EC1 Aula3

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Introdução
Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
ENGENHARIA DE CONTROLE I
Aula 3: Sistemas dinâmicos e sua modelagem. Linearização de
sistemas não lineares.
Prof. Pedro M. G. del Foyo
Universidade Federal de Pernambuco
Centro de Tecnologias e Geociências
12/01/2017
Prof. Pedro M. G. del Foyo ENGENHARIA DE CONTROLE I
Introdução
Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Classificação de sistemas dinâmicos
Introdução
O estudo de sistemas dinâmicos envolve a
modelagem matemática, a análise e a
simulação de sistemas físicos de interesse
da engenharia, tais como os sistemas
mecânicos, elétricos, hidráulicos,
pneumáticos e térmicos;
A teoria dos sistemas dinâmicos pode ser
aplicada a outros tipos de sistemas, tais
como sistemas biológicos, econômicos,
etc.;
Os sistemas em geral podem ser vistos
como híbridos pois resultam da combinação
de dois ou mais dos sistemas citados;
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Introdução
Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Classificação de sistemas dinâmicos
Tipos de sistemas dinâmicos na engenharia
Neste curso serão tratados exclusivamente os sistemas que
mais interessam à engenharia:
sistemas mecânicos
sistemas hidráulicos
sistemas pneumáticos
sistemas elétricos
sistemas térmicos
sistemas híbridos
A abordagem a ser utilizada será a de sistemas lineares com
parâmetros concentrados, e portanto serão descritos através de
equações diferenciais ordinárias.
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Introdução
Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Classificação de sistemas dinâmicos
Sistemas mecânicos
Possuem massas e/ou inércias, as quais armazenam energia
cinética e potencial gravitacional, assim como elementos
armazenadores de energia potencial elástica (molas) e
dissipadores de energia mecânica (amortecedores);
Normalmente, suas entradas são forças, torques ou
deslocamentos;
Também podem ser colocados em movimento através da
imposição de condições iniciais.
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Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Classificação de sistemas dinâmicos
Sistemas elétricos
São constituídos por circuitos elétricos que possuem
componentes passivos, tais como resistores (dissipadores de
energia elétrica), capacitores e indutores (armazenadores de
energia elétrica), os quais são excitados por geradores de
voltagem ou corrente;
Os circuitos eletrônicos envolvem também o emprego de
transistores e amplificadores;
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Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Classificação de sistemas dinâmicos
Sistemas hidráulicos
São constituídos por orifícios, restrições, válvulas de controle
(dissipadores de energia), reservatórios (armazenadores de
energia), tubulações (indutores) e atuadores excitados por
geradores de pressão ou escoamento de um fluido;
O fluido de trabalho é um líquido, tal como água ou óleo;
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Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Classificação de sistemas dinâmicos
Sistemas pneumáticos
São constituídos por orifícios, restrições, válvulas de controle
(dissipadores de energia), reservatórios (armazenadores de
energia), tubulações (indutores) e atuadores excitados por
geradores de pressão ou escoamento de um fluido;
O fluido de trabalho é um gás, tal como ar, nitrogênio, etc;
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Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Classificação de sistemas dinâmicos
Sistemas térmicos
Possuem componentes que oferecem resistência térmica à
transferência de calor (por condução, convecção e radiação) e
componentes que apresentam a propriedade de capacitância
térmica (armazenamento de energia térmica) quando excitados
por uma diferença de temperatura ou um fluxo de calor.
