Como Una Proposicion Sinteica Pinto

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Este trabajo tiene el propósito de mostrar que la proposición aritmética 
" ( ) ( ) "a b c a b c+ + = + + es una proposición sintética en un sentido relevantemente similar 
al sentido kantiano del término “sintético”. Antes de discutir esta cuestión son necesarias 
(1) una observación y (2) tres aclaraciones generales: 
(1) El título de este ensayo está tomado del trabajo de Héctor Neri Castañeda 
titulado “ '7 5 12'+ = como una proposición sintética”.1 
(2) En primer lugar, nos serán irrelevantes argumentos a favor del carácter sintético 
de proposiciones ajenas a " ( ) ( ) "a b c a b c+ + = + + (incluido, particularmente, el argumento 
a favor del carácter sintético de la proposición "7 5 12"+ = , que para Kant descansa en el 
supuesto de que “12” no es un concepto contenido en los conceptos de “7”, “5”, o “+”. 
Dicho sea de paso: la proposición "7 5 12"+ = deja de ser sintética en el momento en el que 
los conceptos de “7”, “5”, y “+” se concatenan significativamente (es decir, como 7+5 o 
como 5+7). En otras palabras, “12” no es un concepto contenido en los conceptos de “7”, 
“5”, o “+” tomados aisladamente; sin embargo, “12” es un concepto contenido en los 
conceptos de “7”, “5”, y “+” tomados conjunta y significativamente: “tomados 
conjuntamente” significa que se consideran los tres términos, y “tomados 
significativamente” significa que tales tres términos son tomados en una combinación 
significativa, no meramente como 57+, 75+ (o, para este contexto, como +57, +75), sino 
como 7+5, 5+7). 
En segundo lugar, asumiremos que es perfectamente posible afirmar el carácter 
sintético de una proposición como " ( ) ( ) "a b c a b c+ + = + + sin por ello tener que 
comprometerse con una postura epistemológica o metafísica (es decir, la proposición 
" ( ) ( ) "a b c a b c+ + = + + puede ser sintética independientemente de si es, a la vez, a priori o 
a posteriori: será “a priori” para quienes identifican “aprioridad” y “necesidad”; será “a 
posteriori” para quienes “aprioridad” y “necesidad” no son sinónimos intercambiables). 
En tercer y último lugar, del hecho de que consideremos a " ( ) ( ) "a b c a b c+ + = + + 
como una proposición sintética no debe concluirse que aceptamos una división tajante y 
 
1
 Héctor Neri Castañeda, “7+5=12” As a Synthetic Proposition, Philosophy and Phenomenological Research, 
vol. 21, n. 2 (1960), pp.141-158. 
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significativa entre “lo analítico” y “lo sintético” (no creo que existan enunciados 
genuinamente analíticos más allá de casos muy particulares. Por otra parte, tampoco creo 
que de la sinteticidad de un enunciado deba seguirse que éste es irremediablemente 
revisable: en lo que sigue sostendré que el enunciado no revisable bajo ninguna 
justificación " ( ) ( ) "a b c a b c+ + = + + es un enunciado sintético). 
Cuatro definiciones comúnmente aceptadas de “proposición sintética” son las 
siguientes. Por un primer lado, a una proposición sintética se le puede definir como aquella 
proposición que dice algo sobre el mundo. Por un segundo lado, se le puede definir como 
aquella proposición cuyo predicado no está contenido en el sujeto. Por un tercer lado, se le 
puede definir como aquella proposición cuya verdad no depende únicamente del 
significado de sus términos tal como los empleamos en el lenguaje. Por un cuarto lado, se le 
puede definir como aquella proposición que contempla un sujeto cuya propiedad afirmada 
sobre él no es una propiedad esencial del mismo. 
 A primera vista, parecería que estas cuatro definiciones son equivalentes entre sí, 
aunque tengo serias dudas sobre eso. Por ejemplo, la proposición “A=A” es una verdad no 
sintética según la segunda, la tercera, y la cuarta definiciones; pero no creo que “A=A” sea 
una verdad no sintética según la primera definición. Sea como fuere, esta discusión es 
irrelevante para nuestros propósitos, así que la dejaré de lado. 
 Aquí, diremos que una proposición sintética es aquella en la que todo lo que puede 
decirse sobre ella no se encontraba contenido en ella desde un principio o, 
equivalentemente, una proposición sintética es aquella en la que cada una de las cosas que 
pueden decirse sobre ella no es una y la misma cosa que cada otra de las cosas que pueden 
decirse sobre ella. Creo que la proposición " ( ) ( ) "a b c a b c+ + = + +
 
cumple con los 
requisitos, por así decirlo, para ser una proposición sintética según la definición anterior. 
En ¿Es la matemática puramente lingüística?,2 Russell escribió que 
Toda demostración matemática consiste meramente en decir en otras palabras parte o todo lo que se 
dice en las premisas. Si de un teorema A se deduce un teorema B, debe ser el caso que B repite A (o 
 
