Aula 9 - Controle em Malha Fechada e PID

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Universidade Federal do ABC
Primeiro Quadrimestre de 2013
Prof. Andre´ Lu´ıs da Silva
Aula 9
Dia 28 de maio de 2013
Controle em Malha Fechada - Controlador PID
1 Introduc¸a˜o
Na aula 7, o processo de controlar um sistema foi ilustrado com um exemplo: a obtenc¸a˜o de um
aˆngulo de rotac¸a˜o desejado em um motor de corrente cont´ınua. Isto foi desenvolvido usando um tipo
de controle chamado controle em malha aberta. Neste tipo de situac¸a˜o, uma func¸a˜o de entrada (o
controle) e´ calculada antes da operac¸a˜o do sistema e aplicada de modo a obter o comportamento
esperado. Quando isto e´ feito, erros podem ocorrer devido a variac¸o˜es dos paraˆmetros usados
no ca´lculo do modelo, presenc¸a de perturbac¸o˜es adicionais, ou mesmo fenoˆmenos dinaˆmicos na˜o
modelados.
Na aula 8, por outro lado, foi apresentado um exemplo de controle de motor de corrente
cont´ınua, em laborato´rio, usando medidas de sensores. Neste caso, os sensores realizam a inspec¸a˜o
de varia´veis de interesse, este dado, por sua vez, e´ usado para calcular o controle e corrigir o
comportamento, de modo a obter uma resposta desejada. Este tipo de procedimento e´ dito controle
de malha fechada, onde os dados da sa´ıda do sistema sa˜o usados para calcular a pro´pria entrada e
corrigir o comportamento.
Nesta aula, o controle em malha fechada sera´ apresentado numa de suas formas mais elemen-
tares: o controle proporcional integral derivativo (PID). Para tanto, cada um dos elementos desse
controle sera´ apresentado em ordem crescente, do mais simples, ao mais completo.
2 Controle Proporcional
O controle proporcional e´ um dos tipos de controle mais elementares. Para apresenta´-lo, sera´
assumido um sistema linear invariante no tempo com uma entrada e uma sa´ıda:
x˙ = Ax+Bu(t) (1)
y = Cx+Du(t) (2)
Assuma o problema da sa´ıda y(t) acompanhar uma entrada de refereˆncia r(t). Ou seja, se
deseja que o comportamento de y(t) se aproxime do comportamento de r(t). Nesta situac¸a˜o, se
define a varia´vel de erro:
e(t) = r(t)− y(t) (3)
O controle proporcional e´ definido simplesmente como uma constante K multiplicada pelo erro:
u(t) = Ke(t) (4)
Este controle pode ser representado pelo diagrama de blocos na figura 1. Fisicamente, o fluxo
de informac¸a˜o ocorre da seguinte maneira: a sa´ıda y(t) e´ medida por um sensor adequado. Ela e´
2 Controle Proporcional 2
transmitida para um comparador que calcula o erro e(t) a partir da refereˆncia r(t) fornecida pelo
usua´rio. Este erro e´ multiplicado por um ganho, gerando o controle u(t), o qual e´ aplicado no
sistema dinaˆmico. Este processo, que envolve a gerac¸a˜o de uma entrada usando como informac¸a˜o
a medida de uma sa´ıda e´ chamado de realimentac¸a˜o, ou malha de retorno. E´ esta realimentac¸a˜o
que torna poss´ıvel gerar o controle automaticamente, de modo a corrigir o comportante atual da
sa´ıda.
d x = Ax+Bu
dt
y=Cx+Du
y(t)u(t)Ke(t)+-r(t)
Realimentação
Sistema Dinâmico
SaídaControleErroReferência
Ganho
Fig. 1: Diagrama do controle proporcional.
Intuitivamente, o funcionamento do controle proporcional pode ser entendido da seguinte ma-
neira, assumindo K > 0:
• Se y(t) < r(t), enta˜o e(t) > 0 e, por conseguinte u(t) > 0. Nesta situac¸a˜o, espera-se que
o controle positivo u(t) provoque uma “acelerac¸a˜o” do sistema, de modo a aumentar y(t) e
forc¸ar o mesmo se aproximar de r(t);
• Se y(t) > r(t), enta˜o e(t) < 0 e, por conseguinte u(t) < 0. Neste caso, espera-se que o controle
negativo u(t) povoque uma “frenagem” do sistema de modo a reduzir y(t), aproximando-o
novamente de r(t).