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Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Classificação de sistemas dinâmicos
Sistemas híbridos
São sistemas que combinam dois ou mais dos tipos de sistemas
citados anteriormente;
A maioria dos sistemas dinâmicos aplicados em engenharia são
sistemas híbridos;
Conforme a combinação, podemos ter, dentre outros:
sistemas eletromecânicos
sistemas fluidomecânicos
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Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Classificação de sistemas dinâmicos
Sistemas híbridos
São sistemas que combinam dois ou mais dos tipos de sistemas
citados anteriormente;
A maioria dos sistemas dinâmicos aplicados em engenharia são
sistemas híbridos;
Conforme a combinação, podemos ter, dentre outros:
sistemas termomecânicos sistemas eletrotérmicos
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Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Classificação de sistemas dinâmicos
Parâmetros concentrados vs. distribuídos
No desenvolvimento do modelo matemático é necessário
identificar os componentes do sistema e determinar as suas
características individuais;
Tais características são governadas por leis físicas e são
descritas em termos dos chamados parâmetros (ou
propriedades) do sistema;
Os sistemas podem ser divididos em duas grandes classes,
conforme a natureza de seus parâmetros:
sistemas com parâmetros concentrados aqueles cujos parâmetros
não dependem das coordenadas espaciais. São
descritos por equações diferenciais ordinárias
sistemas com parâmetros distribuídos aqueles cujos parâmetros
dependem das coordenadas espaciais. São descritos
por equações diferenciais parciais.
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Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Classificação de sistemas dinâmicos
Variantes no tempo vs. invariante no tempo
Nas equações diferenciais, os parâmetros do sistema aparecem
sob forma de coeficientes;
Os sistemas podem ser divididos em duas grandes classes,
conforme a variação de seus coeficientes:
sistemas invariantes no tempo aqueles cujos coeficientes são
constantes. São descritos por equações diferenciais
ordinárias com coeficientes constantes
sistemas variantes no tempo aqueles cujos coeficientes variam com
o decorrer do tempo.
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Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Classificação de sistemas dinâmicos
tempo continuo vs. tempo discreto
tempo continuo
Se um sistema submetido a uma entrada contínua no tempo, r(t),
apresentar uma saída também contínua, c(t), ele é chamado de
sistema contínuo e o seu modelo matemático será constituído por
equações diferenciais.
tempo discreto
Se um sistema submetido a uma entrada discreta no tempo, rk (uma
seqüência de números), apresentar uma saída também discreta, ck
(outra seqüência de números), ele é chamado de sistema discreto e
o seu modelo matemático será constituído por equações a diferenças
finitas.
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Introdução
Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Classificação de sistemas dinâmicos
Lineares vs. não lineares
Em um sistema linear, respostas a diferentes excitações podem
ser obtidas separadamente e depois combinadas linearmente,
(Princípio da Superposição);
A vantagem de trabalhar com sistemas lineares é que seu
modelo matemático é descrito por um sistema deEquações
Diferenciais Lineares, que são de fácil solução analítica;
O modelo de sistemas não lineares é descrito por Equações
Diferenciais Não Lineares, as quais são de difícil solução
analítica (ou mesmo impossível).
sistemas invariantes no tempo aqueles cujos coeficientes são
constantes. São descritos por equações diferenciais
ordinárias com coeficientes constantes
sistemas variantes no tempo aqueles cujos coeficientes variam com
o decorrer do tempo.
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Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Classificação de sistemas dinâmicos
Lineares vs. não lineares
Em um sistema linear, respostas a diferentes excitações podem
ser obtidas separadamente e depois combinadas linearmente,
(Princípio da Superposição);
A vantagem de trabalhar com sistemas lineares é que seu
modelo matemático é descrito por um sistema de Equações
Diferenciais Lineares, que são de fácil solução analítica;
O modelo de sistemas não lineares é descrito por Equações
Diferenciais Não Lineares, as quais são de difícil solução
analítica (ou mesmo impossível).
sistemas invariantes no tempo aqueles cujos coeficientes são
constantes. São descritos por equações diferenciais
ordinárias com coeficientes constantes
sistemas variantes no tempo aqueles cujos coeficientes variam com
o decorrer do tempo.
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Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Análise de sistemas dinâmicos
Modelo de Sistemas dinâmicos
O tipo de modelo matemático a ser usado na descrição do
comportamento do sistemas depende do tipo de sistema e das
especificações que pretendem ser analisadas;
Uma vez obtido o modelo matemático do sistema diferentes
métodos analíticos podem ser usados para estudá-lo e
sintetizá-lo.
