P1 GA - VBD

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Geometria Analítica. Prova1 
 
1. Dados � = 2i + 3j + k, �	= i + 2j – k e � = ai + bj – 2k 
 
(a) (0,5 pto) Calcule |�|, |�|, (�, �), o cosseno do ângulo entre � e � 
(b) (0,5 pto) Calcule o vetor projeção de � na direção de � 
(c) (0,5 pto) Calcule a e b para que � e � sejam paralelos 
(d) (0,5 pto) Calcule a e b para que � e � sejam paralelos 
(e) (0,5 pto) Calcule a e b para que � seja ortogonal a � e � 
 
2. Seja E = �	
→,	�→,	
→� uma base para V³. Sejam os vetores f1 = - e1 – e2 + e3, f2 = -e1 + e2 –e3 e 
f3 = e1-e2 –e3 
(a) (0,5 pto) Demonstre que F = {f1,f2,f3} é uma base do V³ 
(b) (1,0 pto) Calcule coordenadas dos vetores e1, e2, e3 na base F 
(c) (1,0 pto) Prove que u = (1,1,1)E e v = (1,1,1)F são os vetores opostos. 
3. Dados os vetores u= i + j + k e v = i + j 
(a) (1,5 pto) Determine uma base ortonormal {i,j,k} positiva (orientação direita) tal que o vetor 
i tenha o sentido de u e os vetores i’, j’ e v sejam coplanares. 
(b) (0,5 pto) Quantas bases possíveis satisfazem esses requerimentos? Como construir outras? 
(c) (0,5 pto) Calcule as coordenadas do vetor k na base {i’,j’,k’} 
4. Dados 5 pontos pelas coordenadas em uma base ortonormal: A(2,0,1), B(3,2,0), C(1,1,-1), 
D(0,-1,0), E(1,1,1) 
(a) ( 0,5 pto) Demonstre que ABCD é um losango 
(b) ( 0,5 pto) Demonstre que as diagonais do losango ABCD são perpendiculares 
(c) ( 1,0 pto) Calcule a área do losango ABCD 
(d) ( 0,5 pto) Calcule o volume da pirâmide ABCDE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
�)	|�| = √2� + 3� + 1� = √14 ; |�| = �1� + 2� + (−1)� = √1 + 4 + 1 = √6 ; (u,v) ... “Acredito 
que seja o produto escalar desses dois vetores, não me familiarizo com essa notação mas será 
necessário pra calcular o cosseno então resolverei como se assim fosse e adotarei a notação 
daqui pra frente, logo onde for (u,v) entendam produto escalar entre eles” : (u,v) = u1v1 + 
u2v2 + u3v3 = 2*1 + 3*2 + 1*(-1) = 2 + 6 – 1 = 7 ; Cosseno do ângulo entre u e v = (u,v) / 
|u|*|v| = 7 / √14 * √6. [Variações da resposta podem vir por racionalização da mesma e 
simplificações] 
b) Projeção de v em u = [ (u,v) / |u|² ] * � = [ 7 / (√14)² ] (2,3,1) = 1/2 * (2,3,1) = ( 1 , 3/2 , 1/2 ) 
c) Para que u e w sejam paralelos, eles tem que ser múltiplos um do outro logo u = α(w), 
(2,3,1) = α(a,b,-2), para que funcione, α tem que valer -1/2, assim: u = -w/2 ; então: 
(2,3,1) = (-a/2,-b/2,-2) 
-a/2 = 2; a = -4 
-b/2 = 3; b = -6 
d) Para que v e w sejam paralelos, eles tem que ser múltiplos um do outro logo v = α(w), 
(1,2,-1) = α(a,b,-2), para que funcione, α tem que valer 1/2, assim: u = w/2 ; então: 
(1,2,-1) = (a/2,b/2,-2) 
a/2 = 1; a = 2 
b/2 = 2; b = 4 
e) Para achar um vetor perpendicular a outros 2, basta fazer o produto vetorial desses vetores, 
logo basta fazer: � � � ��1 �2 �3�1 �2 �3� 
� � � �2 3 11 2 −1� = -3i +j +4k -3k -2i +2j = -5i +3j + k = (-5,3,1); 
Como queremos que w seja esse vetor perpendicular a ambos (u e v) então, w = �(-5,3,1) 
( a , b , -2 ) = �(-5,3,1), para que isso de certo � tem que ser -2 para igualar o terceiro termo, 
logo: ( a , b , -2 ) = -2 * (-5,3,1) 
( a , b , -2 ) = ( 10, -6 , -2 ) 
a = 10; 
b = -6. 
2) a) Para que F = {f1,f2,f3} seja uma base para V³, então qualquer vetor pertencente a V³ 
deverá ser escrito em função de f1,f2,f3 de forma única, logo isso significa que f1, f2 e f3 tem 
que ser LI. Então basta que vejamos se f1,f2 e f3 são linearmente independentes para provar 
que eles 3 formam uma base para V³. Para fazer este teste basta que: 
 
