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2ª Avaliação : Integrais, Máximos e mínimos, l'Hôpital e Esboço de gráfico - 1 BC-0201 Funções de Uma Variável (F.U.V.) 2a Avaliação – 13/05/2008 Professora: Gisele Cristina Ducati ducati@ufabc.edu.br Home: http://gducati.googlepages.com http://fuv1tri2008.googlepages.com Questão 1. Esboce o gráfico de f x = xe−x . Não se esqueça de explicitar o domínio, determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, estudar a concavidade e os pontos de inflexão e determinar as assíntotas e calcular todos os limites envolvidos. Domínio da Função: D f = ℝ . Zeros da função: f x = xe−x = 0 ⇒ x = 0 . Crescimento e Decrescimento: f ' x = e− x− x e−x = e−x 1− x f ' x = 0 ⇒ x = 1 A função é crescente entre −∞ ,1 e decrescente entre 1 ,∞. Concavidades: f ' ' x = −e−x− e− x 1− x = e−x x− 2 A função é concavidade para cima entre 2 ,∞ e concavidade para baixo entre −∞ ,2. Assíntotas: lim x∞ x e− x = lim x∞ x e x Usando l'Hôpital: lim x∞ x e− x = lim x∞ x e x = lim x∞ 1 ex = 0 lim x−∞ x e−x = −∞ Máximo e mínimos: x = 1 , ponto de máximo. Esboço: 2ª Avaliação : Integrais, Máximos e mínimos, l'Hôpital e Esboço de gráfico - 2 Figura 1. Esboço da função da Questão 1. Questão 2. Encontre os limites usando l'Hôpital. a) lim /2 1− sen 1 cos 2 Usando l'Hôpital lim /2 1− sen 1 cos 2 = lim /2 − cos −2 sen2 Novamente lim /2 1− sen 1 cos 2 = lim /2 − cos −2 sen2 = lim /2 sen −4 cos2 = 1 4 b) lim x0 x2 ln x lim x0 x2 ln x = lim x0 ln x 1 x2 = lim x0 1 x − 2x3 = lim x0 −x3 2 x = limx 0 −x2 2 = 0 Questão 3. Qual o menor número real positivo cuja soma com o seu inverso ao quadrado é mínima. f x = x 1 x2 Ponto de mínimo: f ' x = 1− 2 x3 = 0 ⇒ x = 32 2ª Avaliação : Integrais, Máximos e mínimos, l'Hôpital e Esboço de gráfico - 3 f ' ' x = 6 x4 , x = 32 , é o ponto de mínimo. O menor número real positivo cuja soma com o seu inverso ao quadrado é mínima é x = 32 . Questão 4. Encontre a área limitada pelas curvas y = x2 e y =− x 2. Figura 2. Representação da área entre as curvas. Pontos em que as curvas se cruzam: x2 = −x 2 ⇒ x2 x− 2 = 0 ⇒ r1 =− 2 , r 2 = 1 ∫ −2 1 −x 2dx −∫ −2 1 x2dx = [−x22 2 x ]−2 1 − [ x33 ]−2 1 = 15 2 −3 = 9 2 A área limitada pelas curvas é de 9 2 u2 . Questão 5. Integre. a) ∫ x2 ln x dx ln x = u ⇒ dx x = du , x2dx = dv ⇒ x 3 3 = v ∫ x2 ln x dx = x 3 3 ln x−∫ x 3dx 3 x = x 3 3 ln x− x 3 9 k = x 3 3 ln x − 13 k b) ∫ x3 cos x4 3dx x4 3 = u ⇒ 4 x3dx =du 2ª Avaliação : Integrais, Máximos e mínimos, l'Hôpital e Esboço de gráfico - 4 ∫ x3 cos x4 3dx = 14∫ cosu du = 1 4 sen u k = 1 4 sen x 4 3 k c) ∫ x 2 2 x1 2x3 3 x2− 2 x dx ∫ x 2 2 x1 2x3 3 x2− 2 x dx =∫ x 2 2 x 1 x 2x2 3 x− 2 dx = ∫ x 2 2 x 1 x x 22 x −1 dx ∫ x 2 2 x1 x x 22 x −1 dx =∫ Ax dx ∫ B x 2 dx∫ C2 x− 1 dx ∫ A x 22 x −1 B x 2 x− 1 C x x 2x x 22 x −1 dx 2 A 2 BC = 1 3 A− B 2C = 2 −2 A = 1 ⇒ A = −1/ 2 B = 1/10 C = 9/5 ∫ x 2 2 x1 2x3 3 x2− 2 x dx =∫−12 x dx∫ 1 10 x 2 dx ∫ 952 x− 1 dx −1 2 ln∣x∣ 1 10 ln∣x 2∣ 9 10 ln∣2 x− 1∣ k ∫ x 2 2 x1 2x3 3 x2− 2 x dx =−1 2 ln∣x∣ 1 10 ln∣x 2∣ 9 10 ln∣2 x −1∣ k d) ∫ sen25 d sen25 = 1− cos10 2 ∫ sen25 d = ∫ 1− cos102 dx = ∫ dx 2 −∫ cos102 dx 10 = u ⇒ 10d = du 2 −∫ cos102 dx k1 = 2 −∫ cosu20 dx k 1 = 2 − sen u 20 k ∫ sen25 d = 2 − sen10 20 k
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