Simplicidade vs precisão
Quanto mais preciso mais complexo resulta o modelo;
Sistemas lineares são mais simples, aplica-se o principio da
superposição;
Sistemas lineares invariantes no tempo são os mais simples.
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Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Análise de sistemas dinâmicos
Modelo de Sistemas dinâmicos
O tipo de modelo matemático a ser usado na descrição do
comportamento do sistemas depende do tipo de sistema e das
especificações que pretendem ser analisadas;
Uma vez obtido o modelo matemático do sistema diferentes
métodos analíticos podem ser usados para estudá-lo e
sintetizá-lo.
Simplicidade vs precisão
Quanto mais preciso mais complexo resulta o modelo;
Sistemas lineares são mais simples, aplica-se o principio da
superposição;
Sistemas lineares invariantes no tempo são os mais simples.
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Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Análise de sistemas dinâmicos
Modelo de Sistemas dinâmicos
Uma propriedade do sistema que tem profundas implicações na
análise é a linearidade.
A maior parte dos sistemas físicos na engenharia são sistemas
não lineares;
Abordagens para lidar com sistemas não lineares
Impor certas hipóteses simplificadoras (se forem exeqüíveis) que
conduzam à linearização do sistema;
Apelamos para métodos numéricos aproximados, como os
métodos de Euler, Runge-Kutta, etc., os quais, felizmente, já
estão implantados em muitos softwares de simulação, tais como
MatLab, VisSim, etc.
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Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Análise de sistemas dinâmicos
Modelo de Sistemas dinâmicos
Uma propriedade do sistema que tem profundas implicações na
análise é a linearidade.
A maior parte dos sistemas físicos na engenharia são sistemas
não lineares;
Abordagens para lidar com sistemas não lineares
Impor certas hipóteses simplificadoras (se forem exeqüíveis) que
conduzam à linearização do sistema;
Apelamos para métodos numéricos aproximados, como os
métodos de Euler, Runge-Kutta, etc., os quais, felizmente, já
estão implantados em muitos softwares de simulação, tais como
MatLab, VisSim, etc.
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Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Análise de sistemas dinâmicos
Modelo de Sistemas dinâmicos
Etapas necessárias para à análise e projeto de sistemas:
1 Identificar o sistema a ser modelado e analisado;
2 Escrever as equações para cada componente do sistema, a
partir de equações constitutivas adequadas;
3 A partir de Leis Físicas, de acordo com a natureza do sistema,
obter o modelo matemático do mesmo;
4 Resolver o modelo matemático (as equações do sistema) e
comparar o resultado teórico obtido com resultados
experimentais. Se a discrepância for pequena, pode-se aceitar o
modelo; caso contrário, modificar o modelo e refazer a análise.
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Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Análise de sistemas dinâmicos
Exemplo 1
Vamos considerar um sistema mecânico real constando de um pên-
dulo simples, no qual temos uma massa m, ligada à estrutura fixa por
um fio inextensível de comprimento L.
Determinar a coordenada angular θ(t) para um deslocamento angular
inicial θ0 e uma velocidade inicial ao sistema θ˙0
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Linearização de sistemas não lineares
Análise de sistemas dinâmicos
Exemplo 1: Etapa 1
Foram definidos os parâmetros do sistema (m e L) e a variável
θ(t).
Também foram adotadas hipóteses simplificadoras (massa m
concentrada em um ponto, comprimento do fio L constante,
oscilação dentro de um plano vertical);
Podem ser adotadas outras hipóteses simplificadoras tais como:
desprezar as perdas por atrito na articulação e o atrito do ar;
Importante
A adoção de hipóteses simplificadoras é imperativa na análise
dinâmica, pois facilita o lado matemático. Entretanto, devemos ter
muito cuidado ao estabelecer tais hipóteses, pois deve haver um
compromisso entre simplicidade e precisão
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Linearização de sistemas não lineares
Análise de sistemas dinâmicos
Exemplo 1: Etapa 2
Escrever as equações para os componentes do sistema e para o
sistema como um todo;
Para os componentes devemos usar equações constitutivas.
