Aula 5 Profa Ducati_Limites

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Aula 5 : Limites - 1
BC-0201 Funções de Uma Variável (F.U.V.)
Aula 5 – 04/03/2008
Professora: Gisele Cristina Ducati ducati@ufabc.edu.br
Home: http://gducati.googlepages.com
http://fuv1tri2008.googlepages.com
Continuidade
Def.: Um função f é CONTÍNUA em a se lim
xa
f x = f a .
Observe que esta definição implica que:
1. f (a) está definida, ou seja, a∈D f ;
2. lim
xa
f x existe;
3. lim
xa
f x= f a .
lim
xa
1
x
=1
a
= f a  1x é contínua de
0,∞ e contínua de −∞ ,0.
Aula 5 : Limites - 2
Se f não é continua em a, dizemos que f é DESCONTÍNUA em a ou f tem uma 
DESCONTINUIDADE em a.
Def.: Uma função é continua à direita de um ponto a se lim
xa−.
f  x= f a e f é continua a 
esqueda do ponto a se lim
xa.
f  x= f a.
Ex.: FUNÇÃO MAIOR INTEIRO
f x =〚 x〛 = Maior inteiro menor ou igual a x.
〚4,5〛=4 〚e〛=2
〚〛=3 〚2〛=2
A função f x =〚 x〛 é descontínua pois
lim
x2−.
〚 x〛=1 lim
x2.
〚x〛=2
lim
x2−.
〚 x〛≠ lim
x 2.
〚x〛
porém, como
lim
x2.
〚x〛= f 2
f é CONTÍNUA À DIREITA em x =2 
Def.: Uma função f é CONTÍNUA em um INTERVALO [a,b] se for contínua em todos os pontos do 
intervalo (a,b), se for contínua à direita do ponto a e contínua à esquerda do ponto b.
Ex.:
f x =1− x2 é contínua no intervalo [−1,1]
• Análise em [-1, 1]:
lim
x x0
f x =lim
x x0
1− x2=lim
x x0
1− x02= f x0
Aula 5 : Limites - 3
−1x01
• Análise em x = -1
lim
x−1.
1−x2=1−−12=0= f −1
É contínua à direita em x=-1
• Análise em x = 1
lim
x1−.
1−x2=1−12=0= f 1
TEOREMA: Se f e g são contínuas em a e se c é uma constante então:
1. f g é contínua em x=a ;
2. f −g é contínua em x=a ;
3. f g é contínua em x=a ;
4. fg é contínua em
x=a desde que g a≠0 ;
5. cf é contínua em x=a .
TEOREMA: Todo Polinômio é uma função contínua ( em ℝ ).
lim
x x0
an X
n
f x
=an X 0
n , n∈ℕ
TEOREMA: Toda função Racional f x = P x 
Q x 
é contínua nos pontos que pertencem ao 
domínio da função.
Ex.: Determine o intervalo onde f x =3x
2−41
3x2 é contínua.
3x2−41 é um polinômio, logo é uma função contínua.
3x2 é um polinômio, logo é uma função contínua porém x=−2
3
zera o denominador, 
logo f (x) é contínua no intervalo −∞ ,−23 ∪−23, ∞
ℝ−{−23 }=−∞ ,−23 ∪−23, ∞
As funções trigonométricas seno e cosseno são funções contínuas em x ,∀ x∈ℝ , portanto, suas 
combinações: tg x, cotg x, sec x, cossec x também serão contínuas desde que x∈D f .
Aula 5 : Limites - 4
Por exemplo:
tg x e sec x são contínuas em todos os pontos onde cos x≠0 .
A função inversa de qualquer função contínua é contínua.
Se pensarmos no gráfico de f (x), sabemos que sua função inversa é obtida apenas refletindo o 
gráfico original em torno da reta y = x logo, se f é contínua, é facil deduzir que f −1 também será 
contínua.
TEOREMA: As Funções do tipo:
• Polinômios;
• Funções Racionais;
• Funções Raiz [ n x ,n∈ℕ] ;
• Funções Trigonométricas;
• Funções Trigonométricas Inversas;
• Funções Exponenciais;
• Funções Logarítmicas.
São contínuas em todo ponto pertencente ao domínio da função.
TEOREMA: Seja f contínua em b e lim
xa
g x =b ,[ Img⊂D f ]
Então
lim
xa
f g x = f  limxa g x = f b 
g  x=u
lim
xa
f g x =lim
ub
f u = f b
Ex.:
1) lim
x
sen xsen x
Aula 5 : Limites - 5
lim
x
sen xsen x=sen[limx  xsen x]
sen [sen ]=0
2)
lim
x1
arc sen1− x1−x 
lim
x1
arc sen1− x1−x =arc senlimx1 1− x1−x 
1− x=1− x1 x
arc senlimx1 1− x1− x1 x=arc senlimx1 11 x 
arc sen12=6
Observação: No teorema anterior, se g(x) é contínua então lim
xa
f g x = f g a .
Logo, uma função composta de funções contínuas é uma função contínua.
Exercícios
1) Determine L para que a função dele seja contínua no ponto especificado.
a) f x = x
2−4
x−2
lim
x2
x−2 x2
x−2
=4
b) f x =XL , x0e x3−1, x0
Aula 5 : Limites - 6
para x = 0, L = -1
lim
x0.
f x = lim
x0−.
f x 
Função não contínua
f x =∣x∣
x
Teorema do Valor Intermediário
Suponha que f seja uma função contínua no intervalo I = [a,b] e seja N um número qualquer entre 
f (a) e f (b) com f a ≠ f b
Então, existe um c∈a ,b  tal que f c =N .
Aula 5 : Limites - 7
Teorema do Anulamento (ou de Bolzano)
Se f for contínua no intervalo [a,b] e se f (a) e f (b) tiverem sinais contrários, então existe pelo 
menos um c∈a ,b  tal que f c =0.
Teorema de Weierstrass
Se f for contínua em [a,b], então existirão x1 e x2 em [a,b] tal que f x1 f x  f x2 
para todo x∈[a ,b ].
Exercício
Prove que a equação x3− 1
1 x4
=0 admite ao menos uma raíz real.
Seja x0, logo f x10, f 1=
1
2
Pelo teorema do anulamento, ∃c∈ℝ , tal que f c =0, logo, a equação admite pelo menos uma 
raíz real.