vel de sa´ıda e´ dada por:
y(t) =
b
ω2n
[
1− e−t/τ
(
cos(ωdt) +
(1/τ)
ωd
sin(ωdt)
)]
(58)
Note que a resposta e´ dada por uma constante somada a` uma combinac¸a˜o de seno e cosseno
amortecidas por uma exponencial. Essa combinac¸a˜o de seno e cosseno pode ser escrita por uma
seno´ide defasada usando as equac¸o˜es abaixo, que ja´ foram adotadas no exemplo 3 da aula anterior.
a cos(θ) + b sin(θ) = A sin(θ + φ), A =
√
a2 + b2, φ = tan−1
(a
b
)
ou φ = cos−1
(
b
A
)
(59)
Para o caso em questa˜o:
a = 1, b =
(1/τ)
ωd
=
ζωn
ωn
√
1− ζ2 =
ζ√
1− ζ2
A =
√√√√12 +( ζ√
1− ζ2
)2
=
√
1 +
ζ2
1− ζ2 =
√
1− ζ2 + ζ2
1− ζ2 =
√
1
1− ζ2 , →
A =
1√
1− ζ2 (60)
φ = cos−1
 ζ√1−ζ2
1√
1−ζ2
→ φ = cos−1 (ζ) (61)
5 Demonstrac¸a˜o das Respostas ao Degrau Unita´rio Gerais 18
Com os resultados das equac¸o˜es 60 e 61, a soma de seno e cosseno na equac¸a˜o 58 e´ escrita
como:
cos(ωdt) +
(1/τ)
ωd
sin(ωdt) =
1√
1− ζ2 sin(ωdt+ φ) (62)
Enta˜o, a resposta ao degrau unita´rio do sistema sub-amortecido e´ escrita como:
y(t) =
b
ω2n
[
1− 1√
1− ζ2 e
−t/τ sin(ωdt+ φ)
]
(63)
Este resultado e´ ideˆntico a`quele dado nas equac¸o˜es 20-23. Enta˜o, a demonstrac¸a˜o esta´ completa.