Aula 2 Profa Ducati_Funções

Prévia do material em texto

Aula 2 : Funções - 1
BC-0201 Funções de Uma Variável (F.U.V.)
Aula 2 – 22/02/2008
Professora: Gisele Cristina Ducati ducati@ufabc.edu.br
Home: http://gducati.googlepages.com
http://fuv1tri2008.googlepages.com
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Def.: A função f definida em ℝ é dada por f x =a x , a≠1,a0, denomina-se FUNÇÃO
EXPONENCIAL DE BASE a.
Propriedades:
Sejam a, b > 0, x , y ∈ ℝ
Então
(i) a x y=ax a y a x− y=a
x
a y
(ii) a xy=a xy
(iii) abx=a x bx ab 
x
=a
x
bx
(iv) a1, x y⇒a xa y
(v) 0a1, x y⇒a xa y
A função exponencial de base e e≈2,718281... f x =e x , desempenhará um papel bastante
importante em todo o nosso curso.
Aula 2 : Funções - 2
Se e > 1, para um x y , exe y.
Se a0,a≠1, f  x=ax é crescente ou descrecente e bijetora, portanto possui inversa e sua
inversa é chamada de FUNÇÃO LOGARÍTMICA com base a, denotada por loga x . Sejam 
a > 0, a ≠ 1 e   0 ∈ ℝ.
O único real  tal que a=b denomina-se LOGARÍTMO de  na base a e indica-se
=loga  . Então, =loga ⇔a
=
Propriedades:
(i) loga xy =loga x loga y 
(ii) loga xy =loga x −loga  y
(iii) loga x
= loga x 
Naturalmente, temos
loga a
x=x loga a =x ∀ x∈ℝ
a loga x= x ∀ x0
a > 1
Aula 2 : Funções - 3
Nota: LOGARÍTMO NATURAL
loge a =ln a
ln x= y⇔e y= x
Fórmula de Mudança de Base
loga x =
ln x
ln a
Observação: log10 x =log  x
Exercício
Encontre y em ln  y−1−ln 2= xln x :
ln  y−1= xln x ln 2
ln  y−1= xln 2x
* Transformando x em 'ln'. Sabendo que f  f −1x =x , logo, ln ex =x
ln  y−1=ln e xln 2x  ln  y−1=ln 2xex e ln y−1=e ln2xe
x
y−1=2xex y=2xex1
Aula 2 : Funções - 4
Funções Trigonométricas e Inversas
As funções trigonométricas são funções de um ângulo. Tais funções são muito importantes devido à
sua periodicidade, podendo assim representar vários fenômenos na natureza. Existem seis funções
trigométricas básicas que são a função seno, cosseno, tangente, cossecante, secante e cotangente,
sendo que as quatro últimas são obtidas em função do seno e cosseno.
D f Im
Seno sen x ℝ [−1,1]
Cosseno cos x  ℝ [−1,1]
Tangente
tg x  ou tan x  
ℝ−{ k12 },∀ k∈ℕ ℝ
Secante sec x =
1
cos
x  ℝ−{ k12 },∀ k∈ℕ ℝ
Cossecante cossec x =
1
sen
x ℝ− {k } ,∀ k∈ℕ ℝ
Cotangente cotan x  ou cotg x  ℝ− {k } ,∀ k∈ℕ ℝ
Def.: Uma função f(x) é periódica se existe um numero positivo T tal que
f xT = f x ,∀ x∈D f .
Aula 2 : Funções - 5
T é chamado período da função.
Note que:
sen x2=sen x cos x2=cos x  tg x=tg x 
seno e cosseno são funções periódicas de período 2π.
Tangente é periódica de período π.
Prop.
sen x− y =sen xcos  y−sen  ycos x 
cos x− y =cos x cos  y sen y  sen x 
logo,
cos t−t =cost cos t sen t  sen t  1=cos2t sen2t
e,
sen 0− y =sen 0cos  y −sen y cos 0 sen −y =−sen  y 
ou seja, sen (x) é uma função ímpar.
cos x x=cos  xcos x−sen x  sen x  cos 2x =cos2x −sen2 x
Funções Trigonométricas Inversas
* seno não é uma função injetora, pois possui dois valores iguais de y para dois valores diferentes de x.
As funções trigonométricas não são injetoras, portanto, não possuem inversas.
Entretanto, em cada caso, podemos restringir o domínio de modo que a função, restrita a esse
domínio, seja bijetora e possua inversa. Por exemplo, a função seno não é bijetora, pois
sem − =   sen =  0 , no entanto, se restringirmos o domínio ao intervalo − /  2, / 2  , a
função passa a possuir inversa.
Aula 2 : Funções - 6
A inversa da função seno é denominada FUNÇÃO ARCOSENO e é denotada ARCSEN.
sen x= y⇔arcsen  y= x
De maneira análoga, definimos as funções inversas das outras funções trigonométricas.
Logo, temos:
Função D f Im f
y=arccos x [−1,1] [0,]
y=arcsenx [−1,1] [−2 ,2 ]
y=arctg x  −∞ ,∞ [−2 ,2 ]
y=arcsecx  ∣x∣1 0 y , y≠2
y=arccossecc ∣x∣1 −2
 y
2
, y≠0
y=arccotg x  −∞ ,∞ 0 y
sen arcsenx = x arcsen sen x = x
cos arccos x=x arccoscos  x=x