Para entender formalmente qual e´ o efeito do controle proporcional em um sistema, e´ necessa´rio
restringir o tipo de entrada e o tipo de sistema. Soluc¸o˜es gerais para sistemas de ordem quaisquer,
ou entradas quaisquer, sa˜o dif´ıcies de encontrar. Por outro lado, existe um tipo de entrada e um
tipo de sistema bastante u´teis na pra´tica e que servem para introduzir toda uma se´rie de conceitos.
Este sistema e´ o linear de segunda ordem com coeficientes constantes, a entrada de refereˆncia e´ o
degrau unita´rio. A seguir, a avaliac¸a˜o do controle proporcional sera´ realizada para esta combinac¸a˜o.
Para isto, considere a equac¸a˜o diferencial na forma padra˜o:
d2y
dt2
+ 2ζωn
dy
dt
+ ω2ny = bu(t) (5)
Dada a refereˆncia r(t), o erro e´:
e(t) = r(t)− y(t) (6)
O controle proporcional e´ enta˜o:
u(t) = Ke(t) = K(r(t)− y(t)) (7)
Substituindo o controle na equac¸a˜o diferencial, tem-se:
d2y
dt2
+ 2ζωn
dy
dt
+ ω2ny = bK(r(t)− y(t)) (8)
3 Controle Derivativo 3
Agrupando do lado esquerdo da equac¸a˜o tudo que envolve y(t), obte´m-se:
d2y
dt2
+ 2ζωn
dy
dt
+ (ω2n + bK)y = bKr(t) (9)
A equac¸a˜o acima e´ uma nova equac¸a˜o de segunda ordem, que na forma padra˜o e´:
d2y
dt2
+ 2ζ ′ω′n
dy
dt
+ ω′2n y = b
′r(t) (10)
2ζ ′ω′n = 2ζωn, ω
′2
n = ω
2
n + bK, b
′ = bK (11)
Este resultado pode ser interpretado da seguinte maneira:
1: O sistema possui uma nova entrada, que agora e´ a refereˆncia r(t);
2: O novo ganho da entrada agora e´ b′ = bK. Assim sendo, o controle modifica as propriedades
associadas a este paraˆmetro, que sa˜o o valor de regime permanente da sa´ıda e o erro de
regime permanente;
3: O controle provoca o surgimento de uma nova frequeˆncia natural na˜o amortecida dada pela
relac¸a˜o ω′2n = ω
2
n + bK. Assim, sendo, o controle altera as varia´veis associadas a este paraˆ-
metro, tais como a constante de tempo, o tempo de pico e o tempo de regime permanente;
4: Como um efeito indireto da variac¸a˜o da frequeˆncia natural na˜o amortecida, ocorre uma
variac¸a˜o do amortecimento. Um aumento de ωn causa uma reduc¸a˜o indesejada de ζ.
Note algo muito importante associado ao controle com realimentac¸a˜o, que sera´ ainda mais
ressaltado na sec¸a˜o seguinte: a alterac¸a˜o da raza˜o de amortecimento provoca interfereˆncia sobre a
estabilidade do sistema. Assim, este controle pode estabilizar um sistema insta´vel , ou
mesmo o contra´rio, ou seja, tornar insta´vel algo que ja´ era esta´vel.
3 Controle Derivativo
Note que o controle proporcional pode alterar indiretamente o amortecimento do sistema de se-
gunda ordem, a partir de ωn. Mas um aumento de ωn pode provocar um reduc¸a˜o indesejada de
ζ, aumentando, assim, o sobressinal, e podendo prejudicar a estabilidade. Uma forma de resolver
isso e´ adicionando uma parcela derivativa na lei de controle proporcional, o controle obtido e´ dito
proporcional derivativo (PD):
u(t) = Kpe(t) +Kd
de
dt
= Kp(r(t)− y(t)) +Kd d
dt
(r(t)− y(t)) (12)
onde Kp e´ o ganho da parcela proporcional e Kd e´ o ganho da parcela derivativa. Note que agora
e´ necessa´rio medir ou calcular a derivada da sa´ıda y.
