Aula 4 Profa Ducati_Limites

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Aula 4 : Limites - 1
BC-0201 Funções de Uma Variável (F.U.V.)
Aula 4 – 29/02/2008
Professora: Gisele Cristina Ducati ducati@ufabc.edu.br
Home: http://gducati.googlepages.com
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Limites no Infinito
Na aula passada definimos limite para funções cuja variável independente tendia para um certo 
valor. Nesta aula vamos dar significado para o símbolo lim
x∞
f x =L
Lido como o limite da função f (x) quando x tende a infinito, é igual a L. De forma análoga 
definimos lim
x−∞
f x =L
Def.: Seja f uma função e suponha que exista a tal que −∞ ,∞⊂D f
lim
x∞
f x =L⇔∀0,∃0,coma tal que x⇒∣ f  x−L∣
L− f x L
Def. 2: Seja f uma função e suponha que exista a tal que −∞ , a ⊂D f . Definimos
lim
x∞
f x =L⇔0,∃0 com−a tal que x−⇒∣ f x −L∣
Ex.: lim
x∞
1
x
=0
Dado 0 , seja =1

. Então x⇒01
x
1

=
01
x
⇒−01
x

Aula 4 : Limites - 2
−1
x
⇒ 1
x
−0 ∣ f x −L∣
Geometricamente, se f x L quando x∞ então o gráfico de f (x) aproxima-se cada vez 
mais da reta y=L à medida que o gráfico é percorrido no sentido positivo.
Assíntota vertical em y=0
Assíntota Horizontal
Def.: A reta y=L é chamada ASSÍNTOTA HORIZONTAL da curva y= f  x se
Aula 4 : Limites - 3
lim
x∞
f x =L ou lim
x−∞
f x =L .
Propriedades do LIMITE
c constante, lim
x∞
f x =L1 , lim
x∞
g  x=L2
i) lim
x∞
[ f x ±g  x]= lim
x∞
f  x± lim
x∞
g x
ii) lim
x∞
[c f x]=c lim
x∞
f x =c L1
iii) lim
x∞
[ f x g x ]= lim
x∞
f x  lim
x∞
g x =L1 L2
iv) lim
x∞ [ f x g x  ]= L1L2 , desde que L2≠0
Obs.: As propriedades continuam válidas se trocarmos x∞ por x−∞ .
Ex.: 
Cálcule
1) lim
x∞
1
xn
, n∈ℕ , n0
lim
x∞ 1x 
n
= limx∞ 1x 
n
=0
2) lim
x∞
xn=∞
3) lim
x∞
x3−4x2
x45x
lim
x∞
x3−4x2
x45x
.
1
x4
1
x4
=lim
x∞
1
x
− 1
4x3
 1
2x4
1 5
x3
=0−0−0
10
=0
1
=0
4) Determine as assíntotas vertical e horizontal do gráfico da função
f x =2 x
21
3x−5
Assíntota Horizontal ( x±∞ )
Aula 4 : Limites - 4
lim
x∞
2 x21
3x−5
= lim
x∞
2 x21
3x−5
.
1
x
1
x
= lim
x∞
 2x2x2  1x2
3x
x
−5
x
20
3−0
=2
3
e
lim
x−∞
 2 x21
3x−5
= lim
x−∞
2 x21
3x−5
.
1
x
1
x
= lim
x−∞
− 2x
2
x2
 1
x2
3x
x
− 5
x
−20
3−0
=−2
3
Assíntota Vertical ( denominador deve tender a 0 )
lim
x 53
2 x21
3x−5
=2 53
2
1
5−5
=±∞ , não existe se x= 53
Aula 4 : Limites - 5
* lim
x∞
sen x=Não Existe !
lim
x∞
ex=∞ lim
x−∞
ex=0
lim
x0−.
e
1
x=0
Limites Infinitos (no infinito)
Def.: Suponha que exista a tal que a ,∞⊂D f . Definimos:
i) lim
x∞
f x =∞ ∀0,∃0 coma tal que x⇒ f x
ii) lim
x∞
f x =−∞ ∀0,∃0 coma tal que x⇒ f x−
Ex.:
Def.: Suponha que exista a tal que −∞ , a ⊂D f . Definimos:
i) lim
x−∞
f x =∞ ∀0,∃0 coma tal que x⇒ f x
Aula 4 : Limites - 6
ii) lim
x−∞
f x =−∞ ∀0,∃0 coma tal que x⇒ f x−
Teorema
a) lim
x∞
f x =∞ lim
x∞
g x =∞
lim
x∞
[ f x g  x]=∞
lim
x∞
[ f x g x ]=∞
Atenção!
lim
x∞
[ f x −g  x] não é necessariamente igual a zero.
lim
x∞
 x2−x = lim
x∞
x x−1=∞
b) lim
x∞
f x =L L∈ℝ lim
x∞
g x =∞
lim
x∞
f x g  x=∞ L0
lim
x∞
f x g  x=−∞ L0
lim
x∞
f x g x =∞
c) lim
x∞
f x =−∞ lim
x∞
g x =−∞
lim
x∞
f x g  x=∞
lim
x∞
[ f x g  x]=−∞
d) lim
x∞
f x =L L∈ℝ lim
x∞
g x =−∞
lim
x∞
f x g  x=∞ L0
lim
x∞
f x g  x=−∞ L0
Note que o teorema continua válido se substituir x∞ por x−∞ ou ainda, por xa. 
ou xa−. ou xa .
Obs.: O teorema anterior sugere-nos como operar com os símbolos ∞ e −∞ .
Aula 4 : Limites - 7
∞∞=∞ L ∞=∞ , L0
−∞−∞=−∞ L ∞=−∞ , L0
L∞=∞ , L∈ℝ L −∞=−∞ , L0
L−∞=−∞ , L∈ℝ L −∞=∞ , L0
∞∞=∞
−∞−∞=∞
∞−∞=−∞
Indeterminações
∞−∞=∞−∞ 1∞
0 .∞ 00
∞/∞ ∞0
0 /0
Limite fundamental
lim
x∞ 11x 
x
=e lim
t0
1t 
1
t=e
Exercícios
Mostre que
1) lim
x−∞ 11x
x
=e
u=−x
lim
u∞ 1−1u 
−u
= lim
u∞ u−1u 
−u
= lim
u∞ uu−1
u
=¿
Se u for somado com (1 – 1) = 0 nada será alterado
lim
u∞ u1−1u−1 
u
=lim
u∞ u−1u−1 1u−1
u
lim
u∞ 1 1u−1
u
lim
u∞ 1− 1−u1
u
=1− 1−∞1 
∞
t=u−1
lim
t∞ 11t 
t1
=lim
t∞ 11t 
t
11t =e 1=e
Aula 4 : Limites - 8
2) lim
x∞ 12x 
x
=e2
u= x
2
lim
u∞ 11u 
2u
=[ limu∞ 11u
u]
2
=[e]2=e2