Aplicando leis físicas adequadas, como as Leis de Newton, de
Kirchhoff, etc., chegamos normalmente a equações diferenciais
que relacionam matematicamente as variáveis do modelo com
as propriedades do modelo e com o tempo.
Equação para o pêndulo simples
Usamos a 2da Lei de Newton para o movimento de rotação em torno
do centro de oscilação:
θ¨ +
g
L
sinθ = 0
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Linearização de sistemas não lineares
Análise de sistemas dinâmicos
Exemplo 1: Etapa 3
Como o nosso sistema está formado por apenas um componente, o
modelo do sistema é descrito apenas por a equação não linear:
θ¨ +
g
L
sinθ = 0
Para simplificar o problema devemos “linearizar” a equação ao redor
do ponto de operação
No nosso exemplo podemos observar que, para pequenas
oscilações em torno da posição vertical θ = 0 (o ponto de operação),
o ângulo θ em radianos tem aproximadamente o mesmo valor que
sinθ . (Para −pi6 ≤ θ ≤ pi6 ⇒ sinθ ≈ θ )
θ¨ +
g
L
θ = 0
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Linearização de sistemas não lineares
Análise de sistemas dinâmicos
Exemplo 1:Etapa 4
O modelo matemático obtido na etapa 3 deve ser resolvido:
Solução da equação homogênea com coeficientes constantes
θ(t) = θ0 cos
√
g
L
t +
θ˙0√
g
L
sin
√
g
L
t
Aplicando Transformada de Laplace
s2Θ(s)−sθ0− θ˙0 + gLΘ(s) = 0
s2Θ(s) +
g
L
Θ(s) = sθ0 + θ˙0
Θ(s) =
sθ0 + θ˙0
s2 + gL
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Linearização de sistemas não lineares
Análise de sistemas dinâmicos
Exemplo 1: Etapa 4
O modelo matemático obtido na etapa 3 deve ser resolvido:
Solução da equação homogênea com coeficientes constantes
θ(t) = θ0 cos
√
g
L
t +
θ˙0√
g
L
sin
√
g
L
t
Aplicando Transformada de Laplace
s2Θ(s)−sθ0− θ˙0 + gLΘ(s) = 0
s2Θ(s) +
g
L
Θ(s) = sθ0 + θ˙0
Θ(s) =
sθ0 + θ˙0
s2 + gL
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Análise de sistemas dinâmicos
Exemplo 1: Etapa 4
Re-arranjando os termos e Anti-transformando
Θ(s) = θ0
s
s2 + gL
+
θ˙0√
g
L
√
g
L
s2 + gL
L −1[Θ(s)] = L −1
[
θ0
s
s2 + gL
]
+L −1
[ θ˙0√
g
L
√
g
L
s2 + gL
]
θ(t) = θ0L −1
[ s
s2 + gL
]
+
θ˙0√
g
L
L −1
[ √g
L
s2 + gL
]
θ(t) = θ0 cos
√
g
L
t +
θ˙0√
g
L
sin
√
g
L
t
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Modelagem de sistemas dinâmicos
Linearização de sistemas não lineares
Características de sistemas não lineares
Técnicas de Linearização
Sistemas não lineares
Modelos não-lineares possibilitam um “retrato” mais fiel do
processo quando este se faz necessário;
Apesar de apresentar uma complexidade maior, apenas a
representação através de um modelo não-linear permite a
análise de algumas características do sistema como oscilações
e bifurcações;
Alguns testes para detecção de não linearidade
Teste de Simetria consiste na aplicação de entradas simétricas ao
sistema e a conseqüente observação da saída;
Teste de Dependência de Amplitude consiste na aplicação de
entradas em degraus de amplitudes crescentes e a
observação da saída.
