Aula 11 Profa Ducati_Derivadas

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Aula 11 : Derivadas - 1
BC-0201 Funções de Uma Variável (F.U.V.)
Aula 11 – 28/03/2008
Professora: Gisele Cristina Ducati ducati@ufabc.edu.br
Home: http://gducati.googlepages.com
http://fuv1tri2008.googlepages.com
Regra de L'Hôpital
Para
0
0 ou
∞
∞
 f , g deriváveis.
g  x≠0 ,0∣x− p∣r lim
x p
f x 
g  x
=lim
x p
f ' x
g ' x 
Ex.:
1) lim
x0
sen x 
x
=lim
x0
cos x
1
=1
2) lim
x0
x ln x
* lim
x0
x ln x≠0
0 e
lim
x0
x ln x≠∞∞
lim
x0
x ln x= lim
x0
ln x
1
x
= lim
x0
1
x
−
1
x2
lim
x0
−x=0
3) lim
x∞
ex
x
=∞
lim
x∞
ex
x
=lim
x∞
ex
1
=∞
4) lim
x∞
 x22 x−x 
Sem L'Hôpital
Aula 11 : Derivadas - 2
lim
x∞
 x22 x−x = lim
x∞
 x22 x− x  x
22 xx 
 x22 xx 
= lim
x∞
 x22 x−x 2
 x22 xx 
lim
x∞
2 x
 x22 xx
= lim
x∞
2 x
 x22 x x
1
x
1
x
= lim
x∞
2
1 2x1
=1 .
Por L'Hôpital
lim
x∞
 x22 x−x = lim
x∞ x212x−x= limx∞ x1 2x−1= limx∞ 
12
x
−1
1
x
lim
x∞
1
2
1
12x 
− 2
x2 
− 1
x2
= lim
x∞
1
1 2x
=1.
Exercícios
1) [Ex. 03. Aula 10. Prof. André]
lim
x−3
 x216−5
x23 x
lim
x−3
 x216−5
x23 x
 x2165
 x2165
= lim
x−3
x216−25
 x23x   x2165
= lim
x−3
x2−9
 x23 x   x2165
lim
x−3
x−3x3
x x3   x2165
= lim
x−3
x−3
x  x2165
= −6
−355
=1
5
2) [Ex. 02. Aula 10. Prof. André]
lim
x0
sen x 
 x
lim
x0
sen x 
 x
 x
 x
=limx 0  x[ limx0 sen xx ]=0
3) [Ex. 12. Aula 10. Prof. André]
Investigar a continuidade da função em x = 1.
Aula 11 : Derivadas - 3
 f (x) =
1−x 2
 x−1
x1
2 x2−2
1−x
x1
1−5 x x=1
Para que a função f (x) seja contínua, lim
x p
f x= f  p.
lim
x1
1−x2
 x−1
=lim
x1
1−x 1x 
 x−1
= lim
x1
1 x 1− x 1x 
 x−1
lim
x1
−1 x −1 x1 x
 x−1
= lim
x1
−1 x 1 x=−4
lim
x1−
2 x2−2
1− x
=lim
x1−
2 x2−1
1− x
= lim
x1−
2 x−1x1
1− x
= lim
x1−
−2x1=−4
f 1=1−51=−4
lim
x1−
f x = f 1= lim
x1
f  x
Logo, f (x) é contínua.
4) [Ex. 08. Aula 10. Prof. André]
 f (x) =
x2−16
8−2 x
x≠4
2 x−4 x=4
lim
x4
x2−16
8−2 x
=lim
x4
x−4x4
2 4−x 
=lim
x 4
−−x4 x4
2 4−x 
=lim
x4
− x4
2
=−4
Aula 11 : Derivadas - 4
f 4=24−4=4
lim
x4
f x≠ f 4
Portando, f (x) não é contínua.
Derivadas
1) [Ex. 01. Aula 10. Prof. André]
Derive:
y=ln 1− xe− x
[ln 1−x e−x  ]'=[ f g x ]'= f ' [ g x ] g ' x
[ ln u ] ' 1− x e−x 
'
=[ 1u ][ −x  ' e−x −x  e−x ' ]
[ln 1−x e−x  ]'=[ 11− xe− x ][e−x x−1]= e
−x  x−1 
1− x e−x
=
x−1
e x−x
2) y=e
x2−sen xcos ln x− 1tg x
[e x2−sen xcos ln x− 1tg x ]
'
=[ f g x ]'= f ' [ g  x] g ' x 
[eu ]' [x2−sen xcos ln x− 1tg x ]
'
=[eu ][2 x−cos x−1x  sen ln xcossec2 x]
Aula 11 : Derivadas - 5
y '=[ex2−sen xcos  ln x− 1tg x ][2 x−cos x − 1x  sen ln x cossec2x]
3) y=arcsen 2 x 
f g x=x⇒ f ' g x  . g '  x=1⇒g ' x = 1
f ' g x 
u=2 x
arcsen u'= 1
cos [arcsenu]
sen2ucos2 u=1⇒ cosu=1−sen2 x
arcsen u'= 1
1−sen2[arcsenu ]
= 1
1−u2
[arcsen 2 x ]'=[ 11−2 x 2 ]2 x 
'
=[ 11−2 x ]12 22 x 
y '= 1
2 x 1−2x