Inserindo o controle proporcional derivativo na equac¸a˜o diferencial, obte´m-se:
d2y
dt2
+ 2ζωn
dy
dt
+ ω2ny = b
(
Kp(r(t)− y(t)) +Kd d
dt
(r(t)− y(t))
)
(13)
Agrupando do lado esquerdo todos os termos contendo a varia´vel y, obte´m-se:
d2y
dt2
+ (2ζωn + bKd)
dy
dt
+ (ω2n + bKp)y = bKpr(t) + bKd
d
dt
r(t) (14)
3 Controle Derivativo 4
Como a entrada de refereˆncia degrau unita´rio e´ aquela que esta´ sendo considerada, tem-se que
dr/dt = 0, enta˜o a equac¸a˜o acima se torna:
d2y
dt2
+ (2ζωn + bKd)
dy
dt
+ (ω2n + bKp)y = bKpr(t) (15)
Note que, mais uma vez, a equac¸a˜o acima e´ uma nova equac¸a˜o de segunda ordem, ela pode ser
reescrita como segue:
d2y
dt2
+ 2ζ ′ω′n
dy
dt
+ ω′2n y = bKpr(t) (16)
2ζ ′ω′n = 2ζωn + bKd, ω
′2
n = ω
2
n + bKp, b
′ = bKp (17)
A nova equac¸a˜o pode ser interpretada de forma ana´loga a` equac¸a˜o 10, no entanto, com a adic¸a˜o
de um termo que altera diretamente o amortecimento:
1: Mais uma vez, o sistema possui uma nova entrada, que ainda e´ a refereˆncia r(t);
2: O novo ganho da entradae´ b′ = bKp, associado a` parcela proporcional. Assim sendo, a
parcela proporcional modifica as propriedas associadas a este paraˆmetro, que sa˜o o valor de
regime permanente da sa´ıda e o erro de regime permanente;
3: A parcela de controle proporcional provoca o surgimento da nova frequeˆncia natural na˜o
amortecida dada pela relac¸a˜o ω′n =
√
ω2n + bKp. Assim, sendo, a parcela proporcional altera
as varia´veis associadas a este paraˆmetro, tais como a constante de tempo, o tempo de pico e
o tempo de regime permanente;
4: A nova parcela de controle, a derivativa, gera uma alterac¸a˜o da raza˜o de amortecimento ζ,
dada por ζ ′ = (2ζωn + bKd)/(2ω′n). Esta nova raza˜o de amortecimento altera os paraˆmetros
associados a ela, tais como o sobressinal.
3.1 Exemplo 1
Para o sistema de segunda ordem abaixo:
d2y
dt2
+ 12
dy
dt
+ 400y = 200u(t)
a) Determine o sobressinal na resposta ao degrau e a constante de tempo;
b) Determine ω′n e ζ
′ desejados para obter sobressinal com 1/4 do valor original e constante de
tempo com 1/5 do valor original;
c) Determine os ganhos Kp e Kd de um controlador proporcional derivativo que satisfaz os
objetivos do item b);
d) Determine o erro de regime permanente para a entrada degrau unita´rio, no sistema com
controlador proporcional derivativo.
