Aula 15 - Resposta em Frequência

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Universidade Federal do ABC
Primeiro Quadrimestre de 2013
Prof. Andre´ Lu´ıs da Silva
Aula 18
Dia 2 de julho de 2013
Resposta em Frequeˆncia
1 Introduc¸a˜o
O estudo de resposta em frequeˆncia diz respeito a estudar o comportamento da sa´ıda de um sistema
dinaˆmico, em regime permanente, quando submetido a uma entrada senoidal, a qual possui uma
frequeˆncia gene´rica. As caracter´ısticas da resposta da sa´ıda va˜o depender do valor espec´ıfico desta
frequeˆncia.
O estudo da entrada senoidal e´ muito importante devido a teoria dos sinais de Fourier, que trata
da se´rie de Fourier e da transformada de Fourier, teorias que podem ser usadas para representar
sinais perio´dicos ou aperio´dicos quaisquer, respectivamente, por bases de func¸a˜o seno e cosseno.
As consqueˆncias do estudo da resposta em frequeˆncia tem muita importaˆncia ao se escolher um
atuador ou sensor para um sistema, bem como para escolher algoritmos para remoc¸a˜o de dados
indesejados que se concentram dentro de determinadas regio˜es de frequeˆncia. Tais dispositivos sa˜o
os filtros.
Este material trata somente de dois exemplos espec´ıficos: o filtro passa baixa e o filtro passa
alta, que sa˜o sistemas dinaˆmicos de primeira ordem. No entanto, a teoria vale para sistemas
lineares de ordem qualquer, desde que consideradas generalizac¸o˜es adequadas.
2 Filtro Passa Baixa
Um filtro passa baixa pode ser obtido a partir de um simples circuito RC, conforme indicado na
figura 1. Esse dispositivo tem como entrada a tensa˜o no conjunto se´rie e a sa´ıda e´ a tensa˜o no
capacitor. Ele e´ chamado de filtro passivo pois na˜o adiciona energia ao sistema, ao contra´rio,
ele somente absorve, sendo imposs´ıvel obter um comportamento desacoplado entre o sistema que
aplica o sinal ao mesmo, podendo ocorrer distorc¸o˜es de sinal.
+
vs
- 
R
C
+
ve
- 
Fig. 1: Filtro passa baixa passivo.
A equac¸a˜o que rege esse sistema e´:
dvs
dt
= − 1
RC
vs +
1
RC
ve (1)
2 Filtro Passa Baixa 2
Que tambe´m pode ser escrita na forma gene´rica:
dvs
dt
= −αvs + bve (2)
Constante de decaimento exponencial α e ganho da entrada b:
α =
1
RC
=
1
τ
, b =
1
RC
(3)
onde τ e´ a constante de tempo.
A frequeˆncia de canto e´ a constante de decaimento exponencial:
ωc = α =
1
RC
(4)
O ganho esta´tico e´ a raza˜o entre a sa´ıda e a entrada para derivada zero:
0 = −αvs + bve ⇒ G0 = vs
ve
=
b
α
=
1/RC
1/RC
= 1 (5)
Um filtro passa baixa ativo pode ser obtido a partir de um simples circuito RC junto a um
amplificador operacional, conforme indicado na figura 2. Esse dispositivo tem como entrada a
tensa˜o num dos terminais do resistor R1 e a sa´ıda e´ no terminal de sa´ıda do amplificador operaci-
onal. Este filtro ativo usa a energia fornecida por uma fonte de tensa˜o externa para gerar a sa´ıda.
Ele tambe´m possui uma alta impedaˆncia de entrada. Essas caracter´ısticas fazem com que ele na˜o
possua acoplamento relevante com o sistema que aplica a tensa˜o de entrada sobre o mesmo, o que
propicia pouca distorc¸a˜o e uma uniformidade maior de comportamento.
vs 
R2
ve 
+
-
R1
C
Fig. 2: Filtro passa baixa ativo.