2
 Russell, Bertrand, ¿Es la matemática puramente lingüística?, en Russell, Bertrand, Análisis filosófico, Ed. 
Paidós, España, pp. 124-125. 
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parte de él) en otros términos. Y la verdad de A debe resultar de los significados de las palabras 
utilizadas al establecerlo. 
Creo que esta manifestación del supuesto de que las proposiciones matemáticas son 
meramente analíticas tiene un defecto: deja de lado la cuestión fundamental de si las 
deducciones , ,...,B C N desde el teorema A dicen una y la misma cosa entre sí. Esto por lo 
siguiente: si , ,...,A B A C A N= = = , necesariamente ...B C N= = = . En otras palabras, el 
que las deducciones , ,...,B C N “repitan” A está condicionado no sólo a que 
, ,...,A B A C A N= = = , sino también (necesariamente) a que ...B C N= = = . Por lo tanto, 
si " ( ) ( ) "a b c a b c+ + = + + es una proposición (teorema) matemática cuyas sucesivas 
deducciones , ,..., , 1, 1 1,B C N N N+ + + etc., no cumplen con que ...B C N= = = , etc., 
" ( ) ( ) "a b c a b c+ + = + + es una proposición sintética. 
" ( ) ( ) "a b c a b c+ + = + + como una proposición sintética 
Al hablar sobre la propiedad asociativa de la adición, Poincaré dijo que3 
Yo digo que ( ) ( )a b c a b c+ + = + + ; en realidad, el teorema es verdadero para 1c = . Entonces 
puede escribirse como ( 1) ( ) 1a b a b+ + = + + , que no es otra cosa que la igualdad 
[ ( 1)] 1x a x a+ = + − + con la que he definido la adición. Asumiendo que el teorema es verdadero 
para c γ= , digo que será verdadero para 1c γ= + . Si ( ) ( )a b a bγ γ+ + = + + , se sigue que 
[( ) ] 1 [ ( )] 1a b a bγ γ+ + + = + + + o, por [ ( 1)] 1,x a x a+ = + − + que 
( ) ( 1) ( 1) [ ( 1)]a b a b a bγ γ γ+ + + = + + + = + + + , lo que muestra, por una serie de 
deducciones puramente analíticas, que el teorema es verdadero para 1γ + . Siendo verdadero para 
1,c = vemos que es sucesivamente verdadero para 2, 3,c c= = etc. 
Establezcamos que, siendo A un teorema y , ,..., , 1, 1 1,...B C N N N+ + + sus respectivas 
deducciones (que son deducciones sólo en apariencia, habida cuenta del papel de la 
inducción matemática en ellas, al menos hasta nuestra “deducción” 1 1N + + ), 
 
3
 Poincaré, Henri, On the Nature of Mathematical Reasoning, en Poincaré, Henri, The Value of Science. 
Essential Writings of Henri Poincaré, Modern Library, EEUU, p. 13. 
 
5 
 
( ) ( )
( 1) ( ) 1
( 2) ( ) 2
...
( 13) ( ) 13
1 ( 14) ( ) 14
1 1 ( 15) ( ) 15
...
A a b c a b c
B a b a b
C a b a b
N a b a b
N a b a b
N a b a b
= + + = + +
= + + = + +
= + + = + +
= + + = + +
+ = + + = + +
+ + = + + = + +
 
Para nuestros propósitos, las “deducciones” , ,..., ,...D E N sobran; basta con que B C≠ 
para que A sea una proposición sintética. Desde luego, bajo el criterio de Russell, A es una 
proposición analítica en la medida en la que ,B C repiten A en otros términos. Pero, ¿es una 
proposición analítica en la medidaen la que B C= , si B C= es una condición para que 
,A B A C= = ? Creo que la respuesta a esta pregunta es negativa. 
 En efecto, si, según nuestra definición, una proposición sintética es aquella en la 
que cada una de las cosas que pueden decirse sobre ella no es una y la misma cosa que 
cada otra de las cosas que pueden decirse sobre ella (o, equivalentemente, si las 
deducciones , ,..., , 1, 1 1,...B C N N N+ + + no dicen una y la misma cosa entre sí), entonces 
" ( ) ( ) "a b c a b c+ + = + + es una proposición sintética: restringiéndonos a lo que puede 
decirse sobre " ( ) ( ) "a b c a b c+ + = + +
 
si a b= ( 0),c ≥ entonces 
1 (1 0) (1 1) 0 2 (2 1) (2 2) 1 3 (3 2) (3 3) 2+ + = + + ≠ + + = + + ≠ + + = + + , etcétera. Para la 
causa analítica, tampoco funcionan los casos en los que 0a b c= = = o 1,a b c= = = 
sencillamente porque 0 3.≠ 
 Por lo tanto, si bien es cierto que , ,..., , 1, 1 1,...B C N N N+ + + “repiten A en otros 
términos”, también sucede que 
, , 1, 1 1, , 1, 1 1,
1, 1 1, 1 1 1.
B C B N B N B N C N C N C N
N N N N N N
≠ ≠ ≠ + ≠ + + ≠ ≠ + ≠ + +
≠ + ≠ + + + ≠ + +