Aula 8 Profa Ducati_Derivadas

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Aula 8 : Derivadas - 1
BC-0201 Funções de Uma Variável (F.U.V.)
Aula 8 – 14/03/2008
Professora: Gisele Cristina Ducati ducati@ufabc.edu.br
Home: http://gducati.googlepages.com
http://fuv1tri2008.googlepages.com
Regra da Cadeia - Continuação
[ f °g  x] '=[ f g x ]'= f ' [ g x ] g ' x 
y '= f ' ug '  x
dy
dx
=dy
du
du
dx
Derivada de Função Inversa
g= f −1
 f °g x = f g x=x
f g x=x⇒ f ' g x  . g '  x=1⇒g ' x = 1
f ' g x 
Exemplo:
1 – Determine x ,∈ℝ
f x =x=e ln x

=e ln x
f ' x=[e ln x ] '
h x =ex
g  x= ln x
e ln x=h g x =hnl x =e ln x
[hg x ]'=h ' [ g  x] g ' x 
[e ln x ] '=e ln x

 ln x  '=x 1x = x−1
Aula 8 : Derivadas - 2
2 – Derive x x
y '= xx '
y '=e ln x x'= ex ln x'
h u=eu g  x= x ln x
[hg x ]'=h ' [ g  x] g ' x 
h ' u=eu
g ' x =x ln x '= x ' ln x  xlnx  '=1ln x  x1x =ln x1
[hg x ]'=[eu ][ ln x1]=ln x1ex ln x
y '=ln x1e xln x=ln x1eln x
x
= xx 1ln x 
3 – Se f x =xex e g a sua inversa. Calcule g'(1).
f g x=x⇒ f ' g x  .g '  x=1⇒g ' x = 1
f ' g x 
f −1x =ln∣x− y∣
f ' x= xe x'=1ex
f −11=0
g ' x = 1
f ' g x 
g ' 1= 1
1e0
=1
2
4 – Enche-se um reservatório cuja forma é de um cone circular reto invertido de água a uma taxa de 
0,1 m³/s. O vértice está a 15m do topo e o raio do topo é de 10m. Com qual velocidade o nível da 
água está subindo no instante que h = 5m.
Aula 8 : Derivadas - 3
Velocidade=dx
dt
0,1 m3/ s= dV
dt
dx
dt
= dx
dV
dV
dt
dx
dV
= 1
área
área=r 2=[ 15−515 5]
2
=103 
2
=100
9
dx
dt
= 9100 0,01 = 0,09100 m /s
5 – Derive logb x
logb x=
ln x
ln b
 ln xlnb 
'
= 1
ln b
 ln x '= 1
x ln b
logb x 
'= 1
x ln b
Aula 8 : Derivadas - 4
6 – Cálcule [ logb f  x] '
logb f x =
ln f x 
ln b
 ln f x ln b 
'
= 1
ln b ln f  x
'
h u=ln u g  x= f  x
[hg x ]'=h ' [ g  x] g ' x 
h ' u=1
u
 g ' x = f ' x
[hg x ]'=[ 1u ][ f ' x ]=[ 1f x  ][ f ' x ]= f '  xf x 
logb f x 
'
= 1
ln b
f ' x 
f x 
=
f ' x 
ln b f x
Função Implícita
Considere uma equação nas variáveis x e y. Dizemos que y = f (x) é dada implícitamente pela 
equação f x , y =0 se ∀ x∈D f o ponto x , f x  for solução para a equação.
Exemplo 1: Seja a equação x2 y2=1 a função y=1− x2 é dada implícitamente. Pois para 
todo x∈[−1,1]
x21−x2 
2
=1
Outra função dada implicitamente é y=−1−x2
2 – Determine a equação da reta tangente a curva x2 xy y2=3 no ponto 1,1
 x2 xy y2−3'=2x[x  '  y x  y  ' ]2y y '=2x y xy '2y y '
xy '2y y '=−2x− y y ' x2y =−2x− y
y '=−2x y
x2y
Reta tangente
Aula 8 : Derivadas - 5
y− y0=mx− x0
y−1=−21112 1  x−1=−33 x−1
y=−x2
3 - 2ysen  y =x
2ysen  y −x=0
h u=sen u g  x= y
[hg x ]'=h ' [ g  x] g ' x 
h ' u=cos u g ' x = y '
[hg x ]'=[cos u] [ y ' ]=[cos y ][ y ' ]= y ' cos  y
2ysen  y− x '=2y ' y ' cos y−1
2y ' y ' cos y=1 y ' 2cos y=1
y '= 1
2cos y
4 - 4− y=b x
y=bx4
y '=bx4 '=e ln bx4'=e x ln b4 '
h u=eu g  x= x ln b
[hg x ]'=h ' [ g  x] g ' x 
h ' u=eu g ' x =ln b
[hg x ]'=[eu] [ ln b]=[ex ln b][ ln b ]=ln b ex lnb
y '=ln b e xln b=ln be ln b
x
=bx ln b