Conforme visto na aula passada, a equac¸a˜o diferencial que rege o comportamento deste circuito
e´:
dvs
dt
= − 1
R2C
vs − 1
R1C
ve (6)
Que pode ser escrita na mesma forma geral do circuito de filtro passa baixa passivo.
dvs
dt
= −αvs + bve (7)
2 Filtro Passa Baixa 3
Constante de decaimento exponencial α e ganho da entrada b:
α =
1
R2C
=
1
τ
, b = − 1
R1C
(8)
onde τ e´ a constante de tempo.
A frequeˆncia de canto e´ a constante de decaimento exponencial:
ωc =
1
R2C
(9)
O ganho esta´tico e´ a raza˜o entre a sa´ıda e a entrada para derivada zero:
0 = −αvs + bve ⇒ G0 = vs
ve
=
b
α
=
−1/R1C
1/R2C
= −R2
R1
(10)
2.1 Resposta para Entrada Senoidal
Seja a equac¸a˜o de um filtro passa baixa na forma gene´rica:
dx
dt
= −αx+ bu(t) (11)
α > 0: condic¸a˜o de estabilidade.
Condic¸a˜o inicial nula x(0) = 0. Entrada senoidal:
u(t) = A sin(ωt) (12)
A > 0: amplitude, ω = 2pif : frequeˆncia angular (rad/s).
Resposta completa:
x(t) = e−αtx0 +
∫ t
0
e−α(t−τ)bA sin(ωτ)dτ (13)
Como a condic¸a˜o inicial e´ nula, a resposta e´ dada somente pela integral de convoluc¸a˜o:
x(t) =
∫ t
0
e−α(t−τ)bA sin(ωτ)dτ = bA
∫ t
0
e−α(t−τ) sin(ωτ)dτ
x(t) = bA
∫ t
0
e−αteατ sin(ωτ)dτ = bAe−αt
∫ t
0
eατ sin(ωτ)dτ (14)
A u´ltima integral pode ser calculada rapidamente usando a fo´rmula de uma tabela:∫
eβx sin(γx)dx =
eβx (β sin(γx)− γ cos(γx))
β2 + γ2
(15)
Usando a fo´rmula:
x(t) = bAe−αt
[
eατ (α sin(ωτ)− ω cos(ωτ))
α2 + ω2
]t
0
x(t) = bAe−αt
[
eαt (α sin(ωt)− ω cos(ωt))
α2 + ω2
− e
α×0 (α sin(ω × 0)− ω cos(ω × 0))
α2 + ω2
]
x(t) =
bA
α2 + ω2
e−αt
[
eαt (α sin(ωt)− ω cos(ωt)) + ω]
x(t) =
bA
α2 + ω2
[
α sin(ωt)− ω cos(ωt) + ωe−αt] (16)
2 Filtro Passa Baixa 4
A u´ltima equac¸a˜o fornece a resposta da varia´vel x(t) para a entrada senoidal u(t) = A sin(ωt).
Essa resposta possui a parcela de regime transito´rio e a de regime permanente. Note que o regime
transito´rio e´ simplesmente uma exponencial decrescente, como o sistema foi assumido esta´vel, essa
parcela tende a zero e a resposta de regime permanente e´ uma soma de seno e cosseno:
x(t) =
bA
α2 + ω2
(α sin(ωt)− ω cos(ωt)) regime permanente (17)
Esta resposta pode ser escrita como uma senoide defasada usando as relac¸o˜es trigonome´tricas:
c cos(θ) + d sin(θ) = B sin(θ + φ)
B =
√
c2 + d2, φ = tan−1
( c
d
)
(18)
De onde se obte´m:
α sin(ωt)− ω cos(ωt) = B sin(ωt+ φ)
B =
√
α2 + ω2, φ = tan−1
(−ω
α
)
= − tan−1
(ω
α
)
(19)
Enta˜o:
x(t) =
bA
α2 + ω2
√
α2 + ω2 sin(ωt+ φ) (20)
Simplificando a equac¸a˜o usando radiciac¸a˜o:
x(t) =
bA√
α2 + ω2
sin(ωt+ φ) (21)
O resultado na equac¸a˜o 21 e´ muito importante e carrega uma se´rie de significados. Note que
esta e´ a resposta em regime permanente, para uma entrada senoidal, de um sistema linear esta´vel
de primeira ordem. Esta resposta recebe um nome particular: regime permanente senoidal (RPS).
