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2ª Avaliação : Integrais, Máximos e mínimos, l'Hôpital e Esboço de gráfico - 1
BC-0201 Funções de Uma Variável (F.U.V.)
2a Avaliação – 13/05/2008
Professora: Gisele Cristina Ducati ducati@ufabc.edu.br
Home: http://gducati.googlepages.com
http://fuv1tri2008.googlepages.com
Questão 1. Esboce o gráfico de f x  = xe−x . Não se esqueça de explicitar o domínio, 
determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, estudar a concavidade e os pontos de 
inflexão e determinar as assíntotas e calcular todos os limites envolvidos.
Domínio da Função:
D f = ℝ .
Zeros da função:
f x  = xe−x = 0 ⇒ x = 0 .
Crescimento e Decrescimento:
f ' x = e− x− x e−x = e−x 1− x
f ' x = 0 ⇒ x = 1
A função é crescente entre −∞ ,1 e decrescente entre 1 ,∞.
Concavidades:
f ' ' x  = −e−x− e− x 1− x  = e−x x− 2
A função é concavidade para cima entre 2 ,∞ e concavidade para baixo entre −∞ ,2.
Assíntotas:
lim
x∞
x e− x = lim
x∞
x
e x
Usando l'Hôpital:
lim
x∞
x e− x = lim
x∞
x
e x
= lim
x∞
1
ex
= 0
lim
x−∞
x e−x = −∞
Máximo e mínimos:
x = 1 , ponto de máximo.
Esboço:
2ª Avaliação : Integrais, Máximos e mínimos, l'Hôpital e Esboço de gráfico - 2
Figura 1. Esboço da função da Questão 1.
Questão 2. Encontre os limites usando l'Hôpital.
a) lim
/2
1− sen
1 cos 2
Usando l'Hôpital
lim
/2
1− sen
1 cos 2
= lim
/2
− cos 
−2 sen2
Novamente
lim
/2
1− sen
1 cos 2
= lim
/2
− cos 
−2 sen2
= lim
/2
sen
−4 cos2
= 1
4
b) lim
x0
x2 ln x
lim
x0
x2 ln x = lim
x0
ln x
1
x2
= lim
x0
1
x
− 2x3 
= lim
x0
−x3
2 x = limx 0
−x2
2 = 0
Questão 3. Qual o menor número real positivo cuja soma com o seu inverso ao quadrado é mínima.
f x  = x 1
x2
Ponto de mínimo:
f ' x = 1− 2
x3
= 0 ⇒ x = 32
2ª Avaliação : Integrais, Máximos e mínimos, l'Hôpital e Esboço de gráfico - 3
f ' ' x  = 6
x4
, x = 32 , é o ponto de mínimo.
O menor número real positivo cuja soma com o seu inverso ao quadrado é mínima é x = 32 .
Questão 4. Encontre a área limitada pelas curvas y = x2 e y =− x  2.
Figura 2. Representação da área entre as curvas.
Pontos em que as curvas se cruzam:
x2 = −x 2 ⇒ x2 x− 2 = 0 ⇒ r1 =− 2 , r 2 = 1
∫
−2
1
−x 2dx −∫
−2
1
x2dx = [−x22  2 x ]−2
1
− [ x33 ]−2
1
= 15
2
−3 = 9
2
A área limitada pelas curvas é de
9
2
u2 .
Questão 5. Integre.
a) ∫ x2 ln x dx
ln x = u ⇒ dx
x
= du , x2dx = dv ⇒ x
3
3
= v
∫ x2 ln x dx = x
3
3
ln x−∫ x
3dx
3 x
= x
3
3
ln x− x
3
9
 k = x
3
3 ln x − 13 k
b) ∫ x3 cos  x4  3dx
x4  3 = u ⇒ 4 x3dx =du
2ª Avaliação : Integrais, Máximos e mínimos, l'Hôpital e Esboço de gráfico - 4
∫ x3 cos  x4  3dx = 14∫ cosu du =
1
4
sen u k = 1
4
sen  x 4 3 k
c) ∫ x
2 2 x1
2x3 3 x2− 2 x
dx
∫ x
2 2 x1
2x3 3 x2− 2 x
dx =∫ x
2 2 x 1
x 2x2 3 x− 2
dx = ∫ x
2  2 x 1
x  x 22 x −1
dx
∫ x
2 2 x1
x x  22 x −1
dx =∫ Ax dx ∫
B
x 2
dx∫ C2 x− 1 dx
∫ A x 22 x −1 B x 2 x− 1 C x x  2x x  22 x −1 dx
2 A 2 BC = 1
3 A− B 2C = 2
−2 A = 1
⇒
A = −1/ 2
B = 1/10
C = 9/5
∫ x
2 2 x1
2x3 3 x2− 2 x
dx =∫−12 x dx∫
1
10 x 2
dx ∫ 952 x− 1 dx
−1
2
ln∣x∣ 1
10
ln∣x  2∣ 9
10
ln∣2 x− 1∣ k
∫ x
2 2 x1
2x3 3 x2− 2 x
dx =−1
2
ln∣x∣ 1
10
ln∣x  2∣ 9
10
ln∣2 x −1∣ k
d) ∫ sen25 d 
sen25 = 1− cos10
2
∫ sen25 d  = ∫ 1− cos102 dx = ∫
dx
2
−∫ cos102 dx
10 = u ⇒ 10d  = du

2
−∫ cos102 dx  k1 =

2
−∫ cosu20 dx  k 1 =

2
− sen u
20
 k
∫ sen25 d  = 2 −
sen10
20
 k

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