 !1� !1� !1�!2� !2� !2�!3� !3� !3� ≠ 0 ; 
E sendo: f1 = - e1 – e2 + e3 = ( -1 , -1 , 1 ), 
f2 = - e1 + e2 – e3 = ( -1 , 1 , -1 ) e f3 = e1 - e2 – e3 = ( 1 , -1 , -1 ), na base E = { e1 , e2 , e3 }, 
então temos: �−1 −1 1−1 1 −11 −1 −1� ≠ 0 ; 1 +1 +1 -1 +1 +1 ≠ 0 ; 5 ≠ 0, portanto são LI, conforme 
queremos demonstrar. 
 
b) e1 = a * f1 + b * f2 + c * f3 
e1 = a(-e1-e2+e3) + b(-e1+e2-e3) + c(e1-e2-e3) 
e1 = e1 (-a –b +c ) + e2(-a +b –c ) +e3 (a -b -c ) 
“ O que multiplica e1 tem que valer 1, o que multiplica e2 e e3 tem que valer 0 para que essa 
sentença se torne verdadeira, logo: ” 
-a –b +c = 1 
-a +b –c = 0 
+a -b –c = 0 
-------------------- 
(somando as equações 2 e 3 temos: -2c = 0; c =0) 
(somando as equações 1 e 2 temos: -2a = 1; a = -1/2) 
Trocando os valores na equação 2: (-(-1/2) +b -0 = 0; 1/2 +b = 0; b = -1/2) 
Assim temos que e1 na base F é escrito como ( -1/2 , -1/2 , 0) 
 
Fazer o mesmo para e2 e e3, trocando os valores do sistema, já que para e2 : -a +b –c = 1 e as 
outras 0 e para e3 : +a -b –c = 1 e as outras 0. 
c) u = (1,1,1)E = 1*e1 + 1*e2 + 1*e3 = e1 + e2 + e3; 
 
v = (1,1,1)F = 1*(- e1 – e2 + e3) + 1*(- e1 + e2 - e3) + 1*(+ e1 – e2 - e3) = 
(- e1 – e2 + e3) + (- e1 + e2 - e3) + (+ e1 – e2 - e3) = 
-e1 –e2 +e3 –e1 +e2 –e3 +e1 –e2 –e3 = 
-e1 –e2 –e3 = 
-(e1+e2+e3) = 
-(1,1,1)E. 
 
3) u tem que ter o sentido de i’, logo i’ = α(u) 
i’ = α( i + j + k ) , além disso i’ tem que formar uma base ortonormal, isto é, seu modulo tem 
que valer 1, portanto: �α²(	i²	 + 	j²	 + 	k²	) = 1, como i²=j²=k²=1, temos: �α²(3	) = 1; 3α� = 1; α = 1 / √3; α = √3 / 3; 
assim: i’ = √3 i / 3 + √3 j / 3 + √3 k / 3; 
I’,j’ e v tem que ser coplanares, ou seja, tem que ser LD entre si, assim seu produto vetorial 
tem que ser = 0: 
 
�√3	/	3 √3	/	3 √3	/	3� ) *1 1 0 � = 0; 
 √3 c / 3 + √3 a / 3 – √3 b / 3 – √3 c/ 3 = 0; 
a = b; logo j’ = ( a, a, c), mas é importante lembrar que i’ e j’ formam uma base, logo devem ser 
LI e portanto não podem ser combinação um do outro logo, assim: j’ não pode ter a = c para 
não ficar ( a , a , a) = a ( 1,1,1) ou seja Combinação linear de i’. 
 
Por último temos que encontrar k’, que seja ortogonal a i’ e j’, para isso seu produto vetorial 
tem que ser ≠ 0, assim temos: 
 
 √3	/	3 √3	/	3 √3	/	3� � *, - . ≠ 0 ; 
 √3	az/	3 + √3	cx/	3 + √3	ay/	3 - √3	ax/	3 - √3	cy/	3 - √3	az/	3 ≠ 0; √3	/	3 ( az + cx + ay – ax – cy -az) ≠ 0; 
 az + cx + ay – ax – cy -az ≠ 0; 
 cx + ay – ax – cy ≠ 0; 
x(c-a) + y(a-c) ≠ 0; 
“Como já estabelecemos que a ≠ c, então a única solução para isso é: ” 
x(c-a) ≠ -y(a-c); 
x(c-a) ≠ y(c-a); 
x ≠ y; 
 
“A partir disso tiramos que é possível formar infinitas bases da forma { i’ , j’ , k’ }, sendo que o i’ 
é previamente determinado, mas o j’ e o k’ basta colocar quaisquer números que quisermos 
respeitando as restrições (j’ tem que ter a primeira coordenada igual a segunda e diferente da 
terceira e o k’ tem que ter a primeira coordenada diferente da segunda)” 
 