Em RPS, a sa´ıda e´ uma seno´ide com frequeˆncia ideˆntica a` da entrada, mas com uma defasagem
φ negativa e uma nova amplitude, que depende do ganho de entrada b, da constante de decaimento
exponencial α e da frequeˆncia angular da entrada ω. Ou seja, existe um ganho G(ω) e uma
defasagem φ(ω) entre a entrada e sa´ıda senoidal:
G(ω) =
b√
α2 + ω2
(22)
φ(ω) = − tan−1
(ω
α
)
(23)
O comportamento do ganho e da fase em RPS e´ que determina o nome filtro passa baixa para
o dispositivo representado pela equac¸a˜o diferencial em questa˜o:
• Para ω → 0:
G(0) =
b√
α2 + 02
=
b
α
= G0, ganho esta´tico (24)
φ(0) = − tan−1
(
0
α
)
= − tan−1 (0) = 0o (25)
Assim, em baixa frequeˆncia, defasagem e´ zero e o ganho e´ o ganho esta´tico.
3 Filtro Passa Alta 5
• Para ω →∞:
G(∞) = lim
ω→∞
b√
α2 + ω2
= 0 (26)
φ(∞) = lim
ω→∞
− tan−1
(ω
α
)
= −90o (27)
Assim, em alta frequeˆncia, o ganho tende a zero e a defasagem e´ −90o. Isso mostra que o
sinal de sa´ıda e´ quase impercept´ıvel, pois tera´ amplitude muito baixa.
O fato do dispositivo possuir um ganho constante em baixa frequeˆncia, ganho esta´tico, e uma
defasagem pro´xima de zero, faz com que o sinal de entrada seja pouco distorcido quando medido
na sa´ıda. Por outro lado, para alta frequeˆncia, o sinal de sa´ıda sera´ muito pequeno. Isso pode
ser visto como um rejeic¸a˜o das altas frequeˆncias, por isso que o dispositivo recebe o nome de filtro
passa baixa.
O significado de baixa frequeˆncia ou alta frequeˆncia e´ tomado em relac¸a˜o a` frequeˆncia de canto.
Se a frequeˆncia de canto ωc = α for substitu´ıda nafo´rmula do ganho, obte´m-se:
G(ωc) =
b√
α2 + ω2c
=
b√
α2 + α2
=
b√
2α2
=
b
α
√
2
=
G0√
2
(28)
Ou seja, na frequeˆncia de canto, o ganho entre a entrada e a sa´ıda e´ o ganho esta´tico dividido por√
2. Isto tem um significado f´ısico relacionado com poteˆncia. Em baixa frequeˆncia, a amplitude da
sa´ıda e´ V0 = G0A, na frequeˆncia de canto, a amplitude da sa´ıda e´ Vc = G0A/
√
2, como a poteˆncia
e´ proporcional ao quadrado da tensa˜o, veja que: Pc/P0 = V
2
c /V
2
0 = (G0A/
√
2)2/(G0A)
2 = 1/2.