3 Controle Derivativo 5
a) Por inspec¸a˜o, os paraˆmetros do modelo de segunda ordem padra˜o sa˜o obtidos:
b = 200
ω2n = 400, ωn =
√
400, ωn = 20 rad/s
2ζωn = 12, ζ =
12
2ωn
=
12
2× 20 , ζ = 0, 3
O sobressinal e a constante de tempo sa˜o enta˜o:
Mp = e
−pi ζ√
1−ζ2 = e
−pi 0,3√
1−0,32 , Mp ≈ 0, 37, ou Mp = 37%
τ =
1
ζωn
=
1
0, 3× 20 , τ =
1
6
s
b) O sobressinal e a constante de tempo desejados sa˜o obtidos a partir dos resultados do item
a):
M ′p =
Mp
4
=
0, 37
4
, Mp = 0, 0925
τ ′ =
τ
5
=
1/6
5
, τ ′ =
1
30
s
A raza˜o de amortecimento necessa´ria para obter o sobressinal desejado pode ser calculada pela
fo´rmula do sobressinal:
M ′p = e
−pi ζ′√
1−ζ′2
e´ necessa´rio resolver essa equac¸a˜o em termos de ζ ′, por manipulac¸o˜es alge´bricas, obte´m-se:
ζ ′ =
|lnM ′p|√
(lnM ′p)2 + pi2
onde substituindo o valor do sobressinal desejado se obte´m a nova raza˜o de amortecimento:
ζ ′ =
|ln0, 0925|√
(ln0, 0925)2 + pi2
, ζ ′ ≈ 0.604
A nova frequeˆncia natural na˜o amortecida e´ dada pela fo´rmula da constante de tempo:
τ ′ =
1
ζ ′ω′n
, ω′n =
1
ζ ′τ ′
=
1
0, 604× 1/30 , ω
′
n ≈ 49, 67 rad/s
c) O ganho da parcela proporcional do controlador e´ obtido pelo respectivo resultado na equac¸a˜o
17:
Kp =
ω′2n − ω2n
b
=
49, 672 − 202
200
, Kp = 10, 3372
O ganho da parcela derivativa do controlador e´ obtido pelo respectivo resultado na equac¸a˜o 17:
Kd =
2ζ ′ω′n − 2ζωn
b
=
2× 0, 604× 49, 67− 2× 0, 3× 20
200
, Kd = 0, 24
3 Controle Derivativo 6
d) O ganho da entrada no sistema controlado e´ dado pelo respectivo resultado na equac¸a˜o 17:
b′ = Kpb = 10, 3372× 200, b′ = 2067, 4
O valor de regime estaciona´rio de y, no sistema controlado, e´ obtido igualando-se todas as
derivadas a zero na equac¸a˜o diferencial:
d2y
dt2
+ 2ζ ′ω′n
dy
dt
+ ω′2n y = bKpr(t)
de onde obte´m-se:
ω′2n yss = b
′rss
lembrando que, para o degrau unita´rio: rss = 1, enta˜o:
yss =
b′rss
ω′2n
=
2067× 1
49, 672
, yss = 0, 8380
O erro de regime permanente, com respeito a entrada degrau unita´rio, e´ enta˜o:
ess = rss − yss = 1− 0, 8380, ess = 0, 162, ou ess = 16, 2%
Ou seja, o controlador proporcional e´ capaz de determinar uma constante de tempo e um
sobressinal desejados. No entanto, na˜o e´ capaz de fazer a sa´ıda atingir perfeitamente a refereˆncia
em estado estaciona´rio. De fato, o erro entre a refereˆncia e a sa´ıda estaciona´ria e´ de 16, 2%.
Os resultados deste exemplo sa˜o sintetizados na figura 2. A figura 3 tambe´m mostra os resul-
tados do sistema sem o controle PD. Na figura 2, a refereˆncia e´ o degrau unita´rio e o controle e´
gerado automaticamente pela lei de controle PD, veja que o formato do controle automa´tico e´ uma
exponencial convergente. Na figura 3, na˜o e´ usado o controle PD. Neste caso, o sinal de controle
u(t) e´ o pro´prio degrau unita´rio, lembrando da aula 7, este e´ um controle em malha aberta.
No caso sem controle PD da figura 3, o valor de regime permanente da sa´ıda e´ yss = 0.5, o que
corresponde a um erro ess = 0.5 ou 50%. O tempo de pico e´ de tp = 0.166 s e o tempo de regime
permanente pelo crite´rio 5% e´ tss = 0.507 s, ou seja tss = 3τ = 3 × 1/6 = 0, 5 s, que corresponde
ao valor calculado no ı´tem a). O sobressinal e´ Mp = (0.6861 − 0, 5)/0, 5 = 0, 37, que corresponde
ao valor calculado no ı´tem a).
