Aula 14 Profa Ducati_Integrais

Prévia do material em texto

Aula 14 : Integrais - 1
BC-0201 Funções de Uma Variável (F.U.V.)
Aula 14 – 15/04/2008
Professora: Gisele Cristina Ducati ducati@ufabc.edu.br
Home: http://gducati.googlepages.com
http://fuv1tri2008.googlepages.com
Integral Indefinida
Definições, Interpretação Gráfica e Propriedades 
Definição: Uma função F é denominada uma PRIMITIVA ou ANTIDERIVADA de f sobre um 
intervalo I se F '  x = f x  para todo x ∈ I.
Exemplo:
F x  = 1
3
x3 ⇒ F ' x  = x2
Logo F é uma primitiva ou antiderivada da função x2 , no intervalo (-∞, +∞).
Entretanto, está não é a unica primitiva pois, se 
F x  = 1
3
x3  c
onde c é uma constante qualquer, temos que F '  x = x2 = f x .
Sendo F uma primitiva de f em I, então, para todo c constante, F x c também é primitiva de
f x .
Assim, dizemos que y = F x  c , [c constante] é a FAMÍLIA DE PRIMITIVAS de f em I.
∫ f x  dx
será usada para representar a família de primitivas de f .
∫ f x  dx = F x  c
Na notação ∫ f x  dx o símbolo ∫ é lido como INTEGRAL e f x  é chamado 
INTEGRANDO. Uma primitiva da função f x  será também denominada INTEGRAL 
INDEFINIDA DE f .
∫ x2 dx = 13 x
3 c , c constante.
Exemplo:
∫e x dx = e x c
Aula 14 : Integrais - 2
∫ x 4 dx = x
5
5
 c
∫cos x dx = sen x  c
∫ x dx = x
1
1
 c , ≠−1
∫ x−1 dx = ln x c [ x 0]
Propriedades
1. ∫c f x  dx = c∫ f x dx
2. ∫ [ f  x ± g x ] dx =∫ f x dx ± ∫ g x  dx
3. ddx [∫ f x  dx ] = f x 
Exemplos:
1) ∫x2− e x 3 dx
∫ x2 − e x 3 dx =∫ x2 dx ∫ − ex  dx∫ 3 dx =
∫ x2 dx−∫ ex  dx∫3 dx = 13 x
3  c1 − e
x c2 3 x  c3
c1 c2  c3 = c
∫ x2 − e x 3 dx = x
3
3
− e x3 x  c
2) ∫ sen x− 1x2  dx
∫ sen x− 1x2  dx =∫  sen x  dx−∫  1x2  dx = − cos x  1x  c
3) Uma partícula desloca-se sobre o eixo x e sabe-se que no instante t , t0 a velocidade é
v t  = t2 −1. Sabe-se ainda que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição
x = −1 . Determine a posição da partícula [ x = x t ] no instante t.
Deslocamento [x t  =∫ v t  dt ] :
Aula 14 : Integrais - 3
x t  = ∫ t 2− 1 dt = ∫ t2 dt −∫ 1 dt = t
3
3
− t c
Cálculo da constante:
Em t = 0 , x = −1 .
x 0 = 0
3
3
−0  c = −1 ⇒ c = −1
x t  = t
3
3
− t −1
Figura 14-1. Cálculo aproximado da área.
Área =∑
i=1
n
f  xix i1 − xi =∑
i=1
n
f x i  x i
Figura 14-2. Cálculo da área usando a soma de Riemann.
Aula 14 : Integrais - 4
S = Áreas = f c1x1− x0 f c2x2 − x1  . .. f cnx n− xn−1=
∑
i=1
n
f ci i , onde i = xi1 − xi e c i é um ponto do intervalo x i−1 , x i.
S é chamada de SOMA DE RIEMANN de f relativa à partição P. Note que se
f c1 0 , f c i  i é uma área e se f c i 0 então − f c i  xi é uma área.
Note que se P : a = x0  x1  ...xn=b for uma partição de [a, b] então:
F b− F a = F xn− F x0 = F xn− F xn−1 F x n−1− F x0 =
F xn− F xn−1  F xn−1− F xn−2 ... F x2− F  x1 F x1 − F x0 =
∑
i=1
n
F x i− F x i−1
Sejam F e f definidas no intervalo [a, b] e tais que F ' = f em [a, b] (F é uma primitiva de f ).
Vamos mostrar que escolhendo c i conveniente em [ x i−1 , x i ] temos que
F b− F a =∑
i=1
n
f ci  x i
Vimos que
F b− F a =∑
i=1
n
F x i− F x i−1
f x i− f x i−1
x i − x i−1
= f ' c i
Figura 14-3. Representação do Teorema do valor médio.
TVM: f contínua em [a, b] e derivável em (a, b) então existe pelo menos um c em (a, b) tal que
f b− f a 
b− a
= f ' c
Aula 14 : Integrais - 5
mas o TVM nos diz que existe c i em [ x i−1 , x i] tal que:
F x i− F  xi−1 = F ' c ix i − x i−1 = F ' c i  xi
então
F b− F a =∑
i=1
n
F x i− F xi−1 =∑
i=1
n
f c i  x i
Como foi discutido, para que o cálculo da área seja o mais preciso possivel, dizemos que o
F b− F a = lim
máx  x10
∑
i=1
n
f c i  x i
onde máx xi indica o maior número do conjunto { x i ∣ i = 1 , ... , n }.
Note que se máx xi0 então todo  x i 0 .
Se f é definido em [a, b] e lim
máx  x10
∑
i=1
n
f ci  x i = L em [a, b], dizemos que L é INTEGRAL 
DE RIEMANN DE f em [a, b] e indicamos tal integral por
∫
a
b
f x  dx = lim
máx xi0
∑
i=1
n
f ci  x i
Se ∫
a
b
f x  dx existir dizemos que f é INTEGRÁVEL em [a, b]. É comum nos refirirmos à 
∫
a
b
f x  dx como INTEGRAL DEFINIDA de x em [a, b].