Ou seja, na frequeˆncia de canto, a amplitude da poteˆncia da sa´ıda e´ metade da poteˆncia de sa´ıda
em baixa frequeˆncia. Por tal raza˜o, a frequeˆncia de canto e´ escolhida como um divisor entre a
regia˜o de baixa frequeˆncia e a regia˜o de alta frequeˆncia. No geral, assume-se que a regia˜o de
baixa frequeˆncia, onde ocorre baixa atenuac¸a˜o e pequena defasagem da sa´ıda, se situa em todo o
intervalo de frequeˆncias ω ≤ ωc/10, ou seja, menor que um de´cimo da frequeˆncia de canto. Por
outro lado, assume-se que a regia˜o de alta frequeˆncia, onde ocorre grande atenuac¸a˜o e considera´vel
defasagem da sa´ıda, se situa em todo o intervalo de frequeˆncias ω ≥ 10ωc, ou seja, maior que dez
vezes a frequeˆncia de canto. As frequeˆncias da regia˜o ωc/10 < ω < 10ωc sa˜o chamadas frequeˆncias
intermedia´rias.
Resposta em frequeˆncia significa realizar o estudo do mo´dulo e fase da sa´ıda em RPS, para todas
as regio˜es de interesse na qual a frequeˆncia pode ser varrida. O estudo de resposta em frequeˆncia
e´ fundamental nas seguintes ocasio˜es:
• Escolher um atuador tal que o mesmo consiga responder na mesma velocidade exigida pelo
controle;
• Escolher um sensor que consiga fornecer dados na˜o distorcidos dentro da faixa de operac¸a˜o
do sistema controlado;
• Projetar filtros para eliminar ru´ıdos de alta frequeˆncia captados por um sensor.
3 Filtro Passa Alta
Um filtro passa alta pode ser obtido a partir de um simples circuito RC, conforme indicado na figura
3. Esse dispositivo tem como entrada a tensa˜o no conjunto se´rie e a sa´ıda e´ a tensa˜o no resistor.
3 Filtro Passa Alta 6
Ele e´ chamado de filtro passivo pois na˜o adiciona energia ao sistema, ao contra´rio, ele somente
absorve, sendo imposs´ıvel obter um comportamento desacoplado entre o sistema que aplica o sinal
ao mesmo, podendo ocorrer distorc¸o˜es de sinal.
+
vs
- 
R
C
+
ve
- 
Fig. 3: Filtro passa alta passivo.
A equac¸a˜o que rege esse sistema e´:
dvs
dt
= − 1
RC
vs +
d
dt
ve (29)
onde aparece uma derivada sobre a tensa˜o de entrada.
Que tambe´m pode ser escrita na forma gene´rica:
dvs
dt
= −αvs + b d
dt
ve (30)
Constante de decaimento exponencial α e ganho da entrada b:
α =
1
RC
=
1
τ
, b = 1 (31)
onde τ e´ a constante de tempo. Veja tambe´m que a nova entrada e´ a derivada da tensa˜o.
A frequeˆncia de canto e´ a constante de decaimento exponencial:
ωc = α =
1
RC
(32)
O ganho esta´tico na˜o e´ definido, por outro lado, se obte´m o ganho de alta frequeˆncia que pode
ser visto como a raza˜o entre as derivadas da sa´ıda e da entrada, quando a derivada da sa´ıda e´
relativamente alta:
dvs
dt
=
dve
dt
, G∞ =
dvs/dt
dve/dt
=
dvs
dve
= 1 (33)
Um filtro passa alta ativo pode ser obtido a partir de um simples circuito RC junto a um
amplificador operacional, conforme indicado na figura 4. Esse dispositivo tem como entrada a
tensa˜o num dos terminais do capacitor e a sa´ıda e´ no terminal de sa´ıda do amplificador operacional.
Este filtro ativo usa a energia fornecida por uma fonte de tensa˜o externa para gerar a sa´ıda. Ele
tambe´m possui uma alta impedaˆncia de entrada. Essas caracter´ısticas fazem com que ele na˜o
possua acoplamento relevante com o sistema que aplica a tensa˜o de entrada sobre o mesmo, o que
propicia pouca distorc¸a˜o e uma uniformidade maior de comportamento.