No caso com controle PD da figura 2, o valor de regime permanente da sa´ıda e´ yss = 0.8308, o
que corresponde a um erro ess = 0.1692 ou 16, 92%, que corresponde, a menos de pequenos erros
de arredondamento, ao valor calculado no ı´tem d). O tempo de pico e´ de tp = 0.07869 s e o tempo
de regime permanente pelo crite´rio 5% e´ tss = 0.1084 s, ou seja tss = 3τ
′ = 3 × 1/30 = 0, 1 s,
que corresponde, a menos de pequeno erro de arredondamento, ao valor calculado no ı´tem b). O
sobressinal e´ Mp = (0, 9154 − 0, 8308)/0, 8308 = 0, 1018, que corresponde, a menos de erros de
arredondamento, ao valor calculado no ı´tem b).
3 Controle Derivativo 7
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
0
2
4
6
8
10
tempo − [s]
e
n
t
r
a
da
 d
e 
co
nt
ro
le
 u
(t
)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
0
0.2
0.4
0.6
0.8 X: 0.1609
Y: 0.8308
tempo − [s]
s
a
id
a 
do
 s
is
te
ma
 y
(t
) X: 0.07869Y: 0.9154 X: 0.1084
Y: 0.8735
Fig. 2: Resposta do sistema determinada pelo controle PD.
3 Controle Derivativo 8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tempo − [s]
e
n
t
r
a
da
 d
e 
co
nt
ro
le
 u
(t
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
X: 0.1661
Y: 0.6861
tempo − [s]
s
a
id
a 
do
 s
is
te
ma
 y
(t
)
X: 0.9005
Y: 0.5009
X: 0.5071
Y: 0.525
Fig. 3: Resposta do sistema determinada por um degrau unita´rio sem controle PD.
4 Controle Integral 9
4 Controle Integral
No exemplo da sec¸a˜o anterior, verificou-se um erro de regime permanente entre a refereˆncia degrau
unita´rio e a sa´ıda do sistema. Uma forma de corrigir este erro e´ aumentando o termo proporcional
do controle. No entanto, isso tambe´m alteraria as outras caracter´ısticas, tal como o tempo de
regime permanente.
Uma terceira parcela de controle e´ responsa´vel por corrigir este problema. Trata-se da ac¸a˜o de
controle integral. Ela e´ constitu´ıda pela integral do erro multiplicada por uma constante. Quando
agregada ao controle proporcional derivativo, tem-se origem o controle: proporcional integral deri-
vativo, conhecido pela sigla PID:
u(t) = Kpe(t) +Kd
de
dt
+Ki
∫ t
0
e(τ)dτ (18)
onde Ki e´ o ganho integral.
Para compreender o significado do controle integral, insere-se o controle da equac¸a˜o 18 na
equac¸a˜o 5, lembrando que esta´ sendo considerado o caso particular da entrada de refereˆncia degrau
unita´rio:
d2y
dt2
+ 2ζωn
dy
dt
+ ω2ny = b
(
Kpe(t) +Kd
de
dt
+Ki
∫ t
0
e(τ)dτ
)
= b
(
Kp (r(t)− y) +Kd d
dt
(r(t)− y) +Ki
∫ t
0
e(τ)dτ
)
= bKpr(t)− bKpy −Kddy
dt
+ bKi
∫ t
0
e(τ)dτ (19)
Agrupando todos os termos envolvendo y do mesmo lado da equac¸a˜o:
d2y
dt2
+ (2ζωn + bKd)
dy
dt
+ (ω2n + bKp)y = bKpr(t) + bKi
∫ t
0
e(τ)dτ (20)
Note que o lado esquerdo da equac¸a˜o acima e´ ideˆntico a`quele na equac¸a˜o 16, o qual corresponde
ao controle PD. No entanto, note a presenc¸ada integral no lado direito, a qual tambe´m depende
de y. Este tipo de sistema e´ chamado de ı´ntegro-diferencial, mas pode ser reduzido a um sistema
de equac¸o˜es diferencias pela definic¸a˜o da nova varia´vel de estado:
d�
dt
= e(t), �(0) = 0 (21)
Note que a varia´vel de estado �, definida desta maneira, e´ a pro´pria integral, pois, integrando
