Aula 3 Profa Ducati_Limites

Prévia do material em texto

Aula 3 : Limites - 1
BC-0201 Funções de Uma Variável (F.U.V.)
Aula 3 – 26/02/2008
Professora: Gisele Cristina Ducati ducati@ufabc.edu.br
Home: http://gducati.googlepages.com
http://fuv1tri2008.googlepages.com
Temas da aula:
Limite em um Ponto
Limites Infinitos em um Ponto
f x = x
2−1
x−1
]* Há uma indeterminação em x = 1.
lim
x1
x2−1
x−1
 x2−1=x1x−1
lim
x1
x 2−1
x−1
=lim
x1
x−1x1
x−1
= lim
x1
x1=2
Aula 3 : Limites - 2
Seja f (x) definida em intevalo aberto em torno de a (a função não deve necessariamente estar 
definida em x=a).
Se f (x) fica arbitrariamente próxima de L, para todos os valores de x suficientemente próximos de 
a, dizemos que f tem limite L quando x tende a a e escrevemos lim
xa
f x=L
Definição: Seja f (x) definida em um intervalo I contendo a, então dizemos que o limite de f (x) 
quando x tende a a é L, isto é, lim
xa
f x=L dado qualquer 0 , existe um 0 tal que
∣ f x −L∣ se ∣x−a∣
* f não necessariamente definida para x=a
Ex.:
lim
x2
3x−5=lim
x2
6−5=1
∣ f x −L∣=∣3x−5−1∣=3∣x−2∣ ∣ f x −L∣/3=
2) Encontre:
lim
xo
sen x 
x
=1
Aula 3 : Limites - 3
Resolução:
 sen  x
x
é uma função par, pois
f −x = sen −x
−x
sen −x =−sen x
f −x =−sen x
−x
=
sen x
x
f −x = f x 
Com auxilio computacional, a seguinte tabela foi obtida:
x f x = sen  x
x
1 0,84147098
0,5 0,95885108
0,3 0,98506736
0,1 0,99833417
0,05 0,99958339
0,01 0,99998333
0,001 0,99999983
Logo,
lim
xo
sen x 
x
=1 LIMITE FUNDAMENTAL
Atenção: Cálculos numéricos podem levar à conclusões incorretas sobre os limites devido a erros 
de arredonadamento, entre outros.
Assim, é sempre importante buscar a comprovação gráfica ou algébrica para sustentar os valores 
encontrados numéricamente.
lim
xo
f  x =?
Aula 3 : Limites - 4
Função de Heaviside
H x 
1x0
0 x0
lim
xo
H x =?
O limite de H(x) é 0 se nos aproximarmos de x = 0 pela esquerda é 1 se nos aproximarmos de x = 0 
pela direita.
Limite Lateral
Escrevemos lim
xa−.
f  x=L e dizemos que f (x) tende a L quando x tende a a pela esquerda se 
pudermos tornar o valor de f (x) arbitrariarmente próximo de L, tornando-se x suficientemente 
próximo de a para x < a.
Def.:
lim
xa−.
f x=L⇔∀0,∃0 tal que a−xa⇒∣ f x −L∣
Limite de f (x) quando x tende a a pela esquerda ou LIMITE LATERAL À ESQUERDA DE f (x) em 
a.
Escrevemos lim
xa.
f  x=L e dizemos que f (x) tende a L quando x tende a a pela direita se 
Aula 3 : Limites - 5
pudermos tornar o valor de f (x) arbitrariarmente próximo dele, tornando-se x suficientemente 
próximo de a para x > a.
Def.:
lim
xa.
f  x=L⇔∀0,∃0 tal que axa⇒∣ f  x−L∣
Limite de f (x) quando x tende a a pela direita ou LIMITE LATERAL À DIREITA DE f (x) em a.
Note que para que o lim
xa
f x exista, os limites laterais à direita e à esquerda devem ser 
iguais. Então lim
xa
f x=L⇔ lim
xa−.
f x =L= lim
xa.
f  x
lim
x0
∣x∣
x Não existe
∣x∣=x , x0
∣x∣=−x , x0
Limite para x à direita é 1 e -1 para x à esquerda.
Aula 3 : Limites - 6
Limites Infinitos num Ponto
lim
x0
1
x
=Não existe
lim
x0−.
1
x
=−∞ lim
x0.
1
x
=∞
Os simbolos +∞, -∞ denotam uma maneira particular de expressar o fato que o limite não existe.
Def.: Seja f definida em um intervalo aberto que contém a, exceto possivelmente no próprio a.
Então lim
xa
f x=∞ significa que para todo número positivo m, existe um numero positivo 
correspondente tal que f (x) > m sempre que 0∣x−a∣
Def.: Seja f definida em I aberto que contém a, exceto possivelmente em a.
Então lim
xa
f x=−∞ significa que para todo o número real negativo n existe o
tal que f x n sempre que0∣x−a∣
*Explicação mais detalhada em http://fuv1tri2008.googlepages.com/FUVAULA03.ppt
Def.: A reta x = a é chamada ASSÍNTOTA VERTICAL de curva y = f (x) se pelo menos uma das 
condições for satisfeita:
Aula 3 : Limites - 7
lim
xa
f x=∞ lim
xa.
f  x=∞ lim
xa
f x=−∞
lim
xa
f x=−∞ lim
xa.
f  x=−∞ lim
xa−.
f  x=−∞
Ex.: Encontrar:
lim
x3.
2x
x−3
=∞
lim
x3−.
2x
x−3
=−∞
Quando x > 3 mas estiver próximo de 3 temos (x-3) > 0 e 2x está próximo de 6. Portanto o 
quociente é um número grande e positivo infinitamente,
lim
x3.
2x
x−3
=∞
De modo análogo,
 
lim
x3−.
2x
x−3
=−∞
Leis de Limite
Seja c uma constante e supondo que lim
xa
f x e lim
xa
g x  existem.
Então
i) lim
xa
[ f x ±g x ]=lim
x a
f x ±lim
xa
g x 
ii) lim
xa
[cf x ]=c lim
x a
f x 
iii) lim
xa
[ f x g  x]=lim
xa
f x  lim
x a
g  x
iv) lim
xa
[ f x /g x ]=lim
xa
f x/ lim
xa
g x  se lim
xa
g x ≠o
v) r, s inteiros positivos s≠0
lim
xa
[ f x ]r / s=[ lim
x a
f x ]r / s
vi) Se f for uma função polinomial ou racional e a∈Df então
lim
xa
f x=lim
xa
f a 
Aula 3 : Limites - 8
Terorema do Confronto
Se f x g  xhx  quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e
lim
xa
f x=lim
xa
h x =L
então
lim
xa
g x =L
Exemplo: Mostre que 
lim
x0
x2 sen1x =0
−1sen 1x 1
−x2x2 sen 1xx2
Como
lim
x0
−x2=lim
x0
x2=0,
então
lim
x0
x2 sen1x =0