Conforme visto na aula passada, a equac¸a˜o diferencial que rege o comportamento deste circuito
e´:
dvs
dt
= − 1
R1C
vs − R2
R1
dve
dt
(34)
3 Filtro Passa Alta 7
vs 
R2
ve 
+
-
R1C
Fig. 4: Filtro passa alta ativo.
Que pode ser escrita na mesma forma geral do circuito de filtro passa alta passivo.
dvs
dt
= −αvs + b d
dt
ve (35)
Constante de decaimento exponencial α e ganho da entrada b:
α =
1
R1C
=
1
τ
, b = −R2
R1
(36)
onde τ e´ a constante de tempo.
A frequeˆncia de canto e´ a constante de decaimento exponencial:
ωc =
1
R2C
(37)
O ganho de alta frequeˆncia e´:
dvs
dt
= b
d
dt
ve,
dvs/dt
dve/dt
=
dvs
dve
= b = −R2
R1
(38)
3.1 Resposta para Entrada Senoidal
Seja a equac¸a˜o de um filtro passa altas na forma gene´rica:
dx
dt
= −αx+ b d
dt
u(t) (39)
α > 0: condic¸a˜o de estabilidade.
Condic¸a˜o inicial nula x(0) = 0. Entrada senoidal:
u(t) = A sin(ωt) (40)
A > 0: amplitude, ω = 2pif : frequeˆncia angular (rad/s).
Derivada da entrada:
d
dt
u(t) =
d
dt
A sin(ωt) = Aω cos(ωt) (41)
Resposta completa:
x(t) = e−αtx0 +
∫ t
0
e−α(t−τ)bAω cos(ωτ)dτ (42)
3 Filtro Passa Alta 8
Como a condic¸a˜o inicial e´ nula, a resposta e´ dada somente pela integral de convoluc¸a˜o:∫ t
0
e−α(t−τ)bAω cos(ωτ)dτ = bAω
∫ t
0
e−α(t−τ) cos(ωτ)dτ
x(t) = bAω
∫ t
0
e−αteατ cos(ωτ)dτ = bAωe−αt
∫ t
0
eατ cos(ωτ)dτ (43)
A u´ltima integral pode ser calculada rapidamente usando a fo´rmula de uma tabela:∫
eβx cos(γx)dx =
eβx (β cos(γx) + γ sin(γx))
β2 + γ2
(44)
Usando a fo´rmula:
x(t) = bAωe−αt
[
eατ (α cos(ωτ) + ω sin(ωτ))
α2 + ω2
]t
0
x(t) = bAωe−αt
[
eαt (α cos(ωt) + ω sin(ωt))
α2 + ω2
− e
α×0 (α cos(ω × 0) + ω sin(ω × 0))
α2 + ω2
]
x(t) =
bAω
α2 + ω2
e−αt
[
eαt (α cos(ωt) + ω sin(ωt))− α]
x(t) =
bAω
α2 + ω2
[
α cos(ωt) + ω sin(ωt)− αe−αt] (45)
A u´ltima equac¸a˜o fornece a resposta da varia´vel x(t) para a entrada senoidal u(t) = A sin(ωt).
