Aula 10 Profa Ducati_Derivadas

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Aula 10 : Derivadas - 1
BC-0201 Funções de Uma Variável (F.U.V.)
Aula 10 – 25/03/2008
Professora: Gisele Cristina Ducati ducati@ufabc.edu.br
Home: http://gducati.googlepages.com
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Estudo da Variação de Funções
Teorema doValor Médio (TVM)
Se f for contínua em [a, b] e derivável em (a, b), então existirá pelo menos um c∈a ,b tal que
f b− f a 
b−a
= f ' c ou f b− f a = f ' cb−a 
* a reta que passa por a e b é paralela a reta tangente de c
* função contínua, mas não é derivável por ter “bico”
Lembrete: f é CRESCENTE em A se ∀ x1 , x2∈A ,
x1x2⇒ f  x1 f x2
e f é DECRESCENTE em A se ∀ x1 , x2∈A ,
x1 x2⇒ f x1  f x 2
 f é ESTRITAMENTE CRESCENTE em A, se ∀ x1 , x2∈A ,
Aula 10 : Derivadas - 2
x1 x2⇒ f x1 f  x2
 f é ESTRITAMENTE DECRESCENTE em A, se ∀ x1 , x2∈A ,
x1 x2⇒ f x1 f  x2
Intervalo de crescimento e decrescimento de um função
Teorema:
Seja f contínua em I.
(a) Se f '(x) > 0 para qualquer x no interior de I (x não é nenhum dos pontos das extremidades do 
intervalo), então f será ESTRITAMENTE CRESCENTE em I.
(b) Se f '(x) < 0 para qualquer x no intervalo aberto I, então f será estritamente descrescente em I.
Esboço de Demonstração
(a) x1 , x2 f contínua e derivável
x1 x2⇒ f x1 f  x2
TVM, ∃c tal que
f x2− f x1= f ' c
0
x2− x1
0
f x2− f x10
f x2 f x1
(b) x1 , x2 f contínua e derivável
x1 x2⇒ f x1 f  x2
TVM, ∃c tal que
f x2− f x1= f ' c 
0
x 2−x1
0
f x2− f x10
f x2 f x1
Exemplo:
Seja f x =x1x
Estude a função em relação ao crescimento e decrescimento e esboce o gráfico de f .
Aula 10 : Derivadas - 3
f ' x=1− 1
x2
= x
2−1
x2
Encontrando as raízes
x2−1=0 r=±1
 f é estritamente crescente nos intervalos (- ∞, -1) e (1, + ∞) e f é estritamente decrescente no 
intervalo (-1 , 1)
lim
x∞  x1x =∞
lim
x−∞ x1x =−∞
lim
x0  x1x =∞
lim
x0−  x1x =−∞
2) (a) Mostre que ∀ x0 , e xx
(b) Mostre que ∀ x0 , ex x
2
2
(c) Conclua de (b) que 
lim
x∞
ex
x
=∞
Aula 10 : Derivadas - 4
a) f x =e x−x 0
f ' x=ex−1
f ' 0=0
 f é estritamente crescente no intervalo (0, +∞).
Logo, para x0 , e xx
b) g  x=ex− x
2
2
g ' x =e x−x
* ver resolução anterior.
Do item (a), g'(x) > 0 quando x0. Logo, g(x) é estritamente crescente em [0, +∞). Como
g 0=1 , segue para todo x0 ,
e x− x
2
2
0 ou e x x
2
2
c) Do item (b)
e x x
2
2
x0
ex
x
 x
2
ou x
2
 e
x
x
lim
x∞
x
2
=∞
Como lim
x∞
x
2
=∞ , podemos dizer que lim
x∞
ex
x
=∞ .
Aula 10 : Derivadas - 5
d) Mostre que lim
x∞
e x
x
=∞ ∀∈ℝ ,0
lim
x∞
e x
x
= lim
x∞[ e
x

x ]

u= x

lim
u∞
eu
u
= limu∞ 1  limu∞ e
u
u =∞
lim
x∞
e x
x
=∞
Concavidade e Ponto de Inflexão
Seja f derivável no intervalo aberto I e p∈ I . A equação da reta tangente em (p, f (p)) ao gráfico
 f é y− f  p= f '  px−p .
Assim, a reta tangente em (p, f (p)) é o gráfico da função T  x= f  p f '  px−p .
Definição 1:
Dizemos que f tem CONCAVIDADE PARA CIMA em I se
f x T  x ,∀ x , p∈ I , com x≠ p .
Definição 2:
Dizemos que f tem CONCAVIDADE PARA BAIXO em I se
f x T  x ,∀ x , p∈ I , com x≠ p .
Definição 3:
Seja f uma função e p∈D f com f contínua em p. Dizemos que p é um PONTO DE INFLEXÃO 
de f se existem números reais a e b, com p∈a ,b⊂D f tal que f tenha concavidades contrárias 
em (a, p) e (p, b).
Ex.:
Aula 10 : Derivadas - 6
TEOREMA:
Seja f uma função que admite derivada de ordem dois no intervalo aberto I.
(a) Se f ' ' x 0 então f tem concavidade para cima em I.
(b) Se f ' ' x 0 então f tem concavidade para baixo em I.
f x =x 1
x
f ' x=1− 1
x2
= x
2−1
x2
ou 1− x−2
f ' ' x = 2
x3
Exemplo:
Esboce o gráfico de f x =e
− x
2
2 . 
Aula 10 : Derivadas - 7
f ' x=e− x
2
2 
'
=e− x
2
2 − x22 
'
=−xe
−
x2
2
f ' x=e− x
2
2 ' '=x e− x
2
2 '=−x ' e− x
2
2 −x e− x
2
2 '=e− x
2
2  x2−1
lim
x∞
e
− x
2
2=0 lim
x−∞
e
− x
2
2=0
f x =e
− x
2
2
f −1= 1
e
f 0=1 f 1= 1
e