ambos os lados da equac¸a˜o acima:∫ t
0
d�
dτ
dτ =
∫ t
0
e(τ)dτ, �(t)− �(0) =
∫ t
0
e(τ)dτ, �(t)− 0 =
∫ t
0
e(τ)dτ, �(t) =
∫ t
0
e(τ)dτ (22)
Enta˜o, a equac¸a˜o 20 pode ser reescrita segundo o seguinte sistema de equac¸o˜es diferenciais:
d2y
dt2
+ (2ζωn + bKd)
dy
dt
+ (ω2n + bKp)y = bKpr(t) + bKi� (23)
d�
dt
= r(t)− y(t) (24)
4 Controle Integral 10
O sistema de equac¸o˜es acima e´ de terceira ordem, ou seja, a integral insere uma varia´vel de
estado a mais no sistema. Deste modo, as interpretac¸o˜es sobre os sistemas de segunda ordem
na˜o podem mais ser usadas, nem as fo´rmulas da sec¸a˜o anterior. No entanto, para realizar um
projeto, se costuma, primeiro, adotar as fo´rmulas da sec¸a˜o anterior e projetar somente o controle
PD. Depois disso, insere-se um integrador com o menor ganho Ki poss´ıvel, de modo a provocar o
menor impacto de terceira ordem e alterar pouco a resposta anterior.
Mas, enta˜o? Qual e´ o benef´ıcio de se inserir o integrador? Supondo que o sistema e´ esta´vel,
existe um regime permanente no qual todas as derivadas sa˜o nulas. Supondo tambe´m que a entrada
e´ um degrau unita´rio, enta˜o, na equac¸a˜o 24, a derivada pode se tornar zero em regime permanente,
resultando no seguinte:
d�
dt
= r(t)− y(t), d�
dt
= 0 → rss − yss = 0 → rss = yss (25)
Ou seja, quando o controle integral e´ usado, o erro de regime permanente para a entrada de
refereˆncia degrau e´ nulo. Assim, o erro e´ eliminado em regime permanente. Esta e´ a principal
contribuic¸a˜o da ac¸a˜o de controle integral.
4.1 Exemplo 2
Considere o caso do exemplo 1, insira uma ac¸a˜o de controle integral de modo a eliminar o erro de
regime permanente para a entrada de refereˆncia degrau unita´rio.
Este problema na˜o costuma ser resolvido analiticamente. Geralmente, e´ resolvido por simu-
lac¸a˜o, mantendo-se os valores previamente calculados para os ganhos proporcional e derivativo e,
depois, adicionando um ganho integral bem pequeno, para na˜o afetar muito o resultado anterior.
Esse ganho e´ aumentadado na medida que for necessa´rio. Se for preciso, os ganhos proporcional e
derivativo tambe´m devem ser ajustados manualmente de modo a corrigir o resultado. Fazendo esse
procedimento de tentativa e erro, e sempre simulando o resultado com o MATLAB para verificac¸a˜o,
e´ obtida a resposta na figura 4. O ganho integrativo usado foi Ki = 100, os ganhos proporcional e
derivativo mantiveram-se os mesmos. Note que o erro de regime permanente na resposta ao degrau
unita´rio foi tornado zero. No entanto, o sobressinal, que antes era 10, 18% agora e´ 15, 5%. Ale´m
disso, o tempo de regime permanente pelo crite´rio 5%, que antes era 0,1084 s, agora e´ 0,1285 s.
Ou seja, a ac¸a˜o de controle integral removeu o erro de regime permanente, mas tornou o sistema
mais lento e menos amortecido (maior sobressinal).
4 Controle Integral 11
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
0
2
4
6
8
10
tempo − [s]
e
n
t
r
a
da
 d
e 
co
nt
ro
le
 u
(t
)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X: 0.08218
Y: 1.155
tempo − [s]
s
a
id
a 
do
 s
is
te
ma
 y
(t
)
X: 0.1939
Y: 0.9996
X: 0.1285
Y: 1.048
Fig. 4: Resposta do sistema determinada pelo controle PID.