Essa resposta possui a parcela de regime transito´rio e a de regime permanente. Note que o regime
transito´rio e´ simplesmente uma exponencial decrescente, como o sistema foi assumido esta´vel, essa
parcela tende a zero e a resposta de regime permanente e´ uma soma de seno e cosseno:
x(t) =
bAω
α2 + ω2
(α cos(ωt) + ω sin(ωt)) regime permanente (46)
Esta resposta pode ser escrita como uma senoide defasada usando as relac¸o˜es trigonome´tricas:
c cos(θ) + d sin(θ) = B sin(θ + φ)
B =
√
c2 + d2, φ = tan−1
( c
d
)
(47)
De onde se obte´m:
α cos(ωt) + ω sin(ωt) = B sin(ωt+ φ)
B =
√
α2 + ω2, φ = tan−1
(α
ω
)
(48)
Enta˜o:
x(t) =
Abω
α2 + ω2
√
α2 + ω2 sin(ωt+ φ) (49)
Simplificando a equac¸a˜o usando radiciac¸a˜o:
x(t) =
Abω√
α2 + ω2
sin(ωt+ φ) (50)
3 Filtro Passa Alta 9
Em RPS, a sa´ıda e´ uma seno´ide com frequeˆncia ideˆntica a` da entrada, mas com uma defasagem
φ positiva e uma nova amplitude, que depende do ganho de entrada b, da constante de decaimento
exponencial α e da frequeˆncia angular da entrada ω. Ou seja, existe um ganho G(ω) e uma
defasagem φ(ω) entre a entrada e sa´ıda senoidal:
G(ω) =
bω√
α2 + ω2
(51)
φ(ω) = tan−1
(α
ω
)
(52)
O comportamento do ganho e da fase em RPS e´ que determina o nome filtro passa alta para o
dispositivo representado pela equac¸a˜o diferencial em questa˜o:
• Para ω → 0:
G(0) =
b× 0√
α2 + 02
= 0 (53)
φ(0) = lim
ω→0
tan−1
(α
ω
)
= 90o (54)
Assim, em baixa frequeˆncia, defasagem e´ 90o e o ganho e´ zero.
• Para ω →∞:
G(∞) = lim
ω→∞
bω√
α2 + ω2
=
b
α
= G∞ ganho de alta frequeˆncia (55)
φ(∞) = lim
ω→∞
tan−1
(α
ω
)
= 0o (56)
Assim, em alta frequeˆncia, o ganho tende ao ganho de alta frequeˆncia G∞ e a fase tende a
0o.
O fato do dispositivo possuir um ganho que tende a zero em baixa frequeˆncia, e umadefasagem
pro´xima de 90o, faz com que o sinal de entrada seja pouco percept´ıvel quando medido na sa´ıda.
Por outro lado, para alta frequeˆncia, o sinal de sa´ıda sera´ multiplicado pelo ganho constante G∞,
que e´ o ganho de alta frequeˆncia, enquanto possui fase zero. Isso pode ser visto como um rejeic¸a˜o
das baixas frequeˆncias, por isso que o dispositivo recebe o nome de filtro passa alta.
O significado de baixa frequeˆncia ou alta frequeˆncia e´ tomado em relac¸a˜o a` frequeˆncia de canto.
Se a frequeˆncia de canto ωc = α for substitu´ıda na fo´rmula do ganho, obte´m-se:
G(ωc) =
bωc√
α2 + ω2c
=
bα√
α2 + α2
=
bα√
2α2
=
b√
2
=
G∞√
2
(57)
Ou seja, na frequeˆncia de canto, o ganho entre a entrada e a sa´ıda e´ o ganho de alta frequeˆncia
dividido por
√
2. De modo ana´logo ao caso do filtro passa baixa, na frequeˆncia de canto, a
amplitude da poteˆncia da sa´ıda e´ metade da poteˆncia de sa´ıda em alta frequeˆncia. Por tal raza˜o, a
frequeˆncia de canto e´ escolhida como um divisor entre a regia˜o de baixa frequeˆncia e a regia˜o de alta
frequeˆncia. Do mesmo modo que no filtro passa baixa, assume-se que a regia˜o de baixa frequeˆncia,
onde ocorre alta atenuac¸a˜o e pequena maior adiantamento de fase da sa´ıda, se situa em todo o
intervalo de frequeˆncias ω ≤ ωc/10, ou seja, menor que um de´cimo da frequeˆncia de canto. Por
outro lado, assume-se que a regia˜o de alta frequeˆncia, onde e´ aplicado um ganho aproximadamente
constante e a fase tende a zero, se situa em todo o intervalo de frequeˆncias ω ≥ 10ωc, ou seja, maior
que dez vezes a frequeˆncia de canto. As frequeˆncias da regia˜o ωc/10 < ω < 10ωc sa˜o chamadas
frequeˆncias intermedia´rias.