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Linearização de sistemas não lineares
Características de sistemas não lineares
Técnicas de Linearização
Principais não linearidades
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Linearização de sistemas não lineares
Características de sistemas não lineares
Técnicas de Linearização
Linearização de sistemas não lineares
Um sistema não linear pode ser considerado linear dentro de
uma faixa limitada de operação;
A maioria das vezes, linearizando um sistema não linear ao
redor de um ponto de operação obtêm-se precisão adequada
para a análise e projeto de tais sistemas
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Linearização de sistemas não lineares
Características de sistemas não lineares
Técnicas de Linearização
Técnicas de linearização
Neste curso usaremos duas técnicas para linearizar sistemas não
lineares:
Usando funções lineares que substituam a função não linear
numa determinada faixa de operação (Exemplo:
−pi6 ≤ θ ≤ pi6 ⇒ sinθ ≈ θ );
Expandindo as funções não lineares em series de Taylor e
ficando apenas com as derivadas de primeira ordem.
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Linearização de sistemas não lineares
Características de sistemas não lineares
Técnicas de Linearização
Expansão em series de Taylor
Considere um sistema onde a relação entre entrada e saída e
descrita pela função y = f (x)
Para determinar uma função linear que descreva o comportamento
de f (x) ao redor do ponto (x ,y) aplicamos a expansão em series de
Taylor:
y = f (x) +
df
dx
∣∣∣
x=x
(x−x) + 1
2!
d2f
dx2
∣∣∣
x=x
(x−x) + . . . + 1
n!
dnf
dxn
∣∣∣
x=x
(x−x)
Como (x −x) é uma variação pequena as derivadas de ordem
superior podem ser desprezadas, então teremos:
y = y +K (x −x) onde K = df
dx
∣∣∣
x=x
y −y = K (x −x)
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Características de sistemas não lineares
Técnicas de Linearização
Expansão em series de Taylor
Considere um sistema com duas variáveis de entrada descrita pela
função y = f (x1,x2)
Para determinar uma função linear que descreva o comportamento
de f (x) ao redor do ponto (x1,x2,y) aplicamos a expansão em series
de Taylor mais desta vez devemos usar derivadas parciais:
y = f (x1,x2) +
∂ f
∂x1
∣∣∣
x1=x1
(x1−x1) + ∂ f∂x2
∣∣∣
x2=x2
(x2−x2)
Resumindo:
y = y +K1(x1−x1) +K2(x2−x2)
y −y = K1(x1−x1) +K2(x2−x2)
onde K1 = ∂ f∂x1
∣∣∣
x1=x1,x2=x2
e K2 = ∂ f∂x2
∣∣∣
x1=x1,x2=x2
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Linearização de sistemas não lineares
Características de sistemas não lineares
Técnicas de Linearização
Exercício 2
Dada a função não linear z = xy
a) Linearize a função para a região 5≤ x ≤ 7, 10≤ y ≤ 12
sendo o (6,11) o ponto de equilíbrio.
b) Obtenha o erro na equação linearizada para o ponto
(5,10).
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Técnicas de Linearização
Exercício 2: Solução
Expandindo a função em serie de Taylor:
z−z = K1(x −x) +K2(y −y) (1)
K1 =
∂ (xy)
∂x
∣∣∣
x=x ,y=y
= y = 11 (2)
K2 =
∂ (xy)
∂y
∣∣∣
x=x ,y=y
= x = 6 (3)
Resultando em:
z−66 = 11(x −6) + 6(y −11)
z−66 = 11x −66 + 6y −66
z = 11x + 6y −66
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Exercício 2: Solução
Comparando os resultados graficamente:
sistema não linear sistema linearizado
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Exercício 2: Solução
Calculando o erro da função linearizada no ponto (5,10):
z = 5∗10 = 50
z = 11∗5 + 6∗10−66 = 115−66 = 49
erro =
50−49
50
= 0.02⇒ erro = 2%
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