Agora com número podemos achar um exemplo de base ortonormal { i’ , j’ , k’ }, e devemos 
lembrar que todos os módulos tem que ser igual a 1: 
Para i’ = √4 i / 3 + √4 j / 3 + √4 k / 3, todas as condições já haviam sido analisadas; 
 
Para j’ basta achar algo da forma ( a , a , c ) talque ��� + �� + *² = 1; 
2a² + c² = 1; 
c² = 1 – 2a²; 
c = √1 − 2��; 
para facilitar os cálculos escolherei arbitrariamente a = 0, e portanto teremos c = 1, assim j’ = 0i 
+ 0j + 1k = k; j’ = k; 
 
Para k’ basta achar algo da forma ( x , y , z), com x diferente de y, portanto para facilitar os 
cálculos escolherei z = 0, pois nada se restringe em relação a z. Também assumo x = 0 pra 
facilitar cálculos (poderia ser y, tanto faz), como o módulo tem que dar 1 temos que: �0² + -� + 0² = 1; 
y = 1; 
Logo k’ = 0i + 1j + 0k = j; 
k’ = j; 
 
Portanto nossa nova base ortonormal pode ser por exemplo: 
{ √4 i / 3 + √4 j / 3 + √4 k / 3 , k , j } 
 
Nesse nosso exemplo de base { i’, j’ , k’ } precisamos escrever k, assim: 
 
k = a * (√3 i / 3 + √3 j / 3 + √3 k / 3) + b*k + c*j; 
a tem que valer 0 porque não tem fator que compense o i, b tem que valer 1 e c = 0; 
Portanto k na base ortonormal{ i’, j’, k’ } fica: (0,1,0). 
 
 
4. Dados 5 pontos pelas coordenadas em uma base ortonormal: A(2,0,1), B(3,2,0), C(1,1,-1), 
D(0,-1,0), E(1,1,1) 
(a) ( 0,5 pto) Demonstre que ABCD é um losango 
(b) ( 0,5 pto) Demonstre que as diagonais do losango ABCD são perpendiculares 
(c) ( 1,0 pto) Calcule a área do losango ABCD 
(d) ( 0,5 pto) Calcule o volume da pirâmide ABCDE 
a) Só mostrar que as distancias: d(AB) = d(BC) = d(CD) = d(DA); 
E que os vetores: AB // CD e BC // DA; 
 
d(AB) = �()1 − �1)� + ()2 − �2)� + ()3 − �3)² = �(3 − 2)� + (2 − 0)� + (0 − 1)² = √6 
d(BC) = �(*1 − )1)� + (*2 − )2)� + (*3 − )3)² = �(1 − 3)� + (1 − 2)� + (−1 − 0)² = √6 
d(CD) = �(51 − *1)� + (52 − *2)� + (53 − *3)² = �(0 − 1)� + (−1 − 1)� + (0 + 1)² = √6 
d(DA) = �(�1 − 51)� + (�2 − 52)� + (�3 − 53)² = �(2 − 0)� + (0 + 1)� + (1 − 0)² = √6 
 
Vetor AB, pela notação de Grassmann é: B – A, portanto: (3-2,2-0,0-1) = (1,2,-1); 
Vetor CD, pela notação de Grassmann é: D – C, portanto: (0-1,-1-1,0+1) = (-1,-2,1); 
Como AB = (-1)*(CD), eles são Combinação Linear um do outro, logo são paralelos; 
 
Vetor BC, pela notação de Grassmann é: C – B, portanto: (1-3,1-2,-1-0) = (-2,-1,-1); 
Vetor DA, pela notação de Grassmann é: A – D, portanto: (2-0,0+1,1-0) = (2,1,1); 
Como BC = (-1)*(DA), eles são Combinação Linear um do outro, logo são paralelos. 
 
b) Vetores: AC ⊥ BD 
Vetor AC, pela notação de Grassmann é: C – A, portanto: (1-2,1-0,-1-1) = (-1,1,-2); 
Vetor BD, pela notação de Grassmann é: D – B, portanto: (0-3,-1-2,0-0) = (-3,-3,0); 
Para prova que são perpendiculares, basta que seu produto escalar seja = 0; 
(AC,BD) = ((-1)*(-3) + 1*(-3) + (-2)*0) = 3 – 3 + 0 = 0. 
 
c) Área do Losango = ( d(AC) * d(BD) ) / 2 
 
d(AC) = �(*1 − �1)� + (*2 − �2)� + (*3 − �3)² = �(1 − 2)� + (1 − 0)� + (−1 − 1)² = √6 
d(BD) = �(51 − )1)� + (52 − )2)� + (53 − )3)² = �(0 − 3)� + (−1 − 2)� + (0 − 0)² =√18 
 
Área do Losango = √6 * √18 / 2 = √108 / 2 = 2 √27 / 2 = √27	= 3√3 
 
d) Volume da pirâmide ABCDE = Área do Losango * Altura da pirâmide (d(CE)) = 3